北师大版八年级数学上册专项复习：将军饮马模型（解析版）

专题06.将军饮马模型

将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生

能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几

何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化

归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对

这类问题有比较清晰的认识。

将军饮马模型在上学期(北师大版七年级下册)已经涉及，但是由于缺乏计算工具(勾股定理)，所以

只能是作出相关图形，很难进行相关最值的计算。

模型1、将军饮马.两定一动求线段和的最小值

【模型探究】48为定点，/〃为定直线，P为直线机上的一个动点，求AP+8P的最小。

(1)如图1,点4、8在直线机两侧：

辅助线：连接交直线加于点P,则AP+BP的最小值为A8

(2)如图2,点A、8在直线同侧：

辅助线：过点A作关于定直线加的对称点，，连接，8交直线〃?于点P,则4P+8P的最小值为AB

A.

b\,•%\

i\/B\

1/「\，

ArBBe--------------•m

图1图？

例1.(2022•江苏•八年级专题练习)要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、8提供牛奶，小聪根据实际

情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0,3),4点的坐标为(6,5),则从4、。两点到奶站距离之和的

最小值是,

-y

•B

A

____________街「旁

O'x

【答案】10

【分析】作A点关于x轴的对称点4,连接/T8与x轴交于点P,连接4H则48即为所求.

【详解】解：作A点关于x轴的对称点4,连接48与x轴交于点P,连接AP,

0Ap=A/,^AP+BP=A'P+BP=A,B,此时0点到A、/3的距离最小，

0A(0,3),0A'(0,-3),0B(6,5),5-(-3)=8,6-0=6朋'8==10,

回尸点到A、8的距离最小值为10,故答案为：10.

【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标求两点间距离

是解题的关键.

例2.(2023•河南南阳•八年级阶段练习)如图，等边AABC的边长为4,点E是AC边的中点，点尸是A/WC

的中线/V)上的动点，贝I夕十CP的最小值是.

【答案】26

【分析】当连接8£,交A。于点P时，EP+CP=EP+PB=E8取得最小值.

【详解】解：连接8E

西钻。是等边三角形，AO是4C边上的中线，汕C,

0AD是BC的垂直平分线，用点C关于AD的对•应点为点B,0BE就是EP+CP的最小值.

曲4BC是等边三角形，石是AC边的中点，(3BE是(MBC的中线，

I3CE=；AC=2,0BE=4BC2-CE2=2^即EP+CP的最小值为，故答案为：2G.

【点睛】本题主要考查了轴对称•最短路线问题以及等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形和

轴对称的性质是解题的关键.

例4.（2022•湖北江夏初二月考）在平面直角坐标系中,RtAOAB的顶点A在x轴上，点A的坐标为（4,0）,

NAOB=30。，点E的坐标为（1,0）,点P为斜边0B上的一个动点，则PA+PE的最小值为.

【答案】V13

【分析】作A关于OB的对称点D,连接ED交OB于P,连接AP,过D作DN_LOA于N,则此时PA+PC的

值最小，求出AM和AD,再求出DN、EN,根据勾股定理求出ED,即可得出答案.

【解析】作A关于0B的对称点D,连接ED交0B于P,连接AP,过D作DN1OA于N,

则此时PA+PC的值最小，:DP=PA,.\PA+PE=PD+PE=ED,

•・•点A的坐标为(4,0),ZAOB=30\，0A=4,AAM=-0A=2,.\AD=2x2=4,

2

VZAMB-900,ZB=60°,，/BAM=30°,

Y/DNO:NOAB二90°,，DN〃AB,，NNDA=NBAM=30°,

・・・AN=；AD=2,由勾股定理得：口N=JoA?-AN”=“2-2?=2+,

VE(1,0),.\EN=4-1-2=1,在RtZkDNE中，由勾股定理得：DN?+EN2="26)?+『二屈,

即3A+PC的最小值是故答案为：屈.

【点睛】本题考查了轴对•称确定最短路线问题，坐标与图形性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定

理的应用，熟练掌握最短路径的确定方法找出点P的位置以及表示PA+PE的最小值的线段是解题的关键.

