高考数学一轮复习（新高考版）必刷大题14 空间向量与立体几何

必刷大题14空间向量与立体几何

1.（2022・新高考全国I改编）如图，直三棱柱A8C—A1iG的体积为4,△A4C的面积为2P

（1）求A到平面4BC的距离;

⑵设。为AC的中点，AAi=AB,平面A/C_L平面ABBA，求平面A3。与平面BCD夹角

的正弦值.

解（1）设点A到平面ABC的距离为人

因为直三棱柱A8C—A山Ci的体积为4,

又山。的面积为2啦，

所以h=巾,

即点A到平面AxBC的距离为也.

（2）取48的中点E,连接AE,

则AEVA\B.

因为平面人由C_L平面ABBiAi,平面4由CG平面ABAiA=4|B,AEU平面

所以AE_L平面46C,

又3CU平面A山C,所以4E_L3C

又A4|J_平面ABC,8CU平面A8C,

所以A4|J_8C.

因为A4|nAE=A,AAi,AEU平面ABS4,所以8C_L平面ABBA,

又48U平面ABBiA,所以3C_LAA

以4为坐标原点，分别以诙，晶，丽的方向为此y,z轴的正方向，建立如图所示的空间

直角坐标系，

由（1）知，AE=yf2,

所以AAi=AB=2,A1B=2巾.

因为AAi6c的面积为2g，

所以班=加8归C,所以4。=2,

所以4020),3(0,0,0),C(2A0),4(0,2,2),D(1JJ),E(0JJ),

则丽=(1,1,1),BA=(0,2,0).

设平面AB。的法向量为〃=(x,y,z),

〃•丽=0,x+y+z=0,

叫_即，

2y=0,

“•8A=0,

令x=l,得〃=(1,0,-1).

又平面BOC的一个法向量为崩=(0,-1,1),

AEn—11

所以cosME,n)

\AE\-\n\小义小-2-

设平面ABD与平面BCD的夹角为仇

则sincos2(AE,n)=乎,

所以平面48。与平面BCD夹角的正弦值为坐.

2.如图，四棱锥P—A6co的底面为正方形，以_1_平面A4CO,M是PC的中点，PA=AI3.

(1)求证：4"_1_平面尸8。；

(2)设直线AM与平面夕8。交于O,求证：AO=2OM.

证明(1)由题意知，AB,40,AP两两垂直，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别

为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，

设必=43=2,则P(0,0,2),8(2,0,0),ZX0,2,0),C(2,2,0),A/(l,l,l),丽=(2,0,一2),PD=

(0,2,一2),

设平面P8O的法向量为〃=(x,y,z),

nPB=2x—2z=0,

则］_取x=l,得〃=(1,1,1),

nPD=2y—2z=0,

*：AM=n,平面PB。.

(2)如图，连接AC交B。于点E,

则正是AC的中点，连接PE,

平面PBD=O,

.•・O£AM且平面PBD,

•.•/UJU平面PAC,

・・・0£平面MC,

又平面P8£>n平面PAC=PE,

：・()WPE,

・・・AM,PE的交点就是O,连接ME,

•・・M是PC的中点，

：.PA//ME,以=2ME,

△石MO,

.PAAO2

,,~ME=OM=~\,

：.AO=2OM.

3.如图，在四棱锥。一ABC。中，%_L平面A3cO,ABMCD,PA=AB=2CD=2,ZADC=

90%E,尸分别为PB,AB的中点.

⑴求证：CE〃平面B4D；

(2)求点B到平面PCF的距离.

⑴证明连接律(图略)，：区尸分别为PB,48的中点，・・・所〃氏,

•••瑁也平面弘D,%U平面%。，・••£：尸〃平面布。，

,JAB//CD,AB=2CD,：,AF//CD,且A/=CO.

・•・四边形人0c户为平行四边形，即CF〃人。，

•••CR平面以，AOU平面附。，，C尸〃平面附。，

,：EFC\CF=F,EF,C尸u平面EFC,

・•・平面以。〃平面七尸C,CEU平面EFC,则CE〃平面例D

(2)解VZADC=90°fAB//CD,：.AB1AD,CF1AB,

又以_L平面ABC。^PAC\AB=A,JC凡L平面办8,：.CFVPF.

