湖北省武汉市硚口区2024-2025学年八年级上学期期中数学试题（解析版）

2024~2025学年度第一学期期中质量检测

八年级数学试题

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且

只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑.

1.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对称图形的是

（）

'吉B祥C如，后、

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了轴对称图形的识别.根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相

重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的

部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以

是轴对称图形；

故选：A.

2.在平面直角坐标系中，点A（L2）关于y轴对称点的坐标是（

A.(―1,2)B.C.(-1,-2)D.(2,1)

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点坐标的关系，关于y轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为

相反数，由此可解.

【详解】解：点A（l,2）关于），轴的对称点的坐标是（一1,2）,

故选A.

3.正六边形的每个外角的大小是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查正多边形的外角，正多边形的每个外角都相等，外角和等于360。.

【详解】解：正多边形的每个外角都相等，外角和等于360。，

所以每个外角的大小为360。+6=60。，

故选：D.

4.一个三角形的两边长为5和10,第三边长为整数，则第三边长的最大值是（）

A.12B.13C.14D.15

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出第三边的范围，判断即可.

【详解】解：由题意：10-5＜第三边＜10+5,

・・・5〈第三边＜15,

•・•第三边长为整数，

・•・第三边长的最大值是14；

故选C.

5.如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等“

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了尺规作图一做一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方

法和步骤，以及全等三角形的判定方法SSS,SAS,AAS,ASA,HL,以及全等三角形对应角相等，即可解答.

【详解】解：由作图可知===

在VA8c和△OE尸中,

AC=DF

AB=DE,

BC=EF

・•・AABC^ADEF(SSS),

・•・/BAC=/EDF,

若A3=3cm,BD=5cm,则CE的长度是（）

C.2cmD.3.5cm

【答案】C

【解析】

【分析】此题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，即BC=BO=5cm,

BE=AB=Sew,

,再利用线段和差即可求解，解题的关键是熟练掌握性质的应用.

【详解】解：•・•Z^ABC^AEBD,

；・BC=BD=5cm,BE=AB=3cm,

.\CE=BC-BE=5-3=2（cm）,

故选：C.

7.已知等腰三角形一边长是5,一边长是11，它的周长是（）

A.27或21B.27C.21D.16

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，由等腰三角形的定义及三角形三边关系可得

腰长为11,底边长5,据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键.

【答案】C

【解析】

【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是正确

做出辅助线.由等腰直角三角形的性质可得AD=BD=CD,ABAD="=45°，

S6A%=gx6x6=18,由“SAS”可证VADEACDF，可得,再进一步即可求解.

【详解】解：如图，连接AO，

・・・/B4C=90。，AB=AC=6,D为边BC的中点,

.•.AD=BD=CD,ABAD=AC=45°，S/=gx6x6=18,

在VADE和VCOF中，

AD=CD

<NBAD=ZC,

AE=CF

..△AD岸ACDF(SAS),

…-Jq&AQE_-s»

二•四边形AEDF的面积=SRK=gs会改：=9,

/.VBOE与VC。尸的面积的和是;=9；

故选：C.

10.在凸五边形A3CDE中，AB=AE，BC=DE,/是CD的中点.下列条件中，不能推出A尸与CO

一定垂直的是()

A.ZABC=ZAEDR.ZBAF=NEAF

C.ZBCF=ZEDFD.ZABD=ZAEC

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角

形的判定的方法是解题的关键.

利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论.

【详解】解：A、连接AC、AD.

