等差数列（3大考点+10大题型）-2026年新高考数学一轮复习（讲义+专练）原卷版

6.2等差数列

目录

01课标要求........................................................................2

02落实主干知识....................................................................3

一、等差数列的有关概念............................................................3

二、等差数列公式..................................................................3

三、性质...........................................................................3

常用二级结论......................................................................4

03探究核心题型....................................................................5

题型一：等差数列的概念及通项......................................................5

题型二：等差数列的证明............................................................6

题型三：等差数列的性质............................................................7

题型四：等差数列的前n项和问题....................................................8

题型五：与S”有关的最值问题......................8

题型六：奇数项和与偶数项和.......................................................9

题型七：实际应用问题.............................................................10

题型八：绝对值问题...............................................................11

题型九：等差数列中的不等关系问题................................................13

题型十：恒成立问题问题...........................................................14

04好题赏析（一题多解）..........................................................16

05数学思想方法...................................................................17

①数形结合........................................................................17

②转化与化归.....................................................................17

③分类讨论........................................................................18

06课时精练（真题、模拟题）......................................................19

基础过关篇........................................................................19

能力拓展篇.......................................................................20

1/23

01课标要求

I、理解等差数列的概念和通项公式的意义.

2、探索并掌握等差数列的前〃项和公式，理解等差数列的通项公式与前〃项和公式的关系.

3、能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.

4、体会等差数列与一元函数的关系.

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02落实主干知识1

一、等差数列的有关概念

（1）等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这人数列就叫做

等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为（常数）

（n€n>2）.

（2）等差中项

若三个数“，力，/）成等差数列，则力叫做〃与的等差中项，且有a+y

A=----

2

二、等差数列公式

（1）等差数列的通项公式

如果等差数列｛q｝的首项为q,公差为d,那么它的通项公式是

（2）等差数列的前〃项和公式

设等差数列｛%｝的公差为d,其前〃项和s“=㈣+若*d=〃⑷+*.

三、性质

I、由等差数列生成新的等差数列

（1）公差为d的等差数列｛4｝具有如下性质：下标成公差为〃7的等差数列的项4+2W，L组成以

为公差的等差数列，即在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差

数列.

（2）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的

公差是原两等差数列公差的最小公倍数.

（3）若｛跖｝,｛瓦｝分别是公差为d,d'的等差数列，则有

数列结论

{c+a”}公差为d的等差数列（c为任一常数）

{2}公差为cd的等差数列（c为任一常数）

公差为2d的等差数列

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{pa“+qb”}公差为pd+犯’的等差数列仍，q为常数)

2、若〃z+〃=p+q,则%p,qwN*).

(1)若〃z+〃=2%,则am+册=2%.(〃?,n,peN*)；

(2)若〃?+〃+/=2+q+广，则%+。“+%=%,+%+凡(〃?,〃,〃©//wN*).

(3)有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和：

%+%=。2+%=L=q+%+j=L•

3、若勺=见%=〃,则限=0.

常用二级结论

Ss_SSS—V

1、等差数列中：=r则有一2庶助一二2朗一附可以求出S3m,甚至S4,”.

m+nm-n2/»+m2m-m

2、等差数列｛册｝中：｛也｝为首项是外,公差是W的等差数列，若m+"=P+q,则=2

〃2mnpq

cc2S

特别的，若m+〃=2p,则有3L+、=j.

mnp

3、S,有最大值of",'；S„有最小值。[%<°八，若％=0,则有工=5自同时取得最值

㈤+i<0[册+1>0

S„>0S<0

>0,〃的最大值o｛"：5.<(),〃的最大值。”.

,'+|<0[>+i>]J

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03探究核心题型

题型一：等差数列的概念及通项

【例题1】记S.为等差数列｛%｝的前〃项和，已知邑=64,%+4=12%，则％=（）

A.22B.24C.28D.36

【例题2】在等差数列｛〃“｝中，品=30,则出+%-；%=（）

9

A.-B.2C.3D.6

2

【解题总结】

等差数列基本运算的常见类型及解题策略：

（1）求公差d或项数在求解时，一般要运用方程思想.

（2）求通项.“和"是等差数列的两个基本元素.

（3）求特定项.利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解.

（4）求前〃项和.利用等差数列的前〃项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.

