拓展专题09 圆锥曲线中的四大秒杀大招-同构法、平移齐次化、定比点差法、点乘双根法4大考点21题（高效培优期中专项训练）（原卷版）高二数学上学期北师大版

PAGE拓展专题09圆锥曲线中的四大秒杀大招——同构法、平移齐次化、定比点差法、点乘双根法考点01同构法(共4小题) 4考点02平移齐次化(共5小题) 5考点03定比点差法（共6小题） 7考点04点乘双根法（共6小题） 8 【重要方法与结论】一、同构法同构法是处理解析几何对称问题的有力武器．同构思想的介入，使得解析几何中平行线截线段成比例问题、斜率问题、切线问题等，结构相同或相似问题的求解过程变得简单明了.1.利用两点坐标同构如果点A（x1,y1)和点B（x2,y2)满足二元一次方程，且方程为同构式，则该方程为直线AB的方程.2.利用根与方程的关系同构如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根.如果两个不同的未知实数(如m,n）满足一元二次方程，且方程为同构式，则该方程的解即为给定的未知实数(如m,n），进而可以利用根与系数的关系.3.利用对偶计算同构如果题目涉及两种联立直线与圆锥曲线化简，求解同类目标，直线方程为同构式时，则只需计算出其中一种结果，另一种结果同构变量替换即可进，在解答题中常以“同理可求”体现.可以简称：同构方程，算法一致，对应替换，节省一半！二、平移齐次化1.平移齐次化原理如果公共点在原点，不需要平移.如果不在原点，先平移图形，将公共点平移到原点，无论如何平移，直线斜率是不变的.注意平移口诀是“左加右减，上减下加”.设平移后的直线为，与平移后的圆锥曲线方程联立，一次项乘以，常数项乘以，构造，然后等式两边同时除以(前面注明x不等于0)，得到，可以直接利用根与系数的关系得出斜率之和或斜率之积，即可得出答案.如果是过定点题目，还需要还原，之前如何平移，现在反平移回去.2．齐次化适用范围由原理可知齐次化适应于处理解决曲线上的点与坐标系原点连线有关的斜率运算问题，常见类型如：，，，，，，前面两个考题相对比较常见，后面的则需要变形才能使用，变形如下：，，．这个需要根据韦达定理判断符号再变形．在遇到上述关于斜率运算问题时，采取齐次化处理往往能达到简化运算的目的．三、定比点差法1.定比分点公式已知，若点)满足，求点的坐标．2.定比点差法当为椭圆上的两点，为弦上任意一点时，设点满足若在椭圆则;点满足，可得到，①－②得：，联立消元后即可用与定分比表示.四、点乘双根法1．点乘双根法的含义何谓点乘双根法呢？在大学数学中，把向量，的数量积叫做向量点乘向量，因此点乘得名；所谓双根是由初中的一元二次方程知识可知：若和是一元二次方程的两个根，则，我们把叫做二次方程的双根式，所谓的点乘双根法就是构建双根式是去解决含和或者可转化为含含和的计算问题，其中以向量的数量积有关的问题为最常见．2.点乘双根法的原理：点乘双根法是通过对双根式进行赋值和，直接计算和的含参表达式，然后整体代入目标，从而构建出关于参数的等式关系式，避免繁杂的计算，达到快速解题的目的（其中，点坐标为已知定点，，为直线与圆锥曲线的交点）．3.点乘双根法适用题型:在圆锥曲线中，遇到如（其中为常数）的形式，其中点是已知的点，，为直线与圆锥曲线的交点的问题时，可用点乘双根法以达到简化运算，快速解题的目的．4．点乘双根法解题范式：下来以一个例题来讲解一下点乘双根法应用范式．【例题】椭圆：，若直线：与椭圆交于，两点（，不是左右顶点），且以直线为直径的圆恒过椭圆的右顶点．求证：直线恒过定点，并求出该点的坐标．步骤1：联立方程，构建双根式设椭圆的右顶点为，，，所以，联立，化简得：，又因为，是方程的两个根，所以=1\*GB3①步骤2：赋值点乘双根法赋值目的是为了对目标中的和进行整体代换以达到简化计算的目的，故对双根式=1\*GB3①中的进行赋值得，整体求出=2\*GB3②．接下来先求出，，只需对双根是进行赋值，并两边同时乘以可得=3\*GB3③．步骤3：变形代入将=2\*GB3②和=3\*GB3③整体代入，可得，即，分解因式得，或，当时，直线，故直线恒过定点．当时，直线，故直线恒过定点，舍去．考点01同构法(共4小题)1．已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点为，离心率为（1）求椭圆的方程（2）过右焦点作直线交椭圆于，交轴于，若，求2．如图所示，已知抛物线的角度为，过的直线交抛物线与两点，在轴左侧且的斜率大于0.已知为轴上一点，弦过抛物线的焦点，且斜率,若直线分别交抛物线与两点，问是否存在实数使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.3．已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若，求的面积．4．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的最大面积为1．(1)求椭圆的方程；(2)若点为直线上的任意一点，过点作椭圆的两条切线（切点分别为），试证明动直线恒过一定点，并求出该定点的坐标．考点02平移齐次化(共5小题)5.已知，为抛物线上异于顶点的两动点，且以为直径的圆过顶点.求证：直线过定点.6．如图，点为椭圆的右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆相交于、两点(在的上方)，设点、是椭圆上位于直线两侧的动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.

