勾股定理的逆定理（教学设计）-2024苏科版八年级数学上册

3.2勾股定理的逆定理教学设计

教学分析

教学内容以解析

1.教学内容

本节为新教材苏科版八年级数学第三章第2节“勾股定理的逆定理”，核心内容是使用勾股定理的

逆定理判定直角三角形，并进一步「解勾股数的概念与应用。

2.内容解析

本节通过古埃及人用“3、4、5”分段绳子构造直角三角形的实例，引入勾股定理逆命题”若一个三

角形的两边平方和等于第三边的平方，则此三角形是直角三角形重点在于将“直角三角形''的性质与

“判定”区分开，同时引出勾股数的概念及常用性质，强化学生对数形结合的理解与推理。学生需掌握

利用逆定理判定直角三角形的方法，理解勾股数的产生与倍数特征。

教学目标与解析

1.教学目标

•经历勾股定理的逆定理的探索过程，掌握勾股定理的逆定理，理解勾股定理及其逆定理之间的关系，

发展推理能力。

•能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形为直角三角形，发展应用意识。

♦了解勾股数的概念，熟悉常用的勾股数。

2.目标解析

•通过构造辅助三角形并运用边边边SSS全等等方法，引导学生理解“若a2+h2=c2,则为直角三角

形''的推理思路。

•通过典型例题与生活情境（如古埃及金字塔构造），提升学生对勾股定理逆定理的应用意识。

•结合数形结合与运算技巧，培养学生识别和运用常见勾股数的能力。

3.重点难点

•教学重点：勾股定理的逆定理判定直角三角形的过程及勾股数应用。

•教学难点：充分理解“直角三角形”的判定思路，以及正确区分勾股定理和其逆定理的条件与结论。

学情分析

学生对勾股定理已有初步认知，但对逆定理的逻辑推理仍需深化。能熟练计算平方和并进行比

较，但在灵活应用勾股数及建模推理方面较欠缺。需通过多样化情境和例题，帮助学生体会代数与几

何结合在判定与计算中的重要作用。

教学过程设计^―

新课存入

创设情境，引入新课

1.教师展示“古埃及建造金字塔”的故事情境：

“四千多年前，古埃及人在一根绳子上打上距离相等的结，然后把绳子分成12等份，再分别取3

份、4份、5份组成三角形，据说其中一个角就是直角。你能想一想，这个结论是如何得到的

吗？”

2.组织学生结合已有对勾股定理的认识，思考下述问题：

o他们为何认定此三角形有一个角为直角？

。这与我们之前学习的勾股定理有什么关联？

【设计意图】通过生活化的“古埃及绳结法”情境，引出“三边长组成.345的三角形是直角三角形”的事

实，激发学生的探究兴趣，为“勾股定理的逆定理”新知做铺垫，明确本节课学习目标与方向。

新知探窕

探究点1：勾股定理的逆定理的提出与证明

1.问题引入

o教师提问：勾股定理的内容是“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方”，那么它有

一个逆命题：“如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形''，它

是否真实？应如何证明？

2.新知导出

。先请学生口头复述勾股定理：

“在直角三角形中，若三边分别为a,b,c（c是斜边），则有a2+〃=。2。”

。引导学生观察、思考：如果只给出。2+62=。2,能不能肯定这是一个直角三角形？

O师生共同回顾“逆命题”定义，明确要证明其真伪，并探究证明思路。

3.师生活动

o教师演示：在△48C中，已知=a,4C==c,且。2+/)2=。2。求证：△A3C是直角三角

证明：作一个△43'。'，使47=90。，

B'C'=a,A'C=b.

根据勾股定理，得力'/2=/+加.

因为八52=/+/,所以4丁=48

根据“SSS”，可知△48C四△48'C'.

于是，NC=NC=9()°,/XABC是直角三角形.

o学生分组讨论“如何用全等三角形的思想证明，逆定理？并在小组内尝试复述该证明过程。

4.结论归纳

o勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c,且满足小+产=。?，那么该三角形一定是

直角三角形。

符号语言：

在△A8C中，NA,/B,/C的对边长

分别为a，b,c,且『+〃=/.

•••△ABC为直角三角形，且NC=90°.

勾股数必须同时满足两个条件：

(I)三个数都是正整数；

(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方.

3.师生活动

o教师出示例题，让学生通过计算或推导，判断“8,15,17、11,60,61”等是否是勾股数。

o学生分组讨论：为什么满足M+b2=c2还要求凡瓦。均为正整数？

。教师补充演示：若(a/,c)是一组勾股数，则(ka,kb,kc)也是一组勾股数，进一步完善对勾股数性

质的认识。

例2已知：4,〃，C为正整数，且序+庐=/.求证：对于任意的正整数上正整数履，忆构成勾

股数.

证明：•・•/+/=/,

・•・(履)2+(助2=&2+/2

=3(/+/)2)

=lcc2=(kc)2.

•・•〃，b,C,女为正整数，

:.ka,kb,ht为正整数.

:・ka,kb,h•构成勾股数.

4.例题巩固(几何应用)

例3如图，AO是△ABC的中线，人。=24,48=26,BC=2O.求AC的长.

解：・・・4。是△/WC的中线，8C=20,

：.BD=DC=-BC=]O.

2

V40=24,AR=26,

/.AD2+/?D2=242+102=676,

A序=262=676.

：.AD2+BD2=AB2.

••・乙4。8=90°(勾股定理的逆定理).

.••AO垂直平分BC.

・"C=A8=26.