【变式1】等差数列｛凡｝的公差40。，％=1，若生,牝成等比数列，以下正确的是（）

A.生=2B.%=4

C.%=5D.%=6

【变式2】记等差数列｛%｝的前〃项和为S,,,若％=2,$=式则｛q｝的公差为（）

A.1B.-1C.2D.-2

【变式3】记S.为等差数列｛%｝的前〃项和，若54=59吗=1，则（）

A.-2B.2C.-3D.3

【变式4］已知S”是等差数列｛aj的前〃项和，若£=%+1,q+%=4.则。凶=（）

13

.TB.4D.7

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题型二：等差数列的证明

【例题3】已知数列几｝的前〃项和为S”，满足5“=〃(％；%),证明：数列｛6,｝为等差数列.

“一|

【例题4】已知数列｛%｝的前〃项和S”=一％一I+2（〃wN）,令a=2%,求证：数列也｝是等差数

<2

列，并求数列｛为｝的通项公式.

【解题总结】

判断数列｛%｝是等差数列的常用方法

(1)定义法：对任意〃£N*M〃+1—是周一常数.

(2)等差中项法：对任意〃很,〃eN*,湍足2%=%+]+%_[.

(3)通项公式法：对任意〃EN",都满足q,=〃〃+q(p国为常数).

(4)前〃项和公式法：对任意〃wN，,都湍足S,,=/〃2+8〃(4,8为常数).

2

【变式5]已知正项数列血｝的前〃项和为S.,且凡+丁=2S”.

/!

⑴求6:

(2)证明｛S；｝是等差数列，并求｛。』的通项公式；

(3)若”二与£,记数列出｝的前〃项和为4,求G.

【变式6】已知数列｛%｝中，％=；,2/“=4+：.

(1)证明：数列｛2%,,｝是等差数列，并求数列｛4｝的通项公式;

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(2)求数列｛%｝的前〃项和S〃.

【变式7】(2025•高三•云南德宏•开学考试)设数列｛%｝的前〃项和为S”.已知《二1,

2s.12寸

一「〃2一一〃一；，〃EN.

〃33

(1)求生，4的值；

(2)求证：｛2｝为等差数列;

II

【变式8］(2025•高三•山东济南•开学考试)已知正项数列｛为｝的前〃项积为且满足

%=为(〃2.

n

⑴求证：数列忆｝为等差数列；

]

⑵令q求数列｛CJ的前〃项和s..

题型三；等差数列的性质

【例题5】已知等差数列｛%｝的前〃项和为S”，若$2=6,%=6,则%+6=.

【例题6］若｛%｝为等差数列，&+4=-3,则它的前12项和为

【解题总结】

如果｛%｝为等差数列，当机+〃=〃+,时，4阳+%=4〃+(()〃，〃，〃，［CN，).因此，出现

心--%,，-十“等项时，可以利用比性质将已知条件转化为与品(或其他项)有关的条件：若求品项，可

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a=aa

由m-（n,-n+4+”）转化为求a1rT+n+tn的值•

【变式9】设等差数列｛4｝的前〃项和为5,,,其=-2,5印=03£.2=3,则正整数々的值为.

【变式10］（2025•高三•安徽•开学考试）已知S”是等差数列｛q｝的前〃项和，57=54,则工=.

【变式11］（2025•甘肃白银•模拟预测）已知数列｛%｝的前〃项和为S”，且％+2=2%+「可，

“4+《5=ai0，则S［7=___.

【变式12］已知等差数列4的前〃项和为S”，若生+牝=1己则4=_.

题型四：等差数列的前n项和问题

【例题7】已知两个等差数列｛%｝和低｝的前〃项和分别为，和7；,且去=个言，则充=

【例题8】在等差数列｛%｝中，已知$6=10,几=30,则，8=—.

【解题总结】

在等差数列中，s”，S，n—S/SM—S*,…仍成等差数列；｛24也成等差数列.

n

【变式13】若S“为等差数列｛%｝的前〃项和，Ss=28,几=66,则%与%的等比中项为

【变式14］（2025•高三•湖北•开学考试）已知等差数列｛%｝，｛4｝的前〃项和分别为S”,却且

ir=—7~,则户.

