广东省深圳市某中学2024-2025学年高一年级下册期末考试数学试题（含答案解析）

广东省深圳市高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

（i为虚数单位）的虚部为（）

A.-1B.5C.-5iD.-5

2.一组数据2,2,5,5,8,14,15,17的第25百分位数是()

A.3.5B.2C.4.5D.5

3.和石二(3,1)垂直的一个单位向量的坐标可以是()

’3布加）

A.(2,-6)B.’器噜)C.(-6,2)

4.已知sin(a+£)=m,sin(a-°)=〃，则——z=()

tano

m-nm+nn-mm+n

A.----B.-----C.-----D.-----

m+nni-nn+m力-m

5.设a,0是两个不同的平面•，小，〃是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）

A.若用l。，nuB,且则机〃若”?「a,nuB,且机_L〃，则。_1_6

C.若a_L6,a。6=〃，且m_L〃，则〃?_L£D.若〃?//〃，n/./p,且则a_L0

6.已知两个随机事件力和8,其中P（4）=LP（B）=?,则尺45）二（

，父4

A.-7B.1C.zrD.—

4?2x

7.在△/13c中，角A,B,C的对边分别为小b,c,已知△J5C'的面积为56":4,8不力。=10,

则a=()

A.V2TB.J；］C.V4TD.y/6\

8.我国古代举世闻名的数学专著《九章算术》将底面为矩形的棱台称为“刍童已知棱台

ABCD-A1B'CD'是一个所有侧棱的长相等，高为2的。刍童"，川？=24斤=4,

BC=2BO=4原则该“刍童”外接球的表面积为（）

80>/580r-

A.---nB.-^-7iC.8On:D.5x/5n

试卷第I页，共4页

二、多选题

9.设复数z在复平面内对应的点为Z,原点为O,i为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A.若点Z的坐标为（1,1）,则z对应的点在第三象限

B.若2引二区2J2.则点Z的集合所构成的图形的面积为4兀

C.若z=2i-3是关于x的方程2/+px+夕=0（p,qGR）的一个根，则p+g=38

D.若二二2百一3贝亚的模为13

10.有一组样本数据为，必...相，其平均数、中位数、方差、极差分别记为外，b、,c,,

4,由这组数据得到新样本数据以，外，…，乂，其中M=依+，〃（,•=1,2,〃旦AH0）,

其平均数、中位数、方差、极差分别记为生，%，c-2,力，则（）

A.h2=kb1+mB.q=C”C.d2=kd}+mD.Xf=na\+/JC,

11.如图1,已知矩形42C。中，48=2,J£>=1,E为CD中点、,现将沿力七翻折

后得到如图2的四棱锥。’,点厂是线段3上（不含端点）的动点，则下列说法正

确的是（）

图1

A.当广为线段O8口点时,

B.D'B±AE

C.不存在点E使。产_1_平面力8。

D.当尸为线段O'8中点时，过点力，E,尸的截面交CQ'于点M,则2cM=O'M

三、填空题

12.哥德巴赫猜想被誉为“数学王冠上的明珠”，可以表述为“每个大于2的偶数可以表示为

两个素数的和“，如30=7+23.素数是除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的大于1

的自然数.在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是.

试卷第2页，共4页

13.已知。，b,c分别为三个内角/,B,C的对边，^.bcosA+\]3bsinA-c-a=01

则cos8=__________

14.已知圆。为VW的外接圆，A《BC=6则而例+码的最大值

为.

四、解答题

15.某芯片工厂生产甲型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这种芯片中抽取100件进行

检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：

85频率/组距

83

O

02

0.005——

0.002|||||

一万［%50右;0$0右篙詹标

甲型芯片

假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

(1)求甲型芯片指标的平均数和第60百分位数；

(2)现采用按比例分层抽样的方式，从甲型芯片指标在［70,90)内取6件，再从这6件中任取

2件，求指标在［70,80)和［80,90)内各1件的概率.

16.如图，四棱锥尸一力5。。的侧面尸4D是正三角形，底面/8CO是正方形，且侧面P49JL

底面48cO,JD=4,E为侧棱的中点.

