第四章 图形的相似（复习讲义）-北师大版九年级数学上册（附答案）

第四章图形的相似（复习讲义）

工区

单元目标聚焦•明核心

1.了解成比例线段、比例性质、平行线分线段成比例、相似三角形、位似等概念的意义，

体会图形相似相关知识之旬的整体联系.

2.能用比例的基本性质、和比性质等进行比例运算；能利用平行线分线段成比例定理及其

推论解决线段比例问题；能运用相似三角形的判定和性质解决相关问题：能利用位似变换作

图（放大或缩小图形）.

3.理解并利用相似三角形的性质测量河的宽度、计算不能直接测量的物体高度或深度等实

际问题.

又又

知识图造梳理•固基岫

在四条线段中,如果其中曲条线用的比等于另外

试卷第1页，共23页

【知识点01】成比例线段

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例

线段.

1）若四条线段。、〃、d成比例，则记作或Q：/）=C：d.注意：四条线段的;立置

bd

不能随意颠倒.

2）四条线段。、b、c、4的单位应一致（有时为了计算方使，《、匕的单位一致，Jd

的单位一致也可以）

3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分

别计算第一和笫二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是.

【知识点02】比例的性质

1）比例的重要性质：

基本性质：若/=则〃=加；反之，也成立.和比性质：若£=则

baba

a±bc±d

----=-----•

bd'

更比性质：若?=：，则2=3；反比性质：若£=则"J

bacdbciac

Hr-3工什〃cm/r,八\a+c+・・・+"?a

等比性质：右：=—（b+d+…+〃00）,则-----------=—.

hdnb+d+…b

2）拓展：（T比例式中，£=三或3b=c：d）中，。、d叫外项，b、。叫内项，。、。叫前

b（I

项，b、d叫后项，如果2>=c,那么力叫做。、d的比例中项.

感把线段月8分成两条线段力。和4C,使力叫做把线段力5黄金分割，。叫做线

段48的黄金分割点.

【知识点03】平行线分线段成比例

平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

推论：平行丁三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例.

【知识点04】相似三角形的相关概念、判定和性质

1）相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个「角形是相似三角形.

三角形相似具有传递性.

2）相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比.相似三角形对应边的比是有顺序的.

3）相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定

是相似二角形.

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若两个相似三角形的相似比是1,则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是

相似三角形的一种特例.

4)相似三角形的判定

判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.

判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.

判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相

似.

判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似(此知识常用,

用时需要证明).

5)相似三角形的性质

①对应角相等，对应边的比相等；

②拓展：对应高的比,对应中线的比.对应角平分线的比都等干相似比.

③相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.(相似多边形周长比等于

相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方.)

【知识点05】利用相似三角形测高

1、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度.

2、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，

被测物体必须是共中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则.

【知识点061位似及位似作图

1、位似的概念及性质

(1)两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的

两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.

(2)相似图形与位似图形的区别与联系：区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似

图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有.

联系：位似图形是特殊的相似图形.

(3)位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质.

(4)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比.

2、利用位似变换作图(放大或缩小图形)

利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1,则通过位似变换把原图形放大；

若位似比小于1,则逋过位似变换把原图形缩小.

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画位似图形的•般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原

图的关键点并延长）；③根据相似比确定各线段的长度：④顺次连接上述个点，得到图形.

3、图形的变换与坐标

（1）平移：①图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移〃个

单位时，横坐标应相应地加〃个单位，反之则减；②图形沿y轴平移后，所得新图形的各

对应点的横坐标不变，纵坐标上加、下减.

（2）轴对称：①图形沿）轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反

数；②图形沿），轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数.

（3）以原点为位似中心的位似变换

在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为〃，那么位似图形对应

点的坐标的比等于A（对应点在位似中心同侧）或者U（对应点在位似中心异侧）.即：若设

原图形的某一点的坐标为（〃，，，?），则其位似图形对应点的坐标为（也，，如）或（km,kn）.

