拓展专题03 直线与圆中的十二大最值与范围问题12大考点46题（高效培优期中专项训练）（解析版）高二数学上学期北师大版

PAGE拓展专题03直线与圆中的十二大最值与范围问题考点01倾斜角的最值与范围(共4小题)（常考点） 1考点02斜率的最值与范围（共4小题）（重点） 4考点03斜率型最值与范围(共5小题)（重点） 6考点04两点间距离型最值与范围(共4小题)（重点） 10考点05距离之和或之差的的最值与范围(共3小题)（重点） 12考点06点到直线间距离型最值与范围（共4小题）（重点） 14考点07弦长最值与范围(共3小题)（重点） 16考点08切线长最值与范围（共3小题）（难点） 18考点9角度最值与范围（共3小题） 20考点10周长最值与范围（共4小题）（常考点） 22考点11面积最值与范围（共5小题）（难点） 25考点12参数最值与范围（共4小题）（重点） 29考点01倾斜角的最值与范围(共4小题)1．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）设直线的倾斜角为，斜率为.若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】由直线的斜率与倾斜角的关系，得.因为，即，又，所以的取值范围是，故选：C.2．（24-25高二上·江苏南京·期中）设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】按是否为0分类讨论，求出斜率的取值范围，进而求出倾斜角的范围.【详解】当时，直线的斜率不存在，则直线的倾斜角，当时，直线的斜率，当，即时，则；当，即时，，所以直线的倾斜角的范围为.故选：C3．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.【详解】

设直线的倾斜角为，，当直线的斜率不存在时，，符合，当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，因为点，，，则，，因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以，因为，又，所以，所以直线的倾斜角范围为.故选：B.4．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）若点，点为曲线：上一点，则直线的倾斜角取值范围是（

）A． B．C． D．以上三项都不对【答案】D【分析】由题意可画出曲线的图象，然后对点在图象上的运动情况分情况讨论，求出相应的的斜率，从而可求得相应的倾斜角范围，即可求解.【详解】由题意可得对于曲线：，当，时，曲线：，当，时，曲线：，当，时，曲线：，当，时，曲线：，可画出下图，，，，，，当点位于点处时，此时，则倾斜角为；当点在正方形（不包含点）上运动时，此时，则倾斜角；当点在上运动时，此时，倾斜角；综上所述：直线的倾斜角取值范围为，故A、B、C错误，D正确.故选：D.

考点02斜率的最值与范围（共4小题）5．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知点，，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由直线方程易得直线过定点，结合图形进行求解即可.【详解】直线过定点，而，，由图可知，要使直线与线段AB相交，则或，即k的取值范围是.故选：B.6．（2025·安徽马鞍山·一模）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直线方程可判断直线的斜率和经过的定点，结合题意作图，需使成立，解之即得.【详解】由可知直线的斜率为，且经过定点，由点，可得直线的斜率分别为：，作图如下，由图知，要使直线与线段没有公共点，需使，解得.故选：C.7．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案.【详解】由题意作图如下：设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，由图可知，由，，，则，，所以.故选：B.8．（24-25高二上·四川达州·期末）过点的直线与曲线有交点，则直线的斜率范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先得到表示的圆心为，半径为1的圆，位于轴上方的部分（含轴上的两点），画出图形，得到特殊位置的斜率，得到答案.【详解】，两边平方得，即，故表示的圆心为，半径为1的圆，位于轴上方的部分（含轴上的两点），如图所示，设，连接，并过点作半圆的切线，切点为，其中，故，设切线为，即，圆心到直线的距离为1，即，即，解得或，由图形可知，切线斜率大于1，故舍去，所以直线的斜率范围为.故选：C考点03斜率型最值与范围(共5小题)9．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将问题转化为圆上的点与点连线的斜率的取值范围的求解，根据直线与圆的位置关系可求得切线斜率，进而得到结果.【详解】由圆的方程知：圆心，半径，，的几何意义是圆上的点与点连线的斜率，设过点的圆的切线方程为：，即，圆心到切线的距离，解得：，，.故选：C.10．（24-25高二上·山西·阶段练习）已知点在曲线C：上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意得曲线C是半圆，借助已知动点在半圆上动，所求式子，为半圆上动点P与点C（0，1）连线斜率，数形结合即可求解．【详解】解：因为，即，所以，其中由题意作出图形：而，令，则可看作半圆上的动点到点的连线的斜率，由题意可得当直线与半圆相切时斜率最大，如图直线与半圆相切，在直角三角形中，，由图形知，的取值范围是.则的取值范围是．故选：D．11．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知实数满足，则的最大值为.【答案】【分析】依题意可得，从而得到点在圆上，再由表示点与点连线的斜率，结合图象及直线与圆的位置关系求出的最值，即可得解.【详解】因为，所以，所以点在圆上，其中圆心为，半径为，又，其中表示点与点连线的斜率，又，所以点在圆外，由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，设过点的直线的方程为，即，则，解得或，即的最大值为，最小值为，所以的最大值为.故答案为：12．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知实数x，y满足，则的最大值为（