(1)求证：PB"平面E4C；

(2)求三极锥力一POC的体积.

17.已知小b,。分别为A48C三个内角4,B,C的对边，8=,/C边上的高等于且4C.

彳2

试卷第3页，共4页

《广东省深圳市高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BABBDDDCBCABD

题号11

答案ACD

1.B

【分析】先“分母实数化“，再整理化简，最后判断虚部即可.

【详解】因为i-一5二'(i-.5/)(\-i)1+5」所以虚部是:5,

故选：B.

2.A

【分析】根据百分位数的计算方法即可求解.

【详解】囚为2,2,5,5,8,14,15,17的总个数为〃=8,

p=8x25%=2,

所以这组数据的第25百分位数是出=3.5,

7

故选：A.

3.B

【分析】设与向量方=(3,1)垂直的单位向量是万=(A,V),由题意可得；；J_G，月=1，结合平

面向量数量积的坐标运算可得出关于x、y的方程组，即可得解.

【详解】设与向量万=(3,1)垂直的单位向量是M二(五,力，由题意可得7_LG，忖=1，

a-e=3x+y=0

所以

\e\=y]x2+y2=

叵3加

故0=-io",一"io->

故选：B

4.B

【分析】利用正弦和差公式化简，联立求出sinacosG，cosasin/3,两式相除得到答案.

【详解】sin(a+。)=sintrcos£+cosasin/3=mfsin(a-£)=sinacos/3-cosOfsin/?=??,

答案第1页，共15页

故联立可得sinacos6='土cosasinB=

m+n

sinacos6tanam+n

两式相除可得，

cosasinBm-ntan6m-n

故选：B.

5.D

【分析】对于ABC,由答案不完备可判断错误：对于D,直接证明正确即可.

【详解】对于A,若〃?LQ,nrp,且a//。，则〃〃/〃或矶〃异面，故A错误；

对于B,若加U。，nrP,且〃?_L〃，则6。平行或相交，故B错误；

对于C,若a_LS,=〃，且机_L〃，则肛S相交或故C错误；

对于D,若〃?〃〃，m.La,贝MJLar,因为〃//。，所以存在〃1<-6使得〃/仇，

所以所以a_L8.

故选：D.

6.D

【分析】因为力和8是两个随机事件,所以由P(小，B)=P(4)+P⑻-P(AB)即可求出结果.

【详解】因为彳和8是两个随机事件,所以尸(力。3)=/力)+P(B)-P(AB)

1331

则户(/18)=P(/)+P(8)-p(4u8)=5+：_：=Q

故选：D.

7.D

【分析】根据三角形面积公式，平面向量数量积的定义及6=4得出力=,，c=5：再利用

余弦定理即可求解..

【详解】由的面积为50可得：5V3=-^csinJ：

由箱.元二10可得：chcos(n-/l)=-bccosA=10.

因为b=4,

所次*sin/l=£^，ccosJ=-^,

92

e.sinJnr

则tanA=----=->J3.

因为％e(o,兀),

答案第2页，共15页

.—5—5赤；

所以"二?，'=俞）=3r§

zx——

由余弦定理可知：a2=b2c2—2bccosA=4:+52-2x4＞5cos—=61,即〃=/^1.

故选：D

8.C

【分析】根据刍童的几何性可知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为O,

根据几何关系求出外接球半径即可求其表面积

【详解】

如图，连接d①D',设/icn3o=M,/dr\B'D'=N,连接MN.

•・•棱台/8CQ—/B'CD1侧楂相等，・•・易知其外接球球心在线段MN所在直线上，

设外接球球心为0，易得4c=8,MC=4M'C=4、NC=1,MN=2,

因为M:'2〈Me?,则球心O不可能在线段MN之间，其位于NM的延长线上,

如图所示：

由OC=OC得NC2+ON2=OM2+MC2，解得。M=2,故0C=26,

・，•外接球表面枳为S=4兀＞＜（2*75）=80n.

故选：C.

9.BC

【分析】本题根据复数的模长，复数的几何意义以及根与系数的关系即可求解.

