高考数学一轮复习：数列的综合应用

第5讲数列的综合应用

2考点探究•题型突破

考点El

数列与数学文化

福区（1）（2020•贵BB市四校联考）中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：

“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己所均七十五文，问丙丁各若干？”，

意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人，所分钱数为等差数列，甲、乙两人

共分77文，戊、己、庚三人共分75文，则丙、丁两人各分多少文钱？则下列说

法正确的是（）

A.丙分34文，丁分31文

B.丙分37文，丁分40文

C.丙分40文，丁分37文

D.丙分31文，丁分34文

（2）（2020•广州市调研检测）1772年德国的天文学家J.E.波得发现了求太阳和

行星间距离的法则.记地球距离太阳的平均距离为10，可以算得当时已知的六

大行星距离太阳的平均距离如下表：

星名水星金星地球火星木星土星

与太阳的距离47101652100

除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则（某数列规律）.当时德国

数学家高斯根据此定则推算，火星和木星之间距离太阳28应该还有一颗大行

星.1801年，意大利天文学家皮亚齐通过观测，果然找到了火星和木星之间距离

太阳28的谷神星以及它所在的小行星带.请你根据这个定则，估算出从水星开

始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约是（）

A.388B.772

C.1540D,3076

【解析】（1）方法一：设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数依次是0，

6/14-4/2=77，

42F32526Y/7，且成等差数列，设公差为d，根据题意可得彳

45+。6+。7=75，

ai+〃i+d=77‘〃i=4()，

即＜解得‘所以丙分得〃3=ai+2d=

+44+〃i+5"+。|+61=75,d=~3'■

34（文）,丁分得w=ai+3d=31（文），故选A.

方法二：依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为。一3d，

。-3d+。-2d=77，

a~2d»a~d*a»a+d*〃+2d»o+3d»则”__解得

〃+d+a+2d+a+3d=75‘

。=31，

所以丙分得。一1=34（文），丁分得。=31（文）,故选A.

d=—3，

（2）设〃“是从水星开始，第n个行星与太阳的平均距离，依题意可知an=an

-i+3・2"-3(〃23)，〃3=1()，6/4=16‘45=28»46=52»(27=100»所以an=(an—an

-1)+(an-I一小—2)+~+3—。3)+。3=3・(2〃-3+2〃-4+3+21)+10=

1_2"-3

3X2X+10=32「2+4523).s=7也满足上式，故a,=3-2w-2+

4（〃22）.所以00=3X21°-2+4=772.故选B.

【答案】（1）A（2）B

阅同附

解决数列与数学文化相交汇问题的关键：一是读懂题意，即会“脱去”数学

文化的背景，提取关键信息；二是构造模型，即由题意构建等差数列或等比数列

或递推关系式的模型；三是“解模”，即把文字语言转化为求数列的相关信息，

如求指定项、公差（或公比）、项数、通项公式或前〃项和等.

跟踪训练;

I.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题

目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和

的是较小的两份之和，问最小的一份为（）

A5°10

A-3BT

C.1D片

66

解析：选A.由100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，可知中

间一人得20块面包，设较大的两份为20+d，20+21,较小的两份为20—1，20

-2ch由已知条件可得;（20+20+1+20+2〃）=20—4+20—2,/，解得，所

以最小的一份为20—〃=20—2X^=2

O3

2.朱载培（1536年〜1611年），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天

文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律

是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之

间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个

音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设前三个音

的频率总和为Ai，前六个音的频率总和为4，如今=（）

I

£X

A.1+2ZB.1+25

2j_

C.1-2^D.1—2立

解析：选A.依题意13个音的频率依次成等比数列，记为｛m｝，设公比为q，

则=.因为最后一个音是最初那个音的频率的2倍，所以山3=2〃1=4|，2，

S（1一46）

J_4?1-a1

解得q=»2，所以3=的（］内=1+如=1+2,，故选A.

