2025-2026学年甘肃省兰州市红古区九年级上学期10月期中数学试题-附答案

/2025-2026学年甘肃省兰州市红古区九年级上学期10月期中数学试题一、选择题

1.一元二次方程x2+2A.1 B.2 C.−5 D.0

2.下列有关菱形、矩形、正方形具有的共同性质是（

）A.邻边相等 B.对角相等

C.对角线互相垂直 D.对角线相等

3.将一元二次方程x2−6x−9=0化成(x+A.−3，−18 B.3，18 C.3，−18 D.

4.“长城是中华民族的骄傲”的英文是“TheGreatWallistheprideofthA.17 B.37 C.110

5.如图，将矩形ABCD放置在刻度尺上，顶点A，C对应的刻度（单位：cm）分别为1和5，则BD的长为（

）

A.2cm B.3cm C.4cm

6.若m，n是一元二次方程x2+3x−A.6 B.12 C.0 D.18

7.如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1=∠2，则∠BPC=（A.125∘ B.130∘ C.135∘

8.在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，则可列方程为（

）

A.8.98B.8.98C.8.98D.8.98

9.某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地（如图），各边的中点分别是E、F、G、H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm，则对角线AC的长度为（）

A.20cm B.15cm C.10cm

10.关于x的一元二次方程的新定义：关于x的一元二次方程：ax2+bx+c=0与bx2+ax+c=A.2036 B.2030 C.2032 D.2026

11.如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD // x轴，AD=4，∠A=60∘．将菱形ABCD绕点O顺时针旋转，使点DA.0,3 B.0,−3 C.二、填空题

12.当m=__________时，关于x的方程(

13.在▱ABCD中，给出下列条件：①AB=BC；②AC=BD；③AC

14.定义运算：m※n=mn

15.如图，ABCD和DEFG是两个不等的正方形，连接BG交DE于H，如果△BHE面积为10，则△DHF面积为__________________．

三、解答题

16.解方程：x

17.如图，在正方形ABCD中，G是边BC上一点，连接AG，过点D作DE⊥AG于点E，过点B作BF∥DE，且交AG于点F．求证：AE

18.如图，△ABD中，∠ABD=∠ADB（1）作点A关于BD的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法．保留作图痕迹）（2）在(1))条件下，连接BC,CD,AC，AC与BD交于点O，若AB=

19.落日熔金，沙海与碧波相映成辉，千年壁画随歌声苏醒．8月29日，由抖音主办，甘肃省文化和旅游厅、敦煌市委宣传部指导举办的鸣沙山月牙泉“抖音七夕落日派对”隆重启幕．如图，现准备利用活动场地一面墙MN(MN最长可用25m)，用总长为40m的丝带（靠墙一面不用丝带）围成一个矩形ABCD观众区．当AB长度为多少时，矩形观众区的面积为

20.如图，在▱ABCD中，点E在AD边上，BE和CE分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，以BC为对角线向外作四边形BECF，使∠BCF=∠AEB，∠

21.阅读理解材料：已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，且m≠n，求nm+mn（1）方程x2−4x−3=0的两个实数根为（2）已知实数m，n满足m2−3m+1=

22.为了解同学们对某月饼厂家生产的多种月饼的喜爱情况，某实践探究小组对九年级部分同学做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告：××小组关于××学校学生月饼品种喜爱情况调查报告数据收集调查方式抽样调查调查对象××学校九年级部分学生数据的整理与描述品种A：莲蓉月饼B：五仁月饼C：豆沙月饼D：水果月饼E：冰皮月饼数据分析及运用（1）本次被抽样调查的学生总人数为________，扇形统计图中，m=（2）请补全条形统计图；（3）甲、乙两位同学根据调查的数据发现，A，C，E三种月饼最受欢迎，计划从这三个品种中挑选一种推荐给朋友，请用树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一种月饼的概率

23.已知关于x的一元二次方程x2（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；（2）矩形ABCD的两条边AB,BC恰好是这个方程的两个根，当m=