接3A\由勾股定理得，BA，=BA=JBC2+AC2=V22+22=272，

是的中点，，BE=5BA=&,

ZC=90°，AC=BC=2^:./A'BC=ZABC=45°,，ZA,BA=90°，

AFA+PE的最小值=人乍=JA'夕+BE?=后不厨二厢故答案为：vro:

图2

(2)如图3,作点C关于直线AB的对称点C,作CN1AC于N交AB于M,连接AC,则CA=CA=2,ZCAB=

ZCAB=30%•••△C'AC为等边三角形，/.ZAC,N=30°,AAN=yCA=1,

ACM+MN的最小值为CN=J22T2=6.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30。角的直角三角

形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为

一条线段.

模型2、将军饮马-两动一定求线段和的最小值

【模型探究】已知定点A位于定直线〃?,〃的内侧，在直线〃?、〃分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

辅助线：过点A作关于定直线用、〃的对称点4、力”，连接交直线机、〃于点P、Q,则%+PQ+Q4

的最小值为AN”.

例1.（2022•上虞市初二月考）如图，点P是NA08内任意一点，OP=6cm,点M和点N分别是射线04

和射线0B上的动点，若APM/V周长的最小值是6cm,则N408的度数是（）

B

A.15B.30C.45D.60

【答案】B

【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD、

PM、PN、MN,由对称的性质得出PM=DM,OP=OC,ZCOA=ZPOA；PN=DN,OP=OD,ZDOB=ZPOB,得

出NAOB=LNCOD,证出AOCD是等边三角形，得出NCOD=60・，即可得出结果.

2

【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,

分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,如弱所示：

:点P关于OA的对称点为D,关于OB的对称点为C,・・.PM=DM,OP=OD,ZDOA=ZPOA；

•・•点P关于OB的对称点为C,，PN=CN,OP=OC,ZCOB=ZPOB,.\OC=OP=OD,ZAOB=—ZCOD,

2

•.•△PMN周长的最小值是6cm,.*.PM+PN+MN=6,ADM+CN+MN=6,

即CD=6=0P,.\OC=OD=CD,即AOCD是等边三角形，，NCOD=60。，Z.ZAOB=30°,故选：B.

【点睛】此题考查轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质，证

明三角形是等边三角形是解题的关键.

例2.（2022•江苏九年级一模）如图，RSA8C中，ZC=90°,AC=3,8c=4,D,E,F分别是八£,8C,AC边

上的动点，则△£>£下的周长的最小值是（）

A.2.5B.3.5C.4.8D.6

【答案】C

【分析】如图作。关于直线4c的对称点M,作。关于直线BC的对•称点N,连接CM,CN,CD,EN,FM,

DN,DM.由NMCA=/0G4,NBCN二/BCD,NACD+N88=90°,推出NMCD+N/VCD=180°,可得M、8、N

共线，ttlDF+DE+EF=FM+EN+EF,FM+EN+EF>MN,可知当M、F、E、N共线时，且CDj_48时，，DE+EF+FDW

值最小，最小值=2CD,求出C。的值即可解决问题.

【详解】解：如图，作。关于直线4C的对称点M,作。关于直线8c的对称点N,连接CM,CN,CD,EN,

FM,DN,DM.

:.DF=FM,DE=EN,CD=CM,CD=CN,:・CD=CM=CN,

VZMCA=ZDCA,NBCN=NBCD,ZACD+ZBCD=90°,

AZMCD+ZNCD=18Q°,:.M、C、N共线，VDF+DE+EF=FM+EN+EF,

*：FM+EN+EF>MN,・••当M、F、E、N共线时，且C0_L4B时，OE+EF+F。的值最小，最小值为MN=2CD,

..i.l1.AB^AC12

*：CD1AR.：.-•AR»CD=-»AR»AC,：.CD=------------=—=?4,

22AB5

「•DE+EF+FD的最小值为4.8.故选:C.

【点睛】本题考查了轴对称-最短同题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对

称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题.

