导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题（解析版）

第11讲导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题

【知识点总结】

一、证明不等式常用的方法和思路

作差构造函数，转化为最值问题

二、不等式恒成立问题常用的方法和思路

(1)直接法

(2)分阿参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

三、零点问题常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.

【典型例题】

例1.(2022•全国两三专题练习)设函数/(x)=(V-2”夕+小-却门,其中-为自然对数的底数，曲线),二〃力在(2J⑵)

处切线的倾斜角的正切值为:/+2e.

(I)求。的值；

(2)证明：/(-r)>0.

【详解】

解：(1)因为/(力=(./-2.。歹+4Q一『111工，所以((6=(£-2)-+46-幺，

**

/*(2)=:-^-+ae=--t-2e>解得a=2.

22

(2)由(I)可得/(x)=(Y-2x)，+2cx-flnx

1

即证/—2JV)+2ex—eInJV>0q(x—2)e'-'+—>.

令g(X)=[L2)eI+2,g'(力=(工一1)产2,于是雇工)在(0,1)上是减函数，在(1.y)上是增函数，所以⑴=_L(x=i

€。

取等号).

又令网力=皿,则/刈=匕学，于是Mx)在(0,e)上是增函数,在(e,2)上是减函数,所以无(〃)44,)=1"=e时

-Vxe

取等号).

所以g(x)>/i(x)，即/(x)>0.

例2.(2022・全国•高三专题练习)已知关于工的函数/(x)=aLhu」(l+ln2).

(1)讨论/(力的单调性;

(2)证明:当〃wN♦时，In(lx2x3xxn)<w2-nln2.

【详解】

(1)由/(x)=or-lnir-(l+ln2)得广(x)=。一，(x>0)

知当〃K0时/'(6<0=/(%)在(0,用)上单调递减

当。>0时，,、ax-\

/("二—

11\

.•.当J>己时，(x)>OJ(x)在-,+00上单调递增，

a\a；

当o<x<：时ra)vQ/(x)在上单调递减.

(2)由(1)知。=2时/(力在(。,口上单调递减，在+8)上单调递增,

/(^)>/(—1=0,即有liuW2x-l-ln2(x>0),

.,.lnl<2-l-ln2=l-ln2，

In2<4-l-ln2=3-ln2

In3<6-l-ln2=5-ln2

ln/z<2w-l-ln2

以上各式相加得：lnl+ln2+ln3++ln〃<(l+3+5++(2〃-1))一川n2,

In(lx2x3xxzz)<n2—/zln2.

例3.(2022•浙江•高三专题练习)已知函数/(x)=f+2f+x+2.

(I)求函数/(・r)的极值；

2一

(2)若充任意的工£卜5』都有/(x)vc成立，求c的取值范围.

【详解】

(1)因为/(耳={+2/+工+2,所以r(x)=3/+4x+l,.

令/”(M=0,解得x=_"或x=_l,

当/'(">。，即工>一；或xv—1；当f'(x)<0,BP-1<A-<-1,.

JJ

故/(力的单调递增区间为(70,-1)和卜g，+8),单调递减区间为.

所以，工=-1时，/(X)有极大值/(一1)=2,.

当时，小)有极小值/卜；)哆.

⑵由⑴知〃力在卜L上单调递减，在上单调递增，.

又名(八广5药7"⑴=6'.

'2'

所以xw--J时,/(X)M=6..

•J

2~\

因为对任意的xw--J都有/(H<c成立，所以c>6.

例4.(2022・全国•高三专题练习)已知函数/(刈=--依-1.

(I)当4=2时，求曲线在(1J。))处论切线方程；

(2)若g(x)=f(x)-炉,且g(x)在[(),”)上的最小值为0,求。的取值范围.

【详解】

解：(1)当a=2时，f(x)=eK-2x-\,f(\)=e-3

・・・/0)=--2,r(l)=e-2,

・・・切线方程为y—(e—3)=(e—2)(x—l),

BP(e-2).v-y-1=0

(2)・・・g(0)=〃0)—0=0,

・•・原条件等价k在((),+/)上，g(x)="r2一以—I8)恒成/

/u2Lex-x2-]

化为aM------------

x

令〃

X

贝=x("-2x)-(e-)=)

I，x2x2

令〃2(x)=《一x—1,则加(x)=e"-1

在(。,+8)上，〃7(力>0,

x

・••在(0,+笫)上,e-x-\>0

故在(0,1)上，万'(“<0；在(1，内)上，〃(">0

/?(x)的最小值为/z⑴=e-2,a<e-2

例5.(2021.北京市第八中学怡海分校高三阶段练习)已知函数/(x)=V+3/-9.r+/〃C〃wR)

(I)求/(x)在(1，/⑴)处的切线方程；

(2)当/(%)有3个零点时，求，〃的取值范围.