）A．3 B． C．2 D．1【答案】D【分析】分析给定方程的曲线性质并画出图象，再由目标函数的几何意义，结合直线与圆的位置关系求出最大值.【详解】在方程中，用换方程不变，用换方程不变，因此曲线关于x轴和y轴对称，当，时，方程为，即，方程表示的曲线如图（含原点）：令，则表示过点的直线（不含点），观察图知，当直线与曲线在第四象限部分半圆（圆心为，半径为）相切时，斜率最大，由圆心到直线的距离为得，，而，解得，所以的最大值为故选：D13．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知实数满足，且，则的最小值为.【答案】【分析】为线段上的点与点的连线的斜率，画出相应图形，易得即为的最小值，计算即可得.【详解】为线段（如图中的）上的点与点的连线的斜率，如图，当点在点时，取最小，此时，则，即的最小值为.

故答案为：.考点04两点间距离型最值与范围(共4小题)14．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】先分析出直线过定点，然后分析出定点在圆外，从而得到最大值为圆心距加半径.【详解】由，得，所以直线过定点，由，知圆心坐标，半径为2，所以到圆心的距离为，所以在圆外，故的最大值为.故选：C.15．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案.【详解】由题意知实数满足，则，故点在直线上，点在直线上，而表示点和点之间的距离的平方，故的最小值为两平行线和间距离的平方，最小值为，故选：B16．（24-25高二上·重庆长寿·期末）已知点是圆上任意一点，则的最大值为（

）A．5 B．6 C．25 D．36【答案】D【分析】根据给定条件，利用目标函数的几何意义，结合圆上的点与定点距离的最大值求解即可.【详解】圆的圆心，半径，目标函数表示圆上的点与定点距离的平方，而，所以的最大值为36.故选：D17．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（）A．＋2，－2 B．＋2，C．，－2 D．，【答案】C【分析】由题意可得曲线表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，表示半圆上的动点与点的距离，作出图象，结合图象求解即可．【详解】由，可知，，且有，表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，如图所示：

又因为表示半圆上的动点与点的距离，又因为，所以的最小值为，当动点与图中点重合时，取最大值，故选：C．考点05距离之和或之差的的最值与范围(共3小题)18．已知圆，圆，、分别是圆、上动点，是轴上动点，则的最大值是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】要使的最大，需尽可能大，尽可能小，∴连接、，让两直线与两圆的交点，离尽可能远，离尽可能近，如下图示：

在△中最大即可，令，关于轴的对称点为，∴最大，故共线时的最大值为，∴的最大值为.故选：D19.（25-26高三上·辽宁·阶段练习）已知、，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】记点、、、，，可得出，数形结合可得出所求代数式的最小值.【详解】记点、、、，，如下图所示：易知四边形是边长为的正方形，所以，，，，所以，当且仅当点在线段上时，等号成立，，当且仅当点在线段上时，等号成立，所以，当且仅当点为线段、的交点时，等号成立，故的最小值为.故选：C.20．（24-25高二上·广东·期中）已知圆，直线，为圆上一动点，为直线上一动点，定点，则的最小值为.【答案】11【分析】先设C的对称点根据斜率关系及中点在对称直线上求出点,再根据数形结合得出距离和最小最后应用两点间距离公式计算即可.【详解】设圆心关于对称的点为，则解得即，连接，，所以，所以当三点共线时距离和最小为，故的最小值为.故答案为：11.考点06点到直线间距离型最值与范围（共4小题）21．已知点，点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（

）A．2 B．4 C．3 D．5【答案】D【详解】由题设在以为圆心，为半径的圆上，又的直线的距离，则，当且仅当时取等号，所以点P到直线的距离最大值为5.故选：D22．已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（）A． B．9 C．6 D．3【答案】A【详解】由点，，得，直线：，即，因为圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，因此点到直线距离的最小值，所以△PAB面积的最小值为.故选：A.23．动点在圆上运动，则点到轴的最近距离是.【答案】2【详解】由题设，故圆心且半径为，所以动点到轴的最近距离是.故答案为：224．（25-26高二上·全国·单元测试）已知实数x，y满足方程，则的最大值为，的取值范围是．【答案】【分析】可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆，表示该圆上的点与原点的连线的斜率，表示圆上的点到直线的距离，从而由直线与圆的位置关系即可求解.【详解】方法一

