高考物理一轮复习讲义：专项强化7 圆周运动的临界问题

专题强化七圆周运动的临界问题

【目标要求】1.掌握水平面内、竖直面内的圆周运动的动力学问题的分析方法.2.会分析水平面

内、竖直面内圆周运动的临界问题.

题型一水平面内圆周运动的临界问题

1.运动特点

⑴运动轨迹是水平面内的圆.

(2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆

周运动.

2.过程分析

重视过程分析，在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体的受力可能发生变化，

转速继续变化，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、

弹簧弹力大小方向发生变化等，从而出现临界问题.

3.方法突破

(I)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力.

⑵物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零.

⑶绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着冤上无弹力；绳上拉力恰好为最大承

受力等.

4.解决方法

当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选搭相对

应的物理规律，然后再列方程求解.

【例I】(2018,浙江11月选考・9)如图所示，一质量为2.0X103kg的汽车在水平公路上行驶，

路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4X104N,当汽车经过半径为80m的弯道时，下列判断

正确的是()

A.汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力

B.汽车转弯的速度为201n/s时所需的向心力为L4X10，N

C.汽车转弯的速度为20m/s时汽车会发生侧滑

D.汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0m/s2

答案D

解析汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力，向心力是由摩擦力提供的，A错误：汽

2

车转弯的速度为20m/s时，根据耳=〃指，得所需的向心力为1.0X10&N,没有超过最大辞

K

摩擦力，所以汽车不会发生侧滑，B、C错误；汽车安全转弯时的最大向心加速度为胡=3=

7.0m/s2,D正确.

【例21（多选）如图所示，两个质量均为m的小木块a和伙可视为质点）放在水平圆盘上，a与

转铀OO'的距离为/,〃与转轴的距离为2/.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的女

倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用⑦表示圆盘转动的角

速度，下列说法正确的是（)

n

O'

A.〃一定比。先开始滑动

B.4、人所受的摩擦力始终相等

C.》开始滑动的临界角速度

D.当所受摩擦力的大小为切?g

答案AC

解析小木块做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即Ff=m〃R.当角速度增大时,

2

静摩擦力增大，当增大到最大岸摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：Ffa=m（O（ll,当Ffa=

kmg时，①“=:对木块b:Ffb=mco^2lf当尸仍=痴月时，knig=ma）^-2lt

COb=b开始滑动的临界角速度，所以b先达到最大静摩擦力，即〃比〃先开

始滑动，选项A、C正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则凡尸〃收2/,则居力="血22/,

。没有滑动，则后/=m（o2l=^kmg,选项D

Ffa<F（h,选项B错误；8察L

错误.

m31（多选）如图所不，三角形为一光滑锥体的止视图，锥面与竖直方向的夹角为夕=37。.

一根长为/=1m的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面

内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度^=10m/s2,sin37。=0.6,不计空气阻力，则（）

A.小球受重力、支持力、拉力和向心力

B.小球可能只受拉力和重力

C.当①o=1\Erad/s时，小球对锥体的压力刚好为零

D.当”=2小rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用

答案BC

解析转速较小时，小球紧贴圆锥■面，则FTCOS。+尸Nsin夕=〃?g,Frsin6^—FNCOS0=m(o2is\n0,

随着转速的增加，尸T增大，尺减小，当转速达到砒时支持力为零，支持力恰好为零时

有〃吆tan。=〃心("sin为解得的=|1\「rad/s,A错误，B、C正确；当/=2小rad/s时，小

球已经离开斜而，小球受重力、拉力的作用，D错误.

