第一章 集合、常用逻辑用语、不等式（单元测试）解析版-2026年新高考数学一轮复习

第一章集合、常用逻辑用语、不等式(单元测试)

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小区答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

I.已知集合/={.ECZ|-X2—X+2>0},4=[—3,2],则力Cl〃=()

A.(-3,2)B.[-1,0]C.)-1,0}D.{-3,2}

【答案】C

【解析】A={xeZ\-x2-x+2>6\,

V-X2-X+2=-(X+2)(X-1)>0,解得-2Vx<1,

AJ={A-GZ|-2<X<1}={-1,0},又3=[—3,2],

所以404={-1,0}

故选：C

2.已知向量不二(8皿1),万二(sina,⑹，则“a=《”是“向量共线”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】A

【解析】当a=g时，向量6=(4,6]，因为B=所以向量无5共线成立；

由向量2=(cosa,l),〃=(sina,3)共线，有sina=xAcosa,此时a=Wt+*MeZ,

J

所以“a寸堤响量比B共线”的充分不必要条件.

故选:A

3.集合M41k归百,xwZ},则"的子集个数为()

A.3B.4C.8D.16

【答案】C

1/10

【解析】因为M={H-限xwGxeZ}={T,OR,

故子集个数为23=8，

故选：C.

4.已知集合，”=卜,2-X-6<0},={x|log2x<2},P={x|,reMoN,xMn,则/>=()

A.(0,3)B.(-2,4]c.(-2,0)U[3,4]D.(-2,0]U[3,4]

【答案】D

【解析】A/={x|(x+2)(x-3)<0}=(-2,3),A^={x|log2x<log24}=(0,4],

则McN=(0,3),MUiV=(-2,4],

故P=(-2,0]U[3,4].

故选:D.

5.已知正数X,V满足2，,4'=4〜则2x+y的最小值是()

9

A.2x/2B.9C.-D.13

【答案】c

【蟀析】由2*4=4卬,则2J22P=22%^ix+2y=2xy,M—+-=1,

2yx

所以2x+y=(2x+y)[；+L]j+l+[22p^+K，

\2yx)yx2\yx22

Xv3

当且仅当一二」，即x=y时等号成立，

yx2

9

所以2x+y的最小值是

故选：C.

6.D8Pseck由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能(AI)的

中国初创公司.其川模型于2024年年底发布，此模型足以媲美ChaiGPT,一经推出便成为全球热门话题.利

用AI进行学习已经成为•种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种AI模型运算参差不齐.技术人员

对〃个AI模型进行测试，测试由“道题组成，每个AI模型都对这7道题逐一进行求解.若一道题至少有彳〃

个AI模型未解对，则称此题为难题；若一个AI模型至少解出了,机道题，则该AI模型测试成绩合格.如果

测试至少有2:〃个AI模型成绩合格，且测试中至少有:2〃?道题为难题，那么〃力的最小值为()

A.6B.9C.18D.27

【答案】B

2/10

22

【解析】设有X个AI模型合格，V道题为难题，则阳,

依题意有x・；m+y：〃,

所以x-/〃<nut-y-n<mn——m—n

3333

25

所以；"KxK，

36

2,22

同理y•一〃<mn-x-—m<mn—rn•—n

333

2”，

3-6

要使两式有整数解,则〃叱3,〃23,所以m〃之9.

当川=3/=3时,若3个AI模型生答题情况如卜表:

题目1题目2题目3

A17X

AhX7

Ah7XX

则有2个AI模型合格，2个难题，符合题意，所以〃，7的最小值为9.

故选：B

7.若毋+4/=5,且〃z>(),〃〉()，则〃的最大值为()

2〃+3

A.-B.1C.拉D.—

【答案】B

【解析】因为小+4/=5，

所以吁&L二40"1)二+(2〃+1)2m'+4n2+4/J+1_4〃+6

2〃+32〃+3-2(2〃+3)2(2〃+3)--2(2〃+3)

m=2

当且仅当，〃=2〃+1,即，1时取等号.

n=­

2

故选：B.

