九年级上学期数学压轴必考题型-二次函数的图像和性质（含答案）

人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编

专题二次函数的图像和性质

一.选择题

1.（2021•河南模拟）若A（-2,y）,B（0,”）,C（3,巾）是抛物线y=（x-I）?+加上的三点,则w，

yif3?3的大小关系为（）

A.y\>y2>yiB.C.y\>y3>y2D.y3Aly2>yi

2.（2021•濮阳一模）若二次函数），=f-4x+3的图象经过人（-2,y）,B（1,%），C（4,力）三点，则

W、）,2、”的大小关系是（）

A.y\<y2<yj.B.yi<y2<y\C.y2<yy<y\D.y?,<y\<y2

3.（2021•河南模拟）已知二次函数y=・f+（2m-1）x-3,当£>1时，y随x的增大而减小，则阳的取

值范围是（）

11qq

A.ni<—B.in<--C.m>—D.in<一

2222

4.（2020秋•薛城区期末）把函数y=（x-1）2+2图象向左平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为

（）

A.y=f+2B.产（x-1）2+1C.>'=（x-2）2+2D.y=（x-I）2+3

5.（2020秋•淅川县期末）若二次函数y=|a*+法+c的图象过不同的五点A（/〃，〃），B（3-/〃，〃），C（0,

yi）,D（V2»”），E（2,"），则yi，1y2，”的大小关系是（）

A.yi<yi<y3B.C.y3<y2<y\D.y\<yy<y2

6.：2O18秋•荔湾区校级期中）已知抛物线y=af+/u+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（）

①〃力。>0：®b2>4ac；③a-〃+cVO：@«>—：⑤

2

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.（2018•安岳县一模）二次函数），=aF+公+。（存0）的图象如图所示，下列结论：①"c>0：®2a+b=（h

③机为任意实数，则。+6><加+加?；@a-b+c>0x⑤若ax/+Zu）=at22+/u，2，且汨82，则尤I+%2=2.其

中正确的有（）

A.①②③B.②④C.®®D.②®⑤

8.（2018•江岸区校级自主招生）二次函数），=如2+以+,（a,h,c为常数，且存0）中的x与y的部分对应

值如表：

X...-1013•••

)'…-1353・..

下列结论：（1）ac<（）；（2）当x>l时，y的值随x值的增大而减小.（3）3是方程&F+（/»-i）x+c=0

的一个根：（4）当-1VXV3时，加+（b-1）x+c>0.其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.（2014秋•北塘区期末）加图，点八（mb）是抛物线,=£/上位于第二象限的一动点，O"_LO4交抛

物线于点8（c,d）.当点A在抛物线上运动的过程中，以下结论：①如为定值；②ac=・bd；③AAOB

的面积为定值；④直线AB必过一定点.其中正确的结论有（）.

二.填空题

10.（2021•苏州模拟）已知关于x的二次函数）=加+2亦+〃・3在-2人2时的函数值始终是负的，则常数

a的取值范围是-

11.（202（）秋•平阴县期末）用“描点法”画二次函数产加+以+。（存0）的图象时，列出了如下表格:

x...1234...

产...0-103...

cu^+bx+c

那么该二次函数在x=0时，y=.

12.（2021•日喀则市一模）二次由数），一五十於十c•（印））的图象如图，对•称轴是直线x—1,有以下四个结

论：

®abc>0\®b2-4ac>0：®b=-2a；④〃+/?+c>2,

13.（2021•建平县模拟）已知二次函数y=f+（6-2）x+1,当QI时，y随x的增大而增大，则机的取值

范围是.

14.（2021•苏州模拟）已知二次函数y=aP+bx+c与自变量x的部分对应值如表：

x...-I013...

y-3131...

现给出下列说法：

①该函数开口向下.

②该函数图象的对称轴为过点（1,0）且平行于），轴的直线.

③当x=2时，y=3.

④方程ax1+bx+c=-2的正根在3与4之间.

