高考数学一轮复习：二项分布及其应用

第6讲二项分布及其应用

最新考纲考向预测

条件概率、相互独立事件同

1.结合古典概型，了解条件概率，能计

时发生的概率、独立重复事

算简单随机事件的条件概率，了解条件命题趋

件、二项分布和正态分布仍

概率与独立性的关系.势

是高考考查的热点，三种题

2.通过具体实例，了解伯努利试验，掌

型均有可能出现.

握二项分布及其数字特征，并能解决简

核心素

单的实际问题.数据分析、数学建模

养

走进教材•自主回顾

知识梳理

1.条件概率

⑴定义

p(A

设A,B为两个事件，且P(A)>0,称P(8|A)=K7k为在事件A发生的

条件下，事件B发生的条件概率.

(2)性质

①条件概率具有一般概率的性质，即OWP(B|A)W1；

②如果8,C是两个互斥事件，则尸(8UC|A)=/四镇土口C14).

2.事件的相互独立性

(1)定义

设A,8为两个事件，如果PG48)=P(A)P(8),则称事件A与事件8相互独

立.

(2)性质

①若事件A与8相互独立，则P(B\A)=P(BY

P(A\B)=P(A),P(AB)=P(A)P(B).

②如果事件4与6相互独立，那么A与8,2与3,人与8也相互独立.

3.独立重复试验与二项分布

独立重复试验二项分布

在〃次独立重复试验中，用X表示事件

在相同条件下重复做的A发生的次数，设每次试验中事件A发

定义n次试验称为〃次独立生的概率是P，此时称随机变量X服从

重复试验二项分布，记作X〜55,〃)，并称〃为

成功概率

用加=1,2,…，〃)

在n次独立重复试验中，事件A恰好发

表示第i次试验结果，

计算公式生k次的概率为P(X=A)=a/(l—p)广

则P(A\A2Ar-A„)=

”=0,1,2,…，〃)

P(4)/W…P(4〃)

©常用结论

1.相互独立事件与互斥事件的区别

相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)=

P(4)P(8),互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为

P(AUB)=P(A)+P(B).

2.两个概率公式

p(AB)

(1)在事件8发生的条件下A发生的概率为P(A|8)=-^7万广.注意其与P(8|A)

的不同.

(2)若事件4,-2,…,A〃相互独立，则P(4A2…A“)=尸(AI)P(42)…P(4).

0常见误区

运用公式尸(AB)=P(A)P(8)时，一定要注意公式成立的条件，只有当事件A,

B相互独立时，公式才成立.

诊断自测易错清零

1.判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)条件概率一定不等于它的非条件概率.()

(2)相互独立事件就是互斥事件.()

(3)对于任意两个事件，公式尸(AB)=P(A)P(B)都成立.()

(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于3+勿〃二项展开式的通项公式,

其中。=p,b=\—p.()

(5)P(8|A)表示在事件A发生的条件下，事件8发生的概率，尸(A8)表示事件

A,3同时发生的概率.()

答案：⑴X(2)X(3)X(4)X(5)V

2.(易错题)天气预报，在元旦假期甲地降雨的概率是0.2,乙地降雨的概率

是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个

地方降雨的概率为()

A.0.2B.0.3

C.0.38D.0.56

解析：选C.设甲电降雨为事件A,乙地降雨为事件&

则两地恰有一地降雨为A3+43,

所以尸(4B+AB)=P(AB)+P(4B)

=P(A)P(8)+P(4)尸(8)

=0.2X0.74-0.8X0.3

=0.38.

3.先后掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6

个点)两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为-y,设事件4为。

+y为偶数”，事件B为“x,y中有偶数，且#y"，则概率P(3|A)=()

AlBl

C.7D.T

Jo

1

2X3X3]3X2[6]

解析：选A.因为P(A)=石=2»P(AB)=36所以尸(B|A)=i=g.

2

4.设随机变量X〜9，则P(X=3)=.