i—q

2

数列中的新定义问题

例团（2020•河北石家庄4月模拟）数列｛“〃｝的前〃项和为S1，定义｛〃“｝的“优

（1\+2tp+•••+2，।Cln

值”为H„=„-------，现已知｛〃“）的“优值”从=2〃，则S=

.Q］+2Q2H-----F2”一

［解析］由Hn=---------------------------=2〃，

得ai+242d-----F2〃-%“="2"»①

当时，m+2〃2H-----F2"—=1)2广1，②

由①一②得2「必=〃・2”一(〃-1)2〃-|=(〃+1)2"-1，即的=〃+1(〃22)，

当〃=1时，41=2也满足式子〃〃=〃+I'

C.2021D.4042

（2）己知S〃是数列｛0｝的前。项和，0=1，且V〃£N*，2sl=（叶1）。〃，叫=

[cos写

rsin则数列｛d｝的前2020项之和72020=

【解析】（1）因为数列优〃｝是公比不等于1的正项等比数列，且lg〃i+lga2

2

021=0，所以lg(M•42021)=0，即41•42021=1.因为函数=]+.，所以7U)

/n?22+2x2

+般|=7^+^^7=]+M=2，所以火0)+火〃2021)=2.令7=/(0)+/32)+…

,+?

+大。2021).则T=fia2021)+大。2020)H--------1).所以2rI)+大。2021)+犬。2)+犬。2

020)+・・・+八42。21)+#0)=2乂2021，所以丁=2021.故选C.

⑵因为2s"=5+1)小①，

所以当〃22时、2s〃一i=〃。〃一1②，

①一②得，2。“=("+1)〃”一〃〃〃_1，

即(〃—l)atJ=〃。〃一1(〃22),

两边同时除以〃（〃一1），得；（"22）»

即数列愕为常数列'

孔(〃+1)

于是S〃=r

于是力尸”一，nn,nn

令Cn=hin-3+b4n-2+/?4n-1+/?4〃(〃WN*)，

(4〃-3)(4/7—2)(4//—2)X(4/?—1)

则=X(—1+0)+

CnX(04-l)42

(4;?—1)X4n,4n(4〃+l)

------z------X(0-l)+-----z-X(l+0)=2，

于是72020=Cl+cz+…+c505=2X505=1010.

【答案】(1)C(2)1010

数列与函数综合问题的主要类型及求解策略

(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研

究数列问题.

(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公

式、前〃项和公式、求和方法等对式子化简变形.

注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解

决问题时要注意这一特殊性.

角度二数列与不等式的交汇

网4：(1)(多选)已知数列｛〃〃｝满足»则()

A.a524cn—3mB.s+mWca+ae

C.3(07—。6)266—43D.。2+。32俏+。7

(2)设数列｛“]｝的通项公式为a”=2〃-1'记数列•|,的前n项和为Tn»若

对任意的〃£N*，不等式46〈/一〃恒成立，则实数。的取值范围为.

【解析】(1)由2a〃WaA_i+a〃+i(〃22)，可得a7—4〃_iWa”+i一%，所以有

。2—mWa〃+i—，所以45—44+44-43+43—022332—41)»化简得

4524。2—3ai，故选项A正确；由。7——〃2可得az+sN&j+e，故选项

B错误；由3(。7—。6)2。6—。5+。5—。4+。4—43=46—43，故可知选项C正确；若

4】=〃，满足2attWa”_i+a〃+i(〃22)»但42+43=5〈加+/=13，所以选项D错

误.故选AC.

⑵因为a“=2〃-1»

2

又4Tn<a—a»

所以2Wo?一〃，解得aW—1或，

即实数4的取值范围为(-8.-1JUR»4-oo).

【答案】(1)AC(2)(—8，-i]U[2，+8)

数列与不等式的综合问即

(1)判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助

数列对应的函数的单调性比较大小.

(2)以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最

值.

(3)考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，

有时也可以通过构造函数进行证明.

跟踪训练】

1.已知数列｛斯｝的前〃项和为S〃，点(〃，S〃+3)(〃£N*)在函数尸3X2、的

图象上，等比数列｛/?〃｝满足Z?“+Z?〃+i=a“(〃£N")，其前n项和为Tn»则下列结论

正确的是()

A.Sn=2TnB.Tn=2/?”+1

C.D.T“<b“+i

解析：选D.因为点(〃，S〃+3)在函数y=3X2］的图象上，所以S〃+3=3X2〃，

即S〃=3X2〃-3.

