拓展专题01 直线与圆中对称问题的十四大题型14考点43题（高效培优期中专项训练）（原卷版）高二数学上学期北师大版

2/9拓展专题01直线与圆中对称问题的十四大题型考点01点关于点对称(共2小题) 3考点02点关于直线对称（共4小题）（重点） 3考点03直线关于点对称(共3小题)（重点） 3考点04直线关于直线对称（共4小题）（重点） 4考点05圆关于点对称(共3小题)（常考点） 4考点06圆关于直线对称(共3小题）（常考点） 4考点07圆的自对称性(共5小题)（常考点） 5考点08曲线关于点、直线的对称（共2小题）（难点） 5考点09光的反射问题(共4小题) 5考点10对称点的存在性问题(共4小题) 6考点11利用对称求距离之和的最值（共2小题）（难点） 7考点12利用对称求距离之差的最值（共2小题）（难点） 7考点13对称性的实际应用(共3小题)（难点） 7考点14与对称性有关的新定义题(共2小题)（难点） 8【重要方法及结论】1．点关于点的对称求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解.设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0).2．直线关于点的对称求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤：(1)由平行直线系设出直线l'的方程；(2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)；(3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程.3．两点关于某直线对称设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y).(1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则.(2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则.(3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y).则，由此可求出B(x,y).(4)几种特殊位置的对称：点对称轴对称点坐标P(a,b)x轴(a,-b)y轴(-a,b)y=x(b,a)y=-x(-b,-a)x=m(m≠0)(2m-a,b)y=n(n≠0)(a,2n-b)4．直线关于直线对称(1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2.(2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2.5.与圆有关的对称问题(1)若两圆关于某点对称，则这两圆的圆心关于该点对称，半径相等；(2)若两圆关于某直线对称，则这两圆的圆心关于该直线对称，半径相等；(3)任意一个圆关于它的任一条直径所在直线对称；(4)任意两个圆关于它们的连心线所在直线对称;(5)任意两个等圆关于它们连心线的垂直平分线对称.考点01点关于点对称(共2小题)1．（24-25高二上·北京·期中）点与点的对称中心是（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段练习）点关于点的对称点的坐标是（

）A． B． C． D．考点02点关于直线对称（共4小题）（重点）3．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线：，则点关于对称的点的坐标为（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·广东·期中）若点和点关于直线对称，则．6．（24-25高二上·广东广州·期中）已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为.考点03直线关于点对称(共3小题)（重点）7．（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（

）A． B． C． D．8．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（

）A． B． C． D．9．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知直线关于对称的直线与圆相离，则（

）A． B． C． D．或考点04直线关于直线对称（共4小题）（重点）10．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（

）A． B． C． D．11．（23-24高二上·海南海口·期中）下列说法正确的是（

）A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4B．点关于直线的对称点为C．直线关于直线的对称直线的方程为D．直线关于点的对称直线的方程为12．（24-25高二上·四川凉山·期末）设点，若直线关于轴对称的直线与圆相切，则的值为（

）A． B．0 C． D．113．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，所在直线方程为.求(1)点的坐标；(2)直线关于直线对称的直线方程.考点05圆关于点对称(共3小题)（常考点）14．（2024高二·广东·期中）圆关于原点对称的圆的方程为（

）A． B．C． D．15．（24-25高二上·广东深圳·期中）若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（

）A．1 B． C．2 D．16．圆关于点对称的圆的方程是.考点06圆关于直线对称(共3小题）（常考点）17．（25-26高二上·河南·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程为（）A． B．C． D．18．（24-25高二上·重庆长寿·期末）圆关于直线对称，则实数（

）A． B．4 C．或4 D．2或19．若圆与圆关于直线对称，则直线的方程为.考点07圆的自对称性(共5小题)（常考点）20．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，则实数（

）A． B．1 C． D．221．（24-25高二上·广东东莞·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B． C．1 D．022．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是．23．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，为圆C上一点，则的最大值为．24．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，且在圆上.(1)求圆C的标准方程；(2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.考点08曲线关于点、直线的对称（共2小题）（难点）25．（24-25高二上·上海·阶段练习）以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（

）．A． B．C． D．26．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．考点09光的反射问题(共4小题)27．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（）A． B．C． D．28．（2025高三·全国·专题练习）在等腰直角中，是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则等于（

）A．2 B．1 C． D．29．（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知射线，，半圆，现从点向轴上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．30．（24-25高三上·全国·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点.现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．考点10对称点的存在性问题(共4小题)31．（24-25高二上·陕西安康·期中）若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（

）A．1 B． C．2 D．32．已知直线，若圆上存在两点关于直线对称，则的值为（

）A． B． C． D．533．已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（

）A．5 B． C． D．2034．（23-24高二上·安徽·期末）已知圆：及圆：，若存在点P，使得，关于点P对称，则，的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．外切 D．内切考点11利用对称求距离之和的最值（共2小题）（难点）35．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，点C的坐标为（），则的最小值是（

）A．6 B． C． D．536．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，当动点在直线上运动时，的最小值为（

）A．8 B．7 C．6 D．5考点12利用对称求距离之差的最值（共2小题）（难点）37．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为38．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）已知直线和点．(1)在直线l上求一点P，使的值最小；(2)在直线l上求一点P，使的值最大；(3)若点B的坐标变为，再分别求（1），（2）问中的结果．考点13对称性的实际应用(共3小题)（难点）39．（24-25高二上·广西南宁·期中）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B． C． D．40．（24-25高一上·全国·课后作业）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品都体现了数学中的对称美，如图所示的剪纸是一幅中心对称图形，以中心对称点为坐标原点将其放入平面直角坐标系中，若图中点坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，其关于坐标原点对称的点的坐标为，则．41．（多选）（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在点平行于地面发出一条射线，与的夹角为，在中点处有一个感应器（体积忽略不计），已知，，则下列说法正确的是（

）A．若，射线经过一次反射就被感应器捕捉到，则B．若，射线第一个反射点在边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到C．无论长度如何变化，必定存在使得射线反射两次就可以被感应器捕捉到D．存在，使得射线依次经过，，三个面的反射后能被感应器捕捉到考点14与对称性有关的新定义题(共2小题)（难点）42.（多选）（2025·安徽池州·二模）定义：既有对称中心又有对称轴的曲线称为“和美曲线”，“和美曲线”与其对称轴的交点叫做“和美曲线”的顶