补集及综合应用（导学案）-人教A版高中数学必修第一册

1.3.2补集及综合应用导学案

【学习目标】

1.理解补集的含义.

2.会求给定子集的补集.

【学习重难点】

重点：补集的概念及其求法.

难点：交、并、补集的综合运算.

【学习过程】

一、课前预习

预习任务一：知识预习

预习课本P12〜13,思考并完成以下问题

(1)全集与补集的含义是什么？

、2)如何用Venn图表示给定集合的补集?)

预习任务二：简单题型通关

1.判断(正确的打”小,错误的打“x”)

(1)全集一定包含任何元素()

(2)同一个集合在不同的全集中补集不同()

(3)不同的集合在同一个全集中的补集也不同.()

2.已知全集(/={0,1,2},且CM={2},则A=()

A.{0}B.11)C.0D.{0,1}

3.设全集为U,M={0.2,4},CuM={6},则U等于()

A.{024,6}B.{0,2,4}

C.{6}D.0

4.全集U={x|04r<l0},A={.r|0<x<5},则Cu4=.

二、新知精讲

1.全集

(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的,那么就称这个集合为

全集.

(2)符号表示：全集通常记作.

［点睛］全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题涉及的所有元素.

2.补集

文字对于一个集合4由全集U中_____________的所有元素组成

的集合称为集合A相对全集〃的补集，简称为集合A的补集，

1口口记作_

定符号

义CM={x|xeU,且曲}

语言

图形2

语言

(l)CuAUU；

性-0,Cu@=U；

质(3)QXCM)=4；

(4)AU(CM)=U；An(C〃A)=0

［点睛］的三层含义:

(DCM表示一个集合:

(2)A是U的子集，即AGU；

(3)CM是U中不属于A的所有元素组成的集合.

三、题型探究

◊题型一补集的运算

［例1］(1)设集合一={12345,6},M={1,2,4},则CuM=()

A.UB.{1,3.5}

C.{356}D.{2,4,6}

(2)已知全集〃=儿集合A={x|xV—2或x>2},则Q4=.

［归纳总结］

求集合补集的2种方法

(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；

(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析法求解.

［活学活用］

1.设全集U=R,集合A=32〈E5},则QM=.

2.设U={x|—5Srv—2,或2y5,x《Z},A={X|『一2A—15=0},8={-3,3,4},则

CuA=,QJB=.

令题型二交集、并集、补集的运算

［例2］(1)(天津高考)设集合A={1,2,6},8={2,4卜C={x€R|-l<x<5},则(4UB)DC

=()

A.{2}B.{1,2,4}

C.{1,2,4.6}D.{xeR|-lSx<5}

(2)设全集为R,4={x|3<r<7},«=Lt|2<v<10},则CR(AU8)=,(CR^)n«=

［归纳总结］

解决集合交、并、补运算的技巧

(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、

补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.

(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然

后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.

［活学活用］

3.已知集合4、8均为全集U={1,2,3,4}的子集,且GXAU3)={4},4={1,2},则ACJCM

等于()

A.{3}B.{4}

C.{3,4}D.0

4.设集合S="|Q-2},T={A|-4<^<1},则(CR5)UT等于()

A.{x|—2<x<l}B.{X|A<—4}

C.{A1A<1}D.{X\X>\}

令题型三与补集有关的参数值的求解(一题多变思维发散)

［例3］设集合4={中+，论0},5={A|-2<X<4},全集U=R，且(Q/4)AB=0,求实数

m的取值范围.

［一题多变I

1.［变条件］本例将条件“9M)AB=0”改为“(Q4)n国0"，其他条件不变，则〃？的取值

范围又是什么？

2.［变条件］本例将条件"(QM)DB=0”改为“(Q田)LM=R"，其他条件不变，则"7的取值

范围又是什么？

［归纳总结1

由集合的补集求解参数的方法

(1汝口果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解.

(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数

轴分析法求解.

四、思想方法

补集思想的应用

［典例］已知集合4={比>序+1或)<4},B={y\2<y<4}f若ACI%。，求实数。的取

值范围.

［小结］对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确、难以从正面入手

的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，往往能化

难为易，化隐为显，从而将问题解决.这就是“正难则反’的解题策略，也是处理问题的间接

化原则的体现.

五、达标检测

1.设U=R,A={x\x>0},B={x|x>l},则AA(C出=()

A.{x|O<r<1}B.{x|O<x<l}

C.{小<0}D.{x|.r>l}

2.设全集U=R.M={x|戈<一2,或x>2),N={M1<X<3},则图中阴影部分所表示的集合

是()

A.{A1-2<¥<1}B.{.v|-2<x<2}

C.{川1<烂2}D.{x|x<2|

3.设全集U={a,b,c,d},集合A={a,〃},B={b,cfd},则(G/A)U(gB)=

六、本课小结

1.对集合中含参数的元素，要由条件先求出参数再作集合的运算.

2.集合是实数集的真子集时，其交、并、补运算要结合数轴进行.

3.有些较复杂的集合的运算可以先化简再进行.如(Q/A)U(C/)=Cu(An8),计算等号

前的式子需三次运算，而计算等号后的式子需两次运算.

参考答案

课前预习

1.答案：(l)x(2)7(3)V

2.答案：D

3.答案：A

4.答案：{x|5夕<10}

新知精讲

1.(1)所有元素(2)U

2.不属于集合ACM

题型探究

［例1］［解析］⑴因为U={123,4,5,6),M={1,2,4),由补集的定义,可知QM=

{3,5,6}.

(2)如图，在数轴上表示出集合A,可知04=3—2£烂2}.

[答案](1)C(2){x\-2<x<2]

［活学活用］

1.解析：用数轴表示集合A为图中阴影部分,

:.CM=[x\x<2或x>5].

答案：⑴{巾W2或x>5}

2.解析：法一：在集合U中,

Vx£Z,则x的值为一5,-4,-3,345,

-4,一3,3,4,5}.

又4=出『一21—15=0}={-3,5},

ACM={-5,-4,3,4},QB={-5,-4,5}.

法二：可用Venn图表示.

则0/4={-5,一4,3,4},Ct/B={-5,-4,5}.

答案：{—5,—4,3,4}{-5,—4,5)

［例2］［解析］(1)AUB={1,2,4,6},又。={%£时一35},则(AUB)nC={1,2,4}.

⑵把全集R和集合A、〃在数轴上表示如下：

A

23710为

由图知,AUB={x|2<v<10),

・・・CR(AU8)=3烂2,或应10}.

VCRA={X|X<3,或於7},

・・・(CRA)n3={M2a<3,或74<10}.

［答案］(DB(2){川烂2,或.a10}{x|2<v<3,或7%<10}

［活学活用］

3.解析:选A3g{1,2,3,4},CMAUB)={4},

1,2,3}.又•・•2一{1,2},

・・・{3}曰1{1,2,3}.

又Q，B={3,4},

••・AnQ;8={3}.

4.解析：选C因为S={x|x>—2},所以CRS="|烂一2}.

而7'={A|-4<X<1）,

所以0907={H吆一2}口3一4人1}

={A|A<1}.

［例3］［解］由已知4=（叶心一〃?},

得CuA={.很<一机},

因为8=3-2"<4},（1，4）「8=0,

所以一壮一2,即m>2,

所以机的取值范围是〃山2.

［一题多变］

1.解：由已知得4="应一〃?},

所以