可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆．设，则直线与圆有公共点（将所求问题转化为直线与圆有公共点进行求解是解题的关键），所以，解得，所以的最大值为．表示圆上的点到直线的距离，因为圆心到直线的距离为，所以，即．方法二

可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆，所以可以看作是圆：上一点与原点连线的斜率，如图所示，OA，OB与圆分别相切于A，B，所以，连接MA，OM，所以，所以，所以圆上一点与原点连线的斜率的最大值为．设所以且，所以．

故答案为：，.考点07弦长最值与范围(共3小题)25．（23-24高二上·重庆·期末）已知圆的方程为，则该圆中过点的最短弦的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用几何法求弦长.【详解】如图：，所以圆心，半径

由图可知，当弦时，弦长最短.此时，中，，，所以：.所以弦长.故选：D26．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）直线（其中）被圆所截得的最短弦长等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直线过定点，根据圆的几何性质当定点与圆心连线垂直直线时，直线截得弦最短即可得解.【详解】因为可化为，所以直线恒过定点，由圆知圆心，半径，由圆的几何性质知，当与直线垂直时，直线被圆所截得弦最短，此时弦长为,故选：B27．在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（

）A．6 B．8 C．12 D．24【答案】C【分析】根据题意，可先判断点在圆的内部，可知最长弦为圆的直径，此时最长弦的弦长为，最短弦为过且与最长弦垂直的弦，此时最短弦的弦长为，再根据对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半，即可求得答案.【详解】依题意，把圆的方程化为标准方程是，则圆心，半径，点与圆心的距离，则点在圆内，如图：

则过点及圆心的直线与圆相交，可得最长弦为圆的直径，即，当时，最短，可得过点的最短的弦长，所以四边形的面积.故选：C.考点08切线长最值与范围（共3小题）28．已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，求得圆心的轨迹方程为圆，得到圆上到点的最大距离为，结合圆的切线长公式，即可求解.【详解】设圆的圆心坐标为，因为圆的半径为，且过点，可得，即，即圆心的轨迹表示以为圆心，半径为1的圆，可得，则圆上的点到点的最大距离为，又由切线长公式，可得切线长的最大值为.故选：A.29．已知圆，点是直线上的点，则（）A．圆上有两个点到直线的距离为2B．圆上不存在点到直线的距离为2C．从点向圆引切线，切线长的最小值为D．从点向圆引切线，切线长的最小值是【答案】C【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径.圆心到直线的距离，所以A不正确，B不正确.从点向圆引一条切线，设切点为，连接，则，则，当时，取得最小值，此时取得最小值，即，故C正确，D不正确.故选：C.30．（24-25高二上·江苏常州·期末）动点是两直线与的交点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为.【答案】【分析】首先根据，转化，再根据三角形的面积公式，转化为动点与定点距离的最值问题，再根据两直线的位置关系与定点，确定点的轨迹方程，即可求解.【详解】圆的几何性质可知，，四边形的面积为，，所以直线，过定点，直线过定点，且两直线的系数满足，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心是，半径为，所以的最大值为，所以的最大值为.故答案为：.考点9角度最值与范围（共3小题）31．已知点P，Q是圆O：上的两个动点，点A在直线l：上，若的最大值为90°，则点A的坐标是（

）A． B．或 C． D．【答案】B【分析】根据点A在直线l：上，设点A坐标为，然后由AP､AQ均为圆切线时求解.【详解】设点A坐标为，当AP､AQ均为圆切线时，此时四边形PAQO为正方形，则，即，解得或，所以或.故选：B32．（2025·全国·模拟预测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由圆的方程求出圆心的坐标和半径，由切线性质可得，由此可得，，设，根据两点距离公式结合二次函数性质求的最小值，由此可得结论.【详解】圆的圆心的坐标为，半径为，因为，为圆的切线，切点分别为，所以，，，，所以，所以，，设，则，当时，，此时最大，又，函数在上单调递增，所以当时，即时，最大，此时最大，最小，则．故选：D．