当时，〃〃=S〃一S.i=3X2”-3一(3X2「1-3)=3X2〃-i，

又当n=1时，〃i=Si=3适合上式，

所以m=3X2〃T.

设b〃=bqc，则历/r+4/=3X2”r，

可得bi=1»q=2，

所以数列｛仇｝的通项公式为a=2厂I

由等比数列前〃项和公式可得7；=2"一1.

结合选项可知，只有D正确.

2.等差数列伍”｝的前n项和为S〃，s十以一48，扇一28，若S〃十30>献对

任意〃£N*恒成立，则2的取值范围为.

解析：由题意得。2+〃4=〃5+。1=48，因为45=28，

所以ci\=20，贝Ud==2，

n1)

所以S〃=20，H2X2=T/(M+19)，

迎+19,

由〃〃得

(/z+19)+30>27Vnn

30

由函数HX)=X+U+19的单调性及式5)=<6)=30知，

30

当〃=5或〃=6时，〃+丁+19取最小值3()，故2<30.

答案：(一8，30)

方法素养助学培优//////////////////////////////

思想方法系列12解决数列问题的七大常用技巧

技巧一巧用性质减少运算

等差数列、等比数列的通项公式与求和公式中均涉及多个量，解题中可以不

必求出每个量，从整体上使用公式.

函例FT(1)在等比数列｛。〃｝小，已知6/14-673=8，〃5+。7=4'贝lj49+0|十〃13

+。15的值为()

A.1B.2

C.3D.5

(2)设等差数列｛端的前〃项和为S”，若S6>S〉S5，则满足SkSk+T〈O的正整数

【解析】(1)方法一：因为｛〃〃｝为等比数列，所以。5+。7是。|+。3与。<)+

(〃5+〃7)242

CIW的等比中项，所以(〃5+。7)2=(4|+43>(。9+。11)，故49+。“=a^-\-ay="§"

同理，。9+。11是〃5+。7与413+。15的等比中项，

所以(〃9+〃11)2=(〃5+〃7)(413+〃15)，

.(m+au)222

故S3+415=।=4'=I'

所以49+。11+。13+。15=2+1=3.

方法二：设等比数列｛0〃｝的公比为夕，

则a5=a\q4，。7=。3炉，所以外=：：；：：=、=、

又49+。11=4q8+〃3夕8

。13+。15=。1夕i2+a'3qi2=（ai+a3）/2=8X

所以々9+01+413+05=2+1=3.

（2）依题意得。6=&-S5>0，

07=57—S6<（），Q6+〃7=S7—S5>0，

m-U（0+。11）一八

贝U511=5=]1。6>0，

c12（。|+。12）12（如+/）

Si2=-----5-------=-------5----->0，

13（。1+。13）

Si3=0=13曲<0，

所以S2s13Vo，即满足SkS*iv()的正整数k=12.

【答案】(1)C⑵12

技巧二巧用升降角标法实现转化

在含有4“，*对任意正整数〃恒成立的等式中，可以通过升降角标的方法再

得出一个等式，通过两式相减得出数列递推式，再根据递推式求得数列的通项公

式和解决其他问题.

题酝设S”是数列｛〃〃｝的前〃项和，已知0=3，4〃+I=2S〃+3(/I£N*),求

数列｛雨｝的通项公式.

【解】当〃22时，由z+i=2S〃+3，

得。〃=2s〃-1+3，

两式相减，得〃〃+:-t?"=2S〃-2s〃-1=2。〃，

所以an+]=3an»

〜Cln+\

所以---=3.

Cln

当〃=1时，「3，s=2S+3=2⑺+3=9，则清3.

所以数列(〃〃｝是以3为首项,3为公比的等比数列.

所以4〃=3X3'「I=3〃.

