等比数列（3大考点+10大题型）-2026年新高考数学一轮复习（讲义+专练）解析版

6.3等比数列

目录

01课标要求........................................................................2

02落实主干知识....................................................................3

一、等比数列有关的概念............................................................3

二、等比数列的公式................................................................3

三、等比数列的性质................................................................3

常用二级结论......................................................................4

03探究核心题型....................................................................5

题型一：等比数列的概念及通项公式.................................................5

题型二：等比数列的证明............................................................7

题型三：等比数列的常用性质.......................................................12

题型四：等比数列的前n项和公式及其性质..........................................14

题型五：等比数列前n项和的实际应用..............................................16

题型六：公共项问题...............................................................19

题型七：插项问题.................................................................22

题型八：范围与最值问题...........................................................25

题型九：等差数列与等比数列的综合应用............................................29

题型十：奇偶问题.................................................................35

04好题赏析（一题多解）..........................................................42

05数学思想方法...................................................................44

①数形结合.......................................................................44

②转化与化归.....................................................................46

③分类讨论.......................................................................47

06课时精练（真题、模拟题）......................................................49

基础过关篇.......................................................................49

能力拓展篇.......................................................................57

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01课标要求

I、通过牛活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.

2、掌握等比数列前〃项和公式，理解等比数列的通项公式与前，?项和公式的关系.

3、能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.

4、体会等比数列与指数函数的关系.

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02落实主干知识

一、等比数列有关的概念

1、等比数列的概念

（1）定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个

数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母g表示（夕H0）.

（2）递推公式形式的定义：&=且〃22）（巴包=q,nsN*）.

2、等比中项

如果在〃与人中间插入一个数G,使”，G,力成等比数列，那么G叫做〃与力的等比中项，此时，G2=ab.

注：①并非任何两数总有等比中项.仅当实数。力同号，即时.，实数存在等比中项.对同号两

实数〃力的等比中项不仅存在，而且有一对互为相反数的等比中项G=±疝.也就是说，两实数要么没有

等比中项（非同号时），如果有，必有一对（同号时）.在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用

“中项关系”转化求解.

②G?=ab是a、G、〃成等比数列的必要不充分条件.

二、等比数列的公式

（1）等比数列的通项公式

设等比数列｛%｝的首项为由,公比为加工0）,则它的通项公式q=4闯1=八夕"9="）（4，尸0）.

q

推广形式：”.=%.外、

（2）等比数列的前〃项和公式

〃q（q=l）

等比数列｛七｝的公比为式夕工0）,其前〃项和为_a｝-atlq

-：=-：（q/i）

\一ql-q

三、等比数列的性质

1、数列（义丰0）仍是公比为夕的等比数歹小

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2、数列储：》(尤为常数)为等比数列；特别地，当4=—1时，即是公比为L的等比数列;

UJq

3、若数列｛“｝是公比为《的等比数列，则数列｛《,“｝是公比为的'的等比数列；

4、在等比数列｛%｝中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即%,%+«,4+缁，4+3A•…为

等比数列，公比为小.

5、对称性：若m+n=p+q,则%%=«：若m+n=2k,则％,•%=播.

6、前〃项和S,,的常用性质

m

①5附+“=Sm+qSn=Sn+q"Sm.

②5rtps2m-5布再旭-S2m,…构成公比为的等比数列“。一1)・

7、S奇与%的性质

等比数列｛(｝中，所有奇数项之和S奇与所有偶数项之和S偶具有的性质，设公比为小

(1)若共有2〃项，则率■=«；(2)若共有2〃十1项，5介i=q.

3奇3件

常用二级结论

①若加+〃+Z=2+q+〃，贝Ijamcina,=apaqar.