其中正确的说法为.（只需写出序号）

15.（2019春•西湖区校级月考）已知直线y=2x-5与x轴和），轴分别交于点A和点B,抛物线y=-『+加+c

的顶点M在线4B上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N.

（I）如图，当点M与点A重合时，则抛物线的解析式为;

（2）当抛物线y=-jr+bx+c的顶点M在直线AB上平移时，若AOMN与AAOB相似，则点M的坐标

16.（2019•张店区二模）已知抛物线），=aF-2or+c（〃V0）的图象过点A（3,机）.

（1）当。=-1,6=0时，求抛物线的顶点坐标：

（2）如图，直线/：y=k.x+c（ZV0）交抛物线于8,。两点，点Q（x,y）是抛物线上点B,C之间的

一个动点，作QQ_Lx轴交直线/于点。，作QE_Ly轴于点E连接OE.设NQEO=p,当2—4时，p

17.（2018秋•柯桥区期末）如图，在平面直角坐标系xO），中，已知抛物线尸-3与x轴交于点

A、B（A在8左侧），与y轴交于点C,经过点A的射线A尸与y轴正半轴相交于点E,与抛物线的另一

个交点为R金殳△，点。是点C关于抛物线对称轴的对称点，点。是y轴上一点，且NAPP=ND43,

EF3

则点P的坐标是.

18.（2018秋•增城区期末）抛物线丁=加+云+c中，b=4a,它的图象如图，有以下结论：①c>（）：②a+8+c

>0；③+c>0④02-4ac<0；⑤a〃cV0；®4a>c；其中正确的为（填序号）.

19.（2021•眉山）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线），=加+云+4（〃和）经过点4（-2,0）和点8

（4,0）.

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线。。将A48C的面积分成2：1两部分，求点夕的坐

标；

（3）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿），轴移动，运动时间为/秒，当NOCA=NOC8■/

0MA时，求，的值.

20.（2021•温州）已知抛物线），=数2・2公-8（。羊0）经过点（・2,0）.

（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标.

（2）直线/交抛物线于点A（-4,m），8（〃，7）,〃为正数.若点P在抛物线上且在直线/下方（不与

点A,8重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围.

21.（2021・泰安）二次函数产加+公+4（存0）的图象经过点力（-4,0）,B（1,0）,与），轴交于点C,

点P为第二象限内抛物线上一点，连接30、AC,交于点Q,过点P作轴于点O.

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接，C,当时，求直线的表达式；

（3）请判断：电是否有最大值，如有请求出有最大值时点。的坐标，如没有请说明理由.

22.（2021•连云港）如图，抛物线），=〃?_?+（加+3）x-（6〃?+9）与x轴交于点A、B,与），轴交于点C,已

知4(3,0).

(1)求〃?的值和直线BC对应的函数表达式；

(2)。为抛物线上一点，若S»BC=S“8C，请直接写出点。的坐标;

(3)。为抛物线上一点，若/4CQ=45。，求点。的坐标.

23.(2021•重庆)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/+岳叶。经过A(0,-1),8(4,1).直线AB

交x轴于点C，P是直线AZT卜方抛物线上的一个动点.过点。作POJ_/W,垂足为。，轴，交力3

于点E.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当APDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和周长的最大值；

（3）把抛物线>=1+加+。平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点尸.M是新抛物线上一点，N

是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，8,M,N为顶点的四边形是平行四边形的点M的

坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来.

备用图

24.（2020秋•射洪市期末）已知抛物线尸以2+灰・3经过（・1,0）,（3,0）两点，与），轴交于点C,直

线）=版与抛物线交于A,B两点.

（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；

（2）当原点0为线段A8的中点时，求左的值及A,8两点的坐标；

（3）是否存在实数A使得△AEC的面积为&Q?若存在，求出A的值；若不存在，请说明理由.

25.（2020秋•兴城市期末）如图，抛物线），=af+bx+4经过A（4,0）,3（-1,0）两点，与y轴交于点C,

D为第一象限抛物线上的动点，连接AC,BC,DA,DB,QB与AC相交于点E.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,设ZVIDE的面积为Si，ABCE的面积为S2，当Si=S?+5时，求点。的坐标；

（3）如图2,过点C作。”〃了轴，点”是直线。尸上的一点，MN_Lb交抛物线于点N,是否存在以C,

做，N为顶点的三角形与ABCO相似？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由.

