吉林省长春市二道区2023-2024学年上学期八年级期末数学试题（解析版）

吉林省长春市二道区2023-2024学年度上学期八年级期末数学试题

八年级质量调研数学试题

温馨提示：请在答题卡上指定区域内作答，在草稿纸上、试题卷上答题无效！

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.下列四个实数中，是无理数的是（）

A.-2B.yC.V2D.3.1415926

【答案】C

【解析】

【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数）逐项判断即可得.

【详解】解：A、-2属于有理数，则此项不符合题意：

B、3是分数，属于有理数，则此项不符合题意；

C、也是无理数，则此项符合题意：

D、3.1415926有限小数，属于有理数，则此项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了无理数，熟记定义是解题关键.

2.如图，数轴上表示而-4的点在（）

ABCDE

_____।____।_______।__।____।__>

-2-1012

A.线段A8上B.线段3。上C.线段CD上D.线段OE上

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了估算无理数的大小，估算出JTT-4的大小是解题的关健.

先估算旧的大小，进一步估算"1-4的大小，再结合数轴表示数的方法即可得出答案.

【详解】解：•:也〈旧〈厌,

即3<而<4，

.•.3-4<而-4<4-4，

观察数轴可得表示而-4的点在线段BC上，

故选:B.

3.一直角三角形的两直角边长为6和8,则斜边长为（）

A.10B.13C.7D.14

【答案】A

【解析】

分析】由勾股定理解答.

【详解】解：由题意得，

直角三角形的斜边为：V62+82=10

故选：A.

【点睛】本题考查勾股定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

4.下表是长春市2023年12月8~17日每天最高气温的统计表：

日期12月8日12月9日12月10日12月11日12月12日

最高气温8℃-9℃-ire-11℃-13℃

日期12月13日12月14日12月15日12月16012月17日

最高气温-11℃-11℃-15℃-15℃-14℃

在这10天中，最高气温为-1「C出现的频率是（）

A.20%B.50%C.40%D.30%

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查频数与频率的知识，熟练掌握频率的计算是解题的关键.根据频率二频数+总数

xlOO%,计算即可.

4

【详解】解：在这io天中，最高气温为一ire出现的频率是正、loo%=40%.

故选：C.

5.若（工+。）（工-5）="2+区-10,则的值是（）

A.-11B.-7C.-6D.-55

【答案】A

【解析】

【分析】根据多项式乘多项式法则，可得(1+。)(工-5)=12-5工+依一54,从而求出小。的值，进而

即可求解.

【详解】解：V(X+6?)(X-5)=X2-5x+ax-5a,(x+«)(x-5)=x2+hx-iO,

x2-5x+ar-5a=x2+bx-\O，

,\-5+a=b,-5a=-10,

a=2,b=-3,

ab—a+b=-6-2-3=-l1,

故选A.

【点睛】本题主要考查整式的运算以及解一元一次方程，掌握多项式乘多项式法则，是解题的关键.

6.如图，小丽同学不慎把一块三角形的玻璃打碎成四块，现在要去玻璃店配一块和原来完全一样的玻璃,

下列选择带碎片的方法中不能配成和原来一样的是()

A.带①②去B.带②③去C.带①④去D.带①③去

【答案】B

【解^5]

【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关健.选用哪一

种方法，取决于题目中的已知条件.

根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断.

【详解】解：由①②可确定原三角形的两角和它们的夹边，则带碎片①②能配成和原来一样的三角形的玻

璃，所以A选项不符合题意；

由②③只能确定原三角形的一个角，则带碎片②③不能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以B选项符合

题意：

由①④能确定原三角形的两角和它们的夹边，则带碎片①@能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以C选

项不符合题意；

由①③能确定原三角形的三个角三条边，则带碎片①③能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以D选项不

符合题意.

故选：B.

7.将两把宽度相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，两把直尺的接触点记为点P,其中一把直尺边缘和

射线0A重合，另一把直尺的下边缘与射线。8重合，连结0P并延长.若NAO3=54。，则乙40P的度

数为（）

BO

A.54°B.36°C.27°D.26°

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了角平分线的判定，解题的关键是根据角平分线的判定定理得到。。是2408的平分线,

再计算即可.

【详解】解：两把长方形直尺的宽度相同，

•・•点P到射线OA、0B的距离相等，

•・・射线OP是ZAOB的平分线，

:.AAOP=-ZAOB,

2

\ZAOB=54°,

.­.ZAO/>=-X54°=27°,

2

故选：C.