8.两个集合A和8,用A中元素为第一元素，8中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的

集合叫作A和8的笛卡尔积，又称直积，记为4x3,即4x8=(x,y)keayw8}.关于非空集合4&C,

下列说法正确的是()

3/10

A.若/=｛1,2｝,B=｛2,3｝,则为X.=｛（1,2）,（1,3）,（2,3）｝

B.若集合44的元素个数分别为〃?，〃，则力x3的元素个数为〃?+〃

C.AxB=BxA

D.4x（snc）=（/xs）n（力X。）

【答案】D

【解析】对于A,/x3=｛0,2）,（l,3）,（2,3）,（2,2）｝,故A错误;

对于B,设4・U｝,8=｛2,3｝,财力x8=｛（l,2）,（l,3）｝,4x8的元素个数为2,不是3,故B错误；

对于C,结合B的实例，4x8=｛（l,2）,（1,3）｝,而月x/=｛（2,1）,（31）｝,两者不相同，故C错误；

对于D,任意S€4X（8CC）,则存在。€4b€8n。，

使得S=（4,力），因为人且6wC,故se且se4xC,

故f£（4X8）C（4XC）,故4x（8cC）q（4x4）c（4xC）

任意（力XA）C（ZKC）,则存在“eZ,花仇uwC，使得/=（""），

AxByteAxC,故r"x（8cC）,故（4x8）c（4xC）q/x（8cC）,

故（4x8）c（力xC）=/x（8cC）,

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.图中阴影部分所表示的集合是（）

A.NPiq//B.Mc£Nc.[awnN)]nND.(则《MJ

【答案】

【解析】

如图,

A选项:则Nc%M=②，故A正确;

B选项:4N=g@,则河口4声=④，故B错误:

4/10

c选项：A/DN=③，MMcNj=①+②+④，则氏wnN)]nN=②，故c正确：

D选项：(翔W)n(uN)=①，故D错误.

故选：AC.

10.已知实数满足ab>0,则()

A.a+b<abB.—I—N2

ah

C.若a>b,则[JD.若avb,m>0,则2<^^(/)+小。0)

abbb+m

【答案】BC

【解•析】对于A,当。=力=2时，a+b=ab=4,故A错误；

对于B,因。6>0,则£>0,->0,则2+且N2、红=2,

baab\ab

等号成立时/=62,故B正确：

对丁C,因心〃且Wi>0,则，一2三一■<(),则，故C正确；

ababab

对于D,若。=-2,6=-1,机=2,则：=2>>卫=(),故D错误.

bb+ni

故选：BC

11.已知。>b,若加+2x+b20对一切实数x恒成立，且一元二次方程办2+2x+6=0有实数根，则()

..o/八r'(l-byj2「a-byj2

A.a>0nB.a<0C.-----<D.-----<--

a'+b-6a~+b~4

【答案】AD

a>0

【解析】因为#+2x+Z)N0对一切实数x恒成立，所以//wc，

4-4ab<,0

因为•元二次方程翻2+2工+6=0有实数根，所以4-4帅之0,

所以4-4。力=0,故a>b>0,HPfl-6>0,ab=\,

a-b_1_1<1五

所以/+〃-a2+b2~(-b)22abs—尸——

a+2x/24,

a-b〃一/1

当且仅当a-/)=72时不等式取等号.

故选：AD

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.命题“小£风/_》>0"的否定是.

【答案】VXGR,X2-X<0

【解析】由存在量诃命题的否定为全称量诃命题可得:

5/10

“占GR,.d7>0”的否定是“VxeR,1740”，

故答案为:UVX€R,X2-X<0M.

13.设集合4={x|x=3A+2,%cZ},8={x|x=5%+4,〃wZ},在集合Xc8的所有元素中，绝对值最小的

元素是.

【答案】-1

【解析】彳二"|产3"2,%£2}二卜-1,一1,2,5,8,--},8={x|x=5攵+4,%eZ}={…,-6,T49,…},

显然集合4c4的所有元素中，绝对值最小的元素是-1.

故答案为：-1.

14.设xeR,我们常用区来表示不超过x的最大整数.如：［-4.1］=-5,［2.3］=2.若xi+yZ/e

则［2x］=,若x是方程V-国一2=0的实数解，则工=.

【答案】2a+l-1或6或2

【解析】若；/)，则2x=2aI2尸,2aeZ2«l,2),故［2x］=2ail

因为f一［同一？：。，故f_2=［x］,

因为［x］Wx,故X2-2WX,故T&X&2,故［x］=-l,0,l,2,

若国=-1，则x?=l，又川=1，卜1］=T，故》=-1符合：

若付=0,则f=2,故x=±VL又［及］=L卜及］=2不符合区=0,均舍；

若国=1.则f=3，故x=土石，乂［百］=1,［一有卜一2,故X=右符合；

若田=2,则丁=4,故x=±2,又［2］=2卜2］=-2,故工=2符合;

综上»x=-1或x=G或x=2.

故答案为：2〃+1,-1或行或2

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(13分)

已知集合尸={x|3«xW9},集合。={x|x«a+l或xNa+5}.

(1)若xeQ是xw。成立的必要不充分条件，求。的取值范围；

(2)若PDQ=R,求。的取值范围.