例3.（2023.山东八年级期末）如图所示，在四边形ABCD中，ZA=90°,ZC=90°,ZD=60°,AD=3,AB

=,若点M、N分别为边CD,AD上的动点，则△BMN的周长最小值为（）

A.2\/3B.3\/3C.6D.3

【答案】C

【解析】作点B关于CD、AD的对称点分别为点和点B",连接BB”交DC和AD于点M和点N,连接MB、

NB；再DC和AD上分别取一动点W和N，（不同于点M和N）,连接M'B,MB,MB和N'B",如图1所示:

=B"N'=BN',・・・BM'+MW+BN>B'B",

又•••BB'=B'M+MN+NB",NB=NB",

ANB+NM+BM<BM'+M'N'+BN',/△仇HN=NB+NM+BM时周长最小；

连接DB,过点B'作B'H_LDB”于的延长线于点H,如图示2所示：

在RQABD中，AD=3,AB=\/^,/.BD=\/AD1AB~=2V^3,AZ2=309,

AZ5=305,DB=DB",又〈NADC=N1+/2=60",AZ1=30°,AZ7=30°,DB'=DB,

AZB'DB"=Z1+Z2+Z5+Z7=120°,DB'=DB"=DB=2-/3，

又•・・NB'DB”+N6=180°,AZ6=60°,.，.HD=y/3,HB'=3,

在RtZ\B，HB”中，由勾股定理得：B'B"={+HB"2=《（3慎）*+3'2=6,

△BMV=NB+NM+BM=6,故选C.

模型3、将军饮马■两动两定求线段和的最小值

【模型探究】48为定点，在定直线〃?、〃上分别找两点P、0,使用+P0+08最小。

（1）如图1,两个点都在直线外侧:

辅助线：连接AB交直线/〃、〃于点P、Q,则%+PQ+QB的最小值为AB.

（2）如图2,一个点在内侧，一个点在外侧：

辅助线：过点B作关于定直线〃的对称点夕，连接48'交直线小、〃于点P、Q,则%+PQ+QB的最小值为

AB'.

Q\\

*

图1图2

（3）如图3,两个点都在内侧：

辅助线：过点A、B作关于定直线机、n的对称点A,、夕，连接“夕交直线m、〃于点P、Q,则PA+PQ+QA

的最小值为ATT

（4）如图4,台球两次碰壁模型:

辅助线：同图3辅助线作法。

图3图4

例1.（2023.浙江八年级期中）如图所示，NAOB=50°,ZBOC=30°,OM=12,ON=4.点2、Q分

别是04、08上动点，则MQ+PQ+NP的最小值是.

【解答】解：如图，作点N关于0A的对称点M,则NP=N'P,

作点M关于OB的对称点AT,则MQ=M'Q,：.MQ+PQ+NP=M'Q+PQ+N'P,

当MM'在同一条直线上时取最小值，连接0M,0M',

VZAOB=50°,ZBOC=300则NN'0A=ZAOC=ZAOB-Z5OC=20°,

NBOM'=ZBOA=50°,/.ZN'OM'=2X20°+30°+50°=120°,

♦：ON'=ON=4,OM'=OM=\2,AZAON=ZAOB-ZBOC=50a・30°=20°,

先作射线。”与射线ON关于04对称，由对称的性质可知/AOY=20°,PN=PN,

同理作射线OM与射线OM关于03对称，同理N3O时=50",QM=QM',

当MP、Q、M'四点共线时，MQ+PQ+NP最小，

则NMOM'=NN'OP+NAOB-NBPM'=200+50°+50°=120°,

作N垂直OM的延长线交于点巴・・・NKO/M=60°,：,ON=ON=4,

在RtaNOE中，NENO=30°,根据30°角所对的直角边是斜边的一半可知OE=2,

则EN=2“，0M=0M'=\2,：.EMf=OE+OM'=12+2=14,

则N乂-勺MMV142+（2A/3）2虫/西，故答案为；

例2.（2022•山东泰安•中考真题）如图，/4。8=30°,点M、N分别在边OA、03上，且OM=3,ON=5,

点P、Q分别在边08、上，则MP+0Q+QN的最小值是（）

【答案】A

【分析】作M关于OB的对称点作N关于04的对称点W,连接M'N',即为MP+PQ+QN的最小值；证

出△0NM为等边三角形，△OM/VT为等边三角形，得出NATO/VT=90。，由勾股定理求出MW即可.