设cr=x,则Sd"c=\x1Xx=4，S"FC=、X小Xx=Wx,

乙乙LL

PCFV-pc,

设点A到平面的距离为山由VP-AFC=AF

得彳乂5义2=：X哼^乂力，则力=邛5.

•・•点尸为48的中点，，点8到平面PC广的距离等于点A到平面PC尸的距离，为手.

4.(2022•全国乙卷)如图，四面体48co中，AD1CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E为AC

的中点.

(1)证明：平面5EDJ■平面ACD；

(2)设A8=8Q=2,NAC8=60。，点尸在8。上，当△AFC的面积最小时，求C尸与平面A8。

所成的角的正弦值.

⑴证明因为AO=CO,E为AC的中点，所以AC_LD£

在△AO8和△CD8中，

因为AQ=C。，ZADB=ZCDB,

DB=DB,

所以△AOBg^CQB,所以AB=8C.

因为E为AC的中点，所以ACL8E.

又BECDE=E,BE,OEU平面BE。，

所以4cL平面BED,

又ACU平面ACD,

所以平面8£QJ_平面ACD.

⑵解由⑴可知AB=BC,

又NACB=60。，48=2,

所以△ABC是边长为2的正三角形，

则AC=2,庭=3,AE=\.

因为AO=CO,ADLCD,

所以△AOC为等腰直角三角形，

所以DE=1.

所以。炉+BE2=BD2,则DEIBE.

由(1)可知，4C_L平面8ED

连接E”，因为平面BED,

所以ACLE凡

当△AR7的面积最小时，点尸到直线AC的距离最小，

即E尸的长度最小.

在RtaBE。中，当的长度最小时，

g”“DEBE5

EFA-BD^Er—一1.

方法一由(1)可知，QE_LAC,BE±AC,

所以£4,EB,EO两两垂直，

以E为坐标原点，EA,EB,石。所在的直线分别为乂,z轴建立如图所示的空间直角坐标

系，则人(1.0,0),5(0,小，())，。(0,0,1),C(-1,0,0),

嬴=(一1,小，0),加=(0,小，-1).

3

-

22所以3DF=FB.

设尸(0,y,z),则。尸=(0,y,z-l),

FB=(0,小—y,—z),

所以3(0,y,z—1)=(0,小一y,—z),

衿近3

付y=4，z=w，

即《0,乎,券

3

所以亦=(1,-

4

设平面AB。的法向量为〃=(x”>'i,zi),

fi-AB=­x\+小yi=0,

则]_

nDB=y[3y]—z\=0,

不妨取y=l,则即=小，zi=4§,

ii=(*^3,1,*^3).

记CF与平面ABD所成的角为«,

贝ijsina-|cos<CF,n>|-1^^2?1一竽

\CF]\n\

所以C/与平面A8O所成角的正弦值为平.

方法二因为E为AC的中点，所以点C到平面ABD的距离等于点E到平面ABD的距离的

2倍.

因为。E_LAC,DELBE,ACOBE=E,AC,8EU平面ABC,

所以QE_L平面ABC

因为VDAEB=VE-ADHJ

所以招4区相叱/以即争其中d为点C到平面ABD的距离.

在△A8O中，BA=BD=2,AD=®

所以S/.ABD=^2'>所以

由（1）知AC_L平面8E。，EFU平面RED,

所以AC_LKR

所以/<="序+&2=*.

记C/与平面/WO所成的角为a,

uni.__d__4^3

贝ijsma一万一

所以C尸与平面ABO所成角的正弦值为芈.

方法三如图，过点E作EM_L43交A3于点M,连接。例，过点七作EGJ_QM交。用于点

G.

因为DE_LAC,DEVBE,ACC\BE=E,AC,8E<=平面ABC,

所以。£J_平面ABC,又A/TU平面ABC,所以。EJ_A〃，

又EMClDE=E,EM,OEU平面/）EM,所以AB_L平面OEM,

又EGU平面DEM,所以AB_LEG,

又ABCDM=M,QMU平面A3。，

所以EG,平面AB。,则EG的长度等于点E到平面ABO的距离.

因为E为AC的中点，所以EG的长度等于点C到平面AB。的距离的右

因为EM=AEsin60。=坐，

在总vDEEMDEEM4

所以EG=FT=丽葬俞=7，

所以点C到平面A3。的斯离〃=呼1

FC^FEr+EC2=乎.

