导数与函数的极值、最值-2026年高考数学一轮总复习课时检测训练（含解析）

导数与函数的极值、最值

2026年高考数学一轮总复习课时检测训练(人教A版)

一、多选题

i.(多选)函数/“)的导函数re。的图象如图所示，则()

B.-2为f(x)的极小值点

4

C.2为/(")的极大值点D.5为/(%)的极小值点

二、单选题

2.函数/(x)=xcosx-sinx在区间［-兀,0］上的最大值为()

A.1B.兀C.-D.—

22

3.当x=l时，函数/(x)=〃lnx十打也取得极小值4,则。+〃=()

x

A.7B.8C.9D.10

4.中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形.如图，将一根截面为圆形

的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为心与承载重力的方向

平行的高度为户记矩形截面抵抗矩W=Jxy2.根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯

O

曲能力越强，则宽X与高y的最佳之比应为()

A.yB.yC.1D.V2

5.已知函数“月=-/+奴+1在[1,2]上的最大值也是其在[1,2]上的极大值，则〃的取值范

围是()

A.[2,+co)B.[4,+oo)C.[2,4]D.(2,4)

6.已知函数=以2—26:+2在x=1处取得极小值-3,且g(x)=g/-Y+i在区间

(GC+4)上存在最小值，则a+b+c的取值范围是()

A.(4,8)B.[4,8)C.(5,8)D.[5,8)

三、填空题

7.函数/(x)=：V—f+]的极大值为.

8.函数y=ln卜q),x«2,4]的值域是.

9.若函数”x)=V-3x在区间(/一12,〃)上有最大值，则实数。的取值范围是.

四、解答题

10.已知函数/(x)=x-alnx(〃eR).

(I)当。=2时，求曲线)，=/")在点A(1J(1))处的切线方程;

⑵求函数/(X)的极值.

试卷第2页，共4页

11.已知函数f(x)=(l-词ln(l+x)T.

⑴当。=一2时，求/(力的极值；

(2)当xNO时,/(x)>0,求。的取值范围.

五、多选题

12.设r(x)为函数/(X)的导函数，已知M/,aHMXMfnx,/(1)=3,则下列结论正

确的是()

A.MXx)在(1,田)单调递增B..矿(x)在。,y)单调递减

C..4(x)在(0,转)上有极大值;D.M'(x)在(0,+巧上有极小值g

六、单选题

13.设/(幻=卜一?一'”力，若函数的最小值为则实数”的取值范围为()

A.[-2,1]B.[0,1]C.[0,2]D.[1,+8)

七、解答题

14.已知函数/(x)=W+“x-l『.

e

⑴当4=0时，求/(X)的最大值；

⑵若“好存在极大值点，且极大值不大于g，求。的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案

题号1234561213

答案ABBABDDADB

1.AB

【分析】根据导函数的图象求出函数的极大值和极小值点即可.

【详解】由/'（幻图象可知，当x<—2时，r（A-）<0,/（X）在单调递减；

当—2<x<：时，/V）>0,/（外在，2,；）单调递增；

\（\A

当不<x<2时，f\x）<0,/（x）在-,2单调递减；

当x>2时，ru）>o,在（2,田）单调递增，

且r（—2）=o,呜）=0,r（2）=°,

所以-2和2是函数/（X）的极小值点，g是函数的极大值点.

故选：AB.

2.B

【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，即可求得答案.

【详解】由题意得/z（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,

当xe［一兀,0］时，sinxWO,/'（kWO,

所以/（"在区间［-兀⑼单调递减，故函数最大值为/（F）=*

故选：B

3.A

【分析】求导得到广。）=凹-匕?,计算析⑴=0,且/⑴=4,解得答案.

XX

【详解】f（x）=a］nx+—fr（x）=g-4，

KXX~

根据题意有/'（1）=。一他+1）=0,且/（1）=。+1=4,解得。=4,。=3,。+〃=7.

止匕时/（幻=±_4~=4（.：1）,X€（0,-KO）,

XXX

当xe（0,l）时，八幻<0,函数单调递减；当时，f'M>o,函数单调递增.

函数在x=l处取极小值，满足.

答案第1页，共8页

故选：A

4.B

【分析】设圆的直径为则f+y2="2,将矩形截面抵抗矩W=Jxy2表示成关于x的函

6

数，利用导数求此函数的单调性、最值，从而得出结果.