【详解】解：作M关于。8的对称点M，，作N关于。4的对称点M,如图所示：

连接MW,即为MP+PQ+QN的最小值.

根据轴对称的定义可知：ON'=ON=5,0M'=0M=3,NN'OQ=NM'OB=30°,

AZNON'=60°,NMOM'=60。，・*△0/W为等边三角形，△OMM为等边三角形,

••・NMOM，=90。，，在RS/VTOM中，M'N'^^^+s2=734-故选：A.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题

的关键.

例3.（2022•湖北武汉市•九年级期中）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（-3,0）,B（-

2,。），HC与GB关于y轴对称，ZGAH=60%P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP+PQ+CQ的最小值

【答案】B

【分析】分别作B、C关于AG和AH对称的点ZT、C',连接BP、CQ、Bl、C'Q,PQ,得出BP+PQ+CQ

的最小值为8'C',再依据等边三角形的性质和判定和轴对称的性质分别求得3'P+ZW和C'Q+QN即可求得.

【详解】解：分别作B、C关于AG和AH对称的点*、C,连接BP、CQ、B'C、CQ,PQ

•JHC与GB关于y轴对称，/.GO-HO^O=CO,Vx4Hl±y,I.AG=AH,B'、C'关于y轴对称,

・••当&、C,P、Q在同一条直线上时，8P+R2+CQ=B7>+P2+CQ=yU最小，此时&C//x轴，

VZGAH=60°,•••△AGH为等边三角形，Z.ZAGO=60°,

•・・QC//x轴，B、8'关于AG对称，・・・/BPG=N*PG=NPG8=60o,£P=8P,

•••△BPG为等边三角形，过作PMJLGO交x轴与M,

VG（-3,0）,B（-2,0）,/.BG=1,BO=2,APB,=PB=BG=\,BM=-BG=-,

22

I77

:・B'P+PN=BP+MB+BO=*t2=j,同理可得C'Q+QN=J即9。=7.故选：B.

【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质和判断，坐标与图形变化.能借助轴对称的性质正确变

形将折线的长化成一条线段的长是解题关键.

例4（2022•湖北青山•八年级期中）如图，在RtA48c中,ZACB=90°fZABC=30°fAC=2,以8c为边向

左作等边△BCE,点、D为AB中点，连接CD,点、P、Q分别为CE、CD上的动点.

（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值.

【答案】（1）证明见解析；（2）4.

【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得乙班。=60。,4。=8,再根据等边三角形的判定即可得证；（2）

连接尸AQB,先根据等边三角形的性质可得NACE=gNAC。，再根据等腰三角形的三线合一可得CE垂直

平分AO,然后根据线段垂直平分线的性质可得力二9，同样的方法可得。8=QE,从而可得

PD”Q+QE=PA+PQ+QB,最后根据两点之间线段最短即可得出答案.

【详解】证明：（1）•••在用△ABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=2,/.ZBAC=60°,Ali=2AC=4,

•••点。是心△ABC斜边A8的中点，.・.AO=AC=2,.•.△ADC是等边三角形；

（2）如图，连接PAQ3,

QV8CE和△4。。都是等边三角形，.•.N8CE=60。，Z4CD=60c,

/.ZACE=ZACB-ZBCE=30°=-ZACD,CK垂直平分AD,.\PA-PD,

2

同理可得：CQ垂直平分BE,..Q^QE,..，D+PQ+QE=〃A+PQ+Q8,

由两点之间线段最短可知，当点AP,Q,8共线时，?A+PQ+Q8取得最小值A3.

