章末重点提分练-1

初中数学八年级上册XJ湖南专用章末重点提分练方法1过角平分线上的点向角两边作垂线构造等长线段方法专练与角平分线有关的辅助线的作法1.(2024长沙青竹湖湘一外国语学校月考改编)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=5,点D在CB的延长线上,点M在∠ABD的平分线上,连接DM,AM,AD,且DM=AM,则∠AMD的度数是___________.

60°

解析如图,过点M作MF⊥AB于点F,作MG⊥CD交CD的延长线于点G.因为∠ABC=60°,所以∠ABD=180°-∠ABC=120°.因为点M在∠ABD的平分线上,MF⊥AB,MG⊥CD,所以∠MBF=∠MBG=60°,MG=MF,所以∠FMB=∠GMB=30°,所以∠FMG=60°.在Rt△MGD和Rt△MFA中,

所以Rt△MGD≌Rt△MFA(斜边、直角边),所以∠DMG=∠AMF,所以∠AMF+∠FMD=∠DMG+∠FMD,即∠AMD=∠FMG=60°.方法2延长垂直于角平分线的线段构造全等三角形2.如图,△ABC的面积为8cm2,BP平分∠ABC,AP⊥BP于点P,则△PBC的面积为

(

)A.2cm2

B.3cm2

C.4cm2

D.5cm2

C启发与线索延长AP交BC于点D.方法3在角的一边截取等长线段构造全等三角形3.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,点E在线段AD上,∠ABE=2∠ACE,则AB

+BE______(填“>”“<”或“=”)AC.

=

解析如图,延长AB到点F,使BF=BE,连接FE,则∠F=∠BEF,所以∠ABE=∠F+∠BEF=2∠F.因为∠ABE=2∠ACE,所以2∠F=2∠ACE,所以∠F=∠ACE.因为AD是

∠BAC的平分线,所以∠FAE=∠CAE.在△AFE和△ACE中,

所以△AFE≌△ACE(角角边),所以AF=AC.因为AF=AB+BF=AB+BE,所以AB+BE=AC.4.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB,AD,CE相交于点O.(1)∠AOC的度数为____________;(2)求证:AC=AE+CD.

120°

解:(2)证明:如图,在AC上截取AF=AE,连接OF.因为AD平分∠BAC,所以∠EAO=∠FAO.在△AOE和△AOF中,

所以△AOE≌△AOF(边角边),所以∠AOE=∠AOF.由(1)得∠AOC=120°,所以∠AOF=∠AOE=180°-∠AOC=60°,所以∠COF=∠AOC-∠AOF=60°.因为∠COD=∠AOE=60°,所以∠COF=∠COD.因为CE平分∠ACB,所以∠FCO=∠DCO.在△COF和△COD中,所以△COF≌△COD(角边角),所以CF=CD,所以AC=AF+CF=AE+CD.方法4过角平分线上的点作平行线构造等腰三角形5.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD=AB,CM⊥AD,交AD的延长线于点M,请你猜

想AB+AC与AM之间的数量关系,并说明理由.

解:AB+AC=2AM.理由如下:如图,过点C作CE∥AB,CE与AM的延长线交于点E,则∠ECD=∠B,∠E=∠BAD.因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD,所以∠E=∠CAD,所以AC=EC.因为CM⊥AD,所以AM=ME,即AE=2AM.因为AD=AB,所以∠B=∠ADB.因为∠EDC=∠ADB,∠ECD=∠B,所以∠ECD=∠EDC,所以ED=EC,所以AB+AC=AB+CE=AD+ED=AE,所以AB+AC=2AM.思想1转化思想思想巧练1.如图,在等边三角形ABC中,D是BC的中点,DE⊥AC于点E,EF⊥AB于点F,已知BC

=16,则AF的长为_________.

6

解析因为△ABC是等边三角形,所以∠C=∠BAC=60°,AC=AB=BC=16.因为DE⊥AC,所以∠CDE=90°-∠C=30°,所以CE=

CD.因为D是BC的中点,所以AD平分∠BAC,所以∠CAD=30°,所以CD=

BC,所以CE=

BC=

AC,所以AE=

AC.因为EF⊥AB,所以∠AEF=90°-∠EAF=30°,所以AF=

AE=

AC=

×16=16.2.图1是一款竹木材质的二宫格托盘,从内部测得每个格子的底面均是边长为8cm

的正方形,且深为4cm,两个格子之间的隔断厚度为1cm.图2是该托盘从上面看到

的形状图,一只蚂蚁从该托盘内部底面的顶点A处,经托盘隔断爬行到内部底面顶

点B处,则蚂蚁爬行的最短距离为_________cm.图1图2解析如图,把包含A,B两点的两个格子及两个格子之间的隔断展开成一个平面

图形,此时,蚂蚁爬行的最短距离为线段AB的长度,由勾股定理得AB=

=

=

(cm).