26.（2020秋•自贡期末）在平面直角坐标系中，抛物线），=・f+收・22的顶点为M

（1）若此抛物线过点A（-3,1）,求抛物线的解析式：

（2）在（1）的条件下，若抛吻线与），轴交于点氏连接A3,。为抛物线上一点，且位于线段48的上

方，过。作CO垂直x轴于点D,CQ交AB于点E,若CE=ED,求点C的坐标：

（3）无论攵取何值，抛物线都经过定点“，当直线"N与），轴的交角为45。时，求A的值.

人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编

专题二次函数的图像和性质

一.选择题

1.（2021•河南模拟）若A（-2,y）,B（0,”）,C（3,巾）是抛物线y=（x-1）?+〃?上的三点，则川，

yif”的大小关系为（）

A.yi>yi>yiB.C.y\>y3>y2D.y3Aly2>yi

【思路引导】根据二次函数的性质得到抛物），=（X+I）2+〃？（机为常数）的开口向上，对称轴为直线X

=1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小.

【完整解答】：抛物线），=（x-1）2+m（机为常数）的开口向上，对称轴为直线x=l,

而A（・2,川）离直线x=l的距离最远，B（0,及）点离直线x=l最近，

故选：C.

2.（2021•濮阳一模）若二次函数y=『-4x+3的图象经过A（-2,w），B（1,%），C（4,y3）三点，则

yi>yi>”的大小关系是（）

A.yi<yi<yiB.y3<j2<yiC.yi<yi<yiD.y3<yi<yi

【思路引导】先求出二次函数的对称轴，再求出点A、8、C到对•称轴的距离，然后根据二次函数增减性

判断即可.

【完整解答】•••二次函数-4x+3=（x-2）2-1,

对称轴为直线x=2,

VA（-2,ji）,B（1,”），C（4,”）与对称轴的距离8最远，。最近，且a=l>0,

故选：C.

3.（2021•河南模拟）已知一次函数y=+（2w-\）x-3,当时，），随x的增大而减小，则的取

值范围是（）

A.〃区上B.ni<-AC.机>3D."区3

2222

【思路引导】可先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于〃?的不等式，可求得答案.

【完整解答】•・5=・f+（2〃？・1）x・3,

・•・对称轴为4=-空工=空工，

-22

a=-1<0,

，抛物线开口向下，

・•・在对称轴右侧)，随x的增大而减小，

•・•当心>1时，)，随高勺增大而减小，

解得〃?昆，

22

故选:D.

4.(2020秋•薛城区期末)把函数y=(x-1)2+2图象向左平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为

()

A.y=『+2B.y=(x-1)2+1C.y=(x-2)2+2D.y=(x-1)2+3

【思路引导】易得原抛物线的顶点为(1,2),根据相应的平移得到新抛物线的顶点，利用平移不改变二

次项的系数及顶点式可得新抛物线.

【完整解答】•••原抛物线的顶点为(1，2),

・•・向左平移1个单位后，得到II勺顶点为(0,2),

・•・平移后图象的函数解析式为y=f+2.

故选：A.

5.(2020秋•淅川县期末)若二次函数,=同『+/?工+。的图象过不司的五点A(m,n),B(3-/i),C(0»

“)，D(亚，1y2)，E(2,丁3)，则yi，必”的大小关系是()

,f

A.>i<)2<y3B.y2<y3<y\C.y3<y2<y\D.y\<y3<>'2

【思路引导】由点4(m,〃)、C(3・m,〃)的对称性，可求函数的对称轴为x=3,再由8(0,初)、

2

D(亚，)2)、E(2,”)与对称轴的距离，即可判断了|>>3>”・

【完整解答】一二次函数y=|小2+bx+c的图象经过A(m,〃)、C(3-m,n),

・•・开口向上，对称轴为直线x=m+3-m=2,

22

•:B(0,%)、D(加，力)、E(2,”)与对称轴的距离B最远,。最近，

故选：B.

