高考物理一轮复习（人教版）第9章 专项强化14 带电粒子在电场中的力电综合问题

专题强化十四带电粒子在电场中的力电综合问题

【目标要求】1.会用等效法分析带电粒子在电场和重力场中的圆周运动2会用动力学、能量和

动量观点分析带电粒子的力电综合问题.

题型一带电粒子在重力场和电场中的圆周运动

1.等效重力场

物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体

的运动问题就会变得复杂一些.此时可以将重力场与电场合二为一,用一个全新的“复合场”

来代替，可形象称之为“等效重力场”.

2.

重力场、电场叠加而

成的复合场

等重力、静电力的合力

效

重等效重力与物体质量

力的比值

场

的物体做圆周运动时与

对等效重力平行的直径

应

概与国的两个交点分别

念为等效'最低点”（等

及效重力指向的一侧

解交点）和等效“最总点”

释（背离等效重力方向

一侧的交点）

3.举例

重力场与电场在•条重力场与电场

直线上（qE>,ng）成一定夹角

【例1】（多选）（2023•福建省福州第十五中学质检）如图所示，带电小球（可视为质点）用绝缘细线

悬挂在O点，在竖直平面内做完整的变速圆周运动，小球运动到最高点时，细线受到的拉力

最大.已知小球运动所在的空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为£小球质量为

机、带电荷量为心细线长为/,重力加速度为g,则（）

A.小球带正电

B.静电力大于重力

C.小球运动到最低点时速度最大

D.小球运动过程最小速度至少为。=7"户二："

答案BD

解析因为小球运动到最高点时，细线受到的拉力最大，可知重力和殍电,力的合力（等效重力）

方向向上，则静电力方向向上，且静电力大于重力，小球带负电，故A错误，B正确；因重

力和静电力的合力方向向上，可知小球运动到最高点时送度最大，故C错误；由于等效重力

竖直向上，所以小球运动到最低点时速度最小，最小速度满足qE—ing=m-,即

寸耳迎故D正确.

【例21（多选）（2023・重庆市八中高三检测）如图中所示，空间有一水平向右的匀强电场，电场

强度大小为七=lXl（rv/m,其中有一个半径为"=2m的竖直光滑圆环轨道，环内向两根光

滑的弦轨道A8和AC,A点所在的半径与竖直直径8c成37。角.质量为加=0.08kg、电荷

量为g=+6X10-C的带电小环（视为质点）穿在弦轨道上，从A点由静止释放，可分别沿A8

和AC到达圆周上的B、C点.现去掉弦轨道AB和AC,如图乙所示，让小环穿在圆环轨道

上且恰好能做完整的圆周运动.不考虑小环运动过程中电荷量的变化.下列说法正确的是

（cos37°=0.8»g取lOm/s^X）

A.小环在弦轨道A8和AC上运动时间之比为1：1

B.小环做圆周运动过程中经过C点时动能最大

C.小环做圆周运动过程中动能最小值是1J

D.小环做圆周运动过程中对圆环轨道的最大压力是5N

答案AD

解析因为重力与静电力均为恒力，所以二者的合力大小为尸=》(〃吆＞+(必)2=1N,与竖直

方向夹角正切值tanJ=^=],解得夕=37。，重力与静巴力合力指向4。，A为等效最高点，

根据等时圆模型，小环在弦轨道A8和AC上运动时间相等，A正确：等效最低点是A0延长

线与圆环轨道交点，而非C点，等效最低点速度最大，动能最大，B错误：因为小环穿在圆

环轨道上且恰好能做完整的圆周运动，则小环在等效最高点A速度最小为零，在人点动能最

小也为零，C错误；小环在等效最低点时速度最大，动能最大，小环对圆环轨道压力也最大，

从等效最高点至等效最低点、过程中，由动能定理得广2/?=%孙，一0,由牛顿第二定律得尸N

厂小

一F=〃中,代人数据解得尸N=5N,由牛顿第三定律，，:、环做圆周运动的过程中对圆环的最

大压力是5N,D正确.