思想2分类讨论思想3.如图,OP是∠AOB的平分线,C为OP上一点,CE⊥OB于点E,OE=7,FE=3,在射线

OA上有一动点Q,则当CQ=CF时,OQ的长度为

(

)A.3

B.4C.3或4

D.4或10D启发与线索过点C作CD⊥AO于点D,当CQ=CF时,点Q的位置共有两种情况:①点Q位于OD之间;②点Q位于射线DA上.4.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,且AB=2,BC=4,P为斜边AC上一点,连接BP.若△ABP是以AB为腰的等腰三角形,则AP的长为___________.

2或 

解析因为∠ABC=90°,且AB=2,BC=4,所以AC=

=

=2

.△ABP是以AB为腰的等腰三角形可以分两种情况:①当AB=AP时,AP=AB=2.②当AB=PB

时,如图,过点B作BD⊥AC于点D,则AD=PD=

AP,∠ADB=90°.因为S△ABC=

AC·BD=

AB·BC,所以

×2

×BD=

×2×4,所以BD=

,所以AD=

=

=

,所以AP=2AD=

.综上,AP的长为2或

.5.(新趋势·新定义)我们规定:到三角形两边距离相等的点叫作三角形的准内心.(1)如图,在△ABC中,AC=BC=13,AB=10,△ABC的准内心P在AB上,则点P到AC边的

距离PD=_________;(2)已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点P是△ABC的准内心(不包括顶

点),且点P在△ABC的边上,则CP的长为_____________.

 或 或3

启发与线索根据“到三角形两边距离相等的点叫作三角形的准内心”可知,准

内心一定在角平分线上.第(2)小问可分为点P在边AB,AC,BC上这三种情况进行讨

论,利用三角形面积求解.思想3方程思想6.(易错)(2024湖南师大附中梅溪湖中学期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的

垂直平分线交BC于点D,交AB于点E,连接AD,∠CAD∶∠DAB=2∶5,则∠ADC的

度数为___________.

75°

7.如图,在三角形纸片ABC中,∠BAC=90°,AB=4,AC=6,将纸片沿AD和EF折叠,使点

B和点C都落在边BC上的点P处,则EC的长是_________.实练1名校名卷练真题实练1.(2024岳阳期末)一名技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如

图,已知∠ACB=90°,D为边AB的中点,点A,B对应的刻度分别为1,7,则CD=

(

)

BA.3.5cm

B.3cm

C.4.5cm

D.6cm2.(2025衡阳期末)已知a,b,c为△ABC的三边长,则下列条件中,不能判定△ABC是

直角三角形的是

(

)A.∠A+∠B=∠CB.a=6,b=8,c=10C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5D.b2=a2-c2

C3.(2024怀化雅礼实验学校期末)如图,在△ABC中,∠A的平分线交BC于点D,过点D

作DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F.下面四个结论:①∠AEF=∠AFE;②AD垂直平

分EF;③

=

;④EF∥BC,其中一定正确的是

(

)

A.①②③

B.①③④AC.①②④

D.②③④解析因为∠A的平分线交BC于点D,DE⊥AC,DF⊥AB,所以DE=DF,所以∠DEF=

∠DFE,又因为∠AED=∠AFD=90°,所以∠AEF=∠AFE,①正确;由①可知∠AEF=

∠AFE,所以AE=AF,又因为DE=DF,所以AD垂直平分EF,②正确;

=

=

,③正确;因为∠AEF不一定等于∠C,所以EF与BC不一定平行,④不一定正确.故选A.4.(2024长沙宁乡市期末)如图,O是直线BC上一点,∠AOB=30°,OP平分∠AOC,PM

∥BC,PM交AO于点M,PM=10cm,PD⊥BC于点D,则PD=_________cm.

5

启发与线索过点P作PE⊥OM于点E.5.(新趋势·传统文化)(2025永州祁阳市期末改编)如图,我国汉代数学家赵爽在注解

《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正

方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD,连接AC,交BE于点P,交DG于点M.若大正

方形ABCD的面积为28,AE+BE=7,则△CFP与△AEP的面积差是_________.