6.C2018秋•荔湾区校级期中)已知抛物线)，=<谭+板+。的图象如图所示，则下列结论中，正确的有()

①Hc>0；@Z?2>4AC；@a-/?+c<0；④工；⑤a+cVl；

2

【思路引导】由抛物线的开口方向判断。与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断。与。的关系，然后

根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【完整解答】①因为抛物线开口向上，可知〃>0,对称轴在），轴的左侧，。、〃同号.故力>0,抛物线

与），轴的交点在负半轴，因此cVO,

•\abc<0,故①错误，不符合题意；

②抛物线和1轴有两个交点，故〃-4<心>0,故②正确，符合题意；

③当x=-1时，.y=4『+Z?x+c=a-/?+c<0,故③正确，符合题意；

④当x=-I时，y=a-b+c<Q,

乂V«+/?+c=2»

：.2b>2,即：b>l,

为为对称轴x=-上介于-1与0之间，因此-±->-1,得2〃>〃，而〃>1,

2a2a

a>l,因此④正确，符合题意;

2

⑤由④知，a+b+c=2,贝ija+c=2-〃，而故贝

故⑤正确，符合题意；

故②③④⑤正确，符合题意,

故选：。.

7.（2018•安岳县一模）二次函数），=aF+"+。（在0）的图象如图所示，下列结论：①。庆、>0；②2a+h=（）；

③/〃为任意实数，Ma+b>ant+bm；@a-b+c>0；⑤若的“饭尸"^+力必且xi力2，则％I+%2=2.其

中正确的有（）

A.①②③B.②④C.②⑤D.@@@

【思路引导】根据抛物线开口方向得〃V0,由抛物线对称轴为直线x=-上=1,得到〃=-2〃>0,即

2a

2^=0,由抛物线与），轴的交点位置得到c>0,所以"cVO：根据二次函数的性质得当x=l时，函数

有最大值〃+b+c,则当〃#1时.a+b+c>anr+bm+c,KPa+b>anr+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线

与x轴的另一个交点在（・1,0）的右侧，则当x=-1时，y<0,所以。・HcV0；ax\2+bx\=ax22+bx2

先移项，再分解因式得到（内-%2）\a（X|+X2）+。]=0,而孙比2，则4（X|+X2）+b=0,tipX\+X2=-—»

a

然后把b=-2a代入计算得到XI+X2=2.

【完整解答】•・•抛物线开口向下，

Aa<0,

•・•抛物线对称轴为直线x=-A=i,

2a

：.b=-2«>0,即2〃+8=0,所以②正确;

•・•抛物线与y轴的交点在x轴上方，

Ac>0,

•\abc<0,所以①错误：

•・•抛物线对称轴为直线x=l,

，函数的最大值为a+b+c,

，当,时1时，a+b+c>anr+bm^-c,B|Ja+b>am2+bm,所以③错误；

•・•抛物线与x轴的一个交点在（3,0）的左侧，而对称釉为直线x=l,

・••抛物线与x轴的另一个交点在（-1,0）的右侧

:.当x=-1时，>,<0,

.*.67-h+c<0,所以④错误；

^ax]2+bx\=ax22+bx2，

••ax?।bx\-ax3-bx2=O,

:.a(XI+M)(X]-X2)+b(xi-X2)=0,

:.（xi-X2）[a（X[+M）+A]=0,

而汨病2，

/.«（X|+X2）+0=0，BPX\+X2=-—>

a

■:b=-2a,

.'.X\+X2=2,所以⑤正确.

综上所述，正确的有②⑤.

故选：C.

8.（2018•江岸区校级自主招生）二次函数>，=加+公+c（a,h,c为常数，且"0）中的x与y的部分对应

值如表：

x...-I013...

y-1353...