技巧三巧用不完全归纳找规律

解数列问题时要注意归纳推理的应用，通过数列前面若干项满足的规律推出

其一般性规律.

MM3]在数列｛〃〃｝中，已知m=l，a〃+i+(—l)"a〃=cos[(〃+l)丸]，记S〃为

数列仅〃｝的前〃项和，则52024=.

【解析】由4i=1，+1)"Q〃=COS[(〃+1)n]，得〃2=QI+COS2r.=I

+1=2，〃3=­s+cos3n=—2—1=-3»〃4=〃3+cos4n=-3+1=-2，as

=—oi+cos5n=2—1=1，…由此可知，数列｛”,｝是以4为周期的周期数列，

且41+々2+。3+。4=~2，所以52024=506(671+。2+。3+44)=506><(―2)=—I012.

【答案】-1012

技巧四巧用辅助数列求通项

已知数列的递推式求数列的通项公式时，基本思想就是通过变换递推式把其

转化为等差数列，等比数列(辅助数列)，求出辅助数列的通项，再通过变换求出

原数列的通项公式.

(1)当出现4〃=所一:+〃2522)时，构造等差数列；

(2)当出现〃.i+y(〃22)时，构造等比数列.

解剧⑷(1)设数列｛“1｝满足。i=2，OJ+L4%=3义2〃+|，求数列｛〃〃｝的通项公

式；

(2)己知在数列(〃〃｝中，m=1，〃〃+1=二gWN*),求数列｛〃〃｝的通项公式.

Cln十3

【解】⑴由Z+I—4〃〃=3X2〃+I得，尚一第=3，

设儿=鼠，则氏+i=2d+3，设为+i+/=2(a+/)，所以2/—/=3，解得/=3，

112

所以为+]+3=2(〃〃+3i，所以厂];=2，又6+3=与+3=1+3=4，所以数列

。〃十32

｛瓦+3｝是以4为首项，2为公比的等比数列，所以儿+3=4X2LI=2"+I，所以

n+l

bn=2-3，所以6・2”=(2"+|—3)义2〃=23]-3X2”.

⑵因为m+i='h(〃£N"),所以」一=4+1,设一^+/=3住+力’所以

tZn+34〃+1an+\7

3/—/=1，解得/=：，所以」~+1=3?+；)'又;+J=l+；=；'所以数列—+：

2an+\227a\222｛ClnZJ

31133"9

是以彳为首项，3为公比的等比数列，所以5+；=/31=二，所以。“=方：.

ZCln2.1231

技巧五巧用裂项求和

裂项相消法是数列求和的基本方法之一，在通项为分式的情况下，注意尝试

裂项，裂项的基本原则是4〃=H〃)一外〃+1).

MHT51已知数列｛斯｝的前〃项和为S〃，。=3，若数歹U｛S〃+1｝是公比为4的

等比数列.

(1)求数列｛〃〃｝的通项公式；

Q)设bn=(一―3)5川‘〃'N''求数列｛瓦｝的前〃项和Tn.

【解】(1)由题意知*+1=6+1>4〃一1=4"，

所以S〃=4〃-1，

当时，%一5〃一1=34一|，且ai=3满足上式，

所以数列｛〃“｝的通项公式为。“=3・4〃-L

=_____但J______=__________更_________

(。〃+1-3)・S“+i(芈-1)(4/,+,-1)

=3(4,,-l-4n+,-l)，

所以乙=〃1+岳+…+)〃=；xf—不［)+；x，二一4,，。小—

X(4/,-1-4Z,+I-1)

1__11

一次十一14n+1-lJ-93(4n+,—1),

技巧六巧用分组妙求和

分组求和方法是分类与整合思想在数列求和问题中的具体体现，其基本特点

是把求和目标分成若干部分，先求出部分和，再整合部分和的结果得出整体和.