故PD+PQ+QE的最小值为4.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含30°角的宜角三角形的性质等知识点，熟练掌握等边三角

形的性质是解题关键.

模型4、将军饮马-线段差的最大值

【模型探究】A,B为定点，在定直线m上分别找两点尸，使附与尸3的差最大。

(1)如图1,点A、8在直线m同侧：

辅助线：延长AB交直线m于点尸，根据三角形两边之差小于第三边，P,A—P'B<AB,而布一P8=AB此时

最大，因此点P为所求的点。

(2)如图2,点4、8在直线机异侧：

辅助线：过〃作关于直线m的对称点*，连接交点直线m于夕，此时PR二PR'.PA-PH最大值为AIV

图1图2

例1.(2022•福建福州•八年级期中)如图，在等边△回(?中，E是4c边的中点，P是△ABC的中线A。上

的动点，且人8=6,则4P-PE的最大值是.

【答案】3

【分析】连接尸C，则BP=CP,BP-PE=CP-PE,当点尸与点八重合时，CP-PE=CE,进而即可求解.

【详解】解：连接FC，

A

团在等边△ABC中，AB=6,P是的中线AO上的动点，

04。是3C的中垂线，国4P=CP,用BP-PE=CP-PE,

团在△（?「£中，CP-PEVCE,回当点尸与点A重合时，CP-PE=CE,

团E是AC边的中点，回8尸一尸£的最大值-6・2-3.故答案是：3.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形三边长关系，连接CB得到BP-PE=CP-PE,是解题的关键.

例2.（2023・重庆・八年级专题练习）如图，四边形4BCO中，AB//C7XCE_LAB,AE=8C=10,CE=8,

6=8石=6,点产为直线CE左侧平面上一点，ACFE的面积为8,则|E4-田的最大值为_.

【答案】10

【分析】如图，过点F作FHI3EC于H.过点F作直线l〃EC,作点C关于直线I的对称点C,连接AC交直线I

于F,此时IFA-FCI的值最大，即|FA-FC|的值最大,最大值为线段AC的长.

【详解】解：如图，过点F作FH回EC于H.

00CFE的面积为8,即一EC0FH=8,CE=8,0FH=2,

2

过点F作直线l〃EC,作点C关于直线I的对称点C,连接AC交直线I于F,此时|F'A-FC|的值最大,即|FA-FC|

的值最大，最大值为线段AC'的长,过点C作CK0AB于K.(30C'KB={3KEC=0ECC'=9O(>,

团四边形CEKC是矩形，0CC'=EK=4,EC=KC'=8,

ME=10,0AK=AE-EK=10-4=6,0AC'=y/AK2+KC2=\l62+82=10-

EI|FA-FC|的最大值为10.故答案为10.

【点睛】本题考查轴对称-最短问题，三角形的面积，直角梯形等知识，解题的关键是学会利用轴时称解决

最值问题，属于中考填空题中的压轴题.

例3.(2022•重庆大渡口•七年级期末)如图，RlJBC,0ACB=9O°,8C=AC=4,平面内直线8C的左侧

有一点P，连接8P，CP,Sgb=4,将△4CP沿8C翻折至同一平面得到△8C0,连接AP'.若|AP-8P|

取得最大值时，则LAX=.

【答案】12

【分析】如图1中，过点P作P版BC于点H.求出P〃=2,推出点。在8c的中垂线上运动，由翻折变换

的性质可知，BP=BP,推出|AP-=9-6U|2"=4加,推出当4,B,9共线时，|40'-依|的值

最小，如图2中，设4c的中垂线交4c于点M,交于点M则NM=4A/=MC=2,PN=PP'=4,求出

PM,即可解决问题.

【详解】解：如图1中，过点尸作尸加8c于点”.

0A8=C8=4,(MCB=90°,财8=&8。=4及，国S48cp=4,(3；x4xP，=4,团尸"=2,

13点尸在BC的中垂线上运动，由翻折变换的性质可知，BP=BP',

即若尸-PB|=|4P-8P|N4B=4及，(3当A,B,9共线时，|4产一尸8|的值最小，如图2中,

设BC的中垂线交AC于点M,交AB于点N.则NM=AM=MC=2,PN=PP'=4,

田PM=4+2=6,aSzACP=-XACXPM=-X4X6^12,故答案为：12.

