高考数学专项复习：立体几何中的截面、交线问题

§7.9立体几何中的截面、交线问题

【重点解读】“截面、交线”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、

面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、周长、扇

形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解.

题型一作截面

例1如图，在正方体/WCQ-A出GOi中，M是A内的中点：N在棱CG上，且C22NG.作出过点Q,

M,N的平面截正方体所得的截面，写出作法.

解方法一如图所示，五边形QQM/W即为所求截面.

作法如下：连接DN并延长交D.C的延长线于点E,

连接M£交SG于点/，延长EM交口A的延长线于点”，

连接D"交A4于点Q,连接QM,FN,

则五边形即为所求截面.

方法二连接DN,过点M作DN的平行线交A4于。点，连接。0,过N作。。的平行线交51G于尸点，

连接M尸，

则五边形QQMFN即为所求截面.

思维升华作截面的几种方法

(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线

的过程.

(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.

(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的

平行线找到几何体与截面的交线.

跟踪训练1在正方体A3a中，E,F,G分别为KC,CD,£)4的中点，作出过点E,F,

G的平面截正方体的截面.

解如图，过点G作E尸的平行线交8s于点过点/作/G的平行线交于点/,

过点，作Eb的平行线交4口于点〃，易知点/,/,”都在截面E/G内，

且都是其所在棱的中点，从而所得截面是正六边形EFGHA/.

题型二截面图形的形状判断

例2已知正方体48CD-4由iGR中，点E是线段上靠近S的三等分点，点b是线段DiG上靠

近5的三等分点，则平面AE尸截正方体A4CD-A港iGG形成的截面图形为()

A.三角形B.四边形

C.五边形D.六边形

答案C

解析如图，设48=6,分别延长AE,4山।交于点G,

此时BiG=3,

连接FG交BQ于点H,连接EH,

设平面AE/与平面DCC,D）的交线为/，则F曰,

因为平面ABBIAI〃平面DCGDi,平面AE产n平面ABB}Ai=AE,平面4石尸Cl平面DCC）Di=/,

所以1//AE,设/n£>iD=/,则FI//AE,

此时,故7Di=；，连接A/,

所以五边形A/FHE为所求截面图形.

思维升华判断几何体被一个平面所截的截面形状，关键在于弄清这个平面与几何体的面相交成线的形状

和位置.

跟踪训练2如图，正三棱柱A8cA3。的所有棱长都相等，尸为线段&T的中点，。为侧面跳TCC内

的一点（包括边界，异于点P）,过点A,P,。作正三棱柱的截面，则截面的形状不可能是（）

A.五边形B.四边形

C.等腰三角形D.直角三角形

答案A

解析对于B,当P0的延长线与线段方C（除端点外）相交于点尸时，延长P。交CC的延长线于点。，

连接AD交A77于点E,连接E/"如图1,

B

例3(2024.呼和浩特模拟)已知正方体ABCD-AiBGG的棱长为4,M为棱。。的中点，M为侧面BG

的中心，过点M的平面Q垂直于0M则平面Q截正方体A8CQ-4181G。所得的截面面积为()

A.4(v5+&)B.2V3

C.5V3D.4V6

答案D

解析如图所示，取8C,CG的中点E,F,分别连接NE,NF,DE,DF,ADi,DiM,AM,

在正方形ABC。中，因为M,E分别为DC,。。的中点，可得,

所以NDAM=NCDE,NAMD=/CED,

因为/AOM=90。，

所以/AMO+NCOE=NAMD+NQAM=90。，

所以NOPM=9()。，即AMIDE,

又因为E,N分别为BC,BG的中点，

所以NE〃CG,

因为CG_L平面ABC。，AMu平面A8C。，

所以CCilAM,所以AMtNE,

又因为DECNE=E且DE,NEu平面DNE,

所以AMJ_平面DNE,

因为DNu平面DNE,所以AMLDN,

同理可证。iM_LON,

又因为AMnOiM=M且AM,DiMu平面ADM,

所以DN_L平面AQM,

即平面a截正方体A8CQ-A归IGQI的截面为△ADiM,

由正方体人BCQ-AICQi的棱长为4,

222

在RtZU。。1中，可得ADi=yjAD+DDf=V4+4=4>/2,

在Rl&WM中，可得AAQ/W+DM2N42+22=2通,

在RldDDiM中，可得DiM=y/DD^+DM2=y/42+22=2V5,

所以截面的面积为X4V2XJ(2V5)2-(2>/2)2=4\/6.