②有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，都等于首末两项的积：

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03探究核心题型

题型一：等比数列的概念及通项公式

【例题1】（2025•广东深圳•模拟预测）设数列｛%｝是各项均为正数的等比数列，其前〃项和为S“，若

a5-ai=15,a4-a2=6,则S5=（）

A.15B.16C.31D.—

16

【答案】C

【解析】因为数列｛《,｝是各项均为止数的等比数列，且%-q=15,%-%=6,

故卜「《二[，联立可得见咋”=?，化简可得2屋-5”2=0,

1。闯一〃⑼=6a.q[q-1）6

解得夕=；或行2,

当q=g时，q=-16,不符合题意，舍去；

当4=2时，q=1,

故选：C.

【例题2]若等比数列｛%｝满足已知4+%=-1，。/%=-3,则｛%｝的公比为（）

A.-2B.2C.-1D.4

【答案】A

【解析】设数列｛4｝的公比为4，则有4+。国=-1,%-〃4=_3,

①+。闯1+q1+q1-11

则=八工，即（/=一・

/2=]\-q/2+vi\—q=-3=32

故选：A.

【解题总结】

等比数列基本员运算的解题策略

（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量即，〃，/

一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解.

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（2）等比数列的前〃项和公式涉及对公比夕的分类讨论:

当夕=i时，§“=〃%；当qwi时，s"/（"q"）=w

I-q1-q

【变式1]已知｛%｝是公比不为1的等比数列，生值=-2026,若生,成等差数列，则生026=（）

A.1013B.-1013C.4052D.-4052

【答案】A

【解析】设等比数列W“｝的公比为,（q壬1），

因为。2,成等差数列，所以2G$=%+%，

即=aq?+。闻，解得q=或9=1（舍去），

所以阴。26=4。25。=一2026X^-£=1013.

故选：A.

【变式2】数列｛&｝是等比数列，且q+q=4,4+q=g,贝ij%*%;（）

A.16B.14C.12D.10

【答案】A

【解析】设等比数列应｝的公比为＜/,则卜+二

[%+/=。闻（1+如）=

解得〉

"2,"

因此，%+%=（。2+《）夕=8x2=16,

故选:A.

【变式3】记S,为等比数列｛%｝的前〃项和.若4-%=24,牝-4=72,则2=（）

4c

A.2"-1B.2-2l-w

131

口923D-------

•22-3"~'

【答案】D

【解析】设等比数列｛4｝的公比为q，则4=q尸，sj（i）,

Jq

4-。2=24

-72'-

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%q3_%q=%q(q2_i)=24

4,2\，解得q=3,%=i,

%q-6如=%如(y-1)=72

q(lT)1-3"3W-1

3=------=-----=-----

n\-q1-32

.5”3"-l31

a"2.3"T22-30-1

故选：D.

【变式4］（2025•高三•云南大理•开学考试）若等比数列｛《,｝满足血%=4%,则｛4｝的公比为（）

口

A.2B.J2C.舱D.—

2

【答案】B

【解析】设等比数列｛%｝的公比为％则%

A

由42a5=4出,可得41axq=4a国,

由等比数列的性质可得q工0,

月f以夕3=2a,

解得。=应.

故选：B.

题型二：等比数列的证明

【例题3]已知sina+cosa=〃.

2

(1)若。£(0,%)，k=-,求tana；

3

»2[

⑵设S”=sin"a+cos"a,证明：Sn=kSn_1——\_2(/?>3)；

（3）在（2）的条件下，若左=1,证明数列为等比数列并求邑的通项公式.

2

【解析】（1）由题意可得sina+ssa=q,①

则2sinacoscr=(sin«+cosa):-1--<0,

9

所以a€(1,%),sina>0,cos«<0,

,14

所以(sina-cosaf=l-2sinacosa=—,

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sina-cosa=

2+V14

sina=-----------

联立①②解得〈6

2-x/14

cosa=-----------

6

o；).|Sina9+2疝

m以tana=------=--------------.

cosa5

22

(2)证明：Q£=sina+cosa=A,S2=sina+cosa=\,

...(sina+cosa)--(sin2a+cos2a)k2—T

sinacosa=-----------------------------------------------」-----

22

故S”"sin"a+cos"a

=(sin«+coscr)-(sin/,-'a+cos"-1a)-cosasin"Ta-sinacos"7a

=(sina+cosa)•(sin/1-1a+co(7a)-sin«coscz(sinfl_2a+co^'_2a

=kS..「一~S“-2,〃之3.