【详解】

<1),/(9=^-5,切点为

故八幻的极大值即为最大值，/(—)=-1+in(—)=-l-in(-«),

a-a

所以(-a),

解得。＜T.

e

例7.(2020•四川省内江市第六中学高三阶段练习(理))已知。wK,函数/(x)=Jd+1g-2)x2+〃,g(x)=2alnx.

62

(1)若曲线y=/(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1©处的切线互相垂直，求。力的值；

(2)设尸(力=/'(4)-g(x),若对任意的不W«0,例),且工尸巧,都有F(x1)-F(x2)＞a(^-^2),求”的取值范围.

【详解】

(1)•J/'(x)=：x2+(a_2)x,.J'(l)=a_'|j;g'(x)=",..g'(l)=%，依题意有

乙乙人

3、

ci—

2JI17

/'(1)=一1,且/(l)=g(l),可得｛，解得a=l,Z?=§,或a=Q,〃=五

-+-(fl-2)+/?=0

62V7

(2);=+(a-2)x-2mnx.不妨设司卜2，£(与)一产(9)”(王-七)、

等价于尸(毛)一%＞/(、)一叫.设6(工)=尸(工)一0¥,则对任意的火,土£(0,”),且内工看,

都有尸")一尸&)＞「等价于G(x)=/(x)-火在(0,帝)上是增函数.

*7|

6(力=11一2〃1门一2乩可得6。)=X-"一2=厂-2*-2",依题意有,对任意%＞。，

2xx

有f一2x-2a之0恒成立.由2a一2%=(工一1)-1，可得白工^.

【技能提升训练】

1.(2021•西藏・拉萨中学高三阶段练习(文))已知函数〃x)=x+〃-alnx在％=1处的极值为2,其中a＞0.

(I)求明〃的值；

(2)对任意的x《l,+8),证明恒有x[2-〃x)]wf-2x+l.

【答案】＜1)〃=1,〃=1；(2)证明见详解.

【分析】

(1)先走函数求导，然后结合极值存在条件即可求解.

(2)由于x[2—/(x)]—V+2x—l=-2f+3x+xlnx—1,要证不等式成立,转化为求解g(力=-2/+3%+制11工一1在时

的最值，结合导数分析函数性质即可求解.

【详解】

(1)r(.r)=i--,

-V

[f[\\=\b=2

由题意可得y(储+一0,

解得a=l/=1.

(2)x[2-/(x)]-x2+2x-l=-2x2+3.Y+xln.r-l,

☆g(x)=-2V+3x+xlnx-l,x>\,

则g'(x)=Tx+lnx+4,

令h(x)=-4x+lnx+4,则/?(x)=-4+,<0恒成立,

所以g'(£i在[i,y)上单调递减且^(i)=o.

所以时，g(x)Wg(l)=0,

所以x[2-/⑼）炉-2x+l,即证.

2.（2021.新疆师范大学附属中学高三阶段练习（理））已知函数/（村=与，&（耳=:7,，曲线y=/'（x）与曲线y=g（x）

XI1XI1X

在X=1处的切线互相平行.

（I）求a的值；

（2）求证:/（x"g（x）在（（）,+«）上恒成立.

【答案】（1）。=1；（2）证明见解析.

【分析】

（1）先本函数求导，然后结合导数的”何意义即可求解：

（2）转化为证/（力-g（x）N0,构造函数，结合导数分析函数的性质,可证.

【详解】

Inx2a

解：3）因为/（"二,g(M=

A+1X+1X

x+1,

-----Inx，/\一2ci

所以小卜十了&3=4了+了，

由题意得r（i）=/（i）,

所以白。一（解得，I；

，/、,、ln.r2Ixlnx-x+1

证明⑵/W-Hx)=---+r-^-,

令/?(x)=.Hnx-x+l,x>0,

则"（x）=lnx,

当xw（l,+功时，〃（力＞0,/?（力单调递增，当xt（0,l）时，//（x）＜0,/?（同单调递减,

故当x=l时,〃(力取得最小值〃(1)=0,

所以人(力之0,

故/(力-9(力之0，

所以/(x"g(x).