___4(〃+1)

若数列｛小)的通项公式为m=22"+I，令儿=(7)f…有〃一

则数列｛儿｝的前〃项和丁〃=

4(〃+1)

【解析】由题意得儿=(7口。-।

41〃+1)

=（一1尸

(2〃+1)(2〃+3)

=（一1尸［2〃+1+2〃+31'

当〃为偶数时…+（2〃一1+2〃+）一（2〃+1+2〃+3,

1_1

二2〃十3，

当"为奇数时，3停+§—（泊）+…一（五匕+舟|+（三磊+志

3十2〃+3'

所以7；尸?（_1），*亍

【答案】；一（—1）'石太

技巧七巧用特值验算保准确

使用“错位相减法”求和的方法学生都能够掌握，但求解的结果容易出现错

误，应该在求出结果后使用m=Si进行检验，如果出现的WS，则说明运算结果

一定错误，这时可以检查解题过程找出错误、矫正运算结果.

3〃—1

■E己知数列伍〃｝的通项公式为4〃=二^，则其前〃项和S=

3n—1

【解析】2〃

25〃=2+/+扛…+铝

3333〃—1

两式相减得5〃=2+犷3

3n~13/7+5

S〃=2T-2>i~=5——-

1-2

■小4.3〃+5

【答案】5—一的一

■;知能提升•分层演练p

［A级基础练］

1.(2()20•开封市定位考试)等比数列｛〃〃｝的前〃项和为Sn＞若〃3+4S2=()，

则公比乡=()

A.-1B.1

C.-2D.2

解析：选C.方法一：因为43+452=0，所以ai/+4ai+4aq=0，因为S于

0，所以/+4q+4=0，所以q=-2，故选C.

4

方法二：因为4Z34-452=0，所以。24+丁+4〃2=0，因为42于0，所以

4=0，即0+2)2=0，所以夕=一2，故选C.

2.已知数列｛.〃)的通项公式为a〃一/一2而(九三N*)，则“2V1”是“数列他〃｝

为递增数列”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：选A.若数列｛小｝为递增数列，则有，得2〃+1＞2%，得4

OaI1勺々

vf—对任意的〃£N”都成立，于是2V*由2Vl可推得/iv：，但反过来，由

3

/Iv］不能得到2Vl，因此“2V1”是“数列｛〃〃)为递增数列”的充分不必要条

件，故选A.

3.已知等差数列｛〃〃｝的前〃项和为S〃，公差力＞0，俏和俏是函数.益)=争11

元+52—8x的极值点，则S8=()

A.-38B.38

C.-17D.17

解析：选A.因为J(x)=^-\nx+；『一8式，

X

令/(x)=()'解得工=：或X=与.

又46和。8是函数,/U)的极值点，且公差d>0，

所以€16=3，伽=万，

41+5〃26ZI=-17*

所以《解得，

d=^.

0+7〃=/，

8X(g—])

所以S8=8n+-----5-----Xd=-38，故选A.

4.(2020•高考全国卷H)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、

下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板

构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9

块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则

三层共有扇面形石板(不含天心石)()

A.3699块B.3474块

C.3402块D.3339块

解析：选C.由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一

个等差数列，记为｛〃〃｝，易知其首项的=9、公差d=9，所以1)1=

9n.设数列｛〃〃｝的前〃项和为Sn»由等差数列的性质知Sn»S2n—，§3〃一$2〃也成

等差数列5所以2(S2〃一S")=S〃+S3”一§2〃，所以(S3“—S2")—(S2”-S")=S2”-2S〃=

In(9+18〃)n(9+9〃)-~.......

-----2------2X----------=9〃2=729，得〃=9，所以三层共有扇面形石板

3〃（9+27〃）3X9X（9+27X9）

=3402，故选C.