8.如图，在凸五边形48COE中，AB=AE>CB=CD,ABIAE^BCLCD,AC=m,则凸五

边形ABCDE的面积等于（）

…，121

A.2urB."1C.—tnD.—m2

24

【答案】c

【解析】

【分析】根据题意和图形，作出合适的辅助线，然后根据直角三角形的面积和梯形的面积，可以计算出凸

五边形人8CQ七的面积.

【详解】解：作石GL4C于点G,作B/_LAC于点尸，作。，_LAC于点，，

则ZEGA=ZAFB=ZBFC=ZCr/D=90°,

・・・NE4G+NAEG=90。，

*：AB±AE,BCLCD,

・・・NE48=N8CO=90。，

，NE4G+N以3=900,

J^AEG=ZBAF,

在AE4G和/中，

NAEG=NBAF

«ZAGE=ZBFA,

AE=BA

：.^EAG^/\ABF(AAS),

：,AG=BFfEG=AF,

同理可证：

:.BF=CH,CF=DH,

设AG=x,EG=y,CF=z,则8F=CH=x,AF=y,DH=z,

Sfl边形AHCDE=SAA£G+SA4FB+SGBFC+5ACDW+S悌形EGHD

_xy+孙+应_|_xz+(y+z)()'+z-2x)

-TTTT2

_1y+z)2

-------------,

2

•・jIz=AFIFC=AC=mt

即凸五边形A8cOE的面积等于12〃落

故选：C.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

9.计一算：（-2/Z?24-nr

【答案】-8m4

【解析】

【分析】本题考查整式的运算中积的乘方及整式除法，解题的关键是掌握整式运算的相关法贝！.

先算积的乘方，再从左到右依次计算；

(详解］解：(一2m2)3+m-=一8〃/+加2=—8/,

故答案为：一8，〃4.

10.因式分解：av2-9«=.

【答案】今+3)(.3)

【解析】

【分析】先提公因式然后再用平方差公式分解因式即可.

【详解】解：ax2-9a

=«(x2-9)

=〃(x+3)(x-3)

故答案为:a(x+3)(x-3).

【点睛】本题主要考查了分解因式，熟练掌握平方差公式〃-/=(。+6)(4-〃)是解题的关键.

11.若在一张长方形纸片中按照如图所示的方法剪裁后制作一个体积为8cm3的正方体，正方体展开图的边

都与长方形纸片的边平行或垂直，则该长方形纸片的最小面积为

【答案】48

【解析】

【分析】本题考查了正方体的展开图相关的知识理解和应用能力，找出长方形纸片面积最小的图形是解题

的关键.

根据正方体的体积求出其边长，再观察图形即可计算出长方形面积的最小值.

【详解】解：•・•正方体的体积为8cm3,

・••正方体的棱长为2cm,

当长方形纸片的面积最小时，为：（2X3）X（2X4）=6X8=48（CII】2）,

故答案为:48.

12.如图，要测量池塘两岸M,N两点间的距离，可以在直线MV上取A,B两点,再在池塘外取的

垂线防上的两点C,D,使3C=CO,过点。再画出所的垂线OE，使点E与A,。在一条直线

上.若此时测得。E=15m,AM=0.5m,BN=15m,则池塘两岸M,N两点间的距离为

【答案】13

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理ASA证出△ABC是解题

的关键.

由垂线的定义可得出N4=N££>C=9O。，结合3C=OC,ZACB=ZECD,即可证出

△ABC^AEZ）C（ASA）,利用全等三角形的性质可得出AB=ED.

【详解】解：・・・A3_L3EOE_L3F,

Z«=Z£/X?=90°.

在/8C和△EDC中,

/B=NEDC

BC=DC

ZBCA=ZDCE

・•.AABC^AEDC(ASA),

/.AB=ED=15m,

•・•AM=0.5m,8V=1.5m,

.•.M^=15-O.5-1.5=13(/77).

故答案为：13.

13.如图，△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点尸.连接P8、PC,若NA=70。，则NPBC的度数是

【解析】

【分析】连接AP,由MP为线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AP二BP,同理可得

AP=CP,等量代换可得AP=BP=CP,然后根据等边对等角可得/ABP=NBAP,NPAC=NACP及

ZIJBC=ZPCB,由已知的NBAC的度数求出/BAP+NCAP的度数，等量代换可得NABP+NACP的度

数，同时根据三角形的内角和定理可得NABP+NPBC+NPCB+/ACP=IIO。，进而得至IJ/PBC+/PCB的度

数，再根据两角相等，即可求出所求角的度数.