3.(2021・全国•高三专题练习(理))已知函数/(x)=lnx+x2一原.

(I)若函数./V)在定义域内为增函数，求实数。的取值范围；

(2)若。=0且人匕(0，1),求证：+/一/(%)]<(】十

【答案】(1)(-00,272]；(2)证明见解析.

【分析】

(1)函数在定义域内为增函数，则f'(x)之。恒成分离参变量，利用基本不等式得出最值，可得实数〃的取值范围;

(2)要证彳・[1+%2—/(1)]<(1+]一/>6',即证：X-(1-Inx)<(1+A-x3)-ex,构造g(x)=x・(l-lnx),h(x)=(l+x-x3)ex,

分别利用导数判断出单调性和最值，即可得原命题成立.

【详解】

(1)函数/⑸的定义域为(。，+8),f^)=-+2jc-a,又f(x)在定义域内为增函数，

x

则八幻之()恒成立，即2工恒成立，即aKd+2©min，

XX

又当x>0时，-+2x>2y/2t当且仅当<=立时等号成立，・・・a«2C，

x2

即实数"的取值范围是(一02五];

(2)\*a=0,则f(x)=lnx+%2,要证+x?-/'(x)]<(1+3一丁)・夕'，

即证：x-(l-InA)<(I+x-x3)ev,

设g(x)=r(l-lnx),其中xw(0,l),则，(x)=-lnx,当xc((),l)时，(x)>0,

故g*)在故，D为增函数，・•・ga)vg⑴=1,

&A(x)=(l+x-x3)ex,其中xw(0,l),

则当0vx<l时XAX3,1+X-X3>1,又l<e、<e，.•・力(x)>l，

则g(x)<I<〃(x),Jx.(l一lnx)v(l+x-x3)./恒成立，即原不等式成立.

4.(2021・全国•高三阶段练习(文))已知/(x)=lnx+aja^R.

(I)讨论的单调性；

(II)若口<-1,证明：/*)<一1.

【答案】(I)答案见解析：(II)证明见解析.

【分析】

(1)分“NO,a<0进行讨论，再利用导数研究函数的单调性即可求解；

（II）由□＜-1结合（【）可得+=构造新函数，利用导数研究函数的单调性即可得

证.

【详解】

（I）由题可知x＞0,f'（x）=-+a.

x

当时，r（x）＞（）恒成立，.•・函数/（X）在（（）,+8）上单调递增：

当a＜0时，令/'（X）=■!"+a=（）,解得X=-L.

xa

当0＜x＜一,时，r（x）＞0,.•./（X）在（0,一“上单调递增；

aka）

当x＞一时，八幻＜（）,.•・函数/⑶在卜*8）上单调递减.

综上可知，当。之0时，函数人外在（0,+co）上单调递增：当〃＜（）时，函数/（%）在（0,-；）上单调递增，在［上单调递

减.

（II）证明：若…1,则由（I）可知，/。）在工=-工处取得极大值，

a

•••/（X）max==皿（-5）+〃（__）=-ln（-a）-I.

令g（x）=-lnl..x＞0,g（D=」＜0，

X

・•・函数g（x）在（0,+00）上单调递减.

又•・•-a〉l,.•.f（x）a=-g）-l＜-lnlT=-l,

【点睛】

关键点点睛：第（II）问的关键点是：通过构造函数证得/（X）a＜T.

5.（2021・宁夏•青铜峡市高级中学高三阶段练习（理））已知函数/（M=ar-lnx（a是常数）.

（I）当。=2时，求/CO的单调区间与极值；

（2）若。丫＞0,/。）＞0,求。的取值范围：

【答案】

（1）在上单调递增，在（0,£］上单调递减，极小值是l+ln2,无极大值

⑵IT

【分析】

（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；

（2）参变分离可得（叱］＜«,令双》）=处，利用导数求出函数的最大值，即可得解；

1x几、x

（1）

解：当a=2时，f(x)=2x-\nxt定义域为(0,E),

令/")>(),解得x>!，令/'*)<(),解得Ovx<1，

22

所以函数/。)在(g，xo)上单调递增，在(。，)上单调递减，

(1、

所以/(幻的极小值是/-=l+ln2,无极大值.