VZABC^ZAED,AB^AErBC=DE,

△ACBq△AOE(SAS),

・•・AC=AD

又•・•点/为CD的中点

AAF1CD,故不符合题意；

B、连接8REF,

VAB=AE,ZBAF=ZEAF^AF=AF,

A△ABF^AAEF(SAS),

:・BF=EF,ZAFB=ZAFE

又。点尸为CD的中点,

；・CF=DF,

•・•BC=DE,

.-.△CBF^ADEF(SSS),

:・/CFB=NDFE,

••・/CFB+ZAFB=NDFE+ZAFE=90°,

：.AF±CD,故不符合题意；

C、连接EF,

•・•点F为CD的中点，

：.CF=DF,

■:NBCF=NEDF,BC=DE,

.-.△CBF^ADEF（SAS）,

[BF=EF,NCFB=ADFE,

VAB=AE,AF=AF，

••.△ABF、AEF（SSS）,

・•・ZAFB=ZAFE，

・•・NCFB+ZAFB=NDFE+ZAFE=90°,

AAF±CD,故不符合题意；

D、ZABD=ZAEC,无法得出题干结论，符合题意；

故选：D.

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11.如图，要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉条木条.

【答案】3

【解析】

【分析】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作

对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条.

【详解】解：过六边形的一个顶点作对角线，有6-3=3条对角线，

所以至少要钉上3根木条.

故答案为：3.

【点睛】此题考查了三角形的稳定性以及多边形，正确利用图形得出是解题关键.解题时注意：过〃边

形的一个顶点作对角线，可以做S-3）条.

12.等腰三角形的一个内角为100。，则它的一个底角的度数为.

【答案】40。##40度

【解析】

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，理解等腰三角形的性质解答关键.

分两种情况：当100。是顶角时，当100。是底角时，利用等腰三角形的性质求解.

【详解】解：①当100。是顶角时，底角=（180。—100。）+2=40。；

②当100。是底角时，另一个底角为100。，因为100。+100。=200°,不符合三角形内角和定理，所以舍去.

故答案为：40°.

13,如图，在VA8C中，8。平分NA3C,CQ平分MN经过点、D，与AB，AC相交于点

M,N,QMN〃BC.若NA=70。，AB=5,AC=6,则N3O。的大小是,.AMN的

周长是______.

【答案】①.125。②.11

【解析】

【分析】小题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质以及三角形的内角和.关键是根据三角形内

角和在VABC中求得NABC+/4C8=110。，利用角平分线得到NOBC+NOC8=55。，在ADBC

中求得/80。=125。.关键是根据等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质得出△4的的周长是

AB+AC.根据平分/ABC,CO平分/ACB,且MN〃BC,可得出MD=MB,ND=NC,

所以△AAW的周长是AB+AC.

【详解】Q8O平分/ABC,CO平分/AC8,

ZMBD=ZDBC=-ZMBC,4NCD=ZBCD=-4NBC,

22

vZA=70°,在VA8C中，ZABC+ZACB-^-ZA=180°,

/./ABC+ZACB=180°-70°=110°,

.\-ZABC+-ZACB=55°,

22

即ZDBC+ZDCB=55°,

在。中，ADBC+ADCB+^BDC=180°>

/.ZBZ）C=180°-55°=125°.

故答案为125。.

•：MN〃BC,

：.4MDB=4DBC,ZNDC=ZBCD,

=ZNDC=ZNCD,

:.MD=MB,ND=NC,

・・・A3=5,AC=6,

:心AMN的周长=AM+MN+AV,

=AM+MD+ND+AN,

=AM+MB中NC+AN,

=AB+AC,

=5+6»

=11.

故答案为11.

14.在平面直角坐标系中，已知A。,。），5（0,3）,以A3为直角边作等腰Rt4ABC,若点C在第一象

限内，则点。的坐标是.

【答案】（4,1）或（3,4）

【解析】

【分析】本题坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构建两个在三

角形全等是解答关键.

分两种情况：（1）以AC为斜边时，过点。作CNJ.），轴于点N,（2）以为斜边，过点C作CK_Lx

轴于点K,构建两个三角形全等，再根据全等三角形的性质来求解.

【详解】解•：（1）以AC为斜边时，过点。作CN_Ly轴于点N,如下图

则ZNCB+4NBC=ZNBC+ZABO=90°,AB=BCNOAB+ZABO=ZABO+4CBN=90°

.♦./NCB=ZABO,/CNB=/BOA.