下列结论：（1）ac<（）；（2）当x>l时，y的值随x值的增大而减小.（3）3是方程&F+（/,-1）工+0=0

为一个根；（4）当-1<x<3时，ar+（/?-1）x+c>（）.其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【思路引导】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线A=1.5,然后根据二次函数的性质对各小题分

析判断即可得解..

【完整解答】（1）由图表中数据可得出：X=1时，），=5,所以二次函数.v=or2+〃x+c开口向下，«<0：

又x=0时，），=3,所以c=3>0,所以ac<0,故（1）正确；

⑵・・•二次函数y=o?+加+c开口向下,且对称轴为x=1.5,,••当应1.5时,y的值随x值的增大而减小,

故（2）错误；

（3）二工二？时,），=3,・・・9a+3/?+c=3,Vc=3,<9a+3/?+3=3,.・.9a+3力=0,；・3是方程（小+（〃-i）

1十c=（）的,个根，故（3〉正确；

*234

（4）Vx=-1时，ax+bx+c=-1,.*.x=-1时，ar+（/?-!）x+c=0,Vx=3时，or2+（/?-i）x+c

=0,且函数有最大值，，当・1<x<3时，ax2+（/>-1）x+c>0,故（4）正确.

故选：C.

9.（2014秋•北塘区期末）如图，点A（a,b）是抛物线上位于第二象限的一动点，0B_L04交抛

2

物线于点8（c,d）.当点4在抛物线上运动的过程中，以下结论：①ac为定值；②ac=・b*③AAOB

的面积为定值；④直线A3必过一定点.其中正确的结论有（)

C.2个D.I个

【思路引导】过点A、8分别作X轴的垂线，通过构建相似三角形以及函数解析式来判断①②是否正

确.2A0B的面积不易直接求出，那么可由梯形的面积减去构建的两个直角三角形的面枳得出，根据得

出的式子判断这个面积是否为定值.利用待定系数法求出直线48的解析式，即可判断④是否正确.

【完整解答】过A、8分别作4C_L%轴于C、轴于。，则：AC=b,0C=-a,OD=c,BD=d；

（1）由于。4_L0B,易知△Q4CS/\8。。，有：

蚂=毁，即也.=二1,

ODBDcd

ac=-bd,

故②正确.

（2）将点A、8的坐标代入抛物线的解析式中，有:

5=2/..［、^=JLc2...ii：

22

IxII,得：2c2,即・4。=»1。2冷ac=-4.

44

故①正确.

(3)SAAOB=S梯形4CZJ3-S^ACO-ShBOD

=—(b+d)(c-a)--(-a)b--cd

222

=-bc--ad=—{be---A)=A(bc+—)

222cb2be

由此可看出，AAOS的面积不为定值,

故③错误.

（4）设直线A8的解析式为：），=履+力，代入A、8的坐标，得:

成+〃=b...HI、ck+h=d...N

Ulxc-IVxa,得：

1212

,,Kacfac.

仁三*=2--------2——=_lac=2.

c-ac-a2

・•・直线AB与y轴的交点为（0,2）.

故④正确.

综上，共有三个结论是正确的，它们是①②④,

二.填空题

10.（2021•苏州模拟）己知关于x的二次函数尸加+2ar+〃-3在-2人2时的函数值始终是负的，则常数

a的取值范围是—且。#0.

3

【思路引导】利用配方法求出抛物线的顶点坐标，根据二次函数的性质判断即可.

【完整解答】y=a^+2ax+a-3=a（x+1）2-3,

，抛物线的顶点坐标为（-1,-3）,

当“V0时，y<0,

当。>0时，由题意得，当x=2时，yCO,

即9a-3<0,

解得，a<l,

3

由二次函数的定义可知，存0,

故答案为：且"0.

3

11.（2020秋•平阴县期末）用“描点法”画二次函数），=〃小法|。（何0）的图象时，列出了如下表格；

234

>,=0-103

axr+bx+c

那么该二次函数在x=0时，y=3

【思路引导】根据题目提供的涉足二次函数解析式的》、y的值，确定二次函数的对称轴，利用抛物线的

时称性找到当x—0时，y的值即可.

