北京大学2025年强基计划物理专业未来发展趋势试题及答案

北京大学2025年强基计划物理专业未来发展趋势试题及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、试述惯性系和非惯性系在经典力学中的地位和作用。请以牛顿第二定律在不同参考系中的应用为例，说明非惯性系中如何引入惯性力，并分析其物理意义。二、一个质量为$m$的质点，在一个半径为$R$的水平圆形平台上做角速度为$\omega$的匀速圆周运动。质点与平台间的动摩擦因数为$\mu$。求质点所受的摩擦力大小，并分析当$\omega$增大到何值时，质点将开始沿半径方向运动。三、一束单色光从空气射入折射率为$n$的介质中，发生折射。请推导折射定律（斯涅尔定律），并说明折射率与光在介质中传播速度的关系。若光从空气以入射角$\theta_1$射入介质，求折射角$\theta_2$的表达式。四、简述黑体辐射定律的意义，并说明普朗克量子假设是如何解决经典物理学在解释黑体辐射中遇到的紫外灾难问题的。请简要解释能量量子化的概念。五、一个由自旋量子数为$s$的粒子组成的理想自旋系统，处于温度为$T$的热平衡状态。请推导该系统的平均磁矩表达式，并说明其物理意义。若粒子处于自旋向上和自旋向下的概率分别为多少？六、简述超导现象的主要特征，并解释BCS理论中电子配对的形成机制及其对超导特性的影响。请说明什么是“能隙”现象，并解释其对超导体的直流电阻的影响。七、已知中子的质量为$m_n$，质子的质量为$m_p$，氢原子基态能量为$E_1$。请估算氢原子核的结合能（即质子和中子结合成中子的能量）。并简要说明核结合能的概念及其对原子核稳定性的影响。八、简述宇宙微波背景辐射(CMB)的发现及其意义。请说明大爆炸核合成理论如何解释宇宙早期元素的形成，并简述其预言的轻元素丰度。九、简述量子计算的基本原理，并说明量子比特(qubit)与经典比特的区别。请举例说明一种量子算法（如量子傅里叶变换或Shor算法），并简述其相较于经典算法的优势。十、设想一种未来科技，例如基于弦理论或虫洞的星际旅行。请简述该科技的物理基础，并探讨其可能面临的挑战和局限性。试卷答案一、惯性系是牛顿运动定律成立的参考系，其中物体保持静止或匀速直线运动状态，不受外力作用时不受力。非惯性系是相对于惯性系做加速运动的参考系，牛顿运动定律在其中不直接成立。在非惯性系中，为了形式上保持牛顿第二定律的形式，需要引入惯性力。惯性力是一种假想力，其大小等于物体质量与非惯性系加速度的乘积，方向与加速度方向相反。惯性力的引入是为了在非惯性系中方便地分析物体的运动，它本身没有直接的物理来源，只是非惯性系中惯性效应的表现。例如，在以加速度$a$运动的非惯性系中，质量为$m$的物体，其受到的惯性力为$-ma$。在分析物体受力时，需要将惯性力也考虑在内，然后应用牛顿第二定律$F_{\text{合}}=ma$进行分析。二、质点做匀速圆周运动，所需的向心力由静摩擦力提供。向心力大小为$F_c=m\omega^2R$。最大静摩擦力为$F_{\text{fmax}}=\muN=\mumg$。当$F_c\leqF_{\text{fmax}}$时，质点做圆周运动。因此，质点所受的摩擦力大小为$F_f=m\omega^2R$，且需要满足$m\omega^2R\leq\mumg$。解得$\omega\leq\sqrt{\frac{\mug}{R}}$。当$\omega>\sqrt{\frac{\mug}{R}}$时，静摩擦力不足以提供所需的向心力，质点将沿半径方向运动，此时摩擦力达到最大值，为$\mumg$，方向指向圆心。三、根据费马原理，光线在两点之间传播的路径是光程取极值的路径。设光在空气和介质中的传播速度分别为$v_1$和$v_2$，折射率分别为$n_1=1$和$n_2$。光从空气射入介质，入射角为$\theta_1$，折射角为$\theta_2$。在$\theta_1$和$\theta_2$很小时，光程$L$可以近似表示为$L\approx(L_0+R\theta_1+R\theta_2)/v_2=L_0/v_1+R\theta_1/v_1+R\theta_2/v_2$，其中$L_0$为入射点与出射点在介质界面上的距离。对$L$求导并令导数为零，得到$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$，即斯涅尔定律。折射率$n$定义为光在真空中的速度$c$与光在介质中速度$v$之比，即$n=c/v$。四、黑体辐射定律描述了黑体在不同温度下辐射能量的分布规律。普朗克量子假设认为，电磁辐射的能量不是连续的，而是以一份份不连续的能量子（光子）的形式存在，每个光子的能量$E$与其频率$\nu$成正比，即$E=h\nu$，其中$h$为普朗克常数。