X/

(2)

解：因为,力:>0J(x)>0,B|J—<〃.

\X/max

设g(x)=9±，可得/*)=上华，

Xx~

当0<x<e时g'(x)>o,当x>e时g'(x)<o,

所以g(x)在(0，。)上单调递增，在(e,*o)上单调递减，

所以g(X)mx=g(e)=J，所以a〉:,BP«EQ,+00.

2

6.(2021•福建•莆田第二十五中学高三阶段练习)已知函数/("=寸+加+加+c在1=与处都取得极值.

(1)求“，〃的值；

(2)若充任意xe[-1,2],不等式/(Mee/恒成立，求实数c的取值范围.

【答案】(1)^=--♦/>=-2；(2)(-℃>,—l)J(2,+oo).

【分析】

(1)对/(6求导，根据极值点列方程纪求参数即可.

(2)由(I)有/'(力=(3X+2)(R-1),进而判断/("的单调性并确定最值，结合不等式恒成立求参数范围.

【详解】

(1)由题设，/(力=3小+2办+〃，乂《-&=.++〃=(),/'⑴=3+2a+〃=0,解得〃=一；，b=-2.

(2)由(1),知/(加炉」%2—2%+°,gp/(x)=3.r-x-2=(3x+2)(x-l),

当x«T2]时，/随X的变化情况如下表:

(1,2

32

X

"31

/V：

+0-0+

极大极小递

/(X)递增递减

值值增

・・・〃x）在上单调递增，在1I，1）上单调递减，在（1,2］上单调递增，

・,•当x=-|时，=+c•为极大值，又〃2）=2+c,则〃2）=2+c为/（x）在上的最大值,

要使/（x）vc2对任意xe［—l,2］恒成立，则只需C2>/（2）=2+C,解得C<—I或C>2,

工实数C的取值范围为（Y>,-1）U（2,E）.

7.（2021・全国•高三阶段练习（文））已知函数/（"=:。，+（1―/卜一］门.

（I）当〃=一2时，求函数/（"的单调区间；

（2）当时，证明：x>l时，当/（1）>（1一4）%+工一1+；。恒成立.

-XZ

【答案】（1）单调递增区间为d，单调递减区间为（og）,（1，+?）;（2）证明见解析.

【分析】

(1)利用导数研究了(工)的单调件即可.

(2)由分析法：只需证9(丁―1)—lnx—g+l>0即可，构造g(x)=g(x2—i)—inx_—+l,利用导数证明g(x)>0结论

得证.

【详解】

(I)函数/(x)的定义域为(0,+?),当〃=一2时，/(x)=-f+3x-lnx,

/.f\x)=-2x+3-1=-(2£z0(£zl),(x>0),

XX

••・当0<旧或X>1时，附x)v。，/㈤在(0,；),(1,+?)单调递减,

当时，制x)>0,/(x)在惇1)单调递增.

故/(x)的单调递增区间为5｝单调递减区间为(。1),(L+?).

(2)要证/(%)>(1—-----1+—ci,只需证5a(x~—1)—Inx-----1-1>0,

*.*a>\,x2-1>0，

—ci^x2—1^—Inx--+1>—^x2-1)-hi1-----1-1,

设g(x)=:(fl，则g，3=x-」+±=('+l)(：0+1>1>0.

2XXx~x-

・・・g(x)在(1,+?)单调递增，g(x)>g(l)=0,

•'・J(X)>(l-4)XH-----IHCl,得证.

x2

8.（2019•山西省平遥中学校高三阶段练习（理））己知=

（1）求/（X）的单调区间;

（2）若存在厂使/（力<加成立，求实数机的取值范围.

【答案】（I）/（力的递减区间为（。，4）,递增区间为（4,讨）：（2）^>2-ln4.

【分析】

（I）求函数的定义域和导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行求解即可.

（2）根据存在性问题转化为求加，结合函数最值和导数之间的关系进行求解即可.

【详解】

解：(1)：/(x)=«-lnx,x>0

则当4-2>0,即1>4时,

当4一2<0,即0<x<4时,<0,

••・/（力的递减区间为（0,4）,递增区间为（4,+00）.