【详解】A选项，因为点Z的坐标为（1,1）,则z对应的点为（1,一1），所以在第四象限，故A

选项错误：

B选项，24月则依据复数模长的几何意义可知，2引;生26■表示一个圆环，面积

答案第3页，共15页

为S=7T(2及卜兀(2)2=4兀：故B选项正确：

C选项，2=2-3是关于工的方程2犬+px+夕=0仍应WR)的一个根，

则2(2i・3)2+p(2i-3)+q=0,即(10-3p+q)+(2p-24)i=0,

]0—3p+q=0f</=26

整理得上》n:解得〜所以p+q=38,故C选项正确；

2P-24=0[p=12

D选项，二二2、/i-i,则二|=12@2+(-1)2=41,故D选项错误；

故选：BC.

10.ABD

【分析】对于A,根据中位数的定义讨论即可判断：对于B,由方差的性质即可判断：对于

C,由极差的定义判断即可：对于D,由方差、平均数的定义验算即可.

【详解】对于A,设片，/，…，£已经从小到大排列好了，

则M，力，…，匕是从小到大排列的或从大到小排列的，

若〃是偶数，则匕：二,

19

而无论如何最中间两个数总是为，

+

KK(++w0+x

b、==---=—=-----=-----=k一=----+加=kb、+n'

-7)?

若〃是奇数，则"=x吧,

2

而无论如何最中间的数总是歹竺1所以“二y对;b四+用=校+小：

所以仇=kb、+mf

对于B,由方差的性质可得，7=,故B正确：

对于C,当％>0时，4=匕■必=(kxn+w)-((a1+ni)=k(xn-x)=kd,

当《<0时，d2-y}-yn=-(AA;+w)+(kxi+//z)=-k(x„-xJ=-kd,故C错误：

“/rn”〃

对于D,g=2(、，一《)~=2、”加1?，+〃1=2》”加％2w,2云灯用&：

，=li=lisl箝d

n

所以ZT=+g，故D正确.

答案第4页，共15页

故选：ABD.

11.ACD

【分析】对于A,只需证明平面CFN“平面月Q'E,再结合面面平行的性质即可判断；对于

BC,利用反正法说明错误即可；对于D,首先得E,C分别为力的中点，进一步根据

几何形状判断即可.

【详解】对于A,取44中点N,连接，FN.CN,

因为F为O'3的中点，所以FMMD',因为KV丈平面4D现，AD「平面力。'E,

所以KV//平面/Q'E,

在矩形/14C。中，AN!/EC,AN=EC,故四边形力NCE为平行四边形,

所以4E//CN,

因为CN丈平而力。’E,力后「平面力。’E,所以CN"平面4)'E,

又FN=N,CNu平面CFN,产Nc-平面CFN,

所以平面CFN//平面E,所以W〃平面彳/)'E,故A正确；

对于B,假设存在某个位置，使8。'1.AE,取力上中点。，连接£>'O,BO,

显然'QO1.AE,而Q'。「BD'=D',D'O,BD'u平面"OB,

••・力后，平面。’OB,OBL平面D'OB,AAEl.OB,则6E=/18,

但8E=J5,48=2,不可能相等，所以不可能有8。'±AE,所以B选项错误:

对于C,假设存在点E使得b_L平面48Q'成立，

因为43T面4?。'，所以C/J_48,

乂因为8C_L48且"TBC=C,CF,8cL平面8C。'，所以48_1_平面8CQ'

又因为即7u平面8CQ',那么,

答案第5页，共15页

又因为力。'<AB,则直角边大于斜边，矛盾，所以C选项正确;

对于D,由题意得，平面片EE,MW。'C,

由。匚平面。’BC,得平面BC,

延长BC交于点、〃，连接F",则平面8Q'C。平面力叮二尸〃，

H

所以M£尸〃，故尸〃C。’C-M,

由ECIIAB,EC』B得E,C分别为力”,的中点,

2

若F为D*的中点，则任7〃/H,

CMFC1

所以砺;"万万=5,即"M"2CM'故D正确.