【完整解答】由上表可知函数图象经过点（1,0）和点（3,0）,

，对称轴为x=2,

・•・当x=4时的函数值等于当x=0时的函数值,

•・•当x=4时，y=3,

・••当x=0时，y=3.

故答案是：3.

12.（2021•日喀则市一模）二次函数y=加+法+,,（存0）的图象如图，对称轴是直线x=I,有以下四个结

论:

®ahc>0：®b2-4ac>0；®b=-2a；④〃+/?+c>2,

（填写序号）

【思路引导】由抛物线的开口方向判断。与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与。的关系，然后

根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而府所得结论进行判断.

【完整解答】①•••抛物线的开I」向下,

/.67<0,

V与y轴的交点为在），轴的正半轴上,

Ac>0,

•・•对称轴为直线、=・上＞0,

2a

'.a-,b异号,即〃>0,

abcVO；

故本结论错误；

②从图象知，该函数与x轴有两个不同的交点，所以根的判别式△=/・4">0：

故本结论正确；

③•・•对称轴为直线x=-A.=],

2a

:・b=-2a,

故本结论正确：

④由图象知，.r=I时y>2,所以〃+力+c>2,故本结论正确.

故答案为②③④.

13.（2021・建平县模拟）已知二次函数），=『+（〃L2）x+1,当亡>1时，），随上的增大而增大，则机的取值

范围是吟0.

【思路引导】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解.

【完整解答】抛物线的对称轴为直线x=-空2=

22

•・•当K>1时，），的值随X值的僧大而增大，

:.--"?+1<1>

2

解得啥0.

故机的取值范围是〃G0.

故答案为：/叱0.

14.（2021•苏州模拟）已知二次函数尸ad+Zu+c与自变量x的部分对应值如表：

x...-I013...

y...-3131...

现给出下列说法：

①该函数开II向下.

②该函数图象的对称轴为过点（1，0）且平行于『轴的直线.

③当x=2时，），=3.

④方程a^+bx+c=-2的正根在3与4之间.

其中正确的说法为①③④.（只需写出序号）

【思路引导】利用表中函数值的变换情况可判断抛物线的开口方向，则可对①进行判断：利用x=O和x

=3时函数值相等可得到抛物线的对称轴方程，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得x=l和x

=2的函数值相等，则可对③进行判断；利用抛物线的对称性可得x=-1和x=4的函数值两等，则可对

④进行判断.

【完整解答】•・•二次函数值先由小变大，再由大变小，

・•・抛物线的开口向下，所以①壬确；

•・•抛物线过点（0,I）和（3,1）,

・••抛物线的对称轴为直线所以②错误；

2

点（I,3）和点（2,3）为对称点，所以③正确；

Vx=-1时,y=-3,

.*.x=4时，y=-3,

・•・二次函数>=加+取+c的函数值为-2时，・IVxVO或3<rV4,

即方程6耳队+c=-2的负根在-1与0之间，正根在3与4之间，所以④正确.

故答案为①③④.

15.（2019春•西湖区校级月考）已知直线y=2x-5与x轴和），轴分别交于点A和点B,抛物线y=-』+法+c

的顶点M在线上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N.

（1）如图，当点用与点人重合时，则抛物线的解析式为），=-f+5x-至；

4

（2）当抛物线），=-M+ht+c的顶点M在直线4A上平移时，若AOWN与△AON相似，则点〃的坐标为

（2,7）、（4,3）.

备用图

【思路引导】（1）抛物线的顶点为：（区，0）,则抛物线的表达式为：y=-（x-1）2,即可求解；

22

（2）当NOMN=90。时，则直线OM表达式中的k值为-2，即空芭=-2，即可求解；当/ONM=

2m2

90°时，同理可得：点M（4,3）：当NMON=90。时，证明tanNGMO=tan/HON,即：生王」^,

m9-2m

即可求解.