24.平凉米香醋历史悠久，相传可追溯至远古的黄帝问道广成子时期．某超市销售一批精装平凉米香醋，平均每天能售出20瓶，每瓶盈利15元．为了扩大销售、增加盈利及尽快减少库存，超市决定采取适当的降价措施，经调查发现，当每瓶醋每降价1元时，平均每天可多售出4瓶．超市要想使这批米香醋的销售利润平均每天达到396元，每瓶醋应降价多少元？

25.在学习了《特殊平行四边形》这一章后，老师布置了一项课后作业：利用所学知识在一张长8cm，宽6cm的矩形纸片①小明的方案，如图1

连接BD；

作BD的垂直平分线，交AD,BC,BD于点E，F，O；

连接BE,DF；②小彤的方案，如图2

利用刻度尺找到四条边的中点E，F，G，H；

顺次连接E，F，G，H；

四边形EFGH即为所作的菱形．

【解答问题】（1）方案设计正确的是________（写出序号即可）；（2）请选择一种正确的方案进行证明；（3）直接写出哪种方案构成的四边形面积大，且最大面积是多少．

26.综合与探究

定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”．

概念理解：

（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________．

A．平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．正方形

性质探究：（2）如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的结论：

①________；

②________；

问题解决：（3）如图2，以锐角△ABC的两边AB,AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE,EG（4）如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB,CD的中点．试探索BD与

参考答案与试题解析2025-2026学年甘肃省兰州市红古区九年级上学期10月期中数学试题一、选择题1.【答案】B【考点】此题暂无考点【解析】本题考查一元二次方程定义．根据题意利用一元二次方程一般形式即可得到本题答案．【解答】一元二次方程x2+2x−5=2.【答案】B【考点】矩形的性质利用菱形的性质证明正方形的性质【解析】本题考查了菱形、矩形、正方形的性质，根据菱形、矩形、正方形的性质逐项分析判断，即可求解．【解答】解：A．邻边相等：菱形和正方形满足，但矩形邻边不一定相等（仅正方形相等），本选项不符合题意．

B．对角相等：菱形、矩形、正方形均为平行四边形，对角均相等，本选项符合题意．

C．对角线互相垂直：菱形和正方形满足，但矩形对角线不一定垂直（仅正方形垂直），本选项不符合题意；

D．对角线相等：矩形和正方形满足，但菱形对角线不一定相等（仅正方形相等），本选项不符合题意．

综上，三者共同性质为对角相等，

故选B．3.【答案】D【考点】解一元二次方程-配方法【解析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【解答】解：∵x2−6x−9=0，

∴x2−6x=9，

4.【答案】C【考点】求某事件的频率【解析】本题考查求频率，直接利用频率公式进行计算即可．【解答】解：一共40个字母，字母“i”出现了4次，

∴P=440=5.【答案】C【考点】根据矩形的性质求线段长【解析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．先求出AC的长度，根据矩形的性质即可求解．【解答】解：由题意得：AC=4cm，

∵四边形ABCD为矩形，

∴BD=6.【答案】A【考点】已知式子的值，求代数式的值根与系数的关系【解析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟悉掌握根与系数的关系是解题的关键．

把x=m代入x2+3x−9=0可得到m2【解答】已知m，n是一元二次方程x2+3x−9=0的两个根，则m2+3m=7.【答案】C【考点】三角形内角和定理根据正方形的性质求角度【解析】由正方形的性质可得∠ACB=∠BAC=45∘，可得【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB=∠BAC=45∘，

∴∠1+∠BCP=45∘，

∵∠1=∠8.【答案】B【考点】一元二次方程的应用——增长率问题【解析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式．

根据题意可得出第二周的票房为8.98(1+【解答】增长率为x，则第二周的票房为8.98(1+x)，第三周的票房为8.98(1+x9.【答案】A【考点】等腰梯形的性质菱形的判定【解析】根据等腰梯形的性质及三角形中位线的性质可推出四边形EFGH为菱形，根据菱形的性质可求得其边长，再根据三角形中位线的性质即可求得梯形对角线AC的长度．【解答】解：连接BD