■2,JL

考点题型突破•拓思维

题型一判断是否是成比例线段

【例1】

1.下列各组数中，不成比例的是（）

C.后,弧,△，巫D.2,6,1,当

A.1,-2,3,-6B.1,2,3,4

【变式1-1]

2.下列各组的四条线段a,4c,d是成比例线段的是（）

A.a=4,b=6,c=5»d=\0B.a=Lb=2,c=3>d=4

C.a=6,b=3,c=2,d=>/3D.a=2,b=5>c=6,d=15

【变式1-2]

3.下列四条线段成比例的是（）

A.a=4,b=6,c=5,d=10B.a=\[2,b=3,c=2,<7=V5

C.a=2,b=\/5,c==2>/3D.a=12/=8,c=15,d=ll

【变式1-31

4.下列四个数，不能组成比例的是（

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A.2,6,4,12B.y,2,3,1

C.0.2,2.5,1.2D.4.5,2.5,5,9

题型二比例的性质

【例2】

5.已知f=则?的值为

b2b-----

【变式2-1]

,,34.t3〃+2A

6.已知一二工，则----=______.

aba-b

【变式2-2]

7.已知£二三二伯+1卉0）,则R的值为.

bd3b+d

【变式2-3]

8.已知■|=g=；/0,Ra+b-c=2,则。=

题型三由平行判断成比例的线段

【例3】

ACDF

D.

~CE~~BD

10.如图，宜知AB〃CD〃EF,它们依次与直线4,交于点力、D、产和点8、C、E,

则的对应线段是（）

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【变式3-2]

11.如图，AB//CD//EF,U与8E相交于点G,且.4G=2,GD=\,DF=5,则下列

.....——D.——J-—U.——

CE5AB2EF5BE4

【变式3-3】

12.如图，平行四边形48co中，连接8。，在C。的延长线上取一点点G为8c的中

点，连接EG,交力。、8。分别为点尸、点K,则下列结论错误的是（）.

E

事

BGC

EDEF八FDDK

A.--———B.—

ARFGGCRK

厂FKEF、CGCD

C商=而D.—=

CE

题型四由平行截线求相关线段的长或比值

【例4】

13.如图△XSC中点OE分别在边力8BC上,DE\\AC,若DB=4,AB=6,BE=3,则EC

的长是____.

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A

a

BN-------------E/-------'C

【变式4-1】

14.如图，直线/IC、。尸被平行线卜卜人所截，交点分别为4。、B、E、C、F,且

15.如图，在△49C中，。是力C的中点，点/在8。上，连接力/并延长交于点凡若

BF:FD=3:1,8c=8,则的长为.

【变式4-3】

16.如图，点。、E在△乂BC的边AB、力。上，且。E〃8C,过点力作//〃8C,分别交

NAED、N4CB的平分线于点尸、G.若BD=24D,CG平分线段BO,则

FG：BC=.

题型五补充条件使两个三角形相似

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【例5】

17.如图，己知N1=N2,请添加一个条件,使得△/〃。〜△/。石.

【变式5-1]

18.如图，线段BE、CQ相交于点力，连接DE、BC,请添加一个条件，使

△ADEs^ABC,这个条件可以是.（写出一个条件即可）

【变式5-2】

19.如图，在△力8c中，D,E分别是力。边上一点，连接。石.请你添加一个条件,

使，则你添加的这一个条件可以是.

20.如图，在△力8c中，P是4B上一点、.下列四个条件中：”①乙1CP=N8；

②ZACP=NA；@AC2=AP-AB；④ABCP=APCB”,一定能满足△4PC与△AC8相

似的条件是.（只填序号）

题型六利用相似三角形的性质求解

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【例6】

21.已知△力4csAB:DE=1:2,则△NBC与尸的相似比是；QEF

与△力8c的相似比是.

【变式6-1】

AB1

22.若△48cs"4G，且7=三，则。与△/£G的周长之比为___.

月内rJ

【变式6-2】

23.如图，在^力台。中，D,产是48的三等分点，DE〃FG〃BC.

（2）S4ADE；S&1EG:S4ABC~•

【变式6-3】

24.如图，等腰三角形4BC中，AB=AC=5,该三角形的两条高8。与4E交于点/，连

接W，点P为射线上一个动点，连接8尸，若力。=3,当夕与相似时，AP

的长为.

题型七求位似图形的坐标

【例7】

25.如图，△408与“ICD关于点4位似，点。的坐标为（3,4）,若△力。4与△力C。的面积

比为4:1,则点/的坐标为.

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26.如图，在平面直角坐标系中，△ZOB的顶点力的坐标为(-3,6).若以原点。为位似中

心，位似比为:,把缩小，则点/的对应点H的坐标是------------

27.如图，将MOB以坐标原点。为位似中心放大，得到△。。。，己知力。,2)、8(3,0)、。(4,0),

则点C的坐标为.