乙

L2_1

（3）证明：由（2）得：S'=峪i—S._2(〃23),

7712

%=£时，有S”=-2，

41p14

则S“-15"_]=《5"一]一石5“_2=W(S“_[-《Sa_2),

又S|=sincr+COS6Z=—,S=sin'cr+cos2=1,s,，s._型=_2皿

5:■512525

所以｛S,「2邑.｝是以为首项，|为公比的等比数列:

同理邑341243

I-J-n-25S-n-l=?5Sw-I-&25Snn-Z2=5-(、Sw-l.-5-Sn-nZ2)1,

乂S|=sina+cosa=1,S、=sin:a+cos2a=1,S,--S.=1--=-*0,

人152*512525

所以母-23）是以言4为首项,;为公比的等比数列:

结合等比数列的通项公式，可得:

s，s=口(3尸s_»s=-i-(l)"-2

"255，"5、"T255

两式作差,得51=苦广+3|产=令飞|尸gm

故S广令+（凯

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【例题4】已知数列卜乙｝满足：%=1,%+3%=4","wN’.

(1)求证：+成等比数列；

(2)求数列｛%｝的前〃项和S”.

【解析】⑴由题意,4=1,。“+|+3%=4〃，

令a=%-〃+；，即4=q_]+(=：,

h%+1—(〃+1)+!4〃-3%—(〃+1)+巳-3(an-n+U

贝曲二---------尸=-----------i—或--------7^-3,

b111

"a—n+—a„-n-\—a„-n+—

"n4n4"4

所以数列｛a｝是首项为4=；,公比为夕=-3的等比数列，

所以4=如""=('(一3尸，

即可证明数列｛/-〃+；｝为等比数列.

(2)由(1)可知%-〃+，=!乂]一3严，

44

所以勺=葭(—3尸+〃—!，

44

则$”=4+。2+…+4=；[(-3)°+(-3)4・.+(—3严]+[(1-：)+(2-»・.+(〃—

\_(一3)°[1-(-3)”](I+mnn__1一(一3)”,2♦+〃

-4X-1-(-3)-24~164

【解题总结】

等比数列的判定方法

若S=q(0为非零常数，〃eN•或上匚=夕(夕为非零常数且〃22,人eM),则

定义法

｛%｝是等比数列

中项公式法若数列｛%｝中，a“HO且*'6「a…(〃€”)，则｛七｝是等比数列

若数列｛4｝的通项公式可写成(Gq均为非零常数，〃eM),则｛%｝是等

通项公式法

比数列

前〃项和公式法若数列｛明｝的前〃项和S,,=AF””•(攵为非零常数，#0,1)，则｛%｝是等比数列

【变式5】记S.为数列｛4｝的前〃项和，且q=l,2S*-S“=2〃+2.

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⑴求。2；

(2)证明:｛。“-2｝为等比数列；

⑶求S”.

【解析】(1)令〃=1，得2s2-，=4,而5=%=1,

则2(%+1)-1=4,得生=李

(2)由2S.—/1+2，

当。之2时，2szi-S“_]=2〃,

两式相减，可得2a向-4=2,即0/「2=：(%-2),

而q-2=-1,%-2=-g,则生一2=；(%-2),满足上式,

故｛/-2｝是首项为—1,公比为：的等比数列.

(3)方法一：由(2)可得%-2=-口，故勺=2-1)

故S“=2〃—=2〃-2+

方法二：由2S”广邑=2〃+2,得2[染「2(〃+1)+2]=5,-2〃+2,

而»-2十2-1,故数列｛S“-2〃+2｝是首项为1,公L匕为^•的等比数歹”,

故S“一2〃+2,故邑=2〃-2+

【变式6](2025•全国•模拟预测)记邑为数列｛〃”｝的前〃项和，已知4=1,%=2,

(S.+S,+JS/2=2S3.