题型二竖直面内圆周运动的临界问题

1.两类模型对比

轻绳模型(最高点无支撑)轻杆模型(最高点有支撑)

球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的

实例球与杆连接、球在光滑管道中运动等

“过山车”等

种'逊

图示

1-、H弹

受力,，.一/二、、、，,”十、、、…、、

F湃

mgmg

示意"吆"陪

00OO0

图

尸弹向下或等1F零/正向下、等于零或向上

力学V2V2

机身土尸冲="不

方程

厂并=0

。=0

临界

即/向=0

特征

F旅=〃耳

即vmin=y[gR

2

v(1)当卜=0时,F^=mg,尸弹背离圆心

(I)最高点，若。25无，尸升+mg=〃仄，

讨论(2)当时，〃吆一干弹=/端，F类背

绳或轨道对球产生弹力”邦

分析

(2)若。＜痫，则不能到达最高点，即至IJ离圆心并随。的增大而减小

达最高点前小球已经脱离了圆轨道(3)当。="7^时，尸舛=0

_2

(4)当6日正时，mg+尸7=加晶,尸律指向

圆心并随。的增大而增大

2.解题技巧

(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程；

(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系：

(3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求

出压力.

m41如图所示，一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道I,

再进入圆轨道2,圆轨道1的半径为R,圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为

若小球恰好能通过轨道2的最高点B,则小球在轨道1上经过其最高点人时对轨道的压力大

小为(重力加速度为g)()

B

A.2mgB.C.4mgD.5mg

答案C

2

解析小球恰好能通过轨道2的最高点B时，有〃吆=?香，小球在轨道1上经过其最高点4

时，有尺+tng="%",根据机械能守恒定律，有1.R=jnv/?一,解得乐=4/ng,

结合牛顿第三定律可知，小球在凯道1上经过其最高点A时对凯道的压力大小为4mg,C正

确.

m5](2022•山东枣庄八中月考)如图，轻杆长2/,中点装在水平轴。上，两端分别固定着小

球A和&A球质量为〃?，8球质量为2〃?，重力加速度为g,两者一起在竖直平面内绕。轴

做圆周运动.

.

(1)若A球在最高点时，杆的A端恰好不受力，求此时6球的速度大小；

(2)若B球到最高点时的速度等于第(1)问中的速度，求此时O轴的受力大小、方向；

(3)在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现。轴不受力的情况？若不能，请说明理由；若能,

求出此时A、8球的速度大小.

答案（1而（2）2〃火，方向竖直向下（3）能：当4、8球的速度大小为何时。轴不受力

2

解析（l）A在最高点时，对4根据牛顿第二定律得〃取=〃,

解得办=而

因为A、8球的角速度相等，半径相等，则。8=以=，口

（2用在最高点时，对8根据牛顿第二定律得2〃吆+产TO/=2/7呼

代入（1）中的g，可得Fro/=0

对A有FJOA'-"?g="号~

可得FT。/=2mg

根据牛顿第三定律，。轴所受的力的大小为2〃?g,方向竖直向下

（3）要使。轴不受力，根据5的质量大于A的质量，设A、3的速度为。，可判断8球应在最

高点

对B有FTOB7+2/〃g=2〃7

对4有FTOA"_〃7g=“rj

轴。不受力时尸IYM”=F10B"

可得而

所以当4、8球的速度大小为，而时。轴不受力.

题型三斜面上圆周运动的临界问题

物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为仇重力亘直.斜面的分力与物体受到的支持力

相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化.

m61（多选）如图所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度口转动，

盘面上离转轴2.5m处有•小物体与圆盘始终保挣相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为

乎，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30。，g取10m/s2,则以下说

法中正确的是（）

(1)

A.小物体随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到三个力的作用

B.小物体随圆盘以不同的角速度①做匀速圆周运动时，s越大时，小物体在最高点史受到

的摩擦力一定越大

C.小物体受到的摩擦力可能背离圆心

D.①的最大值是1.0rad/s

答案CD

解析当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2人力的作用，合力提供向心力，故A

错误；当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，也可能受到重力、支持

力与摩擦力三个力的作用，摩擦力的方向可能沿斜面向二，也可能沿斜面向下，摩擦力的方

向沿斜面向上时，①越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力越小，故B错误；当物体在最

高点时，摩擦力的方向可能沿斜而向上，也可能沿斜而向下，即可能指向圆心，也可能背离

圆心，故C正确：当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时，转盘的角速度最大，此时小物体

受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向圆心的摩擦力，由沿斜面的合力

提供向心力，支持力A=，〃gcos0,摩擦力F（=/iF^i=/imgcos仇又fimgcos30°-〃吆sin30°=

mc『R,解得co=1.0rad/s,故D正确.