【完整解答】(1)直线)，=2x-5与x轴和)，轴分别交于点A和点从

则点A、8的坐标分别为：(§,0)、(0,-5),

2

则抛物线的顶点为(区，0),则抛物线的表达式为：y=-G--1)2,

22

则抛物线的表达式为：y=-?+5A--至，

4

故答案为：y=-f+5x-；

4

(2)设点M(/n,2/H-5),点N(/,y),

将抛物线表达式与直线表达式联立并整理得：

-(x-in)2+2m-5=2x-5,

.r+(2-2m)x+m2-2m=0,

(x-m)(x-171+2)=0,

则或〃？-2,故点2m-9),

则MN=2^,则

2

①当NOMN=90。时，

则直线OM表达式中的k值为-工，

2

即空至解得：6=2,

m2

故点M、N的坐标分别为：(2,・1)、(0,-5),

则。M=M，ON=5,

经验证：胆M型，满足AOMN与ZkAOB相似，

ON0A0B

故点M(2,-I)；

②当NONM=90。时，

同理可得：点、M(4,3)；

③当NMON=900时，

过点M、/V分别作)，轴的垂线交于点。、H,

*：NGMO+NGOM=90°,NG0M+NH0N=9()。,

：.ZGMO=/HON=a,则tan/GMO=tan/〃OM

即：2m-5-m-2,解得：/zz=3>

m9~2m

故点M(3,1)(AOMN为等腰直角三角形，故舍去)；

综上，点M的坐标为：(2,-1)、(4,3),

故答案为：(2,-1)、(4,3).

16.(2019•张店区二模)已知抛物线兆=加・2ov+c知V0)的图象过点A(3,m).

(1)当a=-1,m=0时，求抛物线的顶点坐标(I,4)；

(2)如图，直线/：y=kx+c(k<0)交抛物线于8,。两点，点Q(x,y)是抛物线上点B,C之间的

一个动点，作QQLr轴交直线/于点。，作Q瓦!_)，轴于点£连接。E.设/。£。=即当时，p

【思路引导】(1)利用待定系数法求得抛物线解析式，然后利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式，

可以直接得到答案；

(2)将点Q(x,y)代入抛物线解析式得到：y=aF-2ax+c.结合一次函数解析式推知：D6,依+°).则

由两点间的距离公式知QO=ad-2OY+C-(h+c)=ar-(2a+k)x.在RMQED中，由锐角三角函数

的宗义推知⑶中=史=ax-(2a+k)x=冰・2〃7.所以ta叩附着x的增大而减小.结合已知条件列

QEx

2a-2aa-k=V3

出方程组，V3，解该方程组即可求得〃的值.

4a-2a-k=~z-

【完整解答】(1)当。=7,m=0时，y=-X2+2X+C,A点的坐标为(3,0),

-9+6+c=0.

解得c=3.

・•・抛物线的表达式为y=-*+2x+3.

即y=~(x-1『+4.

.••抛物线的顶点坐标为(1,4),

故答案为：(1,4).

(2),:点Q(%,j)在抛物线上，

•*»y=CLr-2ax+c.

又・・・QQ_Lx轴交直线/：y=h+c(ZV0)于点D,

点的坐标为(x,kx+c).

乂•・•点。是抛物线上点B,C之间的一个动点，

-2ax+c-(kx+c)=加-(2a+k)x.

,:QE=x,

在RIAQED中，tanp=©=ax、(2a+k)x=依.2a-k.

QEx

tanp是关于x的一次函数，

••ZVO,

.*.tan[3随着x的增大而减小.

又二当2<i<4时,p恰好满足30。印W60。，且tanp随着p的增大而增大,

・•・当x=2时，0=60。；当三=4时,6=30°.

2a_2a_k=V3

J4a-2a-k冬

k=-V3

解得■V3，

故答案为：-弊.