22

【点睛】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找点P

的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题.

课后专项训练

1.（2022•安徽亳州•一模）如图，在锐角朋5c中,A3=6,0ABe=60。,财8C的平分线交AC于点〉，点

P，Q分别是B。，48上的动点，则AP+PQ的最小值为（）

A.6B.675C.3D.36

【答案】D

【分析】在BC上取E,使BE=BQ,这样AP+PQ转化为AP+P石即可得出答案.

【详解】解：如图，在BC上取E,使BE=8。，连接PE,过M作4M38C于，，

EIB。是（M8C的平分线，00ABD=0CBD,⑦BP=BP,BE=BQ,^BPQ^BPE（SAS）,

^PE=PQ,MP+PQ的最小即是AP+尸E最小，

当4尸时最小，在RrfMBH中，4B=6,®4BC=60°,

M”=3百，MP+尸。的最小为3g，故选：D.

【点睛】本题考查两条线段和的最小值，解题的关键是作辅助线把PQ转化到8。的另一侧.

2.（2023•安徽九年级一模）如图，在锐角△ABC中，AB=6,ZABC=60°,NA8C的平分线交4c于点D,

点、P，Q分别是8。，48上的动点，则4P+PQ的最小值为（）

c

A.6B.6x/3C.3D.36

【答案】D

【分析】在8c上取E,使8E=8Q,这样4P+PQ转化为AP+PE即可得出答案.

【详解】解：如图，在8c上取£,使8£=BQ,连接PE,过4作18c于H,

YS。是/48C的平分线，；・NABD=NCBD,

，：BP=BP,BE=BQ,.••△8PQ丝z\8PE（5/45）,；・PE=PQ,

・・"P+PQ的最小即是AP+PE最小，当AP+PE=AH时最小，

在RQABH中，48=6,NA8c=60°,

・'・"/==现京，，4P+Pa的最小为3#，故选：D.

【点睛】本题考查两条线段和的最小值，解题的关键是作辅助线把PQ转化到8D的另一侧.

3.12023•绵阳八年级期末）如图，在四边形48CD中，NC=70°,N8=ND=90°,E、F分别是8C、DC

上的点，当的周长最小时，NEAF的度数为（）

A.30B.40C.50D.70

【分析】据要使△4EF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出入关于8c和E

的对称点4'，A"，即可得出乙E+NA"=ZHAA'=70°,进而得出N4EF+/4T=2(N2A'E+ZA'f),

即可得出答案.

【答案】解：作人关于8c和8的对称点4,A",连接A'八"，交BC于E,交CD于F,则A'A"即

为丛AEF的周长最小值.作。4延长线AH,

VZC=70°,.*.ZD4B=110°,:,NHAA'=70°,A^AA'£+/4〃=NHAA'=70°,

VZMZA=ZEAA,,ZFAD=ZA,f,：.ZEAAf+ZA，fAF=7Q°,

.\^EAF=110°-70°=40°,故选：B.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质

和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E,F的位置是解题关键.

4.（2022•江苏•无锡市东林中学八年级期末）如图，已知财03的大小为a,尸是财03内部的一个定点，且

OP=4，点、E、尸分别是OA、（M上的动点，若BPM周长的最小值等于4,则a=（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】设点。关于。4的对称点为C,关于04的对称点为。，当点石、尸在CQ上时，国PE户的周长为

PE+EF+FP=CD,此时周长最小，根据CD=4可得出用COO是等边三角形，进而可求出a的度数.

【详解】解：如图，作点P关于。4的对称点C,关于OB的对称点。，连接CQ,交OA于E,OB于F.

A

D

此时，13PE厂的周长最小.连接OC,OD,PE,PF.

由点尸与点C关于。4对称，回。4垂直平分尸C,即1COA=MOP,PE=CE,OC=OP,

同理，可得回OO8M38OP,PF=DF,OD=OP.