故选：ACD.

2

12.—

【分析】由于不超过15的素数有2,3,5,7,11,13,共6个，所以6个中选2个有戏二15

种，而和为16的有2种，从而可求出概率.

【详解】不超过15的素数有2,3,5,7,11,13共6个，则从这6个数中任选2个不同

的数共有或=15种，而其中和为16的有2种，即3+13=16,5+11=16,

所以所求概率为上2•,

1S

2

故答案为：

13.,/O.f

【分析】由正弦定理边化角，结合三角恒等变换化简可得sin(8-[)=g,进而求得8,得

解.

【详解】因为6cos4+VJbsin4-c-Q=0

由正弦定理，得sin3cos/+3sin4sin4-sinC-sin4=0,又sinC二sin(4+4),

答案第6页，共15页

：sincos/i+J3sin8sinA-sinQ+5）-sinA=0,

：,3sin5sinJ-sinAcosB=sinAf又4W（（）兀），siii4H0,

z.-75sinB-cosB=I）即sin]=—.又6£（（）,—,

16/2

r.B--=-,即8=2.

66?

所以cosB=-.

7

故答案为：J.

14.3

【分析】先利用正弦定理求出外接圆半径，取8C的中点。，连接O。，则变形得

7

到疝5.卜吊+左）=442（9万+2,当4。,。三点共线时，而.万万取得最大值，求出答案.

2”BC一J3

【详解】设圆。的半径为A,则sin力一,乃一，解得尺=1，

sin—

取3c的中点。，连接。。，则上8。。=上CO。=：:

故OZ）=L

2

而•（而+%）=而@-次+斤-次卜花.07+标二球一）

=Ad^）B+OC]+2dA=AO2OD+2,

当4。,。三点共线时，粉.万方取得最大值，最大值为lx』=」，

99

故”.（4月+"）="；.口。+2的最大值为1+2=3.

故答案为：3

答案第7页，共15页

15.(1)77.65,82.

【分析】（1）先根据频率分布直方图得出各组的频率及组中值：再根据平均数和百分位数的

计算方法即可求解.

（2）先根据频率分布直方图及分层抽样确定指标在［70,80）和［80,90）内取的件数，并分别

编号；再根据题意写出样本空间Q及所求事件包含的样本点：最后根据古典概型的概率公

式可求解.

【详解】（1）由频率分布直方图可得各组频率依次为：10x0.（）02=0.02,10x0.005=0.05,

10x0.023=0.23,10x0.025=0.25,10x0.025=0.25,10x0.020=0.2.

因为各组的组中值依次为：45,55,65,75,85,95,

所以甲型芯片指标的平均数为

0.02x45+0.05x55+0.23x65+0.25x75+0.25x85+0.2x95=77.65.

设第60百分位数为x,

因为前四组的频率和为：0.02+0.05+0.23+0.25=0.55<0.6,

前五组的频率和为：0.02+0.05+0.23+0.25+0.25=（）.8>0.6,

所以［80,90）,

则0.55+（A-XO）x0.025=0.6,解得：x=82.

所以甲型芯片指标的平均数为77.65,第60百分位数为82

（2）根据频率分布直方图及分层抽样可得：指标在［70,80）内取3件，分别编号为小，A2,

4：

指标在卜0,90）取3件，分别编号为B一旦.

从甲型芯片指标在［70,90）内取6件，再从这6件中任取2件，样本空间可记为

Q=｛（4,4）,（小,小），（4H）,（小㈤）,（4出）,（/小），（4出）,（40）,（小,民），

,。3,当），（4,品）,（用,8J,（8,&）,（9,&）｝,共包含15个样本点；

指标在［70,80）和［80,90）为各1件，包含的样本点有：

（4㈤）,（4”2）,（4,&）,（4*）（42,8）（4出）,（44）,伍出）,（4,&）,共9种：

答案第8页，共15页

Q?

所以根据古典概型的概率公式可得：指标在［70,80）和［80,90）内各1件的概率为工=不

16.（1）证明见解析

⑵凶

【分析】（1）连接8。交4C于O,连接E。，可得EO//PB,利用线面平行的判定定理得

证：

（2）取力。的中点为F,由题可得平面力88,利用三棱锥等体积转换得

^A-PDC=Vp~ADC，得解.