28.如图，正方形48CZ)与正方形8EFG是以原点。为位似中心的位似图形，相似比为1：

3,点4B,£＞在x轴上，若点力的坐标为(1,0),则点尸的坐标为.

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A

OABEX

题型八在平面直角坐标系中作位似图形

【例8】

29.如图，△力8c在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为力(0,3),8(3,4),

C（2,2）.

(1)画出△49C向下平移4个单位长度得到的△44G，点G的坐标是

(2)以点8为位似中心，在平面直角坐标系中画出△44G，使4G与△48C位似，且相

似比为2:1,点的的坐标是

(3)44为。2的面积是

【变式8-1]

30.如图,在12x12的正方形网格中,△C48的顶点坐标分别为点。(阿)、4(2,3)、

8(4,2).

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⑴以点C(l』)为位似中心，按2:1在位似中心的同侧将△C48放大为△C©8',放大后点儿

〃的对应点分别为H,8',画出△Of",并写出点H,8'的坐标；

(2)在(1)中，若PS力)为线段48上任意一点，请直接写出变化后点P的对应点P的坐标.

【变式8・2】

31.如图，平面直角坐标系中，ZUBC的三个顶点坐标分别是力(1,-1)、4(4,-3)、

C（4「l）.

(1)画出△48。关于A-轴成轴对称的△/MG；

(2)在第一象限内，画出用G以点O为位似中心并扩大到原来的3倍的△儿用G；

(3)写出点4、层的坐标.

【变式8-3】

32.在平面直角坐标系内，△力8C的三个顶点坐标分别为力(-2,3)、4(-3,1)、C(-l,2),

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位置如图所示.

(1)将ZU8C绕点。顺时针旋转90。得到△4MG，作出片G，并写出点耳的坐标

(2)将△48C的三个顶点坐标分别乘以-2,得到对应的点4、与、C2,请画出与G，并

判断△/14C与具有怎样的位置关系？并请直接写出LABC与△4%G的位似中心的

坐标以及相似比.

题型九相似三角形的判定和性质的综合问题

【例9】

33.如图，在RtZVlBC中，N4CB为直角,CDJ.AB^D.在RalQC中，石是4C的中

点.£7)的延长线与。8的延长线交于点立

(1)求证：0cs△必。；

(2)若FD=6小,FB=10,求8C的长.

【变式9-1]

34.如图，在矩形48co中，力8=3,8。=10,点七在4c边上，DF1AE,垂足为E

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(1)求证：△ADFSAEAB;

(2)若。尸=6,求线段6E的长.

【变式9-2】

35.如图，在正方形48C。中，E、尸分别是边力。、。。上的点，AE=ED,

(1)求证：AABEs丛DEF；

(2)若正方形的边长为4,求的长.

【变式9-3】

36.如图，在矩形/ACO中，点E在4c边上，连接4£,过点。作射线力£的垂线，垂足

图⑴图⑵

(1)如图(1),若4C=5,DF=DC=4,求力E+川？的长;

(2)如图(2),若E为BC中点.

①求证：CF=CD；

IFF

②当力后=3£/时，判断合二三三是否正确，如判断正确，无需写出埋由；若判断错误,

4ErMC

请直接写出正确结果若等于多少.

4EF

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Q

分层阶梯训练•提能力1

基砒班圃逋美蠲

一、单选题

（25-26九年级上•浙江杭州•开学考试）

37.下列线段能成比例线段的是（）

A.1cm,2cm,3cm,4cmB.1cm，y/2cm，2&cm，4cm

C.&cm»\/5cm，\/3cin，1cmD.2cm,5cm,3cm,4cm

（24-25九年级上•吉林・期中）

38.如图，已知N1=N2,那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是

()

ACBC

A.NB=NADEB.ZC=ZFC.—=—

ADAE^AE~~DE

（20-21九年级上•山西晋城•期末）

39.如图，已知AB〃CD〃EF,那么下列结论正确的是（）

ADBC八BCDFCDBCCDAD

1-----=------B-----=------

DFCF.'CEAD~EF~~RF,~EF~^F

(25-26九年级上重庆•开学考试)