解析因为大正方形ABCD的面积为28,所以AB2=28.设AE=x,则BF=x,BE=7-x.在Rt△AEB中,由勾股定理得AE2+BE2=AB2,所以x2+(7-x)2=28,即2x2-14x=-21.由题意得AH⊥BE,BE⊥CF,所以AH∥CF,所以∠EAP=∠GCM.由题意得AE=CG,∠AEP=∠CGM.在△AEP和△CGM中,

所以△AEP≌△CGM(角边角),所以S△AEP=S△CGM,PE=MG.由题意得EF⊥FG,FG⊥HG,所以EF∥HG,所以四边形FPMG是梯形,所以S△CFP-S△AEP=S△CFP-S△CGM=S梯形FPMG=

(MG+PF)·FG=

EF·FG=

S正方形EFGH.因为S正方形EFGH=S正方形ABCD-4S△AEB=28-4×x(7-x)=2x2-14x+28=-21+28=7,所以△CFP与△AEP的面积差为 .6.(2024长沙青竹湖湘一外国语学校期末)如图,AD平分∠BAC,DE⊥AB交AB的延

长线于点E,且BD=CD.(1)求证:∠ABD+∠C=180°;(2)若AB=8,AC=10,求AE的长.

解:如图,作DF⊥AC于点F,则∠AFD=∠CFD=90°.(1)证明:因为AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,所以DE=DF.在Rt△DBE和Rt△DCF中,

所以Rt△DBE≌Rt△DCF(斜边、直角边),所以∠DBE=∠C.因为∠ABD+∠DBE=180°,所以∠ABD+∠C=180°.(2)在Rt△ADE和Rt△ADF中,

所以Rt△ADE≌Rt△ADF(斜边、直角边),所以AE=AF,所以AB+BE=AC-CF.由(1)知Rt△DBE≌Rt△DCF,所以BE=CF.因为AB=8,AC=10,所以8+BE=10-BE,解得BE=1,所以AE=AB+BE=8+1=9.7.(2024长沙期中)在△ABC中,AB=AC=5.

图1图2(1)如图1,BC=6,点M,N分别在BC,AC上,将△ABC沿MN折叠,使得点C与点A重合,求

折痕MN的长;(2)如图2,点D在BC的延长线上,且BC∶CD=2∶3,若AD=10,求证:△ABD是直角三角形.解:(1)如图,过点A作AD⊥BC于点D.因为AB=AC=5,所以△ABC是等腰三角形,所以D为BC的中点.因为BC=6,所以BD=CD=3,所以AD=

=4.由折叠的性质可知,AM=CM,AN=

AC=

,∠ANM=90°.设AM=CM=x,所以MD=x-3.因为AD2+MD2=AM2,所以42+(x-3)2=x2,解得x=

,所以MN=

=

=

.(2)证明:如图,过点A作AE⊥BC于点E.

因为AB=AC,所以△ABC是等腰三角形,所以E为BC的中点,所以BE=CE=

BC.因为BC∶CD=2∶3,所以设BC=2t,CD=3t,则BE=CE=t,所以ED=CE+CD=4t.由勾股定理可得,AB2-BE2=AE2,AD2-ED2=AE2.因为AB=5,AD=10,所以52-t2=102-(4t)2,解得t=

(负值舍去),所以BD=5

.因为AB2+AD2=52+102=125=(5

)2=BD2,所以△ABD是直角三角形.实练2中考真题练8.(2023浙江衢州中考)脊柱侧弯的检测示意图如图所示,在体检时,为方便测出Cobb角∠O的大小,需将∠O转化为与它相等的角,则图中与∠O相等的角是

(

)

BA.∠BEA

B.∠DEB

C.∠ECA

D.∠ADO9.(2024湖南中考)如图,在锐角三角形ABC中,AD是边BC上的高,在BA,BC上分别截

取线段BE,BF,使BE=BF;分别以点E,F为圆心,大于

EF的长为半径画弧,在∠ABC内,两弧交于点P,作射线BP,交AD于点M,过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2,AD=4MD,则AM=_________.

6

10.(2024陕西中考)如图,在△ABC中,AB=AC,E是边AB上一点,连接CE,在BC的右侧

作BF∥AC,且BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC的面积为__________.

60

解析因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.因为B