第24章《相似三角形》培优练习2025-2026学年沪教版（上海）九年级数学第一学期

第24章《相似三角形》培优练习

一.选择题

1.若f=；则下列变形正确的是（）

b4

ab34

A.—=-B.3a=4bC.4a=3bD.-=—

43ba

2.已知线段a=2c，"，b=4Acm,c=4cmfd=8.2cm,下面选项正确的是（）

A.d,b,a,c成比例线段B.a,d,b,c成比例线段

C.a,c,b,d成比例线段D.a,d,c,6成比例线段

3.如图，点E是国48CQ的边AO上的一点，且AE=1：2.连接“并延长交CQ的延长线于点足若

DE=2,DF=3,则胤48C。的周长为（）

A.21B.24C.34D.48

4.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离

相等，凉亭的位置应选在（）

A.△ABC的三条中线的交点

B./XABC三边的垂直平分线的交点

C.△/18C三条角平分线的交点

D.ZXABC三条高所在直线的交点

5.如图是一个正方形网格，里面有许多三角形.在下面所列出的各三角形中，与AABC不相似的是（）

:C一DE：

A.丛BDEB.ABCDC./\FGHD.A.BFG

6.如图，直线/1〃/2〃/3,直线AC和。/被/I,/2,/3所截，如果A8=3,8c=5,EF=4,那么。石的长:

是（）

7.若向=2,山=3,且［与0方向相反，则下列关系式中成立的是（）

->zTST/

A.a=-^bB.a=ybC.a=—五b

D4o

8.如图，下列条件不能判定的是（）

ADAB

A.ZABD=ZACBB./ADB=/ABCC.AB2=AD*ACD.—=—

BDBC

9.下列说法不正确的是（）

A.设2为单位向量,那么日|=1

B.已知Q、匕、"都是非零向量，如果Z=2二b=-4c,那么Q||b

C.四边形ABC。中，如果满足4A〃CD,\AD\=\BC\t那么这个四边形一定是平行四边形

D.平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解

10.如图，在△/WC中，点。、E分别在边/W、AC上，点尸、G在边8C上，四边形OEG尸是平行四边

形，AN〃DF交BC千尽N.日、乙两位同学在研究这个图形时提出了两个猜想：①+器=1；②

DEDF

—+—=1,那么下列说法中，正确的是（）

A.①正确②错误B.①错误②正确

C.①、②皆正确D.①、②皆错误

二.填空题

11.如图，在△48C中，点。、E分别在边A&4c上，DE//BC,如果A4=33。，BC=9,那么。足的

长是.

12.如图，点C&ZAOB的内部，ZOCA=ZOCB,ZCOA=ZB.若AC=1.5,BC=2,则OC

13.已知：在△A8C中，点。、E分别在边A8、AC上，且。芯〃8C,A。：BD=\：2,那么金

14.如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛A8在暗盒中所成的像CO的长是"〃?，则像C。到小孔。的距

离为.

分别与4。、4B及CB的延长线交于点七、股、F,且

AE：FB=\z2,贝iJ”C：AC的值为

BC

三,解答题

16.如图，在△ABC中，点。、E分别在边AB、AC上，且AD=3,AC=6,AE=4,A8=8.

(1)如果4C=7,求线段DE的长；

(2)设△OEC的面积为2,直接写出△ABC的面积.

17.如图，在边长为I的小正方形组成的网格中，△48C和尸的顶点都在网格点上，证明：△ABCs

△DEF.

18.如图，在矩形4BCQ中，OE_LAC于点£

1-*-»

(1)求作一4。+AB-,

2

(2)如果后=ZCD=b,试用2、1表示向量辰.

BC

19.如图，已知点E、尸分别在AA8C的边A8和AC上，EF//BC,BE=2AE,点。在8c的延长线上,

BC=CD,联结£。与AC交于点G.

EG

（I）求77的值；

GD

（2）设84=a,BD=b,那么AC=»EG=.（用

T

向量a、b表小）

20.（1）如图I,在△/WC中，E是人A上一点，过点E作AC的平行线交人C于点凡点Q是AC上任意

,.EGBD

一点,连接A。交EF于点G,求证：­=—：

EG1DF

（2）如图2,在（1）的条件下，连接BF,DF,若77=二，且/E,尸8恰好将三等分，求二7的

FG2FC

图1图2

21.教材呈现：如表是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.

例2如图，在△ABC中，。、E分别是边BC、4B的中点，，4/入CE相交于点G.