40.如图，DE/与△力8c是以点。为位似中心的位似图形，若。力：力。=2：1,则。与

必由的面积比为（）

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A

D

A.6:9B.4:9C.4:6D.2:3

（24-25九年级下•辽宁抚顺•阶段练习）

41.如图，在MBC中，力。是角平分线，4E是中线，AD=BE,且力。_L即，垂足为凡

G为。。的中点，连接EG.下列结论错误的是（）

如图，在△48C中，力。是角平分线,8E是中线，AD=BE,凫

AD工BE,垂足为凡

A.dFB知AFEB.ZADB=ZADEC.FD^-BED.KEGs^CBE

4

二、填空题

（2022•湖南株洲•模拟预测）

42.已知二=9，那么

（2022•四川成都•三模）

43.如图，在△力8C中，力8=9,4C=6,。是4B边上的一点，若贝ij力。的

长为.

（25-26九年级上•北京•课后作业）

44.如图，利用标杆测量搂高，已知48=180m,标杆CQ=240m,8D=30m,

Z）F=420m,则楼高.

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（25-26九年级上•北京•课后作业）

45.如图，点。是8C的四等分点（3QVOC）,点E是力。的三等分点（。£＞力£）,则

AF:FC=.

（20-21九年级上•河南:累河•期末）

46.矩形48CQ中，AB=6,8c=8.点户在矩形48CQ的对角线4。匕点£在边上,

满足APBESADBC,若△力PO是等腰三角形，则心的长为.

三、解答题

（22-23九年级上•全国・单元测试）

47.如图所示，且4B=24C,DF=5cm,AG=4cm.求G/7,AF,痔的长.

（24-25九年级上•陕西西安•期中）

…“abc

48.已知7=£=6

25o

（1）如果。一25+2。=4,求a的值;

⑵求代数式殁等的值.

（25-26九年级上•全国•期中）

49.在平面直角坐标系中，。的位置如图所示，每个小正方形的边长为1,以原点。为

试卷第17页，共23页

位似中心，在第一象限内，对△/4C进行位似变换，得到(点Z,B,。分别对应点

E,F),且△力8c与4£户的相似比为2:1.其中点8坐标为(4,2).

(1)画出AD£F.

(2)点E的坐标为.

(3)线段，。上一点(%)，)经过变换后对应的点的坐标为—

(24-25九年级上•全国•阶段练习)

5().如图，在矩形48CO中，E是8c的中点，DhAE,垂足为产.

(1)求证：

(2)若48=6,8c=4,求。尸的长.

(24-25九年级下•江苏徐州•期末)

51.【阅读解】如图1,在矩形48CO中，点E、尸分别是8C边的中点，连接

BEBF

BD,EF,则丁二^,因为N/8C=N/X?8=90。，可得ABCDS/EF.

CDCB

【拓展应用】如图2,在四边形48。。中，AD//BC,NBCD=90。，点E是jB的中点,

点尸是8c边上一点，连接8。，EF交于点、G,AD=2CF.

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图1图2

（1）试说明GA=G"：

（2）若24Q=3CDEFVAB,求出的值.

GB

能力提升进阶练

一、单选题

（25-26九年级上•宁夏银川・期中）

52.如图，在。中，料DE〃BC,AD：DB=1：2,DE=4cm,则AC的长为（）

A.8cmB.12cmC.11cmD.10cm

（25-26九年级上•黑龙江鹤岗•开学考试）

53.在平面直角坐标系中，点力（2,3）,8（4,1）,以原点。为中心，将△408缩小为原来的

y,缩小后图形与△AOB在点O同侧，则点6的对应点"的坐标为（）

A.（2制B.（8,2）C.（2,1）D-（4）

（2025•广东深圳•三模）

54.如图，在口48CQ中，对角线力。与8。相交于点。，E是。C延长线上的一点，连接OE

交3c于点”.已知力8=6,BC=8,CE=3,则的长为（）

48

A.1B.■—C.2D.

DJ

（2025•辽宁铁岭•模拟预测）

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55.如图，在正方形486中，点E是3C的中点，点尸是CO上一点，CF=2DF,点G

在力。上，若NGEF=NCEF,延长GZ）,£尸交于点“，若=4,则0G的长为（）

A.4B.4.5C.8D.9.5

（24-25九年级下•黑龙江大庆•期中）

56.如图，Rt△48E中，/8=90。，AB=BE,将"BE绕点力逆时针旋转45。，得到

△AFD,过点。作。。_18£交班的延长线于点C,连接。E交8,于点。下列结论中,

①EF=EC；②NEOH=120。；③△BEF/AFDH；®DE=y[2FH;

⑤BC-CH=2EF.