【变式15】各项均为正数的等差数列｛%｝的前〃项和为s.,若§9=72,则％外的最大值为

【变式16］（2025•新疆喀什•模拟预测）已知S”是等差数列｛%｝的前〃项和，若£=124=40,则

品=___•

题型五：与S.有关的最值问题

【例题9】已知等差数列｛%｝前〃项和为S“，%+%+%=3,$=-11,则使S“取得最大值时〃的值为

（）

A.4B.5C.6D.7

8/23

【例题10］（2025•高三•河北张家口•期末）已知等差数列｛q｝的前〃项和为s”，且q>0岛=4《，则

%+S.取最大值时〃的值是（）

A.4B.5C.6D.10

【解题总结】

求等差数列前〃项和S”最值的2种方法

（1）函数法：利用等差数列前〃项和的函数表达式S“=a1+加，通过配方或借助图象求二次函数最

值的方法求解.

（2）邻项变号法：①若《>0,d<0,则满足1%？°八的项数〃?使得S”取得最大值S“；

K+i^0

②若q<0,d>0,则满足1％4°的项数〃?使得凡取得最小值S”,.

I*之0

【变式17］（2025•高三•辽宁•开学考试）已知等差数列｛〃”｝的前〃项和为S”，若%=2,岳=9,则使

S,最大的〃的值为（）

A.7B.8C.7或8D.8或9

【变式18］（2025•高三•浙江•开学考试）已知等差数列｛q｝的前〃项和S”满足：52025<52a24<52026,

则数列3■的最小项是第（）项.

A.2026B.2027C.4048D.4049

【变式19］（2025•江西•模拟预测）记S,为等差数列｛（｝的前〃项和，且〃=2q=2,则满足§,<888

的«的最大值为（）

A.40B.41C.42D.43

【变式20】（2025•江苏盐城•模拟预测）设等差数列｛。/的前〃项和为工，若q〈0,Sg：%,则当S.

取最小值时〃的值为（）

A.12B.13C.14D.25

题型六：奇数项和与偶数项和

【例题11］已知等差数列｛q｝的项数为奇数，且奇数项和为44,偶数项和为33,则数列的中间项为

项数为

【例题12］已知等差数列｛%｝共芍2〃-1项，奇数项之和为60,偶数项之和为54,则〃=.

【解题总结】

9/23

①若数列也｝共有2〃一1项，则§21=（2〃-M（4为中间项），S奇-S偶=/，*=’4；

3谓〃—1

（其中s『他餐="，5广（〃-阴+*）=（〃一1以）；

Xr乙

②若数列也J共有2〃项，则5方=〃（。“+。用）（%,4.为中间两项），S偶一5奇=〃"，S』斯+1.

S有an

【变式21］已知等差数列｛q｝的项数为2〃?+1（〃?CN）,其中奇数项之和为140,偶数项之和为12（）,则数

列｛%｝的项数是

【变式22］（2025•高三•四川成都•期中）数列｛氏｝满足：《=%=1,。2”+「出1=2,"=2,数列

a2n

｛%｝的前〃项和记为S“，则§2广_.

【变式23］等差数列｛4｝共有2〃+1项，所有的奇数项之和为132,所有的偶数项之和为120,贝门等

于—.

【变式24］在等差数列｛4,｝中，已知公差d=g,且q+%+%+L+须=60,则

q+4+4+L+4必=.

【变式25］已知等差数列｛q｝的前〃项和为377,项数〃为奇数，且前〃项中，奇数项的和与偶数项的和

之比为7:6,则中间项为.

题型七：实际应用问题

【例题13】某幼儿园老师为了奖励舞蹈比赛成绩前4名的小朋友，将购买的64块巧克力分给她们，使每

人所得巧克力的块数成等差数列，且使较多的两份巧克力的块数之和是最少•份的巧克力的块数的12倍，

则分得巧克力块数最多的小朋友得到（）

A.22块B.24块C.28块D.36块

【例题14］（2025•安徽合肥•二模）《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对

我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，

如“九儿问甲歌“：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少

岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（）

A.23岁B.32岁C.35岁D.38岁

【解题总结】

利用等差数列的通项公式与求和公式求解.