(1)求。3，$3；

(2)证明：1-1匚为等比数列；

s

⑶求菊

【解析】⑴由（£+S2）S3=25；可得（1+1+2）易=2、（1+2『，故$3=|,进而％=S,—的卷一3=^|,

2s2

（2）由（s.+Sz）S/2=2S3可得S”=,一S用，

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故I-兴为等比数列，且公比为首项为目,

3

2(1Y-'

（3）由（2）知1一工-x-,即S,

S用3⑶

&=—!--=-x28=3X2=384

8

所以％。2xm2

【变式7】设数列｛4｝的前〃项和为邑凡=邑=1,且是公差为g的等差数歹U.

⑴证明：数列闺是等比数列；

⑵求｛4｝的通项公式；

（3）若%》〃?对于任意正整数〃均成立，求整数〃，的最大值.

【解析】（1）因为d—Sz—l,

由题意可知：数列［当4是以3=1为首项，公差为;的等差数列,

3”di2

“一一1

则于=+万（"一）二1"可得(〃+1)=S”,i=1

&(〃+1)，2

所以数列图是以2I为首项,公比吼的等比数列.

1〃

(2)由(I)可知：2s=ix(1-V*1即5=白|，且£=1,

n\Uj2"T

当心2时，则「，-加=£-曰=出坐二二

外nn-i2〃-2"-22〃一

1,〃=1

所以勺=卜〃一1)!・(〃2)

2^-1,7/>2

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(3)若丁)山对于任意正整数〃均成立,

若〃=1,则《=1>/〃，即m<l；

若。=2,则。2=0>洲,即w<0；

可得加<0,此时整数加的最大值为T,

若a3,则丝二31>0>一1,符合题意：

综上所述：整数机的最大值为-1.

【变式8］已知数列｛〃"｝满足q=2,点(见"%)在函数/(乃=/+2》的图象上，其中〃=1,2,3…，求

证：数列｛怆(1+4)｝是等比数列.

【解析】由已知得%+|=。；+2%,

所以%+i+i=(i+qj,

因为q=2,

所以4十两边同时取对数得

lg(l+%)=2lg(l+〃“)，即黑："=2,

所以｛怆。+。.)｝是以怆3为首项，公比为2的等比数列.

【变式9］己知在数列｛叫中，=-|,=|.当〃之2时，34+］=4%—.求证：｛-—为｝为

等比数列：

【解析】由题意，数列｛4｝中，4=|,

当时,3%=44-%,

即？4“-3%=可一凡一

UPa-a=-(a,-ci।)»------=.

"+it“3jt”n山〃“一4T3

・••｛%「〃”｝是以％-4=羡为首项，以g为公比的等比数列.

题型三：等比数列的常用性质

【例题5】已知整数数列｛6｝是等比数列，卅3+2。；+/牝=100，则4的最小值为.

【答案】-32

【解析】因为何｝是各项均为整数的等比数列，且〃4+2。；+。必=100,

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即4+2。必+4=1°0，即（生+4）2=100，故出+%=±10，

设等比数列｛为｝的公比为仁则&=牝夕2,则%、%同号，同理可知4、的同号，

要使得4取最小值，则。2<0，所以出+6二生（1+。2）=-10，

因为出CZ,则有生二二1,此时q=%2Z,不合乎题意；

［夕=±3q

或，2此时6="=±|,合乎题意,此时=a©4=-2乂16=-32：

4=±2q

或-2..，此时可="=±5,合乎题意，此时4=。©4=-5.

q=±iq

综上所述，4的最小值为-32.

故答案为：-32.

【例题6］已知｛4｝是等比数列，若外的分别是函数y=—+4x+2的两个零点，则%=.

【答案】-V2

【解析】外内分别是函数y=f+4x+2的两个零点,

&+%=-4

则（工，所以/

%%=2

乂a3a7=2=>aj=2=>a5=±Ja3al=±41,

由牝知，%<0，

所以=-五，

故答案为：-五

【解题总结】

（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若

/〃+〃=p+g=2Z,则狐q=%%=42.”，可以减少运算量，提高解题速度.