【详解】（I）连接8。交.4C于。，连接E。，

:。、E分别为8。、产力的中点，

:.EO//PB,

VEOu平面E/C,P4r7平面以C,

尸8〃平面E/C.

（2）取的中点为尸，连接P/7,•・•侧面产月。是正三角形，：.PF±AD,且PF=2®

;平面P/1。_1_底面/18C。，平面月底面4,/V7（-平面尸/。，

・•・PF上平面4BCD,

故匕咏二%皿='SM-PF=-x-x4x4x2百=^.

A^rUCr-ALKq0CQ2［

17.（l）cosJcosC=-

4

⑵6

【分析】（1）先根据三角形的面积公式得出比=从：再利用正弦定理将边化为角得出

sin/lsinC=4最后根据两角和的余弦公式及诱导公式可求解.

（2）结合（1）中ac=〃及余弦定理可得。=2；再根据三角形面积公式可求解.

【详解】（1）

答案第9页，共15页

A

由正弦定理得sinjsinC=sin2B,

又因为4=

所以sinJsinC=—.

4

又因为cosQ+C)-uos^uusC—sinJsinC,

cos(/l+C)=cos(7t-B)=-cosB=-—,

所以cos力cos。=---=-,

4?4

故cos/cosC=-

4

(2)由(I)知ac=乩

因为AB=2,

所以加=2a.

因为8=2,

所以由余弦定理可得：加=〃+/—为ccoW="+2：—Z/X2X

即〃="+4—2a，

则2。=a2+4—2a,即（。-2）~=0,解得a=2,

所以△//（'的面积S=—acsinB=—x2x2x=V3

?77

18.吗

759

⑵⑴正㈤商

【分析】（1）由独立乘法公式即可求解：

答案第10页，共15页

(2)G)由独立乘法、互斥加法公式即可求解；Gi)先求得P，q,再根据乘法公式、对立

事件概率公式即可求解.

【详解】(1)设“甲答对”为事件从“乙答对”为事件8,设“到第4个问题甲胜”为事件G,

则G=ABAB

P(G)=P(”疝［昨

(2)设4表示甲在第，•个模块答题中答对的事件，伐表示乙在第，•个模块答题中答对的事

件(其中1,2).设C表示甲在两个模块答题中答对i个的事件，。表示乙在两个模块答

题中答对/个的事件(其中j=0，1,2).

(i)根据独立性假定，得

P(G)=尸(44+44)=；X：¥x；弓，P(C2)=P(44)=gxd：

/——x?1124224

P(DI)=P(BIB2+^)=-X-+-X-=-,P(D2)=P(B,B2)=-X-=-.

•9-9•9-9,•9-9，

设M二”甲、乙共获得3枚印章“，则M:GONLG",且G&与。2。1互斥，G与。2,G与

5分别相互独立.

所以尸例)=P(CA)+P(3)=p(a>(a)+p(c2)p乩*%%

Nr\3IX

(ii)设'="甲、乙至少有一人获得印章”，

尸C)=p(44)q(jp)

,/——一\2,I21

p(2)二尸(B向+3，

由曰知P(3"如端

由已知《

12，

P(C2D2)=-P-q=-

3

p=5

所以J

g=4

P(N)=i-P(CA)=i-；(i-P)；(H)="}3!bi-左江

19.(1)72

⑵及

答案第11页，共15页

⑶理

【分析】（1）取4G的中点R连接8/、BF,先根据二面角的定义得出上当心为二面角

的平面角：再根据线面垂直的性质及三角形的有关计算即可求解..

（2）连接。力厂先根据正方体的性质、线面垂直的性质定理及判定定理得出5QJL平面

44G：再根据正方体的性质得出E为正力出G的中心；最后根据中线的性质可求解.

<3）先根据线面垂直的性质及三角形的有关计算得出点”的轨迹；再根据线面垂直得出"P

与平面4