【变式26］（2025•四川绵阳•模拟预测）某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行

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美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排,

则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（）

A.380B.390C.400D.600

【变式27］古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们将石子摆放成三角形（如

图），三角形中的石子个数依次为1,3,6,10,…，这些数称为三角形数.若将这些三角形数中能被3整

除的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列｛4｝（〃£N*）,则出5=（）

A.666B.705C.741D.780

【变式28］（2025・高三•河南新乡・开学考试）某会场的座位呈扇形分布，第一排有15个座位，从第二

排起，每一排都比前一排多两个座位，已知该会场能容纳一个700人的代表团，则该会场的座位至少有

（）

A.20排B.21排C.22排D.23排

【变式29］（2025•江苏宿迁•模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大

寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其口影长依次成等差数

列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（）

A.15B.16C.17D.18

题型八：绝对值问题

【例题15］（2025•福建漳州・模拟预测）已知数列｛%｝为等差数列，氏=9,%+《+%=33.

（1）求数列｛%｝的通项公式.

（2）若"+勺=19,求数列｛囚|｝的前〃项和S”.

【例题16］己知数列｛%｝的前〃项和为S,,=100〃—数列也;的通项"=卜』，求数列也｝的前〃项和4.

【解题总结】

11/23

由正项开始的递减等差数列｛""｝的绝对值求和的计算题解题步骤如下:

(1)首先找出零值或者符号由正变负的项"为

(2)在对〃进行讨论，当〃时,窘=，,当"，时，*=2S%-1

【变式30］记S”为数列｛4｝的前〃项和，已知g=-2,2S.=〃(a.-4).

(I)求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛以|｝的前〃项和

【变式31］(2025•高三•河北保定•开学考试)已知等差数列｛%｝的前〃项和为S”，且

£=775,4=-29.

(1)求｛〃”｝的通项公式：

(2)求数列｛|凡|｝的前〃项和善.

【变式32］已知数列｛4｝中，卬=-(氏”=51，记

(1)求证：数列出｝是等差数列，并求出小

(2)设看=间+向|+…+心|,求7；.

【变式33】己知数歹ij｛(｝的前“项和S,=/一7〃一8.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)求｛㈤｝的前〃项和乙.

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题型九：等差数列中的不等关系问题

【例题17］（多选题）已知公差d不为0的等差数列｛〃“｝的前〃项和为，，且导=&,则下列结论正确的

有（）

A.4=0B.a4+a5+a^=0

C.当dvO时，S"中只有S$最大D.当d>0时，52>0

【例题18］（多选题）数列｛4｝为等差数列，，为其前〃项和，己知（=2,55=-30,贝IJ（）

A.a7>0B.｛6｝为单调递增数列

C.使S”>0的〃的最小值为18D.当且仅当〃=8时，S,最小

【解题总结】

（1）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列｛%｝是递增数列OV”€N,

a“+N4恒成立

（2）数列为=/（〃）的单调性与y=/（x）,xe［l,4<0）的单调性不完全一致.

一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理.但若数列对应的连续函数

是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题.即“离散函数有单调性力连续函数由单调性;

连续函数有单调性=>离散函数有单•调性

【变式34］（多选题）（2025•高三•安徽•开学考试）已知等差数列｛%｝的首项为外,公差为4,前〃项

和为S”，若S2a几VS2。，则下列说法正确的是（）

A.当〃=20时，S”最大B.使得S”<0成立的最小自然数〃=40

sS,

C.何9+。20|>|。21+。22|D.，-22•，中最小项为q

qja2\

【变式35］（多选题）设s”是等差数列｛为｝的前〃项和，若几>0,幺<T,则下列结论正确的是（）

%

A.B.〃=7时，S”最大

C.使1>0的〃的最大值为13D.数列〔中的最小项为第8项

l«J

【变式36］（多选题）（2025•高三•湖南•期中）设等差数列｛为｝的前〃项和为S,,,公差为d,已知

凡<0,4>。.则（）

A.a5>0B.d>0

C.S〃>0时，〃的最小值为11D.S.最小时，〃=6

【变式37］（多选题）（2025•高三•湖北•期中）设等差数列｛q｝的前〃项和为S”，公差为d,%>0,

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&+%>0,4刀7<0，下列结论正确的是（）.