【详解】设圆的直径为则/+/="2,.,2=/_]2,

W=1A-(J2-X2)=1(-A-3+J2x),O<x<d,

令皿，=*3/+/)=0/=亭4,

由W'>0时，解得0<大<@"：由W'vO时，解得x>也d；

33

([i.\(RA

所以W在单调递增，在%d,d单调递减，

/\/

所以x=时W取最大值.

________3

此时)，/一#=争,所以:=犷=梳

———d

3

故选：B.

5.D

【分析】求出极大值点x=l由]e(l,2)可得(注意极值的定义).

【详解】f\x)=a-2x,令r(x)=O,得户小

时、/(幻>°，小)递增，X*时，递减，因此5是/(X)的极大值

点，由于只有一个极值点，因此其也是最大值点，

由题意得^£(1,2),所以昨(2.4).

故选：D.

6.D

【分析】结合题意由/(力在X=1处取得极小值-3,求出以。的值，由g(x)在区间(GC+4)

上存在最小值，求出。的取值范围，即可计算出结果.

【详解】由题意函数/d=4工3一奴2-27>+2在户1处取得极小值-3,则有

答案第2页，共8页

.、郎,*3叱\f'((\1))=4\2.-》2a-2+b2=07解得%fa==33,又因为g(/“、)丁1a7,+1

在区间(c,c+4)上存在最小值，g'(x)=Y-2x,当x<0或x>2时g'(x)>0,当0<xv2时，

，(“<0,所以函数g(x)在(-co。)上单调递增，在(0,2)上单调递减,在(2,+8)上单调递

增，故函数g(x)的极小值为g(2)=-g,令g(x)=-g,则x=T或x=2,因为g(x)区间

(c,c+4)上存在最小值，则有一l<c<2<c+4,KiJW-l<c<2,则5Wa+〃+cy8.

故选：D

7.1

【分析】对函数=-/+1求导，利用单调性即可得出函数的极大值.

【详解】依题意，

因为/(%)=；丁一Y+1,所以xwR,

所以Of-2x=x(x-2),

所以在(v,0),⑵+oo)上,/")单调递增；

在(0,2)上,r(。<0,/(x)单调递减.

所以一(X)在x=0处取得极大值：/(0)=1x0^-02+l=l.

故答案为：L

「71

8.0,ln-

_2_

【分析】通过求导，求出函数的单调性，即可求出值域.

【详解】解：由题意

2、

在y=lnx——中.xe[2.4]

X)

，函数在[2.4]单调递增

V/(2)=lnf2-1l=lnl=0,/(4)=]n(4司=Ing

答案第3页，共8页

・•・函数)，=Infx--Lxe[2,4]的值域是OJn:

故答案为：O.lnj.

9.(-1,2]

【分析】利用导数研究函数的单调区间和极值，结合已知区间存在最大值，列不等式组求参

数范围.

【详解】由/(幻=/—3方，则:(幻=31-3,

令/(x)<0,解得Tvx<」;令/⑶>0,解得Z或*V-1,

所以〃x)在(一叫-1)上是增函数,在(-“)上是减函数,在以的)上是增函数,

故函数在x=T处有极大值，在x=l处有极小值，

a2-\2<-\

所以"T,解得

故答案为：(-1，21

10.(l)x+y-2=0

⑵答案见解析

【分析】(1)当。=2时，求出/⑴=1,/⑴=7,然后利用点斜式即可求出切线方程；

(2)分类讨论，当时、当。>0时，广⑴的正负情况，再判断单调性，从而确定极值.

【详解】(1)函数/(X)的定义域为(0,+8),/V)=I--.

X

2

当。=2时，f(x)=x-a\nx,f\x)=I一一(x>0),

x

因而/(1)=1，/'(1)=-1,

所以曲线产/⑶在点A(IJ⑴)处的切线方程为y-i=-(x-i),即x+y-2=o.

(2)由r(x)=l，=±^(x>0),

XX

①当46。时，Z(X)>0,函数/。)为(0,+8)上的增函数，函数/(X)无极值；

②当。>0时，令r(x)=0,解得x=a,

所以xc(0,a)时，/'(©〈(J,/3)在(0,编上的单调递减，

xe(a,+oo)时，/'(幻>0,/*)在(凡此)上的单调递增.

所以函数在％处取得极小值，且极小值为八。)=。-alna,无极大值.