酿。04唱。03=财0。短3OP=MOB=Q,OC=OD=OP=4,随CO£>=2a.

又至PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4,^1OC=OD=CL>=4,

E0COO是等边三角形，02a-6O0,（3a-30°.故选：A.

【点睛】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点石和尸的位置是解题的关键.要使（3PE尸的周长最小,

通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决.

5.（2023・山东山东•八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AC所在直线的解析式为y=-x+4,E

是A8的中点，P是47上一动点，则P8+PE的最小值是（）

A.4&B.2&C.245D.石

【答案】C

【分析】作点〃关于AC的对称点8',连接*E，与AC的交点，即符和条件的尸点，再求出8',七的坐标,

根据勾股定理求出B'E的值，即为户8+产E的最小值.

【详解】作点B关于4c的对称，点0,连接"E交AC于P、

此时，2外+P£=产4+产£的值最小，最小值为BE的长，

国线段AC所在直线的解析式为尸r+4,团A（0,4）,C（4,0）,BAB=4,8C=4,

是4B的中点，团E（0,2）,团®是点3关于AC的对称点，

H8B'_LAC,OB=OB'=-AC,AO=CO,团四边形人8C3'是E方形，

2

08（4,4）,团尸3+尸石的最小值是B'E=142+（4-2）2=2石.故选：C.

【点睛】本题考查一次函数求点的坐标和性质，轴对称-最短路径问题，勾股定理，掌握轴对称-最短路径

的确定方法是解题的关键.

7.如图，在四边形ABCD中，DA1AB,DA=6,ZB+ZC=150°!CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB

中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP+PQ最小值是（）

A.12B.15C.16D.18

A

【答案】D

【解析】如图，作点B关于CE的对称点F,连接BF,EF,则EB=EF,

VZB+ZC=150°,AZBEC=30°,.，.ZBEF=60°,,ZiBEF是等边三角形,

连接BP,PF,PQ,则BP=FP,，BP+QP=FP+PQ,

当F.P,Q在同一直线上H.FQ_LEB时，BP+PQ的最小值为FQ的长，

此时，Q为EB的中点，故与A重合，

VDA±AB.DA=6,AAE=6^/3,，RtZ^QEF中，FQ=\/^AE=18,

・・・BP+PQ最小值值为18,故选D.

8.如图，在RtZ^ABC中，NA=30°,NC=90°,AB=6,点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上,

当AM=2A8时，P8+PM的最小值为（）

3

A.3加B.2^7C.2%+2D.3^3+3

【解答】解：作B点关于4c的对称点连接6M交AC于点P,

：,BP=B'P,：,PB+PM=B'P+PM》BM,・・.P8+PM的最小值为夕M的长,

过点8‘作于”点，VZA=30°,ZC=90°,/.ZCBA=60°,

*=舶,

•・・AB=6,，8C=3,・・・88'=6,在RtZXBBH中，8〃=88・sin60°=6X

乙

“8=8'8・cos600=6X』=3,：.AH=3,*：AM=^AB,，AM=2,

23

在RlAW”B'中，B'M=^H2+IH2入伍后%=而，

.・・P8+PM的最小值为动，故选：B.

Br

9.（2022重庆大渡口七年级期末）如图，MAARC,aia—90。，HC-AC-4,平面内直线AC的左侧

有一点P，连接4P,CP,S/P=4,将△BCP沿3。翻折至同一平面得到△BCP,连接4P'.若

取得最大值时,则以

B

【答案】12

【分析】如图1中，过点P作P的BC于点H.求出P〃=2,推出点P在的中垂线上运动，由翻折变换

的性质可知，BP=BP,推出历9-。4|=|从〃-3/|丛3=4及，推出当4B,P共线时，|4P'-P4|的值

最小，如图2中，设BC的中垂线交AC于点M,交AB于点N.则NM=4M=MC=2,PN=PP'=4,求出

PM,即可解决问题.