【例3】如图所示，现有一个小物块质量为〃?=80g、带正电荷〃=2XI04C,与水平轨道之

间的动摩擦因数〃=0.2,在水平轨道的末端N处连接一个光滑竖直的半圆形轨道，半径为R

=4()cm.整个轨道处在一个方向水平向左、电场强度大小E=4Xl()3v/m的匀强电场中，取g

=10m/s2.

(I)若小物块恰能运动到轨道的最高点L，那么小物块应从距N点多远处的八点释放？

(2)如果小物块在(1)中的位置A释放，当它运动到尸点(轨道中点)时轨道对它的支持力等于

多少？

(3)如果小物块在(1)中的位置A释放，当它运动到NP间什么位置时动能最大，最大动能是多

少？(结果保留两位有效数字)

答案(1)1.25m(2)4.8N⑶与圆心的连线与竖直方向夹角为45°0.93J

解析(1)物块恰能通过就道最高点L的条件是

电2

mg="厂后，代入数据解得办=2m/s

设A到N的距离为s,对A到L过程中根据动能定理得qEs—//nigs—nig-2R=^mvi2-0

代入数据解得s=1.25m

(2)物块由P到L过程根据动能定理得

1,12，

—mgR—qER=^IHVL——”即

解■得Vp=2、Bm/s

2

在尸点根据牛顿第二定律潺FN—qE=)端

代入数据解得小=4.8N.

(3)如图所示，当合力的反方向延长线过圆心时动能最大，设该点为8,过8的半径与竖直方

向间的夹角为名则⑶1夕=力=1,8=45°.从4到8,由动能定理得gEG+Rsin夕)一

〃遭A(1—cosO)=Ekm,解得Z?km=(0.48I0.32V2)J=0.93J.

A

题型二电场中的力电综合问题

I.动力学的观点

(I)由于匀强电场中带电粒子所受静电力和重力都是恒力，可用正交分解法.

(2)综合运用牛顿运动定律和运动学公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑

的问题.

2.能量的观点

(1)运用动能定理，注意过程分析要全面.，准确求出过程中的所有力做的功，判断是对分过程

还是对全过程使用动能定理.

⑵运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现.

①若带电粒子只在静电力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变.

②若带电粒子只在重力和静电力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变.

3.动量的观点

(I)运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必须选同一

个正方向.

⑵运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢最式，还要注意题目表述是否

为某方向上动量守恒.

【例4】(2023•湖南株洲市模拟)如图，一带电的平行板电容器固定在绝缘底座上，底座置于光

滑水平面上，一光滑绝缘轻杆左端固定在电容器的左极板上，并穿过右极板上的小孔，电容

器极板连同底座总质量为2小，底座锁定在水平面上时，套在杆上质量为〃？的带电环以某一

初速度由小孔进入电容器后，最远能到达距离右极板为d的位置.底座解除锁定后，将两极

板间距离变为原来的2倍，其他条件不变，则带电环进入电容器后，最远能到达的位置距离

右极板()

A.3dB.dC予D./d

答案C

解析设带电环所带电荷量为小初速度为。o,底座锁定时电容器极板间电场强度为E,则

由功能关系有底座解除锁定后，两极板间距离变为原来的2倍，极板间电场强

度大小不变，电容器及底座在带电环作用下一起向左运动，当与带电环共速时，带电环到达

进入电容器后的最远位直，整个过程满足动量守恒，则有加的=3〃皿，再由功能关系有《&/'

=5?血（）2—联立解得（['=],故选C.