∵四边形ABCD是等腰梯形

∴AC=BD

∵各边的中点分别是E、F、G、H

∴HG=12AC=EF，EH=12BD=FG

∴HG=EH=EF=FG10.【答案】D【考点】此题暂无考点【解析】本题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“交换二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可．【解答】因为(m−2)x2−4x+1=0与(n+6)x2+3x+1=0是“交换二次方程”，

所以m−2=3n+611.【答案】D【考点】含30度角的直角三角形勾股定理的应用利用菱形的性质求线段长根据旋转的性质求解【解析】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．

由菱形的性质可得，A、B、C均在坐标轴上，再由直角三角形的性质可得OD=12【解答】解：根据菱形的对称性可得：当点D落在x轴正半轴上时，A、B、C均在坐标轴上，如图，

∵∠BAD=60∘,AD=4，

∴∠OAD=30∘，

∴OD=12AD=2，

∴AO二、填空题12.【答案】−【考点】一元二次方程的定义【解析】本题考查了一元二次方程的概念，注意一元二次方程ax2+bx+c=【解答】解：由题意可得：m2−7=2，且m−3≠013.【答案】①③【考点】添一个条件使四边形是菱形【解析】根据菱形和矩形的判定方法即可解题,见详解.【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形,

∴①AB=BC；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形,此项正确,

②AC=BD；根据对角线相等的平行四边形是矩形,此项错误,

③AC⊥BD；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,此项正确,

④AB⊥BC；根据有一个角是14.【答案】有两个不相等的实数根【考点】根的判别式定义新符号【解析】此题暂无解析【解答】解：∵2※x=1，

∴2x2−2x−2=15.【答案】10【考点】根据正方形的性质求面积【解析】本题考查了正方形的性质，等底等高的三角形面积相等等知识，掌握这些知识是解题的关键；连接BD,AE,AH，由正方形的性质得S△BHE=S△【解答】解：如图，连接BD,AE,AH，

∵四边形ABCD和DEFG是两个正方形，

∴AB // CD，DE // GF，DG=DE,AB=AD，

∴S三、解答题16.【答案】x1=【考点】解一元二次方程-配方法【解析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用配方法解一元二次方程成为解题的关键．

直接运用配方法求解即可．【解答】解：x2−4x−32=0，

x2−4x=17.【答案】见解析【考点】两直线平行内错角相等全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）根据正方形的性质证明【解析】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定定理是解题的关键．通过正方形的性质得出相关角和边的关系，再结合垂直的性质得到角的等量关系，最后利用全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，从而得出对应边相等．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90∘，

∵DE⊥AG，

∴∠AED=∠DEF=90∘，

∴∠ADE+∠DAE=90∘，

又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90∘，

∴∠ADE18.【答案】见解析；图见解析，点B到AD的距离是12013【考点】线段垂直平分线的性质作垂线(尺规作图)勾股定理的应用根据菱形的性质与判定求线段长【解析】（1）先运用尺规作出线段BD的垂直平分线，然后再作出OC=OA即可确定点（2）先根据题意作图，再由轴对称的性质、等角对等边可证明四边形ABCD是菱形可得AC⊥BD、OB=12BD=5、AD=【解答】（1）解：如图：点C即为所求．

（2）解：∵∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD，

∵C是点A关于BD的对称点，

∴CB=AB，CD=AD．

∴AB=BC=CD=AD．

∴四边形ABCD是菱形．又AB=13，BD=10，

∴AC⊥BD，OB=12BD=5，AD=19.【答案】当AB长度为15m时，矩形观众区的面积为【考点】一元二次方程的应用——几何图形面积问题【解析】本题考查一元二次方程的应用．