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题

（24-25九年级上•宁夏银川•期末）

57.若3a=2b,则=^=；若机是5和4的比例中项，则〃?=

n

（24-25九年级上•安徽六安•期末）

58.如图，在四边形/出CD中，4C平分/BAD,ZB=ZACD,AB=6,AD=3,则力C的长

为.

试卷第20页，共23页

（24-25九年级下呐蒙古呼和浩特•开学考试）

59.如图，力、“两点被池塘隔开，在/出外取一点C,连结力C、BC,在4C上取点E,

使4E=3EC,作EF〃4B交BC于点、F,量得E/=6m,则｛3的长为.

60.如图，在△48。中，乙4cB=90。,AB=\0,AC=6,正方形DEFG的顶点。，G分

别在边4C8C上，EF在边AB上、则点C到的距离为；DE的长是—.

（2025九年级上•全国•专题练习）

61.如图，＜BtDB于点、B,CDJ.DB于点D,48=6,。。=4,4。=14,点。在QB上移

动.若以点C,D,P为顶点的三角形与点4B,P为顶点的三角形相似，则DP=

A

三、解答题

（24-25九年级上•安徽合肥•期中）

62.已知线段。，b,c,且?=1="〃儿工0）.

⑴求孚的值；

b

（2）若线段。，〃，。满足a+Z）+c=36,求3。一/）一c的值.

（24-25九年级上•宁夏银川期末）

63.如图，在平面直角坐标系中，ZUBC三个顶点坐标分别为力（-2,1）,Z?（-l,4）,C（-3,2）.

试卷第21页，共23页

(i)以点力为旋转中心，顺时针旋转90°,得到△44G，画出△44G.

(2)在所给图形中，以原点。为位似中心，位似比为1:2,画出△力8C放大后的图形△儿风的;

⑶MAC与△48C的周长比是:面积比是.

(24-25九年级上•全国•期末)

64.如图，在中，ZACB=90°,CD平分N/iCB交边人B于点、D,延长力8至点

E,连结CE,使CE=QE.

⑴求证：“ECS&CEB；

(2)若8E=2,4B=5,则。E的长为

(24-25九年级下•全国•期末)

65.如图1,在A/BC中，点。为8c中点，点£在力。上，4D、BE交于点、F,NADC=NBEC.

(1)写出与/E6C相等的角：.

jn

(2)若AD=BF,求二的值.

DF

(3)如图2,若AD=BF,NBCA=90。,BC=m,求8炉(用含，〃的式子表示).

(24-25九年级上•四川宜宾•期末)

66.在四边形力8c。中，AB〃CD,M,N分别为边8C,上的两点，连接力N,DM

试卷第22页，共23页

相交于点尸，且满足/ABC=4MPN.

当四边形"8为矩形时，求证：条翳

(1)【基础运用】如图1,

(2)【类比探究】如图2,当四边形48CO为平行四边形时，试问(1)的结论是否依然成

立？并说明理由;

(3)【拓展迁移】如图3,已知/<8。=60。，M为AC的中点，44=8,BC=4,

PM=2DP,若CD>4,求。。的长.

试卷第23页，共23页

1.B

【分析】本题考查了比例线段，熟练掌握概念是解答本题的关键.对于四条线段〃、b.

d,如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如=即

(ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段，简称比冽线段，由此逐项判断即可.

【详解】解：A、lx(-6)=-2x3,所以成比例，故不符合题意；

B、1x4/2x3,所以不成比例，故符合题意；

C、亚文瓜义M,所以成比例，故不符合题意；

D、2x巫=6x1,所以成比例，故不符合题意.

2

故选：B.

2.D

【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘枳等十另外两

条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案.

【详解】解：A、4x10x6x5,故不符合题意；

B、Ix4w2x3,故不符合题意；

C、&XQW2X3,故不符合题意；

D、2x15=5x6,,故符合题意；

故选：D.

3.C

【分析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，根据比例线段的概念，让最小的和

最大的相乘，另外两条相乘，看它们的枳是否相等即可得出答案.

【详解】解：A、•.•10x4=5x6,

二四条线段不成比例；

B、•.♦3X&H2X6，

•••四条线段不成比例；

C、-.-2x715=75x2^.

•••四条线段成比例；

D、0.,8x15*11x12,

答案第1页，共48页

•••四条线段不成比例.