（2）若存在力使/（“<加成立，则〃?>/（力而」

由⑴可知〃x"n=〃4)=2Tn4.

/.m>2-In4.

【点睛】

本题主要芍有函数单调性的应用，结合函数单调性，最值和导数之间的关系进行转化是解决本题的关键.

9.（2021•陕西礼泉•高三开学考试（文））已知函数/（幻=：/-；依2-2x（awR）在工=2处取得极值.

（1）求Ax）在上的最小值;

（2）若函数g*）=/（x）+/?SeR）有且只有一个零点，求》的取值范围.

【答案】

6

(7

(2)-co,一工

I6\3

【分析】

（1）首先求出函数的导函数，依题意可得/'（2）=。，即可求出参数。的值，即可求出函数解析式，从而求出函数的单调区

间，再求出区间端点的函数值，即可求出函数的最小值;

（2）依题意-力f-2xSeR）有唯一解，即函数），=-〃与），=/（x）只有I个交点，由（I）可得函数的单调性

J/r

与极值，结合函数图象即可求出参数的取值范围;

(I)

解：因为，(%)=:丁一;ar2-2x(awR),所以/"(幻=f-ar-2,

D乙

•・・/(x)在x=2处取得极值，.•./(2)=0,即22—2«-2=0解得。=1,

f(x)=^-x3-^x2-2x,所以r(x)=/—x—2="+1)(工一2),所以当xvT或x>2时/'*)>0,当一1vxv2时/'")<0,

32

.•./(x)在［-2,-1)上单调递增,在(-1』上单调递减,

X/(-2)=1x(-2)3-ix(-2)2-2x(-2)=-^/(l)=1xl3-lxl2-2xl=-^,

323326

"(X)在1-2』］上的最小值为-5.

6

(2)

解：由(1)知，/(X)=§V—万f-2x,

若函数ga)=/(x)+8SeR)有且只有一个零点，

则方程—b=/(x)SeR)有唯•解.，即-力2%SeR)有唯解，

由(1)知，/(X)在(7,-1),(2,+00)上单调递增,在(-1,2)上单调递减,

10.（2021•安徽安庆♦一模（理））函数/（x）="-2姑-。.

（1）讨论函数的极值；

（2）当〃>0时,求函数/（x）的零点个数.

【答案】（I）答案见解析；（2）答案见解析.

【分析】

（1）求得r（x）=e、-2a.分“V0和。>0两种情况，求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解;

(2)由(1)得到当。>0时，/(力的单调性和极小值，结合/极小饯与D的关系，三种情况讨论，即可求解.

【详解】

(I)由题意，函数/*)=，-2ar-%可得/'(工)=产一"，

当三0时，/'(x)=e，-2"0,””在R上为单调增函数，此时无极值；

当“>()时，令/'(x)=e*-2a>0,解得>>ln(2a),

所以/在(h](2a),+00)上为单调增函数，

令r(x)=/_2a<0,解得x<ln(2a),在(《,ln(%))上为单调减函数，

所以当x=ln(2a)时，函数/“)取得极小值几小伍寸(ln(2a))=4-2〃ln(%)，无极大值.

综上所述：

当时，/(x)无极值，

当。>0时,f^^=f[\n(2d))=a-2a\n(2a),无极大值.

(2)由⑴知当〃>()时，/(%)在(ln(2o),y)上为单调增函数，在(y,ln(2〃))上为单调减函数，且息小依="2aln(2〃),

又由/(x)=e'-a(2x+l),若x——时，./'(x)f+oo：

若x->+co时，/(X)->-KO；

当。—2aln(2〃)>0,即0<。<拿时，八力无零点；

2

当a-2aln(2a)=0,即斫立时,/(x)有1个零点；

2

当a—2alM2。)<0,即〃邛时，/(x)有2个零点.

综上：当0<。<当时，/(X)无零点；

当用”时，/(x)有1个零点；

当时，"工)有"2个零点.

11.(2019•山东口照•高三期中(理))已知函数r(x)=#n.r-3g(力二-⑪2+左一2.

(1)证明:当时，«)〃(力对工叩同恒成立;

⑵若函数〃力=如率+/+/恰有一个零点，求实数。的取值范围.