解析：因为X〜B(6,所以p(x=3)=ae『x(l亮.

答案嗦

5.(202()•离考天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为；和;.假定两球

*V=0.9,故选A.

C4+CS4?C4]

(2)P(A)=一己一=75=予尸C)=f=T5，由条件概率公式，得P(B|A)=

1

P(AB)TO1

P(A)=T=4-

5

【答案】(1)A(2)B

【引申探究】(变条件)将本例⑵中的“和”改为“积"求P(母4).

解：事件A:“取到的2个数之积为偶数”所包含的基本事件有：(1,2),

7

(3,2),(4,2),(5,2),(4,1),(4,3),(4,5),所以P(A)=正.事件B:“取

到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有(2,4),所以尸(4?)=告，

1

“，,P(AB)U)1

P(A)7T

To

条件概率的两种求解方法

定义法*：先求尸(4)和再由P(314)=夕需求P(HM)

濡M工羹以标的应争不聂去亲*记血全诵亲K

基本事件数。(为，再求事件48包含的基本事件数”45),

事件法

:得P(B")=线地

:。⑷

1.(2021・云南师大附中月考)小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两

个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4,在第二个路口遇到红

灯的概率为0.5,在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个

路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是()

A.().2B.0.3

C.0.4D.().5

解析：选D.记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A,“小明在第二个路

口遇到红灯”为事件8,“小明在第一个路口遇到了红灯，在第二个路口也遇到

P(AB)

红灯”为事件C,则P(A)=0.4,尸(B)=0.5,P(AB)=0.2,则P(用A)=

P(A)

古=0.5.故选D.

2.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共

有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传四人项目，每人限报其中一项，记

事件4为“4名同学所报项目各不相同”,事件〃为“只有甲同学一人报关怀老

人项目”，则P(A|8)的值为()

13

-B-

A.44

25

C--

9D.9

A3p(AB)7

解析：选C.因为0(8)=不，尸(A8)=不，所以P(4|8)=:5)=$

2

相互独立事件的概率

雕(2()2()•高考全国卷I)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制

如下：

累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场

比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰：当

一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜,

比赛结束.

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为:

⑴求甲连胜四场的概率；

⑵求需要进行第五场比赛的概率；

⑶求丙最终获胜的概率.

【解】⑴甲连胜四场的概率为七

(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.

比赛四场结束，共有三种情况：

1

甲连胜四场的概率为16;

1

乙连胜四场的概率为16:

丙上场后连胜三场的概率为

O

1I13

所以需要进行第五场比赛的概率为1一寸一正一1,

(3)丙最终获胜，有两种情况：

比赛四场结束且丙最终获胜的概率为J

O

比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、

轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，榻率分别为白，i

10oo

因此丙最终获胜的概率为5+2+:+!=高

8100o10

偷窗四

利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路

(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和.

(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独

立事件的积事件.

(3)代入概率的积、和公式求解.

跟踪训练

23

1.两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为，和3两个

零件能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为

()

A.^B.p^

1

C1D

23

解析：选B.因为两人力口工零件成一等品的概率分别为Q和工，且相互独立，

JI

21135

所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P=-X-+-X-7=^

JIJI1J

2.(2021•沈阳市数学质量检测(一))在2019年女排世界杯中，中国女子排球

队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球

比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有旗得至少25分，并

超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第5局）采用15分制，每个队只有扁得

至少15分，并超过对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分,

并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲、乙两支球

队进行排球比赛：

（1）若前3局比赛中甲已经赢2局，乙赢1局，接下来两队赢得每局比赛的

概率均为:，求甲队最后赢得整场比赛的概率.

（2）若前4局比赛中甲、乙两队已经各赢2局，在决胜局（第5局）中，两队当

前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一球的发球权.若甲发球时甲赢1分

的概率为（2乙发球时甲赢1分的概率为3率得分者获得下一球的发球权.设两队

打了工CrW4）个球后甲届得整场比赛，求X的取值及相应的概率PM.