【设计意图】通过典型算例与数形结合，学生体会“整式运算与直观几何”在判定直角三角形中的应用

价值，进一步加深对于勾股数及其推广规律的理解，培养其综合运用所学知识解决问题的能力，并逐

步提升对勾股定理及其逆定理的应用意识。

探究点2：勾股定理与其逆定理的区别与联系

教师提问：通过试题的练习，那么勾股定理与其逆定理有什么区别与联系？

学生分组讨论，共同完成卜表：

巩固练习

1.下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指出哪个角是直角.

(1)a=8,b=\5,c=17：(2)a=13,b=14,c=15.

解：(1)在△人5c中，・・Z2+/>2=82+152=64+225=289,?=172=289,

a1-\-b2=c1.

是直角三角形，NC是直角.

(2)在△ABC中，•・•/+序=]3公+142=365,?=152=225,

・•・△ABC不是直角三角形.

2.判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形.

(1)在△/18c中，NA=25°,NC=65"；(2)a:b:c=3:4:5.

解：(1)在△八中，VZA=25°,ZC=65°,

・•・N3=180"-ZA-ZC=180°-25°-65°=90°.

•••△ABC是直角三角形.

(2)设a=3鼠b=4k、c=5k(k>0),

'：a2+lr=(3々)2+(4攵产=25炉，c2=(52)2=25好，

'.cr-\-b1=(r.

・•・△ABC是直角三角形，NC是直角.

3.下列各组数是勾股数吗？为什么？

(1)12,15,18：(2)11,60,61；(3)15,36,39；(4)36,35,12.

解：(1)V122+152=144+225=369,18?=324,

122+152#=182.

・・・12,15,18不是勾股数.

(2)Vll2+602=1214-3600=3721,612=3721,

A112+602=612.

J11,60,61是勾股数.

(3)V152+362=225+1296=1521,392=1521,

152+362=392.

・•・15,36,39是勾股数.

(4)VI22+352=1444-1225=1369,362=1269,

/.122+35V362.

・・・36,35,12不是勾股数.

4.已知直角三角形的三边长分别是小江c下列说法是否正确？

(1)以长分别为2a,2b,2c的三条线段能组成一个直角三角形；

(2)以长分别为G，瓜五的三条线段能组成一个直角三角形.

证明：(1)说法正确.

假设直角三角形的斜边为c,则有序+丛=/,

V(2a)2+(2b)2=4a2+4〃=4(/+/)=4c2=(2c)2.

・•・以长分别为2m2b,2c的三条线段能组成一个直角三角形.

(2)说法不正确.

假设直角三角形的斜边为c,则有

V(Va)2-|-(Vb)2=o+Z>,(VF)2=c.

由三角形三边关系得a+h>c,

/.(Va)2+(V5)2>(Vc)2，

・••以长分别为6,瓜G的三条线段不能组成一个直角三角形.

5.一个三角形三边长的比为3:4:5,它的周长是60.求这个三角形的面积.

解：设三角形的三边长分别为"，以，5x.

由题意，得3x+4x+5x=60,

解得x=5.

・•・三边长分别为15,20,25.

V152+202=252,

・•・这个三角形是直角三角形.

AS=-2X15X20=150.

6.计算图中四边形ABCD的面积.

解：在RtZVlBQ中，根据勾股定理，得

84=122+162=400,

・•・80=20.

VCD=15,BC=25,

・•・CD2+B£>2=152+202=625,

8c2=252=625.

：，CD1+Bb1=BC1.

・・・/BQC=90°（勾股定理的逆定理）.

•'•S四边彩A8C0=SziA8o+S&8DC

=-X12X16+-X15X20=246.

22

7.如图，ADA.BC,垂足为。.如果CQ=1,AD=2,BD=4,那么NBAC是直角吗？请说明理由.

D

4

-------------------------

解：VADIBC,

ZADC=NAO8=90。.

・••在RlZkAQC中，AC2=AD2+DC2=22+12=5.

在RtZkADB中，AB2=AD2-\-BD1=2r-^42=20.

VAC24-^B2=20+5=25,BC2=52=25.

:.AC2-\-AB2=BC2.

・•・△ABC直角三角形，ZBAC=90°.

思维提升

观察下列勾股数：

3,4,5；5,12,13；7,24,25：9,40,41；...；a,b,c.

根据你发现的规律，请写出：

(1)当。=19时，b=_180,c=⑻；

(2)当”=2〃+1时，求b,c的值：

(3)用(2)的结论判断15,111,112是否为一组勾股数，并说明理由.

解：(2)通过观察知c-b=l,

•••(2〃+1)2+/=/,

C2一从=(2〃+1)2,S+c)(c-b)=(2〃+1)2,

・M+c=(2〃+l)2.

又・.・c=b+l,

・・・2b+1=(2〃+Ip,

/.b=2n2+2n,c=2n2+2n+\.

(3)不是.理由如下:由(2)知，2〃+1,2M+2",2扇+2〃+1

为一组勾股数.

当〃=7时，2〃+1=肘,112-111=1,但2上+2〃=112rli1,

J15,111,112不是一组勾股数.

课堂小结

刃、，如果三角形的三边长分别为。、b、c,且〃+〃=/,

‘内谷那么这个三角形是直角三角形.

/如果三个正整数叫b,。满足关系"2+〃=/，

勾股定理的逆定理J勾股数一则称％b,C为勾股数.

r判定三角形是否为直角三角形.

〔应用

1；勾股定理及其逆定理的综合应

用.

板书设计

1.标题：3.2勾股定理的逆定理

2.勾股定理：

文字表述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方

公式：a