33．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为.【答案】【分析】先根据题意求出点的轨迹，然后再用点的坐标表示，然后建立方程组，求解即可.【详解】设，，所以有，因为点在圆上，所以有，显然，得，故联立，得，由题可知方程有解，得，解得.因为，所以的最大值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题求点轨迹时用相关点法；可以数形结合易知为直线斜率.考点10周长最值与范围（共4小题）34．（24-25高二上·上海奉贤·期中）已知点，在轴和直线上各取一点、，则的周长最小值为．【答案】【分析】作出图形，数形结合，由两点间距离公式求解即可；【详解】作点关于轴的对称点，和关于直线的对称点，连接交轴于点，交直线于点，此时的周长最小值，最小值为，故答案为：.35．已知点及直线，为轴上的动点，为上的动点，则△的周长最小值为.【答案】【分析】、与A分别关于y轴、直线l对称，则△的周长，求出对称点，再由两点距离公式即可求最小值【详解】由题，、与A分别关于y轴、直线l对称，则△的周长，为，设，则，即，解得，故，即△的周长最小值为.故答案为：36．已知点在直线上，点，则当的周长取得最小值时，点的坐标为.【答案】【分析】因为为定值，所以当的周长取得最小值时，即取得最小，转化为“将军饮马”问题，即可求解.【详解】解：因为为定值，所以当的周长取得最小值时，即取得最小，设点关于直线的对称点为，连接交直线于点，此时取得最小，如图所示：则，解得，得，因为点，故所求点.故答案为：37．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知的三个顶点分别是，，(1)求边AC的高BH所在直线方程；(2)已知M为AB中点，试在直线CM上求一点P，在x轴上求一点Q，使的周长最小，并求最小值.【答案】(1)(2)当时，的周长最小，最小值为.【分析】（1）求出边AC的高BH的斜率，再由点斜式方程即可得出答案.（2）先求出直线CM的方程，如图，作出关于直线CM的对称点，作出关于轴的对称点，则连结，交直线CM于，交轴于，则的周长的最小值等于，最后求出直线的方程，即可求出点Q.【详解】（1）因为，，所以，所以边AC的高BH的斜率为，又因为直线BH过点，所以BH所在直线方程为：，化简可得：.所以BH所在直线方程为.（2）因为M为AB中点，所以，，直线CM的方程为：，化简可得：，如图，作出关于直线的对称点，则，解得：，所以，作出关于轴的对称点，连结，交直线CM于，交轴于，，，三角形的周长为线段的长，由两点间线段最短得此时的周长最小，的周长最小时，最小值为：，此时直线的斜率为，直线的方程为：，化简可得：，令，所以，所以，令，所以,所以,所以当时，的周长最小，最小值为.考点11面积最值与范围（共5小题）38．已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为(

)A． B． C．5 D．10【答案】C【分析】先求定点，然后判断两个直线的位置关系，然后计算面积，利用基本不等式判断即可.【详解】由题可知，,直线，所以,，所以，所以的面积为，当且仅当时等号成立.故选：C39．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知平面内两定点，动点满足，面积的最大值为（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【分析】根据两点间的距离公式列式，化简得到点P的轨迹方程，然后根据三角形的面积公式求解即可.【详解】由题意可得：化简得：所以点P的轨迹方程为圆半径为3，圆心为在直线上，又故选：D40．（24-25高二上·安徽·期末）已知是圆上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则四边形的外接圆的面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意知四边形的外接圆的直径为，设圆的圆心为,半径为，则，进而可求四边形的外接圆的面积的最大值.【详解】圆，即为，圆心，圆即为，设圆心为,半径为，则，，因为是圆上一动点，所以.因为为四边形的外接圆的直径.所以四边形的外接圆的面积的最大值为.故选：B.41．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆，圆，两圆交于，两点，则面积的最小值为．【答案】/【分析】由圆的方程求两圆的圆心坐标及半径，证明两圆相交，求两圆的公共弦方程，再求面积的的解析式，令，可得，判断函数的单调性，结合单调性求最小值.【详解】圆的圆心的坐标为，半径，圆的圆心的坐标为，半径，所以，，，，故，所以圆与圆相交，将方程与方程相减可得，所以直线的方程为，因为到直线的距离，所以，又到直线的距离，所以面积，令，则，，所以，，设，，因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在上单调递增，所以，当且仅当时取等号，所以当时，函数取最小值，故当时，取最小值，所以当，即时，面积取最小值.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于先求出公共弦的方程，结合弦长公式点到直线的距离公式求出的面积的表达式，再结合换元法，结合函数单调性求最值.42．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线(1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围；(2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值.【答案】(1)或(2)4【分析】（1）首先通过联立直线方程求出交点坐标，然后根据交点在线段上这一条件得到关于的不等式，通过对不等式进行变形求解得出的取值范围.（2）通过联立直线方程求出交点坐标，进而确定三角形相关顶点坐标，得出三角形面积表达式.再通过换元法将面积表达式转化为关于新变量的式子，利用二次函数性质求最值【详解】（1）因为直线联立所以交点因为C在线段AB上