【详解】连接AP,如图所示：

〈MP为线段AB的垂直平分线,

AAP=BP,

AZABP=ZBAP,

又PN为线段AC的垂直平分线,

AAP=CP,

AZPAC=ZACP,

ABP=CP,

/.ZPBC=ZPCB,

XZBAC=ZBAP+ZCAP=70°,

.,.ZABP+ZACP=70°,fiZABP+ZPBC+ZPCB+ZACP=110°,

AZPBC+ZPCB=40°,

贝|JNPBC=/PCB=2O°.

故答案为200

【点睛】此题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题关键在于作辅助线.

14.如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数

学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.如果图①中的直角三角形的长直角

边为7cm,短直角边为女m，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为

【答案】32

【解析】

【分析】本题考查勾股定理，关键是由勾股定理求出AC的长.

由题意得：8。=75148=。。二女01,求出3。=4€111,由勾股定理求出47=50]],即可求巴阴影的周长

=4（A3+AC）=32（cm）.

解：由题意得：BD-7cm,AB-CD-3cm,

/.8C=7-3=4（cm）,

由勾股定理得：AC7AB2+BC?=5（cm）,

・•・阴影的周长=4(A3+AC)=4x(3+5)=32(cm).

故答案为：32.

三、解答题(本大题共10小题，共78分)

15.计算：-严二++(―6)+8.

【答案】6

【解析】

【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键.

直接利用有理数的乘方运算法则、二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案.

【详解】解:

原式=-1+4+(-6)+(—2)

=3+3

=6.

16.下面是小明同学化简求值过程，请你认真阅读并完成相应的任务.

先化简，再求值：2(x+l)~-x(x-l)-(工+1)(工一1),其中/=—.

解：原式=2(x?+2x+l)—£+x—-1)...第一步

=2X2+4X+2-X2+X-XZ-1……第二步

=5x+l……第三步

当上=_|时，原式=5x(一|)+l=-l.……第四步

(1)小明同学第步开始出现错误.

(2)写出正确的化简求值过程.

【答案】(1)二(2)5A+3,1,过程见解析

【解析】

【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则.

(1)根据去括号，合并同类项法则判断即可；

(2)去括号，合并同类项，代入计算即可.

【小问1详解】

解：第二步错误，去括号没有变号.

故答案为：第二步;

【小问2详解】

原式=2（r+2x+1）—厂+x—（厂—I）

=2x~+4x+2一r+x—x~+1

=5x+3.

当上=_|时，原式=5x（-■|）+3=1.

17.我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释这些代数恒等式.

（1）如图，可以用来解释恒等式.

^cr-lab+b1

②+〃了+2ab+b2

@a2-b2=.+/?）（〃一〃）

（2）使用你选出的恒等式完成下面的题目：已知：a+b=5,ab=6,求的值.

【答案】⑴②⑵13

【解析】

【分析】此题主要考查了几何背景下的乘法公式，准确识图，熟练掌握乘法公式的结构特征是解决问题的关

键.

（1）根据图形的面积即可得出答案；

（2）根据=/+2加?+〃2,得/+从=（々+匕『-2出）,然后将。+/?=5,而=6,代入计算即可

得出答案.

【小问1详解】

解：从整体上看是一个边长为（。+〃）的正方形，

・••这个正方形的面积为：（.+〃『,

另一方面，该正方形是由两个边长分别为。，〃的正方形及两个长为。，宽为力的长方形组成,

工面积为：a2+2ab+h2，

:.(a+b)~=a2+2ah+/?2,

故答案为：②.

【小问2详解】

*.*(a+b\=a2+lab+b

a2+b2-2ah

当〃+〃=5,出?=6时，得

a2+b2=52-2X6»

即/+Z/=13.

18.如图，在一ABC中，AB=AC,AD是/RAC的平分线，DE〃AB.

(1)求证：CE=DE.

(2)若AD=5,BC=24,则4C=.

【答案】(1)见解析(2)13

【解析】

【分析】本题考查了平行线的性质，等腰「角形的性质及判定：等边对等角、等角对等边及三线合一的性质,

勾股定理，熟记性质定理是解题的关键.

(1)利用平行线的性质及等腰三角形的性质及判定即可证明；

(2)利用三线合一的性质，勾股定理即可求出.