【例5】如图所示，不带电物体A和带电的物体8用跨过定滑轮的绝缘轻绳连接，4、B的质

量分别为2机和〃?，劲度系数为女的轻弹簧一端固定在水平面上，另一端与物体A相连，倾

角为。的斜面处于沿斜面向上的匀强电场中，整个系统不计一切摩擦.开始时，物体6在一

沿斜面向上的外力产=3,〃gsin。的作用下保持静止且轻绳恰好伸直，然后撤去外力F,直到

物体B获得最大速度，且弹簧未超过弹性限度（已知弹簧形变量为x时弹性势能为:心），重力

加速度为g，则在此过程中（）

IW0X0W

A.物体B带负电，受到的静电力大小为阳gsin。

B.物体8的速度最大时，弹簧的伸长量为匈警

C.撤去外力厂的瞬间，物体8的加速度大小为3gsin。

D.物体8的最大速度为gsin外席

答案D

解析假设8所受静电力沿斜面向下，当施加外力时，对笈分析可知方一mgsin。一/七=0,

解得Fe=2〃?gsin仇假设成立，故B带负电，故A错误；当8受到的合力为零时，E的速

度最大，由丘=f\+〃?gsin。，解得x=如答4故B错误；当搬去外力瞬间，弹簧弹力还

来不及改变，即弹簧的弹力仍为零，对物体4、8分析可知/金=/七+，摩sin9=（m+2Ma,

解得a=gsin0,故C错误：设物体3的最大速度为5”，由功能关系可得JsmUif+Hfu/"gxsin

，+产电x,解得。m=gsin,故D正确.

【例6】（2019•全国卷II・24）如图，两金属板P、Q水平放置，间距为d两金属板正中间有一水

平放置的金属网G,P、Q、G的尺寸相同.G接地，P、。的电势均为0">0）.质量为机，

电荷量为，/«/>0）的粒子自G的左端上方距离G为h的位置，以速度。。平行于纸面水平射入

电场，重力忽略不计.

-P

5%G

-Q

（1）求粒子第一次穿过G时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小；

（2）若粒子恰好从G的下方距离G也为h的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？

答案（1电诏+*"以守普

（2*\陪

解析（1）PG、QG间电场强度大小相等，均为£粒子在PG间所受静电力尸的方向竖直向下,

设粒子的加速度大小为a,有石=景。

F=qE=ma®

设粒子第一次到达G时动能为Ek,由动能定理有曲=及一%?如2③

设粒子第一次到达G时所用的时间为1,粒子在水平方向的位移为/,则有/2=*~④

l=vot©

联立①②③④⑤式解得Ek=%iVo2十号qh

（2）若粒子穿过G一次就从电场的右侧飞出，则金属板的长度最短.由对称性知，此时金属板

的长度为L=2/=2吟愣.

课时精练

1.如图所示，一个电荷量为一Q的点电荷甲，固定在绝缘水平面上的。点.另一个电荷量为

+<7、质量为/〃的点电荷乙，从A点以初速度改）沿它们的连线向甲运动，运动到B点时的速

度为必且为运动过程中速度的最小值.已知点电荷乙受到的阻力大小恒为R,A、B间距离

为Lo,静电力常量为上则下列说法正确的是（）

-Q+q

A.点电荷乙从A点向甲运动的过程中，加速度逐渐增大

B.点电荷乙从A点向甲运动的过程中，其电势能先增大再减小

C.0B间的距离为、愕

产山）+%?/

D.在点电荷甲形成的电场中，AB间电势差彷8=---------------

q

答案c

解析点电荷乙从A点向甲运动的过程中，受向左的静电力和向右的阻力，两点电荷麓近过

程中静也力逐渐增大，阻力不变，点电荷乙先减速后加速，所以加速度先减小后增大，故A

错误；在点电荷乙向甲运动过程中殍电力一直做正功，因此电势能一直减小，故B错误：当

速度最小时有衣=〃=单，可得「=寸鲁，故C正确：点电荷乙从A运动到3过程中，根

r，,1,12

据动能定理有UAB^~FfLo=2wy2~2mv^，计算得出UAR=-----二"^---=----,故D错误.

2.（多选）（2023•黑龙江齐齐哈尔市八中模拟）如图所示，四分之一光滑绝缘圆弧槽8处切线水

平，一可视为质点的带正电小球从圆弧槽4处由静止释放，滑到8处离开圆弧槽做平抛运动,

到达水平地面的。处，若在装置所在平面内加上竖直向下的匀强电场，重灾上述实验，卜.列

说法正确的是（）

A.小球落地点在。的右侧

B.小球落地点仍在。点

C.小球落地点在的左侧

D.小球离开8到达地面的运动时间减小

答案BD

解析不加电场时，小球从A到3有〃?gR=T〃?oJ—0,解得0B=d2gR,平抛过程，竖直方

向上有/?=皋户,解得命，平抛水平位移1=如/=24^,平抛水平位移与重力加速度

无关，施加竖直向下的匀强电,场后，小球同时受重力和向下的静电,力，相当于重力加速度增

大了，小球落地点仍在。点、，「，小球离开8后到达地面的运动时间减小，B、D正确.