故选：C.

4.C

【分析】此题考查了比例的性质.找出四个数字中的最大数与最小数，求出乘积，剩下两数

也求出乘积，比较判断即可.

【详解】解：A、2x12=6x4,能组成比例，不符合题意：

B、|x3=1x2,能组成比例，不符合题意；

2

C、0.2x22工耕.2,不能组成比例,符合题意;

D、2.5x9=4.5x5,能组成比例，不符合题意.

故选：C.

5.T

【分析[本题考查了比例的基本性质，设。=3左力=2左，将其代入?，即可解答.

D

【详解】解：・••;=],

b2

.,.设〃=3k,b=2k,

a-b3k-2k1

,•~iT=2k=5,

故答案为：y.

6.-17

【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，由得;=?，则设?=。=女，得

a63434

到〃=3旌b=4k,然后把。=3"〃=代入红子中进行分式的运算即可.

a-b

34

【详解】解：•••,=£,

ab

ab

34

设£=。=A,则〃=3k,b=4k,

34

3a+2b9k+8k-

-------=--------=-17,

a-b3k-4k

故答案为：-17.

答案第2页，共48页

【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是正确设出未知数是解题关键.

直接利用已知条件设出相应未知数，进而代入化简即可.

【详解】设。=盯c=y,

•.•g=£」S+“H（））

bd3V7

b=3x,d=3y

a+c_x+y_x+y_I

"K+7-3x+3y~3（x+^）-3,

故答案为：

8.4

【分析】本题主要考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解答本题的关键.设

5=9"，则"2A33%,c=4k,代入a+Z）—。=2,求出£的值即可得到q的值.

【详解】解：设W=V=，则a=2%/=3A,c=4A,

234

.,-a+b-c=2k+3k-4k=2,

•••k=2,

•••。=2k=2x2=4,

故答案为:4.

9.A

【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比

例.利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.

【详解】解：-AB//CD//EF,

ACBDACBD

,,万一而'~CE~~DFy

观察四个选项，选项A正确，符合题意，

故选：A.

10.C

【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据夹在平行线中的线段是对应线段，即可求解.

【详解】解：依题意，OF的对应线段是CE,

故选：C.

11.C

【分析】本题主要考告平行线分线段成比例定埋：二条平行线截两条直线，所得的对西线段

答案第3页，共48页

成比例.

【详解】解：A.AB//CD//EF,则给当="二⑺=U3，正确，故本选项不

CEDFDF55

符合题意；

B.AB//CD,则2=丝=:，正确，故本选项不符合题意：

ADACJ2

c.CD//EF,则半增二，,，、,,二工=J，错误，故本选项符合题意：

D.AB//EF,则娶=半=AC~:<=；，正确，故本选项不符合题意；

BEAFAG+GD+DF2+1+54

故选：C.

12.D

【分析】利用平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理解决问题即可.

【详解】解：•••四边形45CQ是平行四边形,

:.AB=CD,BC=AD,AB//CD,AD//BC,

pr)FFFD

二尝=芸=言故A正确，不符合题意；

CDrGAD

•••AF〃BC,

DKFKFD

'~BK~~KG~~BG'

又•：BG=GC.

=故B正确，不符合题意；

oKGC

：.FD//GC,

FDEFFKFDFD

"'GC~^G，~KG~~BG~GC，

FKFF

故C正确，不符合题意；

AG

•.•CO与。石不一定相等，g不一定等于;，而穿=?，故D错误，符合题意;

CEzCB2

故选：D.

【点睛】考核知以点：相似三角形的判定与性质.理解性质是关键.

31

【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由ZU8C中，点。、E分别在边48、3c上,

OEIMC,根据平行线分线段成比例定理，^DB-.AB=BE,BC,又由

DB=4,48=6,8E=3,即可求得答案，注意掌握各比例线段的对应关系是解此题的关键.

答案第4页，共48页

【详解】•:CEH2、

DB:AB=BE:BC,

•.•08=4,AB=6,BE=3,

二4:6=3:BC,

9

解得：BC=-,

：.EC=BC-BE=-

2

3

故答案为:

2

12

14.——

5

An

【分析】本题考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理可得亦二,据此

LJ

即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键.