A.4<°，%>0B.d<0C.$3VoD.当〃=7时，S”最大

【变式38］（多选题）已知等差数列｛%｝的首项为生公差为d,前〃项和为S”，若&<&<£,则下列

说法正确的是（）

A.当〃=9时，S“最大

B.使得S,<0成立的最小自然数〃=18

C.|仆+%|>何0+町|

D.数列中最小项为气

题型十：恒成立问题问题

【例题19］（2025•安徽合肥•模拟预测）已知数列｛4｝是公差为d的等差数列，其前〃项和为S.且

a"="2,若S.WS5对任意的〃eN恒成立，则公差”的取值范围为一.

【例题20】已知数列｛4｝是等比数列，且％=2,42，2%,,%成等差数列.若a=/+2•（-1）",且

b„<乃川对任意〃eN恒成立，则实数2的取值范围是.

【解题总结】

等差数列中的范围与恒成立问题是数列研究的重要方面。这类问题通常涉及数列的通项公式、前n

项和公式以及不等式性质的应用。解决这类问题时，需要首先根据题意设定合适的变量，建立等差数列的

通项或前n项和的不等式，然后利用不等式的性质进行推导，最终确定变量的取值范围，使得原不等式恒

成立。

【变式39】（2025•高三•湖北武汉•开学考试）已知数列｛4｝的前〃项和为S”，且q=加，

“4"-",若对任意的等式£~=久恒成立，则"7+2=.

【变式40］（2025•山东潍坊•模拟预测）已知｛%｝是公差为2的等差数列，其前“顶和为S，邑是％与

%的等差中项，则4=—:设“=（（）•4，若对VAwN',使得“<2恒成立，则见的取值范围为

【变式41］（2025•江苏无锡•模拟预测）己知数列｛4｝的前〃项和为S“，q=切，2〃4=+〃（〃-1）,

s

若对任意〃eN'，等式=A恒成立，则〃?=—.

【变式42］已知数列｛叫满足:%+%+2=2。川对〃eN•恒成立，且巴<T,其前〃项和S”有最大值，则使得

%

14/23

2>。的最大的〃的值是.

【变式43】设S“是公差为4（4。0）的无穷等差数列｛%｝的前〃项和，则下列命题正确的是,

①若d<0,则数歹ij｛S“｝有最大项；②若数列｛S,｝有最大项，则"<0

③若数列对任意的〃wN*,S.T>S"恒成立，则S”>0

④若对任意的〃cN*,均有S“>0,则S,川>S,r恒成立

15/23

04好题赏析（一题多解）I

s

I.记S.为数列｛《,｝的前〃项和，设甲：｛可｝为等差数列：乙：:为等差数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

=

2.己知数列｛q｝满足q=0,2«,1+1一（If,,1,〃WN*，则“2026=（）

20242025八20252026

A.B.------。2026

202520242025

3.设等差数列｛4｝的前〃项和为S.，若Sm=-3,Sm+1=0,Sm+2=4,则m=(

A.8B.7C.6D.5

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①数形结合

1.北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长

方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有。友（。=6+1）个

小球，第二层有（〃+l）S+l）个小球，第三层有（。+2）佐+2）个小球••…依此类推，最底层有〃个小球，

共有〃层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168,则该垛积的第一层的小球

个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.已知，若|，+5|，|1+2公，|N+2v了|成等差数列，则［5|二（）

A.0或1B.1或叵C.1或豆更D.0或2史

171717

3.已知实数x,乃z满足0<N<?/<z<7r,且sinx,siny,sinz可以按照某个顺序排成等差数列,

则（）

A.sinx不可能是等差中项B.siny不可能是等差中项

C.sinz不可能是等差中项D.sinx,siny,sinz都可能是等差中项

②转化与化归

4.等差数列｛3｝、｛4｝的前“项和分别为S”与小且3苦，则?()

1412267

A.—B.—C.—D.一

97154

5.已知正项等差数列｛/｝满足＞：的：…%I=£N),则誓=()

，+05+•••+。2”+1n+2。2

A.4050B.2025C.4048D.2024

6.已知数列｛%｝满足：4=2,4m——八£N：则卬。。二()

〃十%

17/23

2001005019

A.——B.C.D.