GE_GD_1

求证:

CE~AD~3

证明：连接ED.

请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程.

证明：连接ED

结论应用:

(1)如图②，在n△A6C中，NACA=90°,AC=6,D.E分别是边/W、8c的中点，CD、AE相交

于点G.若G0=£则BC=

(2)如图③，在△人8c中，D、E分别是边A3、8c的中点，CD、AE相交于点G.过点G作Gr〃

交人B于点F,如果△A8C的面积是9,那么4人尸G的面积是

参考答案

一,选择题

题号12345678910

答案CCBCBACDCC

二.填空题

11.6.

12.V3.

13.1：3.

14.3cm.

15.5：6.

三,解答题

16.解：(I)•••人。=3,AC=6,AE=4,A8=8,

■AD31AE41

••9■•

AC62AB82

ADAE

•■=,

ACAB

*：ZDAE=ZCAB,

•••△4£7)SZ\ABC,

*DEAD1

••~~9

BCAC2

17

：・DE=^BC=刍；

(2)VA£=4,4c=6,

：.CE=AC-AE=2,

：.AC=3CE,

S»ACD=3SM)EC=3X2—6,

VAD=3,48=8,

：.AB：A£>=8：3,

••S^ABCz5A4DC=8:3,

88

•'•S^ABC=25MDC=wx6=16.

17.证明：根据句股定理，得AC=遮，BC=V10,DE=同,DF=\/2,

•・・4B=5,EF=2,

DE710EF2VlQDFV2Tip

•一,

AB5，BC一Vio一5AC=灰=5

•_DEEFDF

''AB~BC~ACf

:AABCS4DEF.

18.解：（1）过点。作AD的垂线交A。、BC于F、G,连接47.

\*FG±AD,ABYAD,

・•・四边形43Gr为矩形,

:・FG〃AB,FG=AB,

：,FG=AB.

t1-

*：AF=^AD,

：,AG=AF+FG=^AD+AB.

工则启即为所求.

(2)如(1)中图所示，GO〃CO,点。是8。中点，则0G是△BCO的中位线,

：.0G=3DC=一斗b,GC=^BC=-^a.

乙乙LL

TTT1TT

：,0C=OG+GC=(a+b).

19.解：(1),:BE=2AE,

：,AB=3AE.

♦：EF"BC,

:.NAEF=/B,NAFE=NACB,

AAEF<^AABC,

*EFAE1

"'BC~'AB~3'

,:BC=CD,

•E_F_1

••--•

CD3

,:EF〃BC,

J/GEF=ZGDC,ZEFG=ZDCG,

：,4EFGs丛DCG,

•E_G_,_E_F__1

・'GO~CD~3'

(2)，：BC=CD,

T11-

：.BC=^BD=^b.

T

*.*BA=a,

.\AB=­a.

TTTT1T

：.AC=AB+BC=-a+^b.

..EG_1

•——，

GD3

:,EG=\GD,

:.EG=|ED.

•/RE=2AE,

：,13E=^AB,

：.E■B*=一92T，

TTT2TT

：.ED=EB+BD=-Q+b，

T12TT]T]T

/.EG=五(一9。+匕)=一大。+4力.

■OOi

T1T1T1T

故答案为：—a+5b；—^0+46.

L0，

20.(1)证明：•・•过点E作BC的平行线交4c于点凡点。是8C上任意一点，连接4。交E尸于点G,

•••△AEGszMB。，

•_E_G___A_G_

•■-9

BDAD

同理△AG〃S/\AQC,

GFAG

•♦=9

CDAD

EGGF

•♦=9

BDCD

.EGBD

''GF-CD；

（2）解：,：FE,/8恰好将NA/D三等分,

JZAFE=/BFE=ZBFD,

过点E作BC的平行线交AC于点F,

工ZAFE=/BCF,

，ZBFD=4BCF,

•・•ZFBD=ZCBF,

:.△BFDS^BCF,

.BDBFDF

,•而='BC=~FCf

EGBD1

由（I）知L二7=—=

FGCD2

设BD=m,则C3=2〃?，BC=BD+CD=3ni,

由一=一得：HF1=BD*BC=m*3m=3inz,

BFBC

解得：8F=Hm（负值已舍去），

.DFBF67n_V3

**FC~BC~3m-3•

21.教材呈现：证明：如图①，连接EQ.

图①

在△ABC中，D,石分别是边BC,人8的中点