（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时

注意设而不求思想的运用.

【变式10】已知正项等比数列,3alM6一"Mi=2e，,则In%+ln&+…+卜％9=.

【答案】58

42

［解析】｛4｝是正项等比数列，则3a14a16-a9a2l=2e=3嫉-嫉=2。3«15=e,

2

所以Inq+hw2+…+In/g=仄①化…”29）==291nfl15=29Inc=58,

故答案为：58.

【变式11］已知等比数列｛%｝满足用=兀，则$皿用=______.

Jn

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【答案】正

2

【解析】由题意得所以sin2=sin¥=正.

3兀32

故答案为：立.

2

【变式12]已知各项均为正数的等比数列｛©｝满足七％=2&，则log2(4〃2…。必)=.

【答案】7

【解析】已知各项均为正数的等比数列｛〃“｝满足2・4=2。6,所以4=2《，所以%=2q,即%=2,

所以log?…4%)=1幅(«4)=log,=7.

故答案为：7.

【变式13】若等比数列｛/｝中的町，&)纠是方程/-4x+3=0的两个根，则

1(^34+log3tf2+10g3t/3+…+log3tf2025=_.

【答案】华2025/1012：1

22

【解析】由题意得®/的=4W024=3.

।.I、[)2024o2，0,4c2,(P4c2)0)4c

因zjqa2s=%夕…(，

20=3,a2a2024=a[q~~=3,...»al0l2aiQi4=a[r~=3ai(nicii(ni=a[q~~=3,

所以。山2025=。2白2。24=…=«1012^1014=3•

因为%>。，所以a=3上

U1OI3)

1A2025

2

则log.^+logs%+l0gM+…+l°g3%025=l°g3…&O25)=><)g331°"x3=.

故答案为：竽2025.

题型四：等比数列的前n项和公式及其性质

【例题7】(2025•广西•模拟预测)已知等比数列的首项为-1,前♦〃项和为S,,.若岳。二焉?,则夕的值

为一.

【答案】1/0.5

【解析】由金=1|以，可得注区=!，

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当q=l时，所以qwi,

当q"时，『=誓詈詈磬=六J所以展；

S5ax+a2+a3+a4+a5322

故答案为：；

【例题8】已知等比数列｛%｝的前〃项和为S.，若£=12,54=18,则既=

【答案】21

【解析】因为数列㈤｝是等比数列，所以S2,S4-S2,$6-邑戊等比数列,

因为品=12,s1,=18,所以S「S2=6,所以$6-$4=3,

所以$6=21.

故答案为:21

【解题总结】

（1）等比数列｛4｝中，所有奇数项之和无与所有偶数项之和与具有的性质，设公比为q.

①若共有2〃项，则红=9；②若共有2〃+1项，，%一6”

s奇s偶

（2）等比数列｛%｝中,S*表示它的前左项和.当…1时,有一，S”一耳，5”一5”，…乜成等比数列，

公比为力.

【变式14］设等比数列｛q｝的前〃项和为工，若率=6,则生=_.

【答案】31

【解析】因为｛q｝为等比数列，且SqHO,所以Sf,席-工成等比数列.

设邑=/1（/1W0）,则$8=6/1.

因则有（S「SJ=（无一SjS”即25储=（%-6/1）3所以配=312.

故率=31.

故答案为：31.

【变式15］（2025•河北秦皇岛•二模）已知等比数列｛/｝的前6项和为126,其中偶数项和是奇数项和

的2倍，则%=—.

【答案】2

q+生+%+4+牝+%=126q+《+%=42

【解析】由题设可得

a2+/+4=2（q+%+牝）a2+4+。6=84

若｛q｝的公比为夕，则生+&+/=（6+%+%）4=4=2,

15/68

所以4+%+%=q（l+q2+q4）=2lq=42,贝ijq=2.