解：（1）依题意，若甲队赢得整场比赛，则甲队将以3：1或3：2的比分赢

得比赛.若甲队以3：1的比分赢得比赛，则第4局甲赢，

若甲队以3：2的比分赢得比赛，则第4局乙赢，第5局甲赢.

1113

故甲队最后赢得整场比赛的概率为5+5义5=不

乙乙乙I

23

（2）依题意，每次发球，发球队得分的初率为不接球队得分的概率为三甲接

下来可以以16：14或17：15赢得比赛，故x的取值为2或4.

若甲、乙比分为16：14,则x的取值为2,其赢球顺序为“甲甲”，对应发

球顺序为“甲甲”，

224

所以尸。=2）=5义5=行・

若甲、乙比分为17：15,则x的取值为4,其赢球顺序为“甲乙甲甲”或“乙

甲甲甲”，对应发球顺序为“甲甲乙甲”才口“甲乙甲甲”，

2332332272

所以PU=4）=TX-TX-X-+-X-X-X-=7^7.

3

独立重复试验与二项分布

jam（2021•合肥第一次教学检测）“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文

化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学

生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一

位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”分为科技体验游、民俗人文游、

自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校

中，随机抽取了100所学校，统计如下：

研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游

学校数404020

该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中，随机抽取了3

所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率（假设每所学校在选择

研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）.

（1）若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求

这两种类型都有学校选择的概率；

（2）设这3所学校中选择“科技体验游”的学校数为随机变量X,求X的分

布列.

2

【解】（1）依题意，学校选择“科技体脸游”的概率为不选择“自然风光

游”的概率为点

若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两

种类型都有学校选择的概率为P=cX|）乂+啸了X|=提

（2）X的可能取值为（），1,2,3.

则P（X=（））=弟卜系P（X=I）=GX|X（|）~=卷,

P（x=2）=d（|）2x|=^,p（x=3）=cj|『=诲所以X的分布列为

X0123

2754368

P125125125125

⑴独立重复试验的特点

①每次试验中，事件发生的概率是相同的;

②每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例.

(2)判断随机变量X服从二项分布的条件(X〜B(〃，p))

①X的取值为0,1,2,；

②P(X=k)=C物U—〃(女=0,1,2,…，%〃为试验成功的概率).

［提醒］在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字

眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布.

匐跟踪训练】为了拓展网络市场，某公司为手机客户端用户推出了多款APP

应用，如“农场”“音乐”“读书”等.市场调查表明，手机用户在选择以上

三种应用时，选择农场、音乐、读书的概率分别%|，料有甲、乙、丙三位

手机客户端用户独立任意选择以上三种应用中的一种进行添加.

(1)求三人所选择的应用互不相同的概率；

(2)记f为三人中选择的应用是农场与音乐的人数，求e的分布列.

解：记第i名用户选择的应用是农场、音乐、读书分别为事件G,i

=1,2,3.由题意知4,A2,4相互独立，Bi,Bi,以相互独立，Ci,C2,C3

相互独立，Ai,Bj,Ck(i,j,k=\f2,3且i,k互不相同)相互独立，且P(4)

=1,P(Bi)=g,P(G)=1.

(1)他们选择的应用互不相同的概率

尸=3!・P(A比C3)=6P(4)P(A)P(C3)='

(2)设3位用户选择的应用是“读书”的人数是〃，由已知得//〜《3,£,且

C=3-//,

所以p(o=o)=P5=3)=Cx({f=忐

PQ=1)=P(〃=2)=GX(£|乂|=熊=

1⑸27525

P(C=2)=P(//=l)=CiX-xy=—=­f

125

216,

故4的分布列为

0123

1525125

P

2167272216

——知能提升二分层演练

[A级基础练]

1.先后抛掷硬币三次，则至少一次正面向上的概率是（）

D.

、O

解析：选D.硬币正面向上的次数服从二项分布，即X〜耳3,以，由二项分

布概率公式知，三次均反面向上的概率是（号=1,所以至少一次正面向上的概,率

是1—故选D项.

oO

2.一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，

每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为

25

-

A.3B.