的块数为S3”=22

5.（多选）（2020•山东临沂罗庄期中）己知各项均为正数的等比数列｛〃〃｝

1，0<（/<1，其前〃项和为S”，下列说法正确的是（）

A.数列｛Inz｝为等差数列

B.若S尸A/+8，则A+3=（）

C.SnSin=5%

D.记Tn=aia2----倔，则数列｛〃｝有最大值

Cl\（1一炉）

解析：选ABD.由题意可知»a=a\q,l~]*S〃=---;---工---.对于A，Inar=In

ll1~q

=lna\+（«-l）lnqtInaw+i=lna\q"=lna\+/zlnq，所以Ina〃+i-Ina〃=lnq»

所以｛Inm｝为等差数列，所以A正确.对于B，S〃=@一好沪一=U^+q]，

又a=A/+B，所以A+A=-J"—+d」=0'所以B正确.对于C,由题意，

1—qI-q

mccm（1一十）a\（1一/“）济（］—g"）（［一43〃）厂。

得SnS3n=i,j=~f-\?'S2”=

1—q1—q（x1—q）

济（1一/"）之

—（］_；）2，显然S&n丰瑞，所以C错误.对于D，因为在等比数列｛m｝中，

ai>0>0<（/<1>所以数列｛m｝为单调递减数列，所以存在从某一项开始使得以

=。国人一仁①，1）,所以在数列｛北｝中，Ti=ag....ak-\为最大值，所以D

正确，故选ABD.

6.己知7U）=2sin会，集合M=｛H|/U）|=2，x>0｝，把M中的元素从小到

大依次排成一列，得到数列伍〃｝，〃£N;数列｛〃〃）的通项公式为.

解析：因为仪功=2»所以务=女11+，，攵EZ，x=2k+\，kGZ.

又因为x>0，所以4〃=2，Ll（〃eN）.

答案：。“=2〃一1（，?0N*）

I9I

7.若数列｛〃〃｝满足‘一一f=0，则称｛词为“梦想数列”.已知正项数列吩｝

a>i.1ClnOn

为“梦想数列”，且历+岳+九=1，则尻+历+除=.

解析：由£一・=。可得知+产上〃'故伍〃｝是公比为加等比数列'故由

是公比为;的等比数列，则｛加｝是公比为2的等比数列E+岳+械=("+从+岳)25

=32.

答案：32

8.已知在数列｛&｝中，4用=24〃-1，0=2，设其前n项和为S”，若对任

意的〃WN*，⑸+1—啾22〃一3恒成立，则k的最小值为.

解析：由。〃+1=2小一1，可得4”+|—1=2(。〃-1).又因为41—1=1，所以数

2"一I

列｛。〃一1｝是公比为2，首项为1的等比数歹，所以。〃=1+2门，所以S〃==T

41

+〃=2"—1+〃.因为对任意的，(S"+1一〃火22〃一3恒成立，所以

、(2〃-3、人2〃一3_,2n~12//—35—2〃,

"42〃Jmax,令""=2”，囚为为+1一仇=2"+1—2〃=2n+l，所以数列｛,加｝

的前3项单调递增，从第3项开始单调递减.所以〃=3时，数列｛5｝取得最大

33

值Z?3=g,所以k》Q.

OO

3

答-

M:8

9.数列｛〃〃｝的前拉项和记为％，0=1，wi=2S“+l(〃21).

(1)求｛〃〃｝的通项公式；

(2)等差数列｛仇｝的各项为正数，其前n项和为7；且73=15，又一+Ci，G

+历，如+以成等比数列»求Tn.

解：⑴由如+i=2S”+l，可得〃〃=2S「］+1(〃22)，

两式相减，得〃〃+：—〃〃=2。〃，。〃+1=3小(〃22).

又因为4/2=251+1=3，

所以ai=3a\.

故｛z｝是首项为1，公比为3的等比数列，

所以an=3rt~'.

(2)设｛瓦｝的公差为d，

由△=15，得力1+从+加=15，可得力2=5，

故可设加=5—d*"=5+".

又〃1=1，672=3，43=9»

由题意可得（5—”+1）（5+d+9）=（5+3）2.

解得小=2，小=-10.

因为等差数列｛儿｝的各项为正数，

所以加＞（），所以d=2.

Tn=3〃+“1-X2=+2〃.

10.给定一个数列｛〃“｝，在这个数列中，任取皿机23，〃z£N”）项，并且不

改变它们在数列｛〃〃｝中的先后次序，得到的数列称为数列｛z｝的一个m阶子数

列.已知数列｛小｝的通项公式为。产身产N*，a为常数），等差数列。2，43，

。6是数列｛〃〃｝的一个3阶子数列.