故答案为：2

【变式16】若等比数列｛q｝共有奇数项，其首项为1,其偶数项和为17（）,奇数项和为341,则这个数列

的公比为—，项数为—.

【答案】29

【解析】在等比数列｛〃"｝中，由S奇=q+qS偶，得341=1+170外解得g=2,

I_72n+1

设这个数列共有2〃+1项，则号.“=（勺=341+170=511,解得〃=4,所以这个等比数列的项数为9.

故答案为：2；9

【变式17］（2025•高三・内蒙古包头•期中）记S”为公比不为1的等比数列｛4｝的前〃项和，若

为4同4,则公比六——，

【答案】一；/-0.5

【解析】由题设且夕人

所以邑=吗2=3,则1+夕+片

=3,

%。臼（1一夕）

所以2/_g_]=(2q+l)(q_l)=0,可得q=_/(q=l舍).

故答案为：-/

题型五：等比数列前n项和的实际应用

【例题9】李华从2015年起，每年10月1日到银行存入〃元，若年利率为八按复利计算，至J期自动转存,

那么2025年10月1口将前面的存款全部取出，可得本利和为（）

A.a（l+r）'°B,C.+尸）［（"）"TD.

rrr

【答案】D

【解析】依题意，2015年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为。（1+尸），

同理可得：2016年1（）月1日存入的a元，到2025年1（）月1日取出时的本利和为“1+尸『；

2017年10月1日存入的4元，到2025年10月1FI取出时的本利和为。

16/68

2024年10月1口存入的a元，到2025年10月1口取出时的本利和为“1+〃）.

所以，2025年10月1口取出前面的存款共有:

4（l+〃）+4（l+r）~+......+。（1+厂,+4（+/・/+〃（+厂）°=

1一（1+尸）

故选：D

【例题10]（2025-高三・江西宜春•开学考试）现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小

时分裂一次，即由I个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，I小时后，细胞总数约为

II3|3139

-X1000+-X1000x2=-x1000,2小时后,细胞总数约为一xmxl000+-x?xl000x2=±xl（）00,问当细

22222224

胞总数超过同。个时，所需时间至少为（）（参考数据：电3。0.477,坨2。0.301）

A.36小时B.38小时C.40小时D.42小时

【答案】C

【解析】记第〃小时后细胞的个数为%,则=

^.=1xl000,故｛%｝是首项为q=：xl000,公比为1的等比数列，

故%=31000x（：=1°、图，

令心->10,%得士>107,

⑶[2）

3-7=7_7〜3977

则〃唱鼻>7,故3Ig3-lg20.477-0.301,，

2g2

乂力为整数，故当细胞总数超过田0小时，所需时间至少为40小时.

故选：C

【解题总结】

等比数列在实际应用中广泛存在，其独特的性质使得它在金融、物理、生物学等多个领域都有重要的

应用。例如，在金融领域，等比数列可以用于计算复利、贷款分期偿还等问题；在物理学中，等比数列可

以用来描述某些放射性物质的衰变过程；在生物学中，它也可以用于描述种群数量的增长等。因此，掌握

等比数列的应用具有实际意义。

【变式18】我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而

税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为

”今有人持金出五关，第1关收税金为持金的第2关收税金为剩余金的：，第3关收税金为剩余金的;,

第4关收税金为剩余金的!，第5关收税金为剩余金的!，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多

56

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少71记这个人原来持金为。斤，则。=()

【答案】C

【解析】由题意知：这个人原来持金为。斤，

第I关收税金为：工。斤；

2

1(1、1

第2关收税金为g”=丁三七斤；

312J2x3

第3关收税金为:上七斤，

4126J3x4

以此类推可得的，第4关收税金为工⑶斤，第5关收税金为」斤,

4x55x6

.11111

所以一。+47+---a+a+a=1,

22x33x44x55x6

16

即•a1—4=),解得。=

I2233445566)5

故选：C.