思维升华几何体的截面的相关计算，关键在于根据公理作出所求的截面，再运用解三角形的相关知识得

以解决.

跟踪训练3如图所示，棱长为3的正四面体形状的木块，点?是△ABC的重心，过点尸将木块锯开,

并使得截面平行于AD和8C,则截面的面积为（）

A.1B.2D.4

答案B

解析由题意可知，点P是△ABC的重心，过点P作

分别交48,AC于点E,F,作R3〃A力交CO于点G,

设平面EFG与BD交于点、H,连接，由于平面EFG,E/u平面EFG,故8c〃平面EFG,

因为FG//AD,平面EFG,/Gu平面EFG,所以A。〃平面EFG,

即四边形EFG”即为所求截面，

由于BC〃平面EFG,平面E/GCI平面BCD=HG,BCu平面BCD,

故BC//HG//EF,同理FG//EH,

故四边形EFG”为平行四边形，

设M为的中点，连接AM,DM,

则AM.LBC,DMLBC,AM,QMu平面ADM,AMC\DM=M,故8C_L平面ADM,ADu平面ADM,故BC

LAD,

而EF//BC,FG//AD,故EFA.FG,即平行四边形EFGH为矩形,即所求截面是矩形，

因为点〃是△A8C的重心，则AP=^AM,

故EF=^BC=2,AF=|AC,

所以FG=，O=1,故矩形E尸G〃的面积为EFXFG=2,即截面的面积为2.

课时精练

［分值：42分］

一、单项选择题（每小题5分，共20分）

1.如图所示，在正方体人“CQ-4氏中，如果点E是的中点，那么过点。，R,E截正方休所得的

截面图形为（）

A.三角形B.矩形

C.正方形D.菱形

答案D

解析分别取85,CG的中点G、F,连接AxG,BF,D}F,GF,如图，四边形D\EBF即为过点DjB,

E截正方体所得的截面图形，

由题意可知AE〃G8且AiE=G3,

所以四边形AE8G为平行四边形，

所以4G〃七8,又因为G/〃81G且GQaG,8c且,

所以AIOI〃G/且A。尸G尸，

所以四边形为平行四边形，

所以Di尸〃4G,

所以DF//EB,同理石。［〃即"

所以四边形。石打.为平行四边形，

又因为EB=BF,所以平行四边形DiEBF为菱形.

2.在三棱锥RA8C中，AB+2po9,E为线段AP上更靠近P的三等分点，过七作平行于A8,PC的平面,

则该平面截三棱锥P-A8C所得截面的周长为（）

A.5B.6C.8D.9

答案B

解析如图所示，在三棱锥P-A8C中，过E分别作律〃AB,EH//PC,

再分别过点〃,F作HG〃AB,FG//PC,可得E，尸，C,〃四点共面，

因为4次平面EFGH,平面EFGH,所以A8〃平面EFGH,同理可证，PC〃平面EFGH,所以截面即

为平行四边形EFG”,

又由E为线段AP上更靠近尸的三等分点，且AB+2/O9,所以,EH《PC,

所以平行四边形EFG”的周长为21E"EH）=|（A8+2PC）=6.

3.已知正方体的体积为1,点M在线段8c（不包括端点）上，点N在线段CG上，且CN=j

O

若平面AMN截正方体ABCD-A^CM所得的截面为四边形,则线段AM长的取值范围为（）

D,C1

O

N

AB

呜】）B.方

C.（0,D.（0,I'

答案D

解析要想平面AMN截正方体A3CD-A归iG。所得的截面为四边形，则要平面AMN与正方形8CGS,

AOOA分别交于MN,AR,

显然与正方形A8囱4无交线，只需保证与正方形无交线即可，

因为平面8CG8i〃平面AO24,平面AMNR与两个平面分别交于MN,AR,

由面面平行的性质可得MN〃AR,

因为点N在线段CG上，且C吟,

由几何关系知，随着AM的增大，A夫增大，

故当R与。।重合时，BM最大,

因为正方体ABCDA/iGA的体积为1,所以正方体棱长为1,

连接Ad,ON,如图所示，

由于MN〃AD\,故△AOGsaMCN,

故CM=CN4,故BM最长为],

故8M长的取值范围是（0,|].