【小问1详解】

解：,・・A3=AC,

:./8=NC.

•；DE〃AB，

:.4B=/EDC.

・•・4C=/EDC.

:.CE—DE.

【小问2详解】

•・・,/WC中，AB=AC,AO是/B4C的平分线,

.•.AOJL3C，BD=CD=-BC=\2,

2

在RtZXACO中，AC=>jAD2^CD2=A/52+122=13

故答案为：13.

19.为落实“双减”政策，优化作业管理.某中学在八年级随机抽取部分学生对作业完成时间进行调查，

调查他们每天完成书面作业的时间/（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组“/K45”；B组

"45</<60>>：C组“60V/K75”；。组“75<t£90”；E组“，>90”.将收集的数据整理后,

绘制成如下两幅不完整的统计图.

每天完成匕面作业时间条形统计图每天完成杆面作业M间房彩统计图

根据以上信息，解答下列问题：

（1）求本这次调查的总人数.

（2）请补全条形统计图.

（3）求A组人数占本次调杳人数的百分比.

（4）在扇形统计图中，8组所对应的圆心角度数为度.

【答案】（1）100人

（2）见解析（3）10%

（4）72

【解析】

【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合

的思想解答.

（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，

（2）计算出。组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；

（3）根据4组的人数和求M的总人数，即可计算A组所占的百分比；

（4）再进一步计算组所占的圆心角度数360°x里即可.

100

【小问1详解】

解：这次调查的学生人数是：25・25%=100（人）

答：本这次调查的总人数为100人.

【小问2详解】

。组的人数为：100-10-20-25-5=40（人）.

答：A组人数占本次调查人数的百分比为10%.

【小问4详解】

。20。

B组所占的圆心角是：360x——=72.

100

故答案为：72。.

20.图①、图②、图③均是5x5的正方形网格，每个小正方形的边长都为1,每个小正方形的顶点称为格

点，点4均为格点.只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不

要求写画法.

图①图②图③

（1）在图①中找一格点8,连接A6，使线段

（2）在图②中画出等腰疑C,点8、。在格点上，使NA为顶角且Sf%=2.

（3）在图③中画出等腰./BC，点8、。在格点上，使NA为顶角且腰长为5.

【答案】（1）见解析（2）见解析

（3）见解析

【解析】

【分析】本题考查作图一应用与设计作图、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定、勾

股定理是解答本题的关键.

（1）使A/为直角边分别是1和2的直角三角形的斜边即可.

（2）结合等腰三角形的判定与性质，使A8=AC,BC=2,BC边上的高为2即可.

（3）使AB和AC都是直角边分别为3和4直角三角形的斜边即可.

小问1详解】

解：为直角边分别是1和2的直角三角形的斜边即可，如图所示：符合题意的点有4个，点B即为所

【小问2详解】

当A8=AC,BC=2,8C边上的高为2时，得到如下3个符合题意的三角形，等腰即为所求.

【小问3详解】

H

当AB和AC都是直角边分别为3和4时，得到符合题意的3个三角形，等腰/8C即为所求.

21.某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表:

测量示意

图「一r

D

①测得水平距离3c的长为15米.

边的长

测量数据②根据手中剩余线的长度计算出风筝线A3的长为17

度

米.

③小明牵线放风筝的手到地面的距离为L7米.

数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的

垂直高度4。.请完成以下任务.

(1)已知：如图，在Rt^ABC中，Z4CB=90°,BC=15,AB=\7.求线段A。的长.

(2)如果小明想要风筝沿D4方向再上升12米，8C长度不变，则他应该再放出多少米线？

【答案】(1)线段A。的长为9.7米

(2)8米

【解析】

【分析】本题考查了勾股定理解深实际问题：

(1)利用勾股定理求出的AC长，再加上CO的长度，即可求出的高度；

(2)根据勾股定理计算即可得到结论.

【小问1详解】

解：如图，在RSA8C中，Z4C8=90°,BC=\5,A3=17,

AC=yjAB2-BC2=7172-152=8>

AD=AC+CO=8+1.7=9.7(米).

答：线段AO的长为9.7米.

【小问2详解】

如图，当风筝沿D4方向再上升12米，A'C=20,

在Rt-A3c中，4'6-90。，9c=15,

由勾股定理，可得A3=J/VC2+3C2=52（）2+152=25,

则应该再放出25—17=8（米），

答：他应该再放出8米长的线.

