2025-2026学年上学期初中数学北师大版（2024）八年级期末必刷常考题之实数

第16页（共16页）2025-2026学年上学期初中数学北师大版（2024）八年级期末必刷常考题之实数一．选择题（共7小题）1．（2025秋•兴庆区校级期中）在数1、227、﹣π、0、8、0.202002、3A．1 B．2 C．3 D．42．（2025秋•宁波期中）下列说法：①10的平方根是±10；②负数和零没有立方根：③2-1的相反数是1-2；④16的算术平方根是4：A．①③④⑤ B．②④⑤ C．①③ D．①②③④⑤3．（2025•济南模拟）4的平方根是（）A．2 B．±2 C．2 D．±24．（2025秋•丹东校级期中）如图，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（）A．5+1 B．5-1 C．-55．（2025春•武城县期末）若2、5、n为三角形的三边长，则化简(3-A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣56．（2024秋•东港市期末）如果单项式5xmy4与7xym+n是同类项，则3mA．±6 B．12 C．6 D．57．（2025春•茄子河区期末）下列各式计算错误的是（）A．±64=±8 B．C．3-216=-6 二．填空题（共6小题）8．（2025秋•宣化区期中）如图，这是秦始皇陵中的一个兵马俑，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为5-12，其中5-129．（2025秋•嘉定区期中）一个正数的两个不同的平方根为2a+1和5﹣a，则a＝．10．（2025春•重庆期末）81的算术平方根是．11．（2024秋•榕城区期末）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“1cm”和“6cm”分别对应数轴上的数“x”和“3”，则x的值为．12．（2024秋•于洪区期末）一个正数的两个平方根分别是3与a+2，则a的值为．13．（2025秋•嘉定区期中）已知2.14=1.463，21.4=4.626，30.214=0.5981三．解答题（共3小题）14．（2025秋•沈阳期中）阅读理解材料：我们在学二次根式时，了解了分母有理化及其应用．如：①25②12上式运算都是分母有理化．根据上面的方法解决下面的问题：（1）计算：13（2）计算：1215．（2024秋•任丘市期末）已知一个正数的平方根分别是2a+1和a﹣4，又b﹣4的立方根为﹣2．（1）求a，b的值；（2）求5a﹣b的平方根．16．（2025春•兴宁区校级期末）数形结合是重要的数学思想．如图（1），把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：（1）所得到的面积为2dm2的大正方形的边长就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为dm；（2）由此，我们得到了一种方法．能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A、B两点表示的数分别为，；（3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为；（4）若a=-3+2，b=5-2，求代数式|