12

C-D.g

解析：选C.记“第i（i=l,2）支晶体管是好的”为事件4（其中i=l,2）,依

题意知，要求的概率为P（A2|AI）.

36X51

由P(Ai)=$,

P(A]A2)=10X9—3'

1

一P(4&)35

所以P(4|4)=p(4)=§=$.

5

3.（2021•山东烟台第一中学联考）首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、

丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备为概

率分别为J，iJ，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰

JJ4•

有一家购买该机床设备的概率是()

23「5

AA-24B24

。24u-24

解析：选C.记“甲企业购买该机床设备”为事件A,“乙企业购买该机床设

各”为事件区“丙企业购买该机床设备”为事件C,则P(A)=5,P(B)=!P(C)

乙D

1―1—2—3

=7,所以P(4)=1-P(A)=5J,P(B)=l-P(B)=wJ，P(C)=1-P(O=7记“三

家企业中恰有一家购买该机床设备”为事件D,则P(D)=P(ABCHP(ABC)

___12311312111

+P(A5C)=zX-X--|--X-X-4--X-X-=—c.

JJ•JJIJJI

4.(多•选)(2020・山东流切啥的模拟)下列说法正确的是()

A.(5—2))的展开式中含/)，3项的二项式系数为20

B.事件AUB为必然事件，则事件小B是互为对立事件

C.anr>bnr是a>b的充分不必要条件

D.甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A

="4个人去的景点各不相同"，事件8="甲独自去一个景点”，则P(4底)=3

解析：选CD.A.(5—2y)的展开式的通项为7i+i=C§(；x)•(-2>'/,要求

含fy3项的二项式系数，则攵=3,所求二项式系数为Cg=10,故A错误；B.事

件AU8为必然事件无法说明事件A、8是互为对立事件，缺少AG8为不可能

事件的条件，故B错误；C.因为加尸，所以〃>/?,但〃>/?且m=0时有卬序

413

=bm2,所以a>b日寸,anr>bm2不一定成立故C正确.D.P(A)=

4X33274X3!3.PCAB)2

=f

44-64,P(AB)=—不一32则尸(*3)=p(8)­=§,故D正确.

5.(2021•江西五校联考)非洲成员代表团团长及相关的人员参加了中非合作

论坛北京峰会，会后某记者在场地外随机进行采访，假设第一次采访到的人恰好

是参会的代表团团长的概率为07连续两次采访到的人都是代表团团长的概率

为0.6,则在第一次采访到的人是代表团团长的条件下，第二次采访到的也是代

表团团长的概率为.

解析：记”第一次采访到的人是代表团团长”为事件A,“第二次采访到的

p(AB)

人是代表团团长”为事件8,则P(A)=0.7,P(AB)=0.6f则P(8|A)=7(4)=

6

7

答案:f

6.一个口袋内有"(心3)个大小相同的球，其中3个红球和(〃一3)个白球，

已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p,6p£N,若有放回地从口袋中

Q

连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于令,

贝〃=.

Q

解析：由题设知，C3p2(1—p)2>斤，因为〃(1—〃)>(),所以不等式化为“(1—

212131

解得,<pq,故2<6p<4.又因为6〃£N,所以6P=3,即〃=2，由1=］，

得〃=6.

答案:6

7.为/促进学生的全面发展，某市教育局要求本市所有学校重视社团文化

建设，2019年该市某中学的某新生想通过考核选拔进入该校的“电影社”和

“心理社”，已知该同学通过考核选拔进入这两个社团成功与否相互独立.根据

报名情况和他本人的才艺能力，两个社团都能进入的概率为:，至少进入一个社

团的概率为也3并且进入“电影社”的概率小于进入“心理社”的概率.