⑴求。的值；

（2）设等差数列一，历，…，尿是｛雨｝的一个皿加23，/n£N*）阶子数列，且

为常数'&N，&22），求证：mWZ+l.

解：⑴因为。2，成等差数列，所以42—。3=43—〃6.

-…111

又因为〃2=节，。3=市"6=而，

所以，解得。=。

2-ra3十。3十。6十。

（2）证明：设等差数列b\，bi，…，狐的公差为（1.

因为4=；,所以岳W7J77'

kk-r1

从而仁…啾十一女（缶）.

所以。m=。1+("7—1)C/W：in-1

K%a+i)•

又因为尿＞0,

~1in—1

所以仄一女（攵+1）＞。

即〃2—1VZ+1，所以"?VZ+2.

又因为m,&£N",所以〃zWZ+l.

[B级综合练]

11.如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，

除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字

之积最接近(lg2Po.3)()

2

22

242

2882

21664162

A.1()300B.IO400

C.IO500D.IO600

解析：选A.如图，将数字塔中的数写成幕的形式，可发现其指数恰好构成

“杨辉三角”，前10层的指数之和为1+2+2?+…+29=2皤-1=1023，所以

原数字塔中前10层所有数字之积为2,023=10,023l82^10300.

2,

212*

2«2221

2123252,

V2“小》，

12.(2020•开封市第一次模拟考试)若数列｛〃〃｝满足42—<…<4〃

一《…，则称数列｛〃〃｝为“差半递增”数列.若数列伍〃｝为“差半递增”数

列，且其通项。〃与前H项和S”满足S1=2z+2/-15£N")，则实数/的取值范

围是________•

解析：由题意知，Sn=2cin+2t—1①，当〃=1时，S=2〃l+2f—1，得0

=1—2r；

当〃22时，5〃一|=2"一+2，一1②，①一②并化简，得，故数列

｛“?｝是以a\=1—It为首项，2为公比的等比数列»则。〃=(1—2/>2"—一所以an

-1=(1-2t)-2n~1-1-(1-2r)-2w-2=(3-6r)-2,-3，因为数列｛。〃｝为“差半递

增”数列，所以3-6r>0，解得r<1.

答案：(一84)

13.在®〃4=43+95；@b4+Z?6—3tZ3+3«5；③。2+。3=〃4这三个条件中任选

一个，补充在下面的问题中，若问题中的々存在，求出A的值；若%不存在，说

明理由.

已知｛〃〃｝是等差数列，其前〃项和为S”，｛。〃｝是公比大于0的等比数列，历

=1，历=岳+2，4+2.6,且________*设。〃=当,是否存在k,使得对任

意的〃WN*'都有Ck《Cn?

解：设数列｛小｝的公差为d，｛氏｝的公比为40>0），

因为出〃｝是公比大于0的等比数列，且叱=1，b3=bi+2，

所以炉=q+2，解得q=2（q=-1不合题意，舍去）.所以〃〃=2"」

若存在人使得对任意的，者［，有以Wc“，则c〃存在最小值.

(3ai+131=16,\d=\»

若选①，则由85=。4+2。6，/?4=。3+。5可得彳.得，

|2s+6d=8，(41=1，

。224

所以S”=呼2+卧，C"

因为‘所以/+〃22,所以不存在最小值.

即不存在满足题意的k.

3s+13d=16,

若选②，由匕5=44+2。6办4+匕6=3。3+3〃5可得，.

6s+181=40，

所以S“=—%2+,〃，如_b2_12

Sn—3/+61〃・

因为当〃W20时，a>0，当时，C“VO，

2

-

所以易知Cn的最小值为C2\=7

即存在女=21，使得对任意的“WN'都有cWc”.

8

3m+l3d=16,17

若选③»则由Z?5=G4+2a6，。2+。3=〃4可得”.

2m+3d=8,56

n

4层+52〃历_17

所以〃

S=17Sn2/+26〃.

因为2序+26〃228,所以c〃不存在最小值»