在△8C7V和△ABO中

NNCB=ZABO

<CCNB=/BOA

BC=AB

.△BCNm△ABO（AAS）,

:.NC=OB,NB=OA.

vA（l,0）,8（0,3）,

AO=1,BO=3,

:.NO=NB+BO=\+3=4,

「.C（3,4）.

（2）以BC为斜边，过点。作CK_L_r轴于点K,如下图.

则NC4K+NACK=NC4K+NR4O=90。，AB=AC,ZAOB=ZCKA=90°,

:.ZACK=ZBAO.

在&4CK和中

ZACK=ZBAO

</CKA=ZAOB

AC=AB

.^ACK^AABO（AAS）,

:.CK=OA,AK=BO.

vA（1,O）,8（0,3）,

AO-1-BO-3，

.\OK=OA+AK=OA+OB=l+3=4,

/.C（4,l）.

综上所述，C的坐标为（4,1）或（3,4）.

故答案为：（4,1）或（3,4）.

15.如图，在V/A3C中，是高，AE1是角平分线，点厂在6c的延长线上，过点尸作尸HJ_AE，

交AB于〃，下列四个结论：①ND4E=N/；②NAEC=N8+NE4C；③

2ZAEF=Z4CF+ZBAE；④2/F=ZACB-/B.

其中正确的结论是（填写序号）.

【答案】©©④

【解析】

【分析】本题考查了三角形内角加定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练应用

三角形内角和定理，三角形的外角性质.根据三角形内角和定理和角平分线的性质，三角形外角的性质

逐项推理证明即可.

【详解】解：如图，设AO与”/相交于点N,AE1与”产相交于点G,

•：FG±AE,AD1BC,

/.ZAGF=ZADF=90°,

•.•乙\NG=4DNF,

:"DAE=/F；

故①符合题意；

••・AE平分/BAC,

:.ZBAE=ZEAC,

・•ZAEC=NB+NBAE,

:.ZAEC=ZB+ZEAC,

故②符合题意；

・.・AE是VA8C的角平分线，

/.ZBAE=-ZBAC,

2

・.・^AEF=NBAE+NB,NACF=NBAC+NB=2N8AE+NB,

/8AE=l(ZACr-/8),

2

ZAEF=-(ZACF-ZB)+ZB,

2

/.2ZAEF=ZACF+ZB,

故③不符合题意；

VZC4P=90°-ZACT,

ZDAE=ZCAE-ZCAD

=^CAE-(900-ZACB)

=ZBAE-90°+Z4CB

=^BAD-ZDAE-900+ZACB,

•・・N84O=90。—/3,

:“AE=ZACB-4B—/DAE,

2Z.DAE=ZACB-N4,

由①得，ADAE=/F,

:24F=ZACB-/B,

故④符合题意；

综上所述：正确的有①②④.

故答案为：①②④.

16.如图，在四边形A8CD中，AG80相交于点E，AC=BC,NAC8=NA£>8=90。,

BD=a,AD=b,用含。，〃的代数式表示△3CO的面积是______

【解析】

【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，作CM_LAO交力。

延长线于作CNJ.BD于N,可得四边形CMZW为矩形，进而可证△ACM四△BCN(AAS),得

到CW=CN,BN=AM,即得四边形CM£W为正方形，得到DM=DN=CN,即可得

BD-AD=BN+DN-〈AM-DM)=DN+DM=2CN,得到CN='。:一。,最后根据

三角形的面积公式计算即可，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：作CMJ_AO交4。延长线于M,悴CNJ.BD于N,

・•・/CMD=/CND=/CNB=90°,

•・•4MDN=180°-ZADB=90°，

・•・西边形CWDV为矩形，

：・？MCN90?2ACB，

・•・ZACM=/BCN=90°-ZACN,

VAC=BC,ZAMC=ZBND=90°,

,△ACM绦3CN(AAS),

:・CM=CN,BN=AM,

・•・西边形CA/OV为正方形，

JDM=DN=CN,

:,BD-AD=BN+DN-(AM-DM)=DN+DM=2CN、

,rz_BD—AD_a—b

22

1

.c]dcea-bcv-ab

△BCD2224

故答案为：幺二处.