【解析】(1)由xsQ是xwP成立的必要不充分条件，得集合尸真包含于集合0，

则a+543或“+1A9,解得或。28,

所以。的取值范围是-2或。之8.

(2)依题意，\Q={x\a+\<x<a+5}f由Pu0=R,得(6。)^尸，

6/10

£7+1>3

则{解得2Ma—，

a+5<9

所以。的取值范围是2«a«4.

16.(15分)

已知集合力={x[l<x<3},集合B={x\2m<x<\-m].

(1)当/〃=一1时，求

(2)若力求实数加的取值范围；

(3)若4n8=8,求实数〃z的取值范围.

【解析】(1)由〃?=一1,则8二{工|一2<2},故ND8={X[—2<X<3}；

<>1

(2)由则<、.，可得加4一2；

1-zn>3

(3)由/n8=8,即8=月,

若3=0,则2/1-"?,可得〃?

若5X0,则1W2m<1-ZH<3,无解;

综上，

17.(15分)

美国国家海洋和大气管理局(NOAA)最近发布的一则预测弓发全球关注：预计在2024年6月，拉尼娜现

象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暧的趋势.某企业欲生产•款防暑

降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成：

①固定成本(与生产产品的数量无关)：20万元；

/2X

②生产所需材料成本：101+为万元，虫单位：万套)为每月生产产品的套数.

(1)该企业每月产量X为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？

(2)若每月生产x万套产品，每万套售价为：(30+亲]万元，假设每套产品都能够售出，如该企业应如

何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于625万元.

【解析】⑴由题设，平均每万套的成本y=10+景竽1°+2舟弓=12,

当且仅当丫=20万套时取等号，平均每万套的成本最低为12万元/万套；

(2)由题设，该套装每月的利润为/(x)=x(30+言-(10x+玲)-20=20x+景20,

所以/(X)=—+20x—202625,可得/+400.v-12900=(x-30)(x+430)>0,

7/10

所以xN30,即该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于625万元.

18.(17分)

关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的,

但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一通过运算(代数变形)可以解决很多关于基

本不等式的问题.

例如此题：已知a,b为正实数，且a+b=l,则2+：的最小值为

ab

其解法如下2+1=2+匕心=2+色+122、的［?+1=3,当且仅当2=?,即〃=%=!时，等号成立，

ababab\abab2

因此2+!的最小值为3.

ab

波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成

群生长”.根据上述材料解决以下问题.

(1)已知a,b,c为正实数，且a+b+c=l,求证：一［+,24；

a+bc

14〃

(2)已知。>0,A>0,且。+〃=1,则一+---7的最小值是多少？

4a2a+b

(3)某同学在解决题目“已知x为正实数,y为非负实数，且x-2y=2,则口+用的最小值是多少？”

时，给出如下解法：

令f=y+21).则x+2v=2化为x+2t=4.

原式

?+12(/-I)21~14、八12121,12、/r\_ly,2x2外、9出口

=-----1-------=XH1-2(/H2)=(x+2z-4)dF—=—F—=—(一•F—)(x+2z)=—(5H---1--)之"7当且

xtxtxtxt4xt4/x4

2/2r441

仅当幺二三即x=/=2,即x=?，P=:时，等号成立.

xt333

利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知小beR,〃+/)=4,则工+上的最大

a'+\3+1

值是多少？

匚、z,x1Ia+h+ca+b+c_ca+h、__/ca+h

【解析】(1)----+-=------+-------=2+----+---->2+2---------=4t,

a+bca+bca+bc\a+bc

当且仅当‘7=史女，即c=〃+6=(时，等号成立，得证.

a+bc2

14a14G67+1-674aa+14a1,17

(2)_____=_+_____=____+__=_______>2—_=_

4。2a+b4。a+(a+b)4aa+\4aa+\444

当且仅当限=券‘即八表寸‘等号成立,

8/10

则—b的最小值畤

2:2

11=a+b+2=(a+b)+2-2ab=\S-2ab

(3)/+1+b2+\-面+1清+1)-(ab)2+(a+b)2-2ab+\~(ab)2-2ab+\l

令t=ab&(-y—)2=4,原式:品着令.94,

2〃2〃2/2百+2

原式(9—//)*—2(9—//)+17//2-16//+80〃+80_]68>/5—164，

〃

当且仅当〃=一,即〃=4石，/=劭=9-40时，等号成立.

〃

所以上+Q•的最大值为&N.

4~+13+14

19.（17分）

若为定义域。上的单的函数，且存在区间卬）仁。（其中a<b）,使得当工武。,同时，/（x）的取

值范围恰为［。,可，则称函数/（力是。上的“优美函数