22.【问题背景】如图①，在"BC中，Z4C5=90°,AC=3C,点。为直线BC上的一点（不与仄

C重合），连结AO,将线段4。绕点。顺时针方向旋转90。，点A的对应点为点连结的.请探究图

中线段CO和应:之间的数量关系.

【问题初探】如果点。为线段8C上一点，通过观察、交流，小明形成了以下解题思路：过点E作

所交C5的延长线于点£,如图②所示.先证明二AC加_______,得8=,AC=

；再由条件AC=3C,可得CD=BF,从而可证明△出尸为等腰直角三角形，进而可得线段

CO和您之间的数量关系是8炉=_______.

【问题发展】如图③，如果点。是射线8c上一点，以上结论是否依然成立，如果成立说明理由.

【问题发展】成立.理由见解析

【解析】

【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性

质，勾股定理，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键.

【问题初探】过点E作交。8的延长线于点F,得出NO在：=90°=NACQ,进而得出

AXCZ）^.DF£（AAS）,得出。。=尸石，AC=DF,进而判断出CO=Bb,从而可证明△成尸为等腰

直角三角形，即可得出结论；

【问题发展】同【问题初探】的方法即可得出结论.

【详解】解：【问题初探】过点石作EF18C交C4的延长线于点R如图②所示.

图②

:"DFE=900=ZACD,

由旋转知，ZADE=90%

/.ZADC+ZEDF=90%

•zZACB=90°,

ZA£>C+ZZMC=90°.

:"DAC=NEDF,

AD=DE，

，一ACD^-O阻AAS),

:.CD=FE,AC=DF,

•,•AC=BCf

：,DF=BC,

:.DF-BD=BC-BD,

:.CD=BF,

:.BF=EF,

：.BF=EF=CD,

班五为等腰直角三角形，

:.BE2=BF2+EF2=2CD\

故答案为：』DFE；FE；DF；2CD2.

(2)成立.理由如下：

如图所示：过点E作EH_LBD,交线段8。『点"

由题意可知：DA=DE，ZADE=90°.

・•・ZADH+/EDH=90。.

•・•ZACH=900,

；・ZADC+ZZMC=90°,

・•・4EDH=ZDAC,

・•・4ADC9ADEII,

；.AC=DH,CD=HE,

•：AC=BC,

:.BC=DH,

即CD=HB=HE,

是等腰直角三角形，

・•・BE2=2HE?，

即BE2=2c£>2.

23.感知：为了求代数式/+2〃+5的值，我们必须知道。的值.

若〃=-1,则这个代数式的值为,

若〃=0,则这个代数式的值为，

若。=1,则这个代数式的值为,

可见.这个代数式的值因。的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来找到这个代数式值的范围.

探索：把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大(或最小)值问题.例如：

。2+24+5="+2。+1+4=(〃+1)2+4,因为(々+1)2是非负数，所以这个代数式的最小值是

,此时相应的〃的值是________.

应用：试说明代数式-片+6.+2014有最大值，并求出最大值及相应的〃的值.

【答案】感知：4,5,8

探索：4,-1

应用：当。=3时，一/+6Q+2014有最大值，最大值是2023

【解析】

【分析】本题考查了代数式求值，因式分解的应用，非负数的性质：

感知：将。的值代入/+2〃+5计算即可；

探索：根据非负数的性质即可得出答案；

应用：先把给出的代数式进行因式分解，再根据非负数的性质即可得到答案.

【详解】解：感知：若。=-1,则这个代数式的值为(T)2+2X(_1)+5=1.2+5=4，

若Q=(),则这个代数式的值为02+2x0+5=5，

若〃=1.则这个代数式的值为*+2*1+5=8.

故答案为:4,5,8；

探索：•••/+2a+5=a2+2〃+i+4=（a+l）2+4,（〃+17是非负数，

••.这个代数式的最小值是4,此时相应的a的值是-1,

故答案为：4,-I；

应用：一々2+64+2014

=-（/-6〃）+2014

=-（片一64+9）+9+2014

=-（々-3）2+2023.

v（67-3）2>（）.

「•-（a-3）W0,

.3『+2023W2023,

.・・当。=3时，一/+64+2014有最大值，最大值是2023.

24.如图，等边“8C的边长为4,点M是边BC的中点，动点?从A出发，沿射线A3以每秒1个单位

长度的速度运动，当点P不与点8重合时，连结设点。的运动时间为«，>0）.

（2）用含/的代数式表示线段

（3）当是等腰三角形时，求，的值.

（4）作点P