综上所述，当时，函数八#无极值；

答案第4页，共8页

当。>0时，函数/(X)在二=。处取得极小值，且极小值为，(〃)=a-alna,无极大值.

11.(1)极小值为0,无极大值.

(2)«<-1

【分析1(1)求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.

(2)求出函数的二阶导数，就。4-2、-分类讨论后可得参数的取值范围.

22

【详解】(1)当。二一2时，f(x)=(l+2x)ln(l+x)-x,

故f'(x)=21n(l+x)+^^—l=21n(l+x)-——+1,

l+xl+x

因为)，=2111(1+幻,/=-丁*+1在(-1,+8)上为增函数，

故广(用在上为增函数，而/'(0)=0,

故当-1CV0时,r(x)<0,当％>0时,八幻>0,

故/(A)在x=0处取极小值且极小值为/(0)=0,无极大值.

(2)//(x)=-«In(1+Ji)+_I=_“In(1+x)一,x〉0,

设s(x)=_aln(l+x)_(；>0,

,(、-a(a+1)a(x+l)+a+lcix+2a+\

hill5(X)=-----

7x+1——(1+x1)-=---——(lJ+x)—-=----(-1--+--x-)----,

当心一；时，/(x)>0,故s(力在(0,y)上为增函数，

故s(x)>s(O)=O,即r(x)>0,

所以f(x)在［0,y)上为增函数，故〃x”/(0)=0.

当一，<〃<()时，当0cx•时，s'(x)<0,

2ci

故s(x)在(0,一等)上为减函数，故在(0,一宁)上s(x)<s(O),

即在(。,-宁)上/(x)<0即/(-r)为减函数，

故在(0,-个)上/(工)</(0)=0,不合题意，舍.

当a2(),此时s'(x)〈O在(0,+<)上恒成立,

同理可得在(0,+功上/(切<〃0)=0恒成立，不合题意，舍；

答案第5页，共8页

综上，aW-Q.

【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有

时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点佗性质

来确定如何分类.

12.AD

【分析】根据题意，由条件可得凶(切'=处，从而可得g(x)=9(x)的单调区间，即可

.AT

得到结果.

【详解】由Vr(x)+#(K)=lnx得x>0,则'工即［4(力］'=叱，

XX

设g(x)=n(x),由g'(x)=W>0得x>l,

由，(力<0得0cx<1,

即函数g(x)=^(x)在(1,3)单调递增，在(0,1)单调递减，

即当x=l时，函数g(x)=MXx)取得极小值g(l)=/⑴=g,

故选：AD.

13.B

【分析］按。<0，。=0，〃>0分类讨论，在。>0时，对x>0的函数利用导数求最小值，由最

小值为/列不等式求解，注意利用函数的单调性得出结论.

【详解】若。<0,当时，=山为增函数，且/(X)w(-oo,+8),不符合题意.

X?r<0

若a=0J(x)='",最小值为"0)=0=/

x,x>0

若a>0,当X,O时，/(X)的最小值为/(0)=片.

当x>0时，fr(x)=-若0<x<a,则r(x)<。，若x>〃，贝iJ/'(x)>0,/*)在｛。,幻

Xf

在，在(《+«)上递增，故/(X)的最小值为〃a)=a(lTna).

«>0

由4/…、、2，

1-In6/>67,«+lntz-l<0,设g(x)=x+lnx-l,它在(0,y)上是增函数，且g(D=0,

所以a+lna-140的解是OvaW1.

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可得。＜4,1.

综上，常数〃的取值范围为

故选：B.

14.（1）最大值为！

e

（।w1r

⑵日，孤M成立

【分析】（1）利用函数的导数与单调性、最值的关系求解；

（2）利用导数与极值的美系，结合参数。不同的取值范围求解.

【详解】（1）当〃=。时，/（力=',定义域为R,r（x）=?,

当X＞1时，r（x）＜0；当x＜l时，/（x）＞0,

:./（力在上单调递增；在（1,y）上单调递减，

故“X）的最大值为/⑴=L

e

（2）f（x）=^+a（x-\）2,广（幻=4+24d）=d）（2"~~1）,

e'erev

①当a«0时，2帮-1＜0,

当x＞l时，/（%）＜0；当x＜l时，/V）＞0,

:./（X）在（-8,1）上单调递增；在（1,4＜O）上单调递减，

所以/口）的极大值为符合题意.

e2

②当时小）