7．已知椭圆C：的离心率为，且过点．（1）求的方程：（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．8．已知抛物线：与椭圆：有相同的焦点，且两曲线相交于点，过作斜率为的动直线，交椭圆于，两点.（1）求抛物线和椭圆的方程；（2）若为椭圆的左顶点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值，并求出定值.9.已知椭圆的离心率为，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且△OPM（O为坐标原点）的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为，求点P到直线l距离的最大值．考点03定比点差法（共6小题）10．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为．(1)求双曲线的标准方程；(2)设是双曲线上一点，且过点，的直线与轴交于点，若，求直线的方程．11．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知椭圆的焦距为2，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为.

(1)求椭圆的方程；(2)设A，B为椭圆的左右顶点，过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，直线AM，BN交于点.（i）求证点在定直线上；（ii）设，求的最大值.12．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，直线过椭圆的右焦点F且与椭圆交于A、B两点，l与双曲线的两条渐近线、分别交于M、N两点．(1)若，且当轴时，△MON的面积为，求双曲线的方程；(2)如图所示，若椭圆的离心率，且，求实数的值．13．（2024·高三·江西吉安·期末）已知椭圆：的离心率为，且经过点(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过点的动直线与抛物线相交于A，B两个不同的点，在线段AB上取点Q，满足，证明：点Q总在定直线上．14．（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知点，，动点使直线，的斜率之积为，其轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)已知点，点在曲线上，直线与轴交于点，满足，求直线的方程.15．（2025·湖南·模拟预测）已知抛物线焦点为F，准线为，为E上一点，，垂足为M，且.(1)求E的标准方程；(2)过点（其中）且斜率为k的直线与E交于，两点，C，D是E上的两点（异于A，B），且满足，.（i）证明：，；（ii）是否存在k和a，使得?若存在，求k和a的所有取值；若不存在，请说明理由.考点04点乘双根法（共6小题）16．(2012年重庆理科第20题)设椭圆中心在原点，长轴在轴上，上顶点为，左右顶点分别为，，线段，中点分别为，，且是面积为的直角三角形．（1）求其椭圆的方程（2）过作直线交椭圆于，两点，使，求直线的方程．17．设，为椭圆上两个动点，且，过原点作直线的垂线，求的轨迹方程．18.已知抛物线，过原点且相互垂直的直线，交抛物线于，两点，求证：直线过定点．19．椭圆的左，右焦点分别为，，过作与轴不重合的直线交椭圆于，两点．（1）若为正三角形，求椭圆的离心离；（2）若