4.设止方体A8CQ-A归iG。的楂长为1，与直线AC垂直的平面a截该止方体所得的被面多边形为M,则

M的面积的最大值为（）

A.延B彦C.立D.V3

842

答案B

解析连接48,因为8C_L平面A8S4,AEu平面ABBi4,所以8C_LA%,且4S_LA|8,48CI8C=B,

BC,,*Bu平面A.BC,

图①图②

所以ABi_L平面A\BC,AiCu平面A^BC,

所以ABiLAC,同理8|D|_L4C,且A81nB|。产历，ABi,囱。＜=平面ABQi,

所以AC_L平面A8Q1,

所以平面a为平面AEG或与其平行的平面，M只能为三角形或六边形.

当M为三角形时，其面积的最大值为fx(a)2=4，当M为六边形时，此时的情况如图①所示，

a4

设KD=x,则AK=l-x,KL=V2(\-x),KE=V2x,依次可以表示出六边形的边长，如图②所示，六边形可看

作由两个等腰梯形构成，

其中LP//KO//EN,K0=^2,两个等腰梯形的高分别为当(1八)，争，

则S六边形l.KENOP=^(\/2x+V2)-y(l-x)+1[V2(1-r)+V2]-yX

=泉-改+2d1)=百(X-J?+苧，

当且仅当下:时，六边形面积最大，即截面是正六边形时截面直积最大，最大值为也.

24

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

5.在正方体ABCD/iBCi。中，点Q是棱。9上的动点，则过A,Q,8三点的截面图形可能是()

A.等边三角形B.矩形

C.等腰梯形D.正方形

答案ABC

解析当点0与点。।重合时，截面图形为等边三角形八历。一如图(1)；

当点。与点。重合时，截面图形为矩形AEG。，如图(2)；

当点。不与点。，。|重合时，若。，R满足。由，则截面图形为等腰梯形A。/?%,如图(3),不可能

为正方形.

6正方体AEC»A出iCD的棱长为1,E,F,G分别为5C,6G,的中点,则（)

A.直线4G与平面4E/平行

B,匕棱惟£-公依=石

C.过A.C的平面截此正方体所得的截面可能不是四边形

D.过A.C的平面截此正方体所得的截面面积的取值范围是［曰,x/2］

答案ABD

解析对于A,取81G的中点”，分别连接G“，4”，如图1,

图1

在正方体A8CQ-48iG。］中,可得万〃〃AE,

因为AiHQ平面AE/，且AEu平面AE尸，所以平面4E/，

又由E,F,G,〃分别为正方形BCGB的边BC,CG,BBx,BiG的中点，可得GH//EF,

因为G”Q平面AEF,且EFu平面AEF,所以G”〃平面AEF,

又因为4“nG”=H,且Gau平面4G”，所以平面4G”〃平面AE广，

因为4iGu平面AG”，所以4G〃平面AE/7,所以A正确；

对于B,由E,/，G分别为正方形8CC®的边BC,CCi,8囱的中点，可得5钻《尸色正方形也（；出竹，在

正方体A8CQ-4SG。］中，可得461JL平面BCC1B1,

即4到平面8CG8的距离为48尸1,

又由V三棱锥E.WG=V三棱幽-"6=翔的.必=打"舄，所以B正确；

对于C,连接AO,BiC,在正方体A8CD-A181G。中，可得ABi〃CD,且8c〃4。，所以四边形

4SCO为平行四边形，

其中ACu平面ASCO,所以过AC的平面截此正方体所得的截面可能是四边形，

所以C错误；

对于D,如图2所示，当截面为矩形ACG4时，此时点G到4c的距离最远，

所以截面的面积最大，最大值为1X&二a;

分别取G。，AB的中点当