4

三、解答题(共8小题，共72分)

17.一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个多边形的边数.

【答案】这个多边形的边数为6

【解析】

【分析】〃边形的内角和为(〃—2卜180。(7亚3),外角和为360。，根据所给等量关系列出方程，即可求解.

【详解】解：设这个多边形的边数为〃，

由题意得：(〃一2)480。=360以2,

解得〃=6,

即这个多边形的边数为6.

【点睛】本题考查多边形内角和与外角和的应用，解题的关键是掌握多边形的内角和公式、外角和定

理.

18.如图，点E,厂在3c上，BE=CF,AB=DC,/B=/C,质与。石相交于点0.求证：

(I)Z4=ZD：

(2)OE=OF.

【答案】(1)见解析(?)见解析

【解析】

【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定.熟练掌握三角形全等的判定定理和性质

定理是解题关键.

(I)根据题意可得出结合“SAS”即可证△A8/会ZXZX芯；

(2)由全等三角形的性质得出NAF8=NOEC,再根据等角对等边即可证OE=O/.

【小问1详解】

证明：・.・BE=C/，

，BE+EF=CF+EF,

.\BF=CE.

AB=DC

在△ABA'和△OCE中，＜ZB=ZCf

BF=CE

.-.△ABF^ADCE(SAS),

/.ZA=ZD：

【小问2详解】

证明：•.•△ABbgzXZX石，

:.ZAFB=NDEC，

：.OE=OF.

19.如图，在等腰VA3C中，AB=AC,点。在AC上，且BD=BC=AD,求NA大小.

【答案】乙4=36。

【解析】

【分析】本题考查了三角形的外角性质以及等边对等角，三角形内角和性质，先由等边对等角得

ZABC=/C=/BDC,ZA=ZABD.再运用外角性质得/BDC=NA+N/$D=2x,最后运用三

角形内角和性质列式计算，即可作答.

【详解】解：・.A8=4C,BD=BC=AD,

:.^ABC=ZC=ZBDCtZA=ZABD.

设NA=x,

则NBDC=NA+NAB。=2x,

ZABC=ZC=ZBDC=2x

在VABC中，ZA+ZABC+NC=x+2x+2x=180°,

解得x=36。，

即NA=360.

20.如图，是VABC的角平分线，DE,短尸分别是△A3。和△AC。的高，连接E/交A。于点

O.

A

(1)求证：AO垂直平分EF；

(2)若NEDF=120。，求证：AO=3DO.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】(1)由角平分线的性质定理可证△ZMEg^ZM*AAS),即得出A£=AF，从而可证

AOAEGAOA/^SAS),即得出/人=b=90。，OE=OF,即可得出结论：

(2)由题意可求出NE4尸=60°,再根据角平分线的定义得出ND4尸=30。，ZDFO=30°,最后结合

含30度角的直角三角形的性质求解即可.

【小问1详解】

证明：・「AO是VAAC的角平分线，DE1AB,DFJ.AC,

:.DE=DF，ZAED=ZAFD=90°,ZDAE=ZDAF,

RtAZM£^RtADAF(AASI,

:.AE=AF.

•・•AO=AO,

・•・△Q4E%OAb(SAS)

AZAOE=ZAOF=9Q°,OE=OF,

」.AD垂直平分ER：

【小问2详解】

证明：vZEDF=120°,ZAED=ZAFD=90°,

/.ZE4F=60°.

・.・AQ平分/84C,

/.Z/MF=30°,

:.AD=2DF.

vZ4OF=90°.

:.ZAFO=60°,/DFO=30。,

,\DF=20D.