课时精练

立必备基础练

1.如图所示，杂技演员表演“水流星”节目.一根长为人的细绳两端系着盛水的杯子，演员

握住绳中间，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内做圆周运动，杯子运动中水始终不会从杯

子中洒出，重力加速度为R，则杯子运动到最高点的角速度①至少为（）

答案B

解析杯子在竖直平面内微半径为亨的圆周运动，使水不流出的临界条件是在最高点水的重

7v

力恰好提供向心力，则有，咫=也产，可得①=

,故B正确，A、C、D错误.

2.一汽车通过拱形桥顶时速度为10m/s,车对桥顶的压力为车重的/如果要使汽车在该桥

顶对桥面恰好没有压力，车速为（）

A.15m/sB.20m/s

C.25m/sD.30m/s

答案B

3

z

解析

当-

匹/v

4因为G—"N'="7，所以［G=〃7:当/N=0时，G=〃r~j-,

所以苏=2v=20m/s,选项B正确.

3.细绳一端系住一个质量为〃，的小球，另一端固定在光滑水平桌面上方。高度处，绳长/大

「人，使小球在桌面上做如图所示的匀速圆周运动，重力加速度为g.若要小球不离开桌面,

其转速不得超过（）

解析对小球受力分析，小球受三个力的作用，重力〃吆、水平桌面支持力尸N、绳子拉力尸.

小球所受合力提供向心力，设绳子与竖直方向夹角为。，由几何关系可知R=/?tan〃，受力分

_2

析可知Feos。+A="遭，Fsin0=f^=mco2R=4nin2irR=4??nr2n2/ztan9;当球即将离开水平

桌面时，FN=O,转速〃有最大值，此时故选D.

4.如图所示，两段长均为L的轻质线共同系住一个质量为5的小球，另一端分别固定在等高

的A、4两点，A、4两点间距也为3今使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高

点时速率为。，两段线中张力恰好均为零，若小球到达最高点时速率为2°,则此时每段线中

张力大小为（重力加速度为g）（）

答案A

XT

解析当小球到达最高点速率为。时，两段线中张力均为零，有6g=〃7，当小球到达最高

点速率为2。时，应有尸+"芝="超，~,所以尸=3mg,此时小球在最高点受力如图所示，所

以FT=小〃?g,A正确.

5.（2022・四川绵阳市诊断）如图所示,轻杆长3L在杆两瑞分别固定质量均为上的球A和B,

光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的。点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内

转动，球3运动到最高点时，杆对球3恰好无作用力.忽略空气阻力，重力加速度为g,则

球8在最高点时（）

A.球B的速度为零

B.球4的速度大小为班

C.水平转轴对杆的作用力为15阳

D.水平转轴对杆的作用力为2.5〃田

答案C

解析球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即仅重力提供向心力，则有叫=〃诗，

解得OB=72gL,故A错误：由于A、8两球的角速度相等，则球A的速度大小办=32班,

故B错误；4球在最高点时，对杆无弹力，此时A球受到的重力和拉力的合力提供向心力，

孙2

有F-mg=g~,解得：”=1.5〃%,即杆的弹力大小为15mg,根据牛顿第三定律可知，C

正确，D错误.