【变式19】某企业年初贷款“万元，年利率为「，按复利计算，从年末开始，每年末偿还一定金额，计划

第5年底还清，则每年应偿还的金额数为()

a(l+r)’_广_八(1+rf七__6fr(l+r)5_匚_〜ar_

A.--「•力兀B.--「•万兀C.4万兀D.§万兀

(1+r)-l(1+r)-1(l+r)-l(1+r)

【答案】B

【解析】解:设每年应偿还的金额为x万元，

由题意,t#a(l+r)5=x+x(l+r)+x(l+r)2+x(l+r)3+x(l+r)4

x[l-(l+r)5]x[(l+rf-l

二—；一，

一一«r(l+r)5

所以x=,I)

(1+〃)-

故选：B

【变式20】洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的

最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍,

则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为()

A.16B.32C.48D.64

【答案】C

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【解析】由题意，从下往上“浮雕像”的数量成等比数列，设为｛%｝,

则£=378,公比2,所以S6=^l^=63q=378，

所以q=6,所以第4层“浮雕像”的数量为％=6x23=48.

故选：C

【变式21](2025•高三•北京海淀•期末)2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲

公司每个月盈利比前个月多200万元；乙公司每个月盈利比前个月增加10%.记甲、乙两公司在2023

年第4个月的盈利分别为0(")，2®(单位:万元).已知。@=1200,0式1)=1100,则。5)-乌(〃)最大时,

〃的值为()

(参考数据：Igll*0.0414,lg2«0.3010)

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】依题意,0(〃)=1200+200(〃-1)=1000+200”，0(〃)=1100x(1+10%厂=1000x1.F,

则0(〃)-&(〃)=1000(1+0,2〃-1.1"),令叫=1+0.2〃-1.1",

则叫—叱=0.2—l.l"x0.1=0.1(2-LI"),2>l.r<=>??Igl.l<lg2<»z/=7.2705,

1•1.V/i1f

因此当“47时，w»i>w“；当”28时，叫+]vw”,即吸最大，

所以当Q5)-0(〃)最大时，〃=8.

故选：B

题型六：公共项问题

【例题11】等差数列｛《,｝的前〃项和为S”，S§=25,%+24=19,数列｛4｝的通项将数列

｛%｝和数列出｝的公共项按从小到大的顺序排列构成数列£｝,则数列｛%｝的前50项和为()

A.25,-3B.251-52C.25O-51D.250-1

【答案】B

【解析】设等差数列｛〃“｝公差为d,又因为怎=25=5%，%+2%=19,所以%=5,%=7,所以d=2,

所以。“=。3+(〃一3"=方-1,且"=2"-1都是奇数，

所以他｝u｛4｝,所以将数列｛为｝和数列也｝的公共项按从小到大的顺序排列构成数列｛q｝u也｝,

所以数列｛qj的前50项和为〃=2"-1的前50项和，

所以2J1+2?-1+•••+2$°-1=马2——50=251-52.

1-2

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故选：B.

【例题12](2025-高三-天津河西-期中)将数列｛3〃-1｝与｛2”｝的公共项从小到大排列得到数列｛4｝,

则，=()

A.237B.238C.239D.241

【答案】D

【解析】数列｛2"｝中的项为2,4,8,16,32,64,128,256,…，

观察得到｛2”｝中的奇数项都是数歹中的项，

即2,8,32,128,…可以写成3〃-1的形式，其为公比为4的等比数列，

故%=2X4"T=22"T,故生|=2".

故选：D

【解题总结】

公共项问题涉及两个或多个数列中共同存在的项。这些项可能具有特定的数值和序号关系，需要利用

数列的通项公式和性质进行求解。例如，两个等差数列的公共项可以组成一个新的等差数列，其公差是两

原数列公差的最小公倍数。

【变式22](2025•高三•江西•期中)在等差数列｛6｝中，%,生，牝成公比不为1的等比数列，

10111

S”是｛4｝的前〃项和，将数列｛4｝与数列｛s“7｝的公共项从小到大排列得到新数列｛"｝,则()

«=i2

101010111

A.1