AO=400,

:.AO=3DO.

【点睛】本题考查角平分线定义和性质定理，线段垂直平分线的判定，三角形全等的判定和性质，含

30度角的直角三角形的性质.涉及知识点较多，难度•般，解题的关键是能够综合运用上述知识.

21.如图是由小正方形组成的6x6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.VA8c的三个顶点都是格点,

仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.

图1图2

（I）如图1，先在3c上画点。，使AD平分VA3C的面积：再在射线AD上画点E.使

Z3CE=45°：

（2）如图2.点。是3c与网格线的交点，先画VA3C的窗质；再在AC上画点。.使

ZFQA=ZPQC.

【答案】（I）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】此题考查了格点作图，三角形中线的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判

定，

（I）首先根据三角形中线平分三角形面积得到3C的中点即为所求的点Q,然后利用网格的特点构造等

腰直角三角形，即可得到ZBC9=45。；

（2）延长C8到格点E,取格点G,连接AG,与跳的交点即为点F；取格点“，连接C”与网格线的

交点为M,连接与AC的交点即为所求点Q.

【小问1详解】

解：如图所示，点。，后即为所求；

A

【小问2详解】

解：如图所示，AF,点Q即所求.

由网格可得，AGLBE

・•・AF即为VA8c的高;

由网格可得，PC=MC,QC=QC,QP=QM

・•.△QPC/△QMC(SSS)

・•・ZPQC=ZMQC

又；ZFQA=NMQC

：.ZFQA=APQC

工点。即为所求.

22.如图，在等腰RtZ^ABC中，ZACT=90°,AC=8C.点尸在A8上，AD1CF,

BE工CF,垂足分别为O,E，连接30.

(1)求证：AACD^ACBE；

(2)若BE平分NDBC.

①求力的值；

BF

②若CO=4,直接写出△A3。的面积.

【答案】（1）见解析（2）①一；②2

2

【解析】

【分析】（1）由Z4CD+NBCE=90。，NEBC+NBCE=90。,可得出NACO=NE8C，结合

AC=BC,即可证△ACD^ACBE；

（2）①由全等的性质可知AD=CE，CD=BE,由角平分线的定义结合题意得出N5C£=N3OE,

AFS

从而可证BD=BC,进而得出CE=O七=4。，最后根据年:=《巫，结合三角形面积公式求解即

BFS.BCF

可；

②根据勾股定理可求出BC=AC=25再根据S.ABD=S.AQ+S/BD-S.ABC结合三角形面积公式求

解即可.

【小问1详解】

证明：VZACB=90°,BE1CF,AD1CF,

・•・ZADC=ZBEC=ZAC8=90。，

・・・ZACD+NBCE=90°,/EBC+/BCE=90°,

・•・ZACD=ZEBC.

•:RtZ\43C为等腰三角形，

・•・AC=BC,

・•・△AC£>^ACBE（AAS）；

【小问2详解】

解：①•••△ACD%CBE,

***AD=CE，CD=BE.

•:BE平分/DBC,

；・/EBC=/EBD.

•：BE1CF,

••・/BCE=NBDE,

:・BD=BC,

:・CE=DE=AD,

；・BE=2AD,

Ar-c—CF,ADa八［

AF__2一辿」

BFS"CFICF.BE吐2

2

②由①可知防=CZ)=4,CE=DE=AD=-CD=2,

2

ABC=AC=y/AD2+CD2=2石，

••SjBD~S“AC£>+S4CBD-SJBC

=-ADCD^-BECD--ACBC

222

=-X2X4+-X4X4--X2V5X25/5

222

=2•

【点睛】本题考杳二角形全等的判定和性质，等腰二角形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理,

三角形面积的求法等知识.解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用分割法求三角形面积.

23,等腰△ACD和等腰△BCE中，AD=CD,CE=BE,ZADC=ZCEB=a.