过能力综合练

6.（2022•广东省深圳中学模拟）如图所示，小木块〃、〃和《可视为质点）放在水平圆盘上，。、

b的质量均为m,c的质量为勺，a与转轴00'的距离为I,b、c与转轴00'的距离为21

且均处于水平圆盘的边缘.木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的左倍，重力加速

度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，下列说法中正确的是（）

O',

c：ab

□，n□

O'\

A.b、c所受的摩擦力始终相等，故同时从水平圆盘上滑落

R.当〃、力和「均未滑落时，〃、「所受摩擦力的大小相等

C.〃和c均未滑落时线速度一定相同

D.。开始滑动时的角速度是，丽

答案B

解析木块随圆盘一起转动，水平方向只受静摩擦力，故由静摩擦力提供向心力，当需要的

向心力大于最大繇摩擦力时，木块开始滑动.b、c,质量不等，由知力、c所傻摩擦

力不等，不能同时从水平圆盘上滑落，A错误；当人。和c均未滑落时，a、b、c和圆盘无

2

相对运动，因此它们的角速度相等，Ff=nircot所以。、c所受摩擦力的大小相等，B上确：

〃和c均未滑落时，由知线速度大小相等，方向不相同，故C错误；〃开始滑动时，

最大殍摩擦力提供向心力，kmg=m2*解得⑴=、1^,故D错误.

7.如图所示，一光滑的圆管轨道固定在竖直平面内，质量为，〃的小球在圆管内运动，小球的

直径略小于圆管的内径.轨道的半径为R，小球的直径远小于R可以视为质点，重力加速

度为g.现从最高点给小球以不同的初速度以关于小球的运动，下列说法正确的是（）

A.小球运动到最低点时，对外管壁的最小压力为4〃吆

B.若小球从静止沿轨道滑落，当滑落高度为号时，小球与内、外管壁均没有作用力

C.小球能再运动回最高点的最小速度v=y[gR

D.当。X历时，小球在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为5〃名

答案B

解析当在最高点速度为零时，到达最低点的速度最小，对外管壁的压力最小，则由机械能

守恒定律有"&2/?=热“，在最低点设外管壁对小球的支持力为F,由牛顿第二定律I咽

二）木联立解得尸=5/同，由牛顿第三定律得，小球对外管壁的压力最小为5〃吆，故A错

RRI

误：小球从后止沿轨道滑落，当滑落高度为Q时，由机械能守恒定律有〃靖=加?苏，谀此时

A

重力沿半径方向的分力为由几何关系得尸|=等，此时所需的向心力为/向=〃/箸，联

JA

立解得尸向=Q,此时重力沿半径方向的分力恰好提供向心力，所以小球与内、外管壁均没

有作用力，故B正确；因为管内壁可以给小球支持力，所以小球在最高点的速度可以为零，

7,2

故C错误；若在最高点、速度v>\“,在最高点时由牛顿第二定律得F2+，〃g="灰，从最高点

到最低点由机械能守恒定律得〃优々农二为〃。./一在最低点时由牛顿第二定律得F&一mg

2

=〃去，联立解得西一B=6〃?g,所以当时，小球在最低点与最高点对抗道的压力大

小之差为6mg,故D错误.

8.如图所示，质量为小的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点，绳。长为L,

与水平方向成夕角时绳方恰好在水平方向伸直.当轻杆绕轴以角速度外匀速转动时，小

球在水平面内做匀速圆周运动，0,6绳均拉直.重力加速度为g,贝ij（）

A.。绳的拉力可能为零

B.。绳的拉力随角速度的增大而增大

c.当角速度也忖，〃绳中拉力不为零

D.当角速度3时，若〃绳突然被剪断，则〃绳仍可保持水平

答案C

解析小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所

以a绳在竖直方向上的分力与小球重力相等，可知〃绳的拉力不可能为零，A错误；根据竖

直方向上受力平衡得几sin"=〃后解得匕=热），可知。绳的拉力不变，与角速度尢关，B

ol111/

8=7

错误；当绳拉力为零时,有含）=/〃①"cos仇解得可知当角速度

时，〃绳出现拉力，C正确；若。绳突然被剪断，则。绳不能保持水平，D错误.

9.（多选）如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和8放在转盘上，两者用长为上的水

平细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个

装置能绕通过转盘中心的转轴。1。2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静

止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（重力加速度为g）（）

C.”在范围内增大时，