0AB=CB=4,EL4CB=90。，防8=五8。=4及，

ESz>BCP=4,团gx4xP"=4,mP”=2,回点。在4c的中垂线上运动，

由翻折变换的性质可知,BP=BP,0|AF-PB\=\AP'-BP'\>AB=^42，

0当A,8,严共线时，|AP'-PB|的值最小，如图2中，

设BC的中垂线交4c于点M,交AB于点N.则NM=4M=MC=2,PN=PP'=4,

；图2

（3PM=4+2=6,0SACP-=-XACXPM=-X4X6=12,故答案为：12.

422

【点睛】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找点P

的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题.

10.如图，两点4、8在直线M/V外的同侧，4到MN的距离AC=16,8到MN的距离8。=10,8=8,点

P在直线MN上运动，则|以・P8|的最大值等于.

【解答】解：延长AB交MN于点P1,

•：P'A-P,B=AB,AB>\PA-PB\,工当点P运动到1点时，|以•P8|最大，

*：BD=10,CD=8,AC=16,过点8作8EJ_AC,则8E=CD=8,AE=AC-BD=16-10=6,

AAB=^AE2+B£2=^62+g2=10,，-P81的最大值等于10,故答案为：10.

11.（2022•贵州黔东南•八年级期末）如图，在M8C中，48=3,AC=4,8c=5,EF是8c的垂直平分线.点

P是EF上的动点，则|%-P8|的最大值为

【答案】3

【分析1由三角形三边关系可知当点P在BA的延长线上时|PA-PB|的值最大.

【详解】解：如图所示，延长BA交直线EF于点P,此时|PA-PB|=AB=3最大，故答案为：3.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，确定P的位置是解题的关键.

12.如图，ZAOB=45°,尸是/AQ8内的一点，。。=10,点。，R分别在NA08的两边上，Z\PQR周长

的最小值是

【解答】解：如图所示，分别作点P关于。4、。8的对称点产、尸,

连接pp交。40B于点Q、R,此时，△尸QR的周长最小，最小即为P'尸”的长.

连接。户，0P',.根据轴对称性可得：/P”OB=NBOP,NP'OA=NAOP,OP=OPf=OP',=]0,

•・・NAOB=45°,・・・NP'OP”=90°,

P'P"=q0P/_2―2=q102+[°2=10^2.故答案为：1(.

P'

13.如图，在Rt^ABC中，ZA=90°,48=4,AC=3,M、MP分别是边AB、AC、8C上的动点，连

接PM、PN和MM则PM+PN+MN的最小值是

BC

【解答】解：如图，作点。关于A8,AC的对称点£F,连接PE,PF,附，EM,FN,AE,AF.

Vz^B>4C=90>AB=4,4c=3,BC=QAB2+AC2=Q42+32=5,

由对称的性质可知，AE=AP=AF,NB4P=NBAE,ZC4P=ZG4F,

VZPAB+ZPAC=ZBAC=90°,/.Z£AF=180°,：.E,A,尸共线，

\fME=MP,NF=NP,/.PM+MN+PN=EM+MN+NF,

•:EM+MN+NF'EF,，£尸的值最小时，PM+MN+PN的值最小，

,：EF=2PA,工当布寸，用的值最小，此时%

55

:.PM+MN+PN2空,."必"7附尸乂的最小值为21.故答案为：建.

555

14.（2022•河南南阳•八年级阶段练习）如图，等边AA8C的边长为4,点E是4c边的中点，点P是AA8C

的中线AO上的动点，则EP+CP的最小值是.

【答案】2石

【分析】当连接8E,交A。于点P时，砂+CP=EP+PB=EB取得最小值.

【详解】解：连接6E

物ABC是等边三角形，A。是8c边上的中线，^AD^BC,册。是8C的垂直平分线,

田点C关于4。的对应点为点B,0BE就是EP+CP的最小值.

配1A3C是等边三角形，E是4c边的中点，国BE是团钻。的中线，

I3CE=；AC=2,0BE=JBC2-CE2=2瓜即叱+CP的最小值为26,故答案为：2