高考数学一轮复习 必刷大题14 空间向量与立体几何

必刷大题14空间向量与立体几何

1.如图，四棱锥尸一ABC。的底面为正方形，以，平面4BCQ,M是PC的中点，PA=AB.

(1)求证：AM_L平面P8。：

(2)设直线AM与平面交于点0,求证：A0=20M.

证明(1)由题意知，AB,AD,4P两两垂直，以A为坐标原点，AB,AD,4尸所在直线分别

为x轴、了轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，

设%=A8=2,则尸(0,0,2),5(2,0,0),£>(020),MQ,1.1),丽=(2,0,-2),丽=(0,2,一

2),赢=(1,1,1),

设平面P8O的法向量为〃=(x,y,z),

\nPB=2x—2z=0,

则J_取x=l,得〃=(1,1,1),

n-PI)=2y-2z=0,

V/U/=w,・・・4何_L平面P3D

(2)如图，连接4c交于点E,

则E是AC的中点，连接PE,

平面PBD=O,

・・・0W4M且。£平面PBD,

••'AMU平面PAC.

平面MC,

又平面P8DH平面PAC=PEt

：・OGPE、

：-AM.PE的交点就是。，连接EM,

•・・M是尸C的中点，

:・PA〃EM,PA=2EMt

；・△力Os△EMO,

._AO_2

•屈=丽=7

：,AO=2OM.

2.（2023•长沙模拟）斜三棱柱48C—48G的各棱长都为2,点4在下底面ABC上的投影为

A3的中点0.

（1）在棱3办（含端点）上是否存在一点。，使AO_LAG?若存在，求出8。的长；若不存在，

请说明理由；

⑵求点4到平面BCCiB,的距离.

解（1）连接0C,

因为AC=8C,。为AB的中点，

所以0C_LA8,

由题意知4。_1_平面ABC,

又A4]=2,OA=^AB=1,

所以40=小，/4AO=60。，

以点。为原点，OA,0C,。人所在直线分别为x轴、），轴、z轴，建立如图所示的空间直角

坐标系，

之

y

则4（0,0®41,0,0）,8（—1,0,0）,C（0,小，0）,

由赢二而1得用（一2,0,邓）,

同理得G（—1,小，小），

设丽=1函，/£[0,1],

得。（一1一1,0,病,

又不；=（一2,5,瓜

A\D=（-1—/,0,小/一小），

由然•布=0,

得一2（-1一1）+/（小/一小）=0,

得t=y

又BBi=2,

2

所以存在点D且8。=彳满足条件.

（2）设平面8CGS的法向量为〃=（x,y,z）,

BC=（1,小，0）,CTi=（-1,0,5），

〃BC=x+小y=0,

则有4

n-CCi=-x+小z=0,

可取〃=（小，-1,1）,

又丽=（1,0,小），

所以点4到平面BCC内的距离为空回=*=2野，

1〃1。

所以所求距离为平.

3.（2024・丹东模拟）如图，平行六面体A8CQ—AI8IGU的所有棱长都相等，平面CQaG_L

平面A8CD,ADA.DC,二面角。|一4。一。的大小为12。。，£为楂G/）的中点.

（1）证明：CD-LAEi

（2）点/在棱CG上，AE〃平面8。/，求直线4E与。尸夹角的余弦值.

（1）证明囚为平面CQdCiJ_平面ABCD,且平面CQQiGC平面ABCD=DC,AO_LQC,AD

连接AG交8。于点/,连接”/,

设A8=2,贝|」OE=

所以CE=AE=yJAD?+DE?=币.

因为AE〃平面AD凡4EU平面4GE,平面4GEH平面8。尸=〃7,

所以AE〃〃/.

HI与。”的夹角等于直线AE与。尸的夹角.

在正方形4BCO中，G/=%G,。/=抽=手,

所以G”=；EG,故川=%E=当.

在△O〃G中，GH=；EG]GD=1,ZEGD=60°t

由余弦定理得

3

在△〃中，cosNDHI=

077

3

因此直线AE与。F夹角的余弦值为反

方法三连接OE,由（1）知。E_L平面46c。，以。为坐冰原点，DA,DC,力*为x轴、），轴、

z轴正方向，|后|为2个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系.

由(1)知。£=小，得42,0,0),8(220),C(0,2,0),£(0,0,小)，G(0,l,小).

则语=(0,-1,小)，5b=(020),

AE=(-2,0,/)，痂=(2,2,0).

设万'=黄=(0,-Z,小。(04W1),

则而=次?+亦=(0,2-八小/).

因为AE〃平面BDF,所以存在唯一的人4WR,

使得近=2加+45>=1(2,2,0)+"(0,2—八皿)=(22,24+2"一m,小曲二(一2,0,小),

故27=—2,24+2"一小=0,小，

解得/=,,从而而=(o,1,邛目.

所以直线AE与。尸夹角的余弦值为|cos(AE,DF}

4.(2023・成都模拟)如图所示，直角梯形/WOE和三角形人BC所在平面互相垂直，DB1AB,

ED//AB,AB=2DE=2BD=2,AC=BC,异面直线DE与AC夹角为45。，点凡G分别为

CE,6c的中点，点”是线段EGk靠近点G的三等分点.

(1)求证：A,B,F,”四点共面；

(2)求二面角B-C。一，的平面角的正弦值.

(1)证明如图，取A6的中点O,连接OC,OE,

因为AC=8C,故N84C为锐角，

又ED//AB,

故NBAC即为异面直线OE与AC的夹角，则N8AC=45。，

则/ACB=90。，即AC_LCB,

因为直角梯形ABOE和三角形ABC所在平面互相垂直，O3J_A8,

平面A3OEC平面43C=A8,Q3U平面A3QE,

故平面ABC,

又DE=OB,DE//OB,

即四边形03。石为平行四边形，

故EO//DB,所以EOJ_平面人BC,

故以O为坐标原点，de,OB,丽的方向为x,)，，Z轴E方向建立空间直角坐标系，如图所

不，

则40,-1,0),5(0,1.0),C(1A0),0(0,1,1),E(0。/),

由于晶=(壶='一/]),

可

诵而4—

-

则o

-

=

V

3

，2,0),

.

共面

四点

”

,F,

A,B

，故

+拗

=汕

则京

C,

面AB

<=平

,AC

ABC

平面

为。8

因

⑵解

8C,

C_L

,且A

LAC

。8_

所以

。，

面8C

C<=口

B,B

B,D

BC=

DBC

向量,

一个法

D的

面BC

为平

)可作

1,1,0

启=(

所以

CD,

面B

L平

故AU

z),

,y,

?=(x

量为w

法向

。的

面"C

设平

=0,

y—z

2x—

=0,

HCm

即

»

0.

2z=

2y+

.-x+

,

m=O

.HD

1,1),

(0,—

则m=

=l,

令z

为仇

面角

〃的平

O一

8—C

面角

设二

=

=

»

fS^

"rz

A。

加1=

C,

s(.A

由|co

2

42

42X

lM|

14a

,

。=卓

得

sin

.

值为坐

的正弦

平面角

一〃的

-C。

面角8

故二

i_L平

AB5A

i,平面

lBB

,AC

B1BC

中,A

BiG

—Ai

ABC

棱台

,在三

如图

模拟)

•长沙

2023

5.(

%.

BCG

平面

F〃

,且O

2EB

AE=

D,

于点

相交

4c

G与

2,4

B&=

=4,

,8c

8=6

C,A

面A8

为积;

C^的

A^B^

锥C-

三棱

(1)求

£

+夕=

证：。