3.（多选）如图所示，可视为质点的质量为，〃且电荷量为q的带电小球，用一绝缘轻质组绳悬

挂于。点，绳长为£，现加一水平向右的足够大的匀强电场，电场强度大小为后=翳，小

球初始位置在最低点，若给小球一个水平向右的初速度，使小球能够在竖直面内做圆周运动,

忽略空气阻力，重力加速度为8则下列说法正确的是（）

OE

A.小球在运动过程中机械能守恒

B.小球在运动过程中机械能不守恒

C.小球在运动过程中的最小速度至少为旅

D.小球在运动过程中的最大速度至少为即

答案BD

解析小球在运动的过程中，静电力做功，机械能不守恒，故A错误，B正确；如图所示，

小球在电场中运动的等效武高点和最低点分别为A点和B点，等效重力G'=%?g,小球在

最高点的最小速度5满足G'=〃受，得功="乎，故C错误；小球由最高点运动到最低

点，由动能定理有G，加2?一%的［2,解得。2=9故D正确.

（V）.

mgGqmg

4.如图所示，虚线MN下方存在着方向水平向左、范围足够大的匀强电场.4B为绝缘光滑且

固定的四分之一圆弧轨道，轨道半径为R，。为圆心，B位于。点正下方.一质量为加、电

荷量为q的带正电小球，以初速度班竖直向卜从A点沿切线进入四分之一圆弧轨道内侧，沿

轨道运动到B处以速度内射出.已知重力加速度为g,电场强度大小为E=督，sin37。=

0.6,空气阻力不计，下列说法正确的是（）

M-弋-『--N

A.从A到8过程中，小球的机械能先增大后减小

B.从A到8过程中，小球对轨道的压力先减小后增大

C.在A、B两点的速度大小满足办〉加

D.从8点抛出后，小球速度的最小值为夭牌

答案D

解析从4到3过程中，好电力一直做负功，小球的机械能一直减小，故A错误：设等效重

aF3

力与竖直线的夹角为2则tanO=^=本故。为37。，等效重力方向与竖直方向成37。角偏

左下方，所以从4到B过程中，小球速度先增大后减小，对就道的压力先增大后减小，故B

错误；8点比A点更靠近等效最低点，所以。4＜狈，故C潜误；从A到&由动能定理有"吆R

—Ec/R=^mvn2—^mvA1,解得。B=

,之后小球做类斜抛运动，在垂直于等效场方

向上的分速度即为最小速度,故D正确.