【答案】(1)见解析；(2)a=-2e^a>0

【分析】

(1)令〃(力==(同一g(x)，要证r(x)Ng("在口,”)上恒成立，只需证〃(力2之0,X€[l,+oo)；

(2)函数/(x)=akii+f,定义域为(0,+8),/，(h)=@+2]=在».对a分类讨论，研究函数的单调性及最值，以确

xx

定图象与X釉的交点情况.

【详解】

(I)证明：令/?(x)=r(x)-g(x),

要证r(x)2g(x)在[1,+8)上恒成立，

只需证力⑴曲之0，XG[1,-H»),

因为〃(.r)=Mnx+ax1—ax—2.r+2,

所以人'(1)=1111+1+20¥-4-2=111%+20一4一1.

令"z(x)=Inx+20r-q-1,xw［1,+<x),

则W(X)=—+24,

因为所以/“(X)>0,

所以〃2(x)在［1，+0。)上单调递增，

所以"?(X)2〃7(1)=CL1,即/?*(%)>«-1,

因为a>l,所以1>0,所以“(x)>0,

所以妆x)=xlnx+加1-a.2x+2在［l,+oo)上单调递增，

所以〃⑴=0,«)-g(x)NO,

故r(x)>g(x)在［1,+8)上恒成立.

(2)函数/(x)=alnx+xt定义域为(0,+8),

，/、a2x2+a

f(x)=-+2x=------.

xx

①当a=0时，/(丫)=r2,x*(0,+oo)无零点.

②当a>0时，小)>0,所以f(x)在(0,+oo)上单调递增,

.(_1A(_1YL1,、，1

ea

取40=e。，则/=-1+«"<0,(或：因为0<%<Ja且与〈一时，所以/(Xo)=alnx0+Xo~vHm%+a<aln—+a=°•)

\/\7ee

因为"1)=1,所以/(毛)•/⑴<0,此时函数〃X)有一个零点.

③当〃<0时，令/"(x)=o,解得工=启.

当0c<\-£时，/'(x)<(),所以/(x)在0,上单调递减;

rw>o,所以/(力在［舟8上单调递增.

所以/(Am=«ln^-f-p

若t/ln--<0,即。(一及时.,

2

即函数/(“在区间上存在一个零点;

所以Inxvx—1,

则有a\nxxvc-a/(力=。欣+/>/+冰-。，必然存在X，使得」(百)>0,即函数/(“在区间存

在一个零点:

故当川时，函数八”在(0,止)上有两个零点，不符合题意.……11分

所以当。<0时，要使函数/")有一个零点，必有.

即a=-2e.

综上所述，若函数/(X)恰有一个零点，则。=-"或a>0.

【点睛】

已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关十参数的小等式，冉通过解小等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.

12.(2020•江西・南昌市第三中学高三阶段练习)已知函数/(x)=xlnx,g(x)=-：h2+(1-k).r+l,曲线)=/(力与曲线

y=g(x)在％=1处的切线互相垂直,记尸a)=〃x)+g(x).

<D求实数a的值；

(2)若方程/(x)=〃，有两个不相等实根，求〃?的取值范围；

(3)讨论函数F(x)的单调性.

【答案】(I)1：(2)一^</"0；(3)F(x)在(0,y)上单调递减.

【分析】

(I)求出两函数的导困数，根据g'(l)=-l即可求解.

(2)利用导数判断函数的单调性，进而可得的值域，从而可得-二〈/〃<0,

(3)求出U(x)=lnx-x+l,再求导函数，判断F'(x)的符号即可求解.

【详解】

(i)/'(i)=l+lnx,/,(1)=1,g'(x)=-h-+l-Z

由题意得，g'(i)=-i，即g'(i)=-z+i—A=-i,・,・2=】

(2)由r(x)=l+h】x,可知/(x)在(0,J上单调递减，在(%zo)上单调递增,

.•.当％=■!■时，/(x)有最小值/，

e\eye

又二工->0时，/(X)->O；X->4<O时，

••・若方程/Xx)=机有两个不相等实根，则有-,<m<0.

e

(3)由(1)可知，F(^)=xlnx-^x2-1,x>0,

广(x)=lnxxi1,F*(x)=--1=---,

XA

易知,当xw(0,l)时尸(x)>0,尸(力单调递增,

当X£(l,+8)时，F"(X)<0,F'(X)单调递减，

所以以'(x)W尸(1)=0

即尸'(力4()恒成立，所以产(力在(0,y)上单调递减.