O

(1)求该同学分别通过选拔进入“电影社”的概率0和进入“心理社”的概

率〃2；

(2)学校根据这两人社团的活动安排情况，对进入“电影社”的同学增加1

个校本选修课学分，对进入“心理社”的同学增加0.5个校本选修课学分，求该

同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率.

/?I/?2=24，

解：（1）根据题意得＜i—（］一0）（］_。）=点所以m4,V

、P«P2,

（2）设该同学在社团方面获得校本选修课学分分数为e,

则尸（『）=。一；卜焉=g,

%=1.5）=曷=古，

所以该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率为p=4

O

+±=1

于246,

8.（2021•湖北省部分重点中学10月联考）某中学数学竞赛培训共开设有初等

代数、初等几何、初等数论和微积分初步四门课程，要求初等代数、初等几何都

要合格，且初等数论和微积分初步至少有一•门合格，才能取得参加数学竞赛兔赛

培训的资格.现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学的这

四门课程考试是否合格相互独立，每门课程考试合格的概率均相同（见下表），且

各个同学每一门课程考试是否合格相互独立.

课程初等代数初等几何初等数论微积分初步

考试合格的概22

率332

（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛培训的资格的概率;

（2）记J表示三位同学中取得参加数学竞赛培训的资格的人数，求J的分布歹U.

解：（1）分别记甲初等代数课程、初等几何课程、初等数论课程、微积分初

步课程考试合格为事件人，B,C,D,则“甲能取得参加数学竞赛复赛培训的资

格”的概率为P(48C0+P(A8C方)+0事件A,B,C,。相互独立，

——32213221321

故P(71BCD)+P(/IBC£))+P(^BC£))=7X7XTX-+-X-XTXT+7XTXT

tJ，乙IJ，4tJJ

X1=A

X2-12,

（2片的所有可能取值为0,1,2,3.由（1）可得，每位同学取得参加数学竞赛

复赛培训资格的概率为总且j~B(3,闺,

343

%=（））=112J一1728,p《=i)=ax*田〜=黑

尸^=2）=△乂（卷,『><*=^1,尸e=3）=（K『=推.

因此，4的分布列为

0123

343245175125

p

17285765761728

[B级综合练]

9.博彩公司曾经对当年NBA总决赛做了大胆地预测和分析，预测西部冠

军是老辣的马刺队，东部冠军是拥有詹姆斯的年轻的骑士队，总决赛采取7场4

胜制，每场必须分出胜负，场与场之间的结果互不影响，只要有一队获胜4场就

结束比赛，前4场，马刺队胜利的概率为今第5,6场马刺队因为平均年龄大，

2

体能下降厉害，所以胜利的概率降为东第7场，马刺队因为有多次打第7场的

经验，所以胜利的概率为义

(1)分别求马刺队以4：0,4：1,4：2,4：3胜利的概率及总决赛马刺队获

得冠军的概率；

(2)随机变量X为分出总冠军时比赛的场数，求随机变量X的分布列.

解：(1)设“马刺队以4：0胜利”为事件A,“马刺队以4：1胜利”为事件

B,“马刺队以4：2胜利”为事件C,“马刺队以4：3胜利”为事件。，“总

决赛马刺队获得定军”为事件已

则尸⑹=©==

P(B)=C0X(])X；=正，

P(Q=c3xg)4x|x|+c?xg)4xgJ=^,

p(D)=cixgyxgy+clxg)4xclx|x|x|+clx(g4x|xfx|=^.

所以P(E)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=五面.

(2)随机变量X的可能取值为4,5,6,7,P(X=4)=6『><2=，P(X=5)

=exx停+1)4P(X=6)=2CiXgfx|x,+dX&+,=聂,

31

P(X=7)=1一0(X=4)—P(X=5)—P(X=6)=而.

所以随机变量X的分布列为

X4567

D116331

r84200100

1().(2()20•武汉部分学校质知检测)武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉

为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众

多旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张

名片.为合理配置旅游资源，现对己游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，

若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否游览东湖景点

的概率均为今游客之间选择意愿相互独