5.（多选）（2023•福建泉州市高三质检）如图，ABC是竖直面内的固定半圆形光滑轨道，O为其圆

心,A、C两点等高，过竖直半径OB的虚线右侧足够大的区域内存在沿4c方向的匀强电场.一

带正电小球从A点正上方P点由静止释放，沿轨道通过8、C两点时的动能分别为反和1.5反，

离开C点后运动到最高点。（图中未画出）.已知。与A间的距离等于轨道半径，则（）

A.。点与P点等高

B.小球在电场中受到的静电力是其重力的两倍

C.小球在。处对轨道的压力是其重力的两倍

D.小球通过。点时的动能大于1.5稣

答案BD

解析若在A点速度等于C点的速度，在竖直方向由对称性可知，。点与。点等高，但由动

能定理可知A点的速度小于C点的速度，所以。点高于。点，故A错误；设小球在电场中

所受静电力为F,轨道半径为R,小球从P到B过程，由动能定理得mg?R=Ek,4、球从P

到C过程，由动能定理得〃gR+FR=1.5Ek,联立可得F=2〃?g,故B正确；由动能定理的

■I卯一，

表达式有1.5反=呼口d，在C点时，由牛顿第二定律得八一尸=〃中，结合mg-2R=&,联

立可得仆=8/叫，由牛顿第三定律得小球在C处对航道的压力产N'=乐=8〃耳，故C错误；

因为F=2〃?g,可知小球从C点飞出后，竖直方向的加速度小于水平方向的加速度，鳖直方

向，由逆向思维，看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，则小球从。到。过程中，水平

方向的位移大于竖直方向的位移，根据W="s,可知静电力所做正功大于重力所做负功，则

小球通过。点时的动能大于通过C点时的动能，即大于1.5反，故D正确.

6.（2022・辽宁卷.14）如图所示，光滑水平面A4和竖直面内的光滑;圆弧导轨在4点平滑连接,

导轨半径为R.质量为〃?的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过

B点时的速度大小为鹿,之后沿轨道BO运动.以0为坐标原点建立直角坐标系xOy,在*2

一R区域有方向与x轴夹角为0=45。的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为噌

小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为a求：

(1)弹簧压缩至A点时的弹性势能；

(2)小球经过。点时的速度大小；

(3)小球过0,点:后运动的轨迹方程.

答案⑴品gR(2)^3gR(3)/=6Rr

解析(1)小球从A到民根据能量守恒定律得

Ep=]/加从

(2)小球从B到O,根据动能定理有

—mgR-\-y(2mgXy{2R=^invo1—ynvif

解得vo=y[^R

(3)小球运动至。点时速度方向竖直向上，受电场力和重力作用，将电场力分解到/轴和)，轴，

则x轴方向有陋mgcos45°=〃*

y轴方向有也〃?gsin45°-r(ig=may

解得a*-=g,4y=0

说明小球过。点后的运动为工轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，)，轴方向做匀速直线

运动，即做类平抛运动，则有工二区己y=w

联立解得小球过。点后运动的轨迹方程为

/=6/?A.

7.(2023•江西南昌市名校联考)如图所示，空间中存在水平向右、电场强度大小为E=5X1()3

N/C的匀强电场，水平传送带8c的左端与水平面在8点平滑连接，右端与一个半径为R

的光滑;圆弧轨道CD水平相切于C点.用s=X8C=R=lm,传送带顺时针转动，速率恒为r

=5m/s,现将一质量为〃?=0.5kg、带正电且电荷量为q=lXl()-3c的小滑块，从A点由静

止释放，小滑块与A3段和8C段间的动摩擦因数均为〃=0.2,取g=10m/s2.求：

D

E°：......-j

“以—,

zzzzzzzzz/zzz/zzzzzz■/

(1)小滑块运动到水平面右端B点时的速度大小；

(2)小滑块运动到圆弧轨道底端C点时所受的支持力大小；

(3)小滑块对圆弧轨道C。压力的最大值.(5取1.4)

答案(l)4m/s(2)22.5N(3)28.5N

解析⑴小滑块从A点运动到8点的过程，由动能定理得班%一〃〃期A8=品。82—0,解得

功?=4m/s.

(2)小滑块滑上传送带时，因传送带速率大于滑块速率，所以滑块受到的滑动摩擦力水平向右，

由牛顿第二定律得=解得4]=12m*,滑块加速到与传送带共速时，有—

VB2=2aix,解得此加速过程滑块的位移大小为k=0.375m,小滑块速率大于传送带速率后，

滑块受到的滑动摩擦力水平向左，由牛顿第二定律得为—〃〃?g=〃7S,解得〃2=8m/s2,由运

动学公式有v(2—v2=Zai{XBC-x\),解得滑块运动到C点时的速度m/s,滑块在C

PC?

点时，由牛顿第二定律得FNC—也且="我，解得尸NC=22.5N.

⑶由于％=〃吆，所以等效重力大小为"?屋=yj(坳/+(〃y)2=啦〃?g,方向与水平方向成45°

角斜向右下方，当滑块从C点开始沿圆弧轨道运动的弧长对应的圆心前0=45。时，滑块的速

v'2

度最大，对轨道压力最大，在该点，对滑块有乙一