【详解】解：•.•直线/C、D"被平行线4、小4所截,

ABDE

3DE

H即n丁丁，

12

故答案为：y

15.9

【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，作坊〃花，可得

CH:HE=CD:AD=l,BE:EH=BF:DF=3:l,推出8E:EC=3:2,即可求解;

【详解】解：作8〃笔，如图所示：

由题意得：CDMD=1,

：.CH:HE=CD:AD=1、BE:EH=BF:DF=3:1,

:•BE:EC=3:2,

答案第5页，共48页

•••4C=8,

/2”16

CE=—DC=——,

55

故答案为：

4

⑹-

【分析】设CG、48交于点〃，结合BD=24D可得BH=DH=AD；由平行线分线段成比例定

AGAFAF1

理可得多=2,即有4G=28C，再证明E尸〃CG，进一步可得-7K=下=彳，易知

BCAGAC3

24

AF=23BC,可得尸G=4G—月尸=28C-]8C=?8C,即可获得答案.

【详解】解：如下图，设CG、AB交干点、H,

•：BD=2AD,CG平分线段80,

：.BH=DH=-BD=AD,

2

vAF//BC,

AGAHAD+DH、

:.-----=------=--------------=2,

BCBHBH

:.AG=2BC,

•••DE//BC,

,,4EDFCB隼嗯AD1

AD+BD3

•;E尸平分N4ED,CG平分N/C8,

AAEF=-ZAED,ZACG=-NACB,

22

AAEF=ZACG,

.'.EF//CG,

AFAE1

:.-----=-----=—,

AGAC3

12

：.AF=-AG=-BC,

33

答案第6页，共48页

24

：.FG=AG-AF=2BC--BC=-BC

33t

，.也4.

BCBC3

4

故答案为：p

【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、平行线的判定、角平分线的定义等知识,

熟练运用平行线分线段定理是解题关键.

AR4C

17.ZB=ZADE^i—=—^ZC=ZE（答案不唯一）

ADAE

【分析】本题考查了相似三角形的判定定理.熟练掌握有两组角分别对应相等的三角形相似

是解题的关键.

【详解】解：添加=

vZl=Z2,

Zl+ADAC=Z2+ADAC,BPZBAC=ZDAE,

•••N8=£ADE,

4ABe~Z^ADE：

H4.4B4c

添加F=

ADAE

,:Zl=Z2,

Zl+ZDAC=Z2+Z.DAC,BPZBAC=ZDAE,

ABAC

ADAE

•••"BCs"DE：

添加ZC=ZE,

vZ1=Z2,

.••Nl+NO/lC=/2+/O4C,&|JZBAC=ZDAE,

•：NC=NE,

:."BCSA/DE；

ARAC

故答案为：/^二/力力七或不二-^或/0二/七（答案不唯一）.

ADAE

18./B=ND（答案不唯一）

【分析】本题考查了相似三角形的判定方法.根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出

答案.

答案第7页，共48页

【详解】解：•：NDAE=NBAC,且点8的对应点为点。，

・•・根据三角形相似的判定方法，可以有两组先对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应

成比例都可以证明两三角形相似，

4D4F

••・可以添加=或N£=NC或黑=会，

ABAC

故答案为：Z.B=Z.D.

19.乙4DE=乙8（答案不唯一）

【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形

相似；有两组角对应相等的两个三角形相似.

利用有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件即可.

【详解】解：=

・•・当=时，"DEs“BC.

故答案为：ZADE=NB（答案小唯一）.

20.①③

【分析】本题考杳了相似三角形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键.

利用“两角对应相等，两三角形相似”，“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”去判断.

【详解】解：①NACP=NB,而4=4,

:.XACPs^ABC,故①正确：

②4c尸=乙4,只能得到4=PC,故②错误；

③由4c2=%0•力台，

'曰ACAB

得萧二就‘

又•••4=4,

：.4ACPs丛ABC,故③正确，

④由48cA=4PCB,

得噂等

不满足两边对应成比例且夹角相等，故④错误，

故答案为：①③.

21.1:22:1

【分析】本题考查求相似比，掌握相似三角形对应边的比等于相似比是解题的关键.

根据相似二角形对应边的比等于相似比解答即可.

答案第8页，共48页

【详解】解：vAABC^ADEF,4B:DE=l:2,

：."BC与ADEF的相似比=AB.DE=\:2,^DEF与二ABC的相似比=。后：=2:1,

故答案为：1:2；2:1.

22.1:3

【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据△48Cs44耳G且普=:，可得△/〃。的