这个假设成功地解释了黑体辐射的实验规律，特别是解决了经典物理学在紫外区域出现的“紫外灾难”问题。能量量子化是指能量不是连续变化的，而是以离散的数值跳跃式变化的，这个概念是量子力学的基石。五、单个自旋量子数为$s$的粒子，其自旋角动量在$z$方向的投影可以取$s\hbar,(s-1)\hbar,\ldots,-s\hbar$共$2s+1$个值。在热平衡状态下，根据玻尔兹曼分布，处于自旋态$m$的概率为$P_m=\exp(-E_m/kT)/Z$，其中$E_m$为自旋态$m$的能量，$k$为玻尔兹曼常数，$T$为温度，$Z$为配分函数。对于自旋系统，通常只考虑自旋向上$(m=s)$和自旋向下$(m=-s)$两个能级，其能量分别为$\pm\muB$，其中$\mu_B$为玻尔磁子，$B$为外部磁场。此时，配分函数$Z=\exp(\muB/kT)+\exp(-\muB/kT)=2\cosh(\muB/kT)$。平均磁矩$\bar{\mu}=\frac{\mu_B(\exp(\muB/kT)-\exp(-\muB/kT))}{2\cosh(\muB/kT)}=\mu_B\tanh(\muB/kT)$。其物理意义表示在磁场中，自旋系统平均指向磁场方向的程度。自旋向上和自旋向下的概率分别为$\cosh(\muB/kT)/2\cosh(\muB/kT)=\frac{1}{2}\tanh(\muB/kT)$和$\cosh(\muB/kT)/2\cosh(\muB/kT)=\frac{1}{2}\coth(\muB/kT)$。六、超导现象的主要特征是零电阻和完全抗磁性（迈斯纳效应）。BCS理论解释了常温下金属超导现象。该理论认为，在低温下，电子由于晶格的振动（声子）相互作用，会形成电子对（库珀对）。库珀对的两个电子自旋相反、动量近似相等，因此整体动量为零，可以在晶格中无阻力地移动，从而表现为零电阻。电子配对的形成机制是：一个电子与晶格振动相互作用，散射另一个电子，使得两个电子之间的有效吸引力大于库仑排斥力。能隙是指超导体体内电子能量分布中存在的能量区间，其中没有电子态存在。能隙的存在使得超导体在低于临界温度时，电子需要获得足够的能量才能跃迁到正常态，因此表现出零电阻。七、质子和中子的质量之和约为$m_p+m_n\approx1.674\times10^{-27}\text{kg}+1.675\times10^{-27}\text{kg}=3.349\times10^{-27}\text{kg}$。氢原子基态能量为$E_1\approx-13.6\text{eV}=-13.6\times1.602\times10^{-19}\text{J}\approx-2.18\times10^{-18}\text{J}$。核结合能可以通过质能方程$E=mc^2$进行估算。质子和中子结合成中子时，释放的能量为$\DeltaE=(m_p+m_n-m_{\alpha})c^2$，其中$m_{\alpha}$为氦核（由2个质子和2个中子组成）的质量，约为$6.644\times10^{-27}\text{kg}$。$\DeltaE\approx(3.349\times10^{-27}-6.644\times10^{-27})\times(3\times10^8)^2\approx2.2\times10^{-12}\text{J}=13.6\text{MeV}$。核结合能是指将原子核中所有核子（质子和中子）分离成自由状态所需的能量。核结合能越大，原子核越稳定。八、宇宙微波背景辐射(CMB)是宇宙大爆炸留下的“余晖”，在宇宙年龄约为38万年时，温度从极高下降到约3000K时，宇宙变得透明，当时的热辐射被释放出来，经过漫长的膨胀，今天已经冷却到约2.7K，遍布整个宇宙，且在空间上基本均匀。CMB的发现证实了大爆炸理论，并为研究宇宙早期演化提供了重要线索。大爆炸核合成理论解释了宇宙早期（从几分钟到几十分钟）元素的形成。在极高温高密度的早期宇宙中，质子和中子可以通过核反应形成轻元素，如氢、氦、锂等。该理论预言了宇宙中轻元素的丰度，与观测结果基本一致。九、量子计算的基本原理是利用量子比特(qubit)进行计算。量子比特可以处于0、1或两者的叠加态$|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$，其中$\alpha$和$\beta$是复数，满足$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$。量子比特的叠加和纠缠特性使得量子计算机可以并行处理大量信息，从而在某些问题上具有超越经典计算机的潜力。量子算法是利用量子力学的特性设计的算法，例如量子傅里叶变换可以高效地计算信号的频谱，Shor算法可以高效地进行大数分解，这些都是经典算法无法做到的。量子算法的优势在于其指数级的加速效果，可以显著提高某些问题的计算效率。十、基于弦理论的星