图1图2图3

(I)如图1,当口=60。时，连接AE，BD,求证：AE=DB；

(2)当。=90。时，P是A8的中点，连接

①如图2,当A,C,笈在同一条直线上时，连接。尸，求证：DP=EP;

②如图3,当A,C,B不在同一条直线上时，连接OE，求/£)石尸的大小.

【答案】(1)见解析(2)①见解析：②NDEP=45。

【解析】

【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知

识，解决问题的关键是熟悉“倍长中线”辅助线.

(I)先证明△AC。，ABCE是等边三角形,再证明NACE=NDC8,即可证明VACE@/Z)C8,即可

得出结论；

(2)①延长£〃到Q,使欧二PQ,连接AQ,DQ,DE，证明△AR2式△笈尸£,推出

AQ=BE=EC,ZQAB=ZB,证明△AOQgZXCOE,推出ZAOQ=NCOE,OQ=OE,再证

明NOEQ=NOQE=45。，推出EP=P。，即NOP£=90。，即可得到结论;

②延长EP到Q,使EP=PQ,连接AQ,DQ,DE，同理①即可得出结果.

【小问I详解】

证明：・・・NADC=NCEB=60c,AD=CD,CE=BE,

.NACO,ABCE是等边三角形，

/.AC=DC,EC=BC,ZACD=ZECB=60°,

ZACD+ZDCE=ZECB+ZDCE,即ZACE=ZDCB,

.△ACERDCB,

AE=DB；

【小问2详解】

①证明：延长EP到。，便£P=PQ,连接4Q,DQ,DE，

Q

・.・P是的中点,

.•.AP=BP，

・.・NAPQ=4BPE,

.•.△APQ/ABPE,

..AQ=BE=EC,ZQAB=ZB,

-AD=CD,CE=BE,ZADC=ZCEB=90°,

：.乙DAC=ZDCA=NECB=NB=NQAB=45°,

/.^DAQ=ZDCE=90°

.,.△ADQ/ACDE,

ZADQ=ZCDE,DQ=DE,

ZADQ+ZQDC=90°,

ZCDE+ZQDC=90°,

"EQ=ZDQE=45°,

,;EP=PQ,

/.ZDPE=90%

;./PDE=45。,

\DP=EP；

②延长到Q,使EP=PQ,连接AQ,DQ,DE，

延长8石交AD于”

•・・P是AB的中点，

；,AP=BP，

•・•NAPQ=NBPE,

.,.△APQ^ABPE,

；.AQ=BE=EC,ZAQP=^BEP,

：.AQ//BE,

：.ZQAD=ZDHE,

・.・/HDC=/HEC=90。,

;"DHE=/DCE,

/.ZQAD=ZDCE,

・・•AD=CD,

.•.△ADQ/ACDE,

^ADQ=ZCDE,DQ=DE,

ZADQ+NQDC=90°.

：.ZCDE+ZQDC=90°,

.\ZZ)EP=45O

24.在等腰VABC中，AB=AC.AB的垂直平分线DE分别交48，AC于。，E两点.

AAA

图1图2图3

(I)如图1,连接的，若4力=6,VBEC的周长为19,直接写出BC的长；

(2)若AF是V45C的中线.

①如图2,AF交DE于点0,若N84C=30。，求证：EC=2OD+OE；

②如图3,M是"的中点，N是射线所上的动点，连接MN,作等边△MNP,连接"，若

A尸=11，直接写出AP的最小值.

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【答案】(1)7(2)①理由见解析；②"的最小值是一

4

【解析】

【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质求解即可；

(2)①过。作OH_LAC于，，连接。区，OC,根据线段垂直平分线和等腰三角形的性质得到

OB=OA=OC,4"二C〃，再利用含30度角的直角三角形的性质得到A£=2DE，OE=2HE,

然后利用线段的和与差求解即可；

②以AM为边作等边三角形4ML,过心作于"，LN'上BF延长线于N',利用等边三角形

33

的性质得到厂“=丁