199994920

③分类讨论

7.记数列｛4｝的前〃项和为S“，若闻=〃，则同+同+…+*的值不可能为（）

A.96B.98C.100D.102

8.己知等比数列应｝,满足4q.3%,成等差数列，且2%＞《+%，则数列｛/｝的公匕为（）

1

，B.-C.2D.3

A22

9.数列｛可｝的前〃项和为S”，潢足q,.「/=4e｛l,3｝吗=2,则%可能的不同取值的个数为（）

A.45B.46C.90D.91

18/23

基础过关篇

1.（2025年高考北京卷数学真题；已知｛4｝是公差不为零的等差数列，q=-2,若%，%，4成等比数歹U，

则《0=（）

A.-20B.-18C.16D.18

2.（2025年高考天津卷数学真题；S.=T/+8〃，则数列仙小的前时项和为（）

A.112B.48C.80D.64

3.（2025年高考全国二卷数学真题）记S”为等差数列｛为｝的前〃项和.若邑=6,05=-5,则$6=（）

A.-20B.-15C.-10D.-5

4.（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列｛%｝的前〃项和为S.，若Sg=l,则为+%=

()

72

A.-2B.-C.1D.-

39

5.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记S.为等差数列｛%｝的前〃项和，已知S5=Bo，%=1,则

4=（）

717

A-B.-C.--D.——

13311

6.（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记S”为等差数列｛/｝的前〃项和.若%+%=10,。必=45,则

S5=（）

A.25B.22C.20D.15

7.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列｛%｝的公差为菖，集合S=tosa/"N'｝,若

S=｛d/>｝,则（）

A.-1B.--C.0D.y

8.（2023年新课标全国【卷数学真题）记S”为数列｛凡｝的前〃项和，设甲：｛%｝为等差数列；乙：*｝为

等差数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

19/23

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

9.（2025年上海秋季高考数学真题（网络收集版））已知等差数列｛%｝的首项％=-3,公差d=2,则该数

列的前6项和为.

10.（2024年新课标全国II卷数学真题）记S”为等差数列应｝的前〃项和，若％+卬=7,3生+%=5,则

So=•

11.（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于研码

的、用来测量物体质量的“环权已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列｛%｝,

该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且卬=1,%=12,%=192,则％=；数列｛%｝所有

项的和为.

12.（2022年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知等差数列｛《,｝的公差不为零，S”为其前〃项和，

若邑=0,则*（i=0,l,2…,100）中不同的数值有_____个.

13.（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记S,为等差数列｛5｝的前〃项和，已知。2=U，品=40.

⑴求㈤｝的通项公式；

⑵求数列｛|%|｝的前〃项和

2

14.（2023年新课标全国I卷数学真题）设等差数列｛4｝的公差为d,且d>l.令g.记邑,7；分

别为数列｛4｝,｛"｝的前〃项和.

⑴若肛=3q+%,$3+4=21,求｛《,｝的通项公式；

（2）若也｝为等差数列，fi^-7；9=99,求d.

能力拓展篇

1.（2025•广西•模拟预测）设等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若£=4,工+2=03…=—6,则％=（）

A.2B.4C.6D.8

20/23

2.（2025•浙江•模拟预测）已知实数ab,c构成公差为4的等差数列，若abc=2,b<0,则d的取值

范围为（）

A.卜哈一6]U[右,的）B.（-OO,-2）U[2,-H»）

C.18,->/5）U[后,+可D.（-0-3）U[3,位）

3.（多选题）（2025•河北邯郸•一模）已知S,为等差数列｛%｝的前〃项和，则（）

A.若S“=2n2+n,则a„=2n+i

B.邑,鼠-凡国-%成等差数列

C.S”,S2”,S3〃可能成等差数列

D.S”,§2”,§3“可能成等比数列

4.（多选题）（2025•高三・贵州•开学考试）已知数列｛为｝满足。向=善鼻'，%=；,其中-0,则

（）

A.a2=/

B.为等差数列

4

C.数列<——;卜的前〃项和为〃2+〃

M+1J

D.数列｛疯不｝的前99项和大于180

5.（多选题）（2025•黑龙江大庆•一模）已知数列｛叫的前〃项和为“％=9,勺=。川+3,则下列说法正

确的是（）

A.a5-a｝=-12B.｛%｝是递增数列

C.当〃>4时，an<0D.当〃=3或4时，g取得最大值

6.（多选题）（2025•湖南湘潭•一模）已知数列｛%｝的通项公式为<=石（〃-1）+1,前〃项和为S.，数

列｛"｝满足/也=*