2025-2026学年上学期初中数学北师大版（2024）八年级期末必刷常考题之实数参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案CADBAC．D一．选择题（共7小题）1．（2025秋•兴庆区校级期中）在数1、227、﹣π、0、8、0.202002、3A．1 B．2 C．3 D．4【考点】无理数．【专题】实数；数感．【答案】C【分析】根据有理数、无理数的定义判断即可．【解答】解：无理数有﹣π，8，3，共3个，故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如π，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．2．（2025秋•宁波期中）下列说法：①10的平方根是±10；②负数和零没有立方根：③2-1的相反数是1-2；④16的算术平方根是4：A．①③④⑤ B．②④⑤ C．①③ D．①②③④⑤【考点】立方根；平方根；算术平方根．【专题】实数；运算能力．【答案】A【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的含义和求法，逐项判断即可．【解答】解：①10的平方根是±10②负数和零有立方根，原说法错误，不符合题意；③2-1的相反数是④16的算术平方根是4，正确，符合题意；⑤0.008的立方根是0.2，正确，符合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了平方根、算术平方根、立方根的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．（2）一个正数或0只有一个算术平方根．（3）一个数的立方根只有一个．3．（2025•济南模拟）4的平方根是（）A．2 B．±2 C．2 D．±2【考点】算术平方根；平方根．【专题】实数；应用意识．【答案】D【分析】4的平方根是两个，正负2．【解答】解：22＝2，（﹣2）2＝4，∴4的平方根为：±2，故选：D．【点评】本题考查的是平方根，解题的关键是4的平方根有两个，不要漏解．4．（2025秋•丹东校级期中）如图，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（）A．5+1 B．5-1 C．-5【考点】实数与数轴．【专题】实数；运算能力．【答案】B【分析】先用勾股定理求出AC=AB=【解答】解：由图可知两条直角边的长为2和1，根据勾股定理得：AC=∴点C表示的数为5-故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，实数与数轴．熟练掌握以上知识点是关键．5．（2025春•武城县期末）若2、5、n为三角形的三边长，则化简(3-A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5【考点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系．【专题】二次根式；运算能力．【答案】A【分析】根据三角形的三边关系可求出n的范围，然后根据绝对值的性质以及二次根式的性质进行化简即可求出答案．【解答】解：由三角形三边关系可知：3＜n＜7，∴3﹣n＜0，8﹣n＞1，原式＝|3﹣n|+|8﹣n|＝﹣（3﹣n）+（8﹣n）＝﹣3+n+8﹣n＝5，故选：A．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．6．（2024秋•东港市期末）如果单项式5xmy4与7xym+n是同类项，则3mA．±6 B．12 C．6 D．5【考点】算术平方根；同类项．【专题】计算题；方程思想；整式；运算能力．【答案】C．【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可．【解答】解：由同类项的定义可知m＝1，m+n＝4，解得m＝1，n＝3，∴3m故选：C．【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．7．（2025春•茄子河区期末）下列各式计算错误的是（）A．±64=±8 B．C．3-216=-6 【考点】二次根式的性质与化简；平方根；立方根．【专题】实数；二次根式；运算能力．【答案】D【分析】利用二次根式的性质，平方根及立方根的定义逐项判断即可．【解答】解：±64=±8，则A-(-5)2=-|﹣5|＝﹣3-216=3-121225无意义，则故选：D．【点评】本题考查二次根式的性质，平方根及立方根，熟练掌握相关性质及定义是解题的关键．二．填空题（共6小题）8．（2025秋•宣化区期中）如图，这是秦始皇陵中的一个兵马俑，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为5-12，其中5-1【考点】实数大小比较．【专题】实数；运算能力；推理能力．【答案】＞．【分析】先估算5的大小，进一步判断5-【解答】解：∵4＜∴2＜∴1＜∴5-∴兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为5-12故答案为：＞．【点评】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．9．（2025秋•嘉定区期中）一个正数的两个不同的平方根为2a+1和5﹣a，则a＝﹣6．【考点】平方根．【专题】实数；运算能力．【答案】﹣6．【分析】根据平方根的定义进行解题即可．【解答】解：由题可知，2a+1+5﹣a＝0，解得a＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．10．（2025春•重庆期末）81的算术平方根是3．【考点】算术平方根．【专题】实数；数感．【答案】见试题解答内容【分析】如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a，由此即可得到答案．【解答】解：∵81=9∴81的算术平方根是3．故答案为：3．【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．11．（2024秋•榕城区期末）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“1cm”和“6cm”分别对应数轴上的数“x”和“3”，则x的值为3-5【考点】实数与数轴；算术平方根．【答案】见试题解答内容【分析】观察数轴可知：数轴上对应数“x”和“3”的两点间的距离为6﹣1＝5，然后根据数轴上两点距离计算公式列出算式，进行求解即可．【解答】解：6﹣1＝5，∴3-∴x=故答案为：3-【点评】本题主要考查了数轴上两点距离计算，实数和数轴，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式．12．（2024秋•于洪区期末）一个正数的两个平方根分别是3与a+2，则a的值为﹣5．【考点】平方根．【专题】实数；数感；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据“一个正数的两个平方根互为相反数”进行计算即可．【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是3与a+2，∴a+2＝﹣3，解得a＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查平方根，掌握“一个正数的两个平方根互为相反数”是正确解答的关键．13．（2025秋•嘉定区期中）已知2.14=1.463，21.4=4.626，30.214=0.5981【考点】立方根；算术平方根．【专题】实数；运算能力．【答案】5.981．【分析】根据立方根的性质：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案．【解答】解：∵30.214=∴214的立方根，即3214=故答案为：5.981．【点评】本题考查立方根，算术平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．三．解答题（共3小题）14．（2025秋•沈阳期中）阅读理解材料：我们在学二次根式时，了解了分母有理化及其应用．如：①25②12上式运算都是分母有理化．根据上面的方法解决下面的问题：（1）计算：13（2）计算：12【考点】二次根式的混合运算；平方差公式；分母有理化．【专题】二次根式；运算能力．【答案】（1）3+（2）10-1【分析】（1）把分子分母都乘以（3+（2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：（1）原式=3（2）原式=2-1+=10-【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化与平方差公式．15．（2024秋•任丘市期末）已知一个正数的平方根分别是2a+1和a﹣4，又b﹣4的立方根为﹣2．（1）求a，b的值；（2）求5a﹣b的平方根．【考点】立方根；平方根．【专题】实数；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数可求出a的值，再根据立方根的性质可求出b的值；（2）将a，b的值代入求出5a﹣b的值，再根据平方根的性质求解即可得．【解答】解：（1）∵一个正数的平方根分别是2a+1和a﹣4，∴2a+1+（a﹣4）＝0，解得a＝1，∵b﹣4的立方根为﹣2，∴b﹣4＝（﹣2）3＝﹣8，解得b＝﹣4．（2）由（1）可知，a＝1，b＝﹣4，∴5a﹣b＝5×1﹣（﹣4）＝9，∴5a﹣b的平方根为±9【点评】此题主要考查了平方根与立方根，熟练掌握平方根与立方根的性质是解题关键．16．（2025春•兴宁区校级期末）数形结合是重要的数学思想．如图（1），把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：（1）所得到的面积为2dm2的大正方形的边长就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为2dm；（2）由此，我们得到了一种方法．能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A、B两点表示的数分别为1-2，1+2（3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为5；（4）若a=-3+2，b=5-2，求代数式【考点】实数与数轴；无理数．【专题】实数；数感；运算能力．【答案】（1）2；（2）1-2，1+（3）5；（4）5+1【分析】（1）根据勾股定理进行计算即可；（2）根据正方形的对角线的长为2，再根据数轴表示数的方法进行计算即可；（3）面积为5的正方形的边长为5即可；（4）化简|a+2|+|b|代入计算结果为5+1【解答】解：（1）边长为1dm的小正方形的对角线长为12+1故答案为：2；（2）由题意得，点A所表示的数为1-2，点B所表示的数为1+故答案为：1-2，1+（3）由题意可知，正方形的面积为5，因此边长为5，故答案为：5；（4）∵a＝﹣3+2，b=5-2，∴|a+2|+|b|＝a+2+b＝﹣3+在数轴表示5+1【点评】本题考查实数与数轴，掌握数轴表示数的方法是正确解答的关键．

考点卡片1．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“-a正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．2．算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．3．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：3a（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号3a中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个【规律方法】平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．4．无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如2，（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如16是有理数，而不是无理数．5．实数与数轴（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．6．实数大小比较实数大小比较（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．7．同类项（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．（2）注意事项：①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；②同类项与系数的大小无关；③同类项与它们所含的字母顺序无关；④所有常数项都是同类项．8．平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．9．二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①a≥0；a≥②（a）2＝a（a≥0③a2=|a（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②