记C/与平面480所成的角为体

则si…加半

所以Cb与平面A8。所成角的正弦值为华.

5.（2023•青岛模拟）如图①，在梯形ABCD中，AB//DC,AD=BC=CD=2,AB=4,E为

A3的中点，以。后为折痕把△从£）£折起，连接46,AC,得到如图②的几何体，在图②的几

何体中解答下列问题.

⑴证明:AC1.DE；

⑵请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求平面DAE与平面AEC夹角的余弦值.

①四棱锥石的体积为2；

②直线AC与EB所成角的余弦值为乎.

⑴证明在图①中，连接CE（图略），

因为OC〃A5,CD=^ABtE为AB的中点、,

所以OC〃AE,且OC=AE,

所以四边形AOCE为平行四边形，

所以AO=CE=CQ=AE=2,

同理可证OE=2,

在图②中，取。石的中点。，连接。4,。。（图略），

则OA=OC=小,

因为AO=AE=CE=CO,所以。£_LOA,DEA.OC,

因为。AGOC=。，。同，OCU平面AOC,所以OE_L平面AOC,

因为ACU平面4OC,所以OE_LAC.

（2）解若选择①：由（1）知OE_L平面AOC,DEU平面BCDE,

所以平面AOCJ_平面BCDE,且交线为OC,

所以过点4作人〃_LOC交OC于点”（图略），则A，_L平面BCOE,因为Sr娜8COE=245,

所以四棱锥A-BCOE的体积VA-BCDE=2=^X2^AH,

所以人"=。4=小，所以人。与人，重合，所以人。，平面BC75E,

建立如图所示的空间直角坐标系，则0（0,00）,C（一5,0,0）,E（0J.0）,A（0,0,小）,

易知平面D4E的一个法向量为历=（4，00）,

设平面的法向量为〃=（x,y,z）,

因为无=（小，1,0）,己=（小，0,小），

所以"—取〃=（1,一小,-1）,

“CA=y/5x+小z=0,

设平面DAE与平面AEC的夹角为仇

\COn\_^3_y[5

则cos8=

\CO\\n\小％小、

所以平面DAE与平面AKC夹角的余弦值为害.

若选择②：因为DC〃EB,所以NAC。即为异面直线4c与E8所成的角,

AC2+4-4=亚

在△AOC中，cosNACO=

4AC一4

所以AC=#,所以。A2+O02=AC2,即Q4_LOC,

因为OE_L平面A。。，OE二平面BCQE,

所以平面AOCJ_平面4CD£,且交线为OC,又OAU平面4OC,

所以AO_L平面BCDE,

建立如图所示的空间直角坐标系，则50,0,0）,C（-<3,0.0）,E（OJ.O）,A（0,0,小）,

易知平面D4E的一个法向量为历=（小，0,0）,

设平面AEC的法向量为〃=（x,ytz）,

因为走=（小，1,0）,C4=（V3,0,小），

ftCE=y/3x+y=0,_

所以,—取〃=（1,一木,—1）,

yi-CA=y[3x+-\[3z=Qt

设平面/）AE与平面4EC的夹角为以

制t介I—•川小小

贝ijcos。一二-rz'

\CO\\n\43X455

所以平面QAE与平面AEC夹角的余弦值为坐.

6.（2022•连云港模拟）如图，在三棱锥A—8C。中，ZkA3c是正三角形，平面人次以_平面BCD,

BDA.CD,点E,尸分别是8C,QC的中点.

A

(1)证明：平面ACDJ_平面4EF；

(2)若N8CO=60。，点G是线段3。上的动点，问：点G运动到何处时，平面AEG与平面

ACQ的夹角最小.

⑴证明因为△ABC是正三角形，点E是BC的中点，所以AE_L8C,

又因为平面48C_L平面8c。，平面48CCI平面8CO=BC,AEU平面A8C,

所以4£_L平面BCD,

又因为COU平面8C。，所以COJLAE,

因为点E,产分别是BC,CQ的中点，所以E/〃8。，

又因为3Q_LCQ,所以CD_LEF,又因为AECEF=E,

AEU平面人EP,E