【点睛】

关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程的根，解题的关键是求出函数/(X)的值域、单调性，作出函数

的大致图像，考查了转化与划归的思想.

13.(2020・全国•高三专题练习(文))已知函数〃力=43_加在点(1J⑴)处的切线方程为3x+)，-l=().

(1)求实数。，〃的值；

(2)若过点(-1,〃?)。〃工-4)可做曲线y=/(x)的三条切线，求实数〃7的取值范围.

【答案】(I)L(2)(-4,4).

h=3

【分析】

(1)根据切线方程可知/⑴和尸(1),由此构造方程组求得。力；

(2)将问题转化为与6。)=-2*；6.1。/-1)有三个不同的交点，利用导数可得到〃(幻的图象，利用数形结合的方式

可求得结果.

【详解】

(1)由切线方程知：/。)=-3x1+1=-2,//(1)=-3,又f(x)=3ax?-2bx,

Aa-ib=-Z2解得：\a［-b1=3-

(2)由(I)知：f(x)=x3-3x2,则八x)=3/-6x,

...(-1,〃?)不在/")上，

又/(-1)=3+6=9,可知切点横坐标不为T,

设切点坐标为-34)，小工-1,

则切线斜率女=生与'=3片-6小，整理得：m=-2x^6xn,

过(-1喻可作/“)三条不同的切线，..加=-2x1+6%有三个不为-1的解；

令h(x)=-2x3+6Mx*T)，则〃(x)--6x2+6=-6(x+1)(戈-1),

.•.当K£(F,-1)和(l,+oo)时，h\x)<0；

.•.当xe(-l,l)时，h\x)>0,

.•/(x)在(^-D和(1，y)上单调递减，在(-1,1)上单调递增，

由此可得卜(幻图象如下图所示：

，八=-2£+6/有三个不为-1的解等价于产加与万⑴有三个不同的交点，

由图象可知：-4<f/i<4,

「•实数，〃的取值范围为(-4,4).

【点睛】

本题考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用，涉及到根据切线方程求解函数解析式、根据这某一点曲线切线的个

数求解参数范围的问题；关键是能够将问题转化为两函数交点个数问题，从而利用数形结合的方式来进行求解.

14.(2021•陕西•西安一中高三期中(文))已知函数/(x)=-—x+〃ln%.

X

(1)若/(力在(0,+o。)上为单调函数，求实数。的取值范围；

(2)记/(x)的两个极值点为再，/，求证：/(X1)+/(X2)<X1+X2-2.

【答案】

(1)«<2：

(2)证明见解析.

【分析】

(1)对〃力求导得广(力，由题设将问题转化为aKx+%x>0)恒成立，即可求。的取值范围；

(2)由(1)有为,£是V-公+1=0的两个根，应用根与系数关系易得%+々=。>2,%%=1，进而可得/&)+/(%)=0,

即可证结论.

(1)

/(x)的定义域为(0,田)，/(加-T+q一",又/(x)单调，

XXX

_四+1之0对x>0恒成立，即aWx+！(x>0)恒成立，

x

而x+」N2,当且仅当x=l时取等号，

X

a<2.

(2)

由(I)知：为，与是/一办+1=0的两个根，则用+%=。>。，$七=1，且△=片一4>0,

a>2,故$/。>2,

/(%)+/(9)='一甚+〃ln*+-!^2+«lnx2=«In(jf,x2)=0,而。_2>0,

K工2

工/(%)+/(£)〈芭+W-2，得证.

15.(2022・全国•高三专题练习(文))证明e'》+lNsinx+l(xK)).

【答案】i正明见解析

【分析】

构造段)=Nr—1(应0),利用导数判断段)的单调性，求得最小值，即可得证；构造ga)=x-sinxg。)，利用导数判断g(x)

的单调性，求得最小值，即可得证；

【详解】

证明：令.")=/一%—1(后0),则/(工)=6一1K),

.\/U)在[0,+8)上单调递增，

・•・对任意xe[o,+oo),有/U)女0),而8))=o,

.,.y(x)>0,即e3+l,

令g(x)=/—sinv(.r>0),则g<x)=1—cojkx>0,

・•・8(%)遂(0),而g(0尸0,

/.x-sinv>0,

x+1>sinx+1(x>0),

综上，e'>v+l>sinv+1.

16.(2021.全国•高三专题练习)已知函数/(x)=lnx