本题可先设出AB的长度，再根据矩形周长和面积公式列出方程，最后求解方程并结合墙长的限制条件确定AB的长度．【解答】解：设AB=x米，则BC=(40−2x)米，

根据题意得：x(40−2x)=150，

整理得：x2−20x+75=0，

解得：x20.【答案】见解析【考点】利用平行四边形的性质证明证明四边形是矩形【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．

先证明四边形BECF是平行四边形，再结合角平分线的定义可得到∠BEC【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB // DC，

∴∠AEB=∠CBE，∠DEC=∠BCE，∠ABC+∠BCD=180∘．

∵∠BCF=∠AEB，∠CBF=∠DEC，

∴∠BCF=∠CBE，∠CBF=∠BCE．

∴CF 21.【答案】4，−5【考点】通过对完全平方公式变形求值分式的化简求值二次根式的混合运算根与系数的关系【解析】（1）直接利用根与系数的关系求解即可；（2）m，n可看作方程x2−3x+1=【解答】（1）解：∵方程x2−4x−3=0的两个实数根为x1，x2，

（2）解：∵m2−3m+1=0，n2−3n+1=0，且m≠n，

∴m，22.【答案】120，30见解析1【考点】由样本所占百分比估计总体的数量画条形统计图条形统计图和扇形统计图信息关联列表法与树状图法【解析】（1）本题考查了样本容量，圆心角的计算，画条形统计图，频数的计算，利用画树状图或列表的方法求解随机事件的概率，样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解题的关键．

根据频数除以所占百分比等于样本容量，再计算A的占比即可;

(2)根据频数之和等于样本容量，确定C组的人数，完善统计图即可;

【解答】（1）解：根据题意，得18÷15%=120（人），

m%=36120=0.3=（2）喜欢豆沙月饼的人数为：120−36−12−（3）根据题意，画树状图如下：

一共有9种等可能结果，其中两位同学选择同一种月饼有3种可能结果，

P​甲23.【答案】见解析7，3【考点】根的判别式根据一元二次方程根的情况求参数正方形的判定【解析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系，运用根的判别式进行判定即可求解；（2）根据题意，当矩形ABCD是正方形时，AB=BC，即方程有两个相等的根，所以(m【解答】（1）解：证明：关于x的一元二次方程x2−(m−1)x+3（2）解：矩形ABCD的两条边AB,BC恰好是这个方程的两个根，

∵当矩形ABCD是正方形时，AB=BC，即方程有两个相等的根，

∴(m−7)2=0，

解得，m=7，

当m=7时，一元二次方程为：x2−624.【答案】每瓶醋应降价6元【考点】营销问题(一元二次方程的应用)【解析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．

设每瓶醋应降价x元，可使超市销售利润平均每天达到396元，根据题意，列出方程，即可求解．【解答】解：设每瓶醋应降价x元，可使超市销售利润平均每天达到396元，

根据题意得：(15−x)(20+4x)=396，

整理得：x2−10x+25.【答案】①②方案①，见解析方案①面积最大，最大面积为37.5【考点】线段垂直平分线的性质与三角形中位线有关的证明根据矩形的性质求线段长根据菱形的性质与判定求面积【解析】（1）根据四边相等的四边形是菱形，结合三角形中位线定理，判定两种方案都是正确的，解答即可；（2）根据四边相等的四边形是菱形，进行证明即可；（3）利用菱形的面积等于对角线乘积的一半和平行四边形的面积计算，比较大小即可．

本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，菱形的判定，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的判定和性质定理是解题的关键．【解答】（1）解：根据作图，四条边相等的四边形是菱形，可以判定，两种方案都是中正确的；

故答案为：①②；（2）解：方案1：四边形BEDF为菱形，理由如下：

由作法得：EF是BD的垂直平分线，

∴EF⊥BD,OB=OD,EB=ED,FB=FD，

∴∠BEO=∠DEO，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD // BC，

∴∠BFO=∠DEO，

∴∠BFO=∠BEO，

∴BF=BE，

∴BF=BE=ED=DF，

∴四边形BEDF为菱形，

方案2（3）解：方案1:∵四边形ABC