3

17.（2018秋•柯桥区期末）如图，在平面直角坐标系屹y中，已知抛物线尸看/多・3与x轴交于点

4、8（A在B左侧），与y轴交于点C,经过点A的射线Ab与），轴正半轴相交于点£,与抛物线的另一

个交点为F,也,，点。是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是），轴上一点，且N4FP=ND4&

EF3

【思路引导】过点尸作BWL;轴，垂足为M.设E（0,力，则。七=八则/（6,4力将点尸的坐标代

入抛物线的解析式可求得，的值，最后，依据col/RB=2A的值；然后求得col/D4B=2,则/科B

0E3

=NDAB.当点P在A尸的上方时可证明P/〃48,从而可求得点P的坐标；当点尸在4尸的下方时，设

FP与x轴交点为0）,则NP初=/丛8,可得到户G=AG,从而可求得加的值，然后再求得PF

的解析式，从而可得到点P的坐标.

.•.AE—_—1，

EF3

.AO=0E=_l

.前丽4

:.F(6,4r).

将点F(6,4r)代入>*=—.r--x-3得：—x62--3x6-3=0,解得r=—.

84842

••・81/胡8=怨='.

0E3

2

,/y=-lx_Ax-3=2(x+2)(x-4).

848

AA(-2,0),B(4,0).

易得抛物线的对称轴为x=l，C(0，-3).

•・•点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，

：.D(2,-3).

cotZDA/^=—,

3

：,ZFAB=ZDAB.

：.PF//AB,

.•.)力="=6.

由(I)可知:F(6,4/),f=3.

2

:,F(6,6).

，点尸的坐标为(0,6).

当点。在Ab的下方时，如下图所示:

设口与x轴交点为G（〃?，0）,则可得到FG=AG,

/.（6-m）2+62=（〃?+2）2,解得：

4

AG（王，0）.

4

6k+b=6

设尸尸的解析式为y=^+。，将点尸和点G的坐标代入得：|17，

今k+b=0

4

解得：jt=24,b=-^l.

77

."（（）,--122）.

7

综上所述，点。的坐标为（0,6）或0（0,-四）.

7

故答案是：（0，6）或P（0,■也2）.

7

18.（2018秋•增城区期末）抛物线），=加+法+c中，〃=4”，它的图象如图，有以下结论：©c>0：②a+Hc

>0；©a-b+c>0@b2-4ac<0；⑤HcVO；®4a>c：其中正确的为1,2,6（填序号）.

【思路引导】由抛物线的开口向上知〃>0,与y轴的交点为在y轴的正半轴上得到。>0,由此判定①正

确；

由对称轴为x=△-=・2,得4a=b,.•・a、》同号，即然后即可判定⑤错误；

2a

由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac>0,由此判定④错误；

当x=l时，y=a+b+C>0,由此判定②正确；

当x=-1时，），=a-b+c<0,由此判定③错误；

由图象知道a-〃+cVO,而44="可以推出eV3m进一步得到4a>c,由此判定⑥正确.

【完整解答】:抛物线的开口向上，

・・・4>0,

•・•与），轴的交点为在丁轴的正半轴上，

Ac>0,

・••①正确：

・"=4。，

b同号，即Z?>0»

abc>0,

・•.⑤错误；

•・•抛物线与”轴有两个交点，

・・・〃-4ac>0,

・••④错误；

当x=l时，y=a+》+c>0,

・••②正确；

当x=-I时，y=a-b+c<0,

・•・③错误；

a-b+c<0,4a=b,

••4act

・••⑥正确.

故填空答案：①②⑥.

三.解答题

19.(2021•眉山)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线队+4(存0)经过点A(-2,0)和点8

(4,0).

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；

(2)点P为该抛物线上一点(不与点。重合)，直线。尸将AA8C的面积分成2：1两部分，求点P的坐

标；

(3)点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为/秒，当NOCA=NOC8-N

0M4时，求/的值.

(2)如图1,当3〃=1A8=2时，。〃将的面积分成2；1两部分，即点〃的坐标为(2,0),则

3

CH和抛物线的交点即为点P,进而求解；

(3)在点08上取点E(2,0),则/ACO=NOCE,利用解直角三角形的方法，求出。”的长度，进

而求解.

【完整解答】(1)设抛物线的表达式为(x-xi)(X-X2),

则y=a(x+2)(x-4)=cur-2ax-8。，

即-8〃=4,解得a=--，

2

故抛物线的表达式为尸储+.r+4①；