全等三角形（期中复习训练）-2024人教版八年级数学上册

专题全等三角形共66题

丰题理归纳•内容导航丰

题型1图形的全等题型11尺规作图（重点）

题型2全等三角形的概念题型12角平分线的性质定理（易错点）

题型3全等三角形的性质（常考点）题型13角平分线的判定定理（易错点）

题型4全等的性质和SSS综合（重点）题型14角平分线性质的实际应用

题型5全等的性质和SAS综合（重点）题型十五一线三等角模型（难点）

题型6全等的性质和ASA（AAS）综合（重点）题型十六手拉手模型（难点）

题型7全等的性质和HL综合（重点）题型十七角含半角模型（难点）

题型8添加条件使三角形全等（常考点）题型十八利用“倍长中线法”构造全等三角形（难点）

........

题型9灵活选用判定方法证全等（常考点）题型十九利用角平分线构造全等三角形（难点）

题型10全等三角形综合问题(难点)题型二十利用“截长补短法”构造全等三角形（难点）

—————・——————————————・—————————3

［题型通关•靶向提分丰

题型一图形的全等（共3小题）

1.（24-25八年级上贵州贵阳•期中）下列各组图形中，属于全等形的是（）

2.（22-23八年级上•河南许昌・期中）如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中/1。=0.8,BC=1.6,

贝ljAF=()

A.108R.9.6C.72n.48

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3.（24-25八年级上•浙江宁波・期中）如图1,正方形48CQ被分割成五部分，其中①②③④为四个全等

的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形EFGH.若在正方形EFGH中，恰有

MG=2HM,则止方形械/）=________.

»正方形EFGH

图1图2

题型二全等三角形的概念（共4小题）

4.（24-25八年级上•重庆巴南•期中）下列说法正确的是（）

A.周长相等的三角形是全等三角形

B.形状相同大小相等的三角形是全等三角形

C.面积相等的三角形是全等三角形

D.所有的等边三角形都是全等三角形

5.（24-25八年级上•福建厦门•期中）如图，△4则N3的对应角是（）

A./CADB.NDC.NACDD.NACB

6.124-25八年级上•全国•期中）全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫,

重合的边叫,重合的角叫.

7.（23-24八年级上•吉林长春•期中）如图①，点。为的平分线上一点，且不与点。重合，在角的

两边分别截取力。=4。，连接力。、BC；如图②，在图①的射线0C上取异于点。、。的点0,连接力。、

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B。；如图③，在图②的射线0C上取异于点O、C、。的点£,连接力E、BE；……，在每个图形中,

在0C同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线OC上相差1个点，依此规律，第11个图形中

题型三全等三角形的性质（共6小题）

8.（23-24八年级上河南安阳•期中）如图，B,M,。在同一直线上，且GA/=5,BD=12,H与D,B

与G是对应点，AHBMdDGM,则=（）

9.（24-25八年级上•宁夏固原•期中）如图，2ABC92CDA,/8/。=85。，=65。，则/。。度数为

10.（22-23八年级上•全国•期中）给出下列说法：①全等三角形的形状相同，大小相等；②全等三角形的

对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等.其中正确的说法

有.

11.（23-24八年级上•广东江门•期中）如图，^ABC^ADE,AC=5,48=8,8C=7,则4。的长为.

B

4

AD

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12.（24-25八年级上•河北沧州•期中）如图，△AB84DEC,BC=2,CD=3,点B,C,。在同一直线

上，点E在4C上，延长QE交49于点R

⑴求力£的长：

⑵求N8/7）的度数.

13.（24-25八年级上•江苏扬州•期中）如图，已知4）/8。于点。，点E在力B上，CE交AD于点、F,

△八RD94CF口.

⑴若5C=12,AD=S,求8。的长.

⑵试判断48和CE的数量关系和位置关系，并说明理由.

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题型四全等的性质和SSS综合（共3小题）

14.（24-25八年级上•河南南阳•期中）三月西湖，许仙与白娘子篷船借伞，还伞定情，《白蛇传》的故事

千古流传，我国纸伞的制作工艺十分巧妙，如图，AB=AC,支撑杆40,CQ等长，当伞圈。沿着伞柄力户

滑动时，纸伞随之打开或收拢，府无论纸伞打开还是收拢，伞柄4P始终平分同一平面内两条伞骨所成的

/BAC.这里推断/3力。=/。。的理由是（）

4D-ZCAD,AD=AD,得A/13D9A/1CD

=AD,BD=CD,得△ABD^^ACD

D=ZACD,BD=CD,得且△力。。

U=ACDA,BD=CD,得△48。/

15.（23-24八年级上•山西长治•期中）如图，在Vn8c中，AB=AC,/BAC=60。,分别以4员，。为一边,

向V48C外作和△4EC,若4D=CE,BD=4E,/E=125"则/D4E的度数为.

16.（24-25八年级上•福建莆田•期中）已知：如图，A、。、尸、。在同一直线上，AC=DF,AB=DE,

BC=EF,求证：Z.ACB=Z1DFE.

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题型五全等的性质和SAS综合（共9小题）

17.（24-25八年级上•湖北武汉•期中）如图,己知四边形48co中，/7=15cm,5C=9cm,CD=10cm,

/B=NC,点E是线段从1的三等分点（靠近8处）.如果点P在线段8c上以3cm/s的速度由点4向点。运

动，同时，点。在线段C力上由点C向点。运动.若要使得△8PE与VC0P全等，则点。的运动速度为（）

cm/s.

10…20

3或牙D.3或——

3

18.（24-25八年级上•云南大理•期中）如图，在3x3的方格中，每个小方格的边长均为1,若Nl=20。，则

70°C.60°D.20°

19.（23-24八年级上•浙江湖州•期中）如图，AB=AD,/B4D=140。,4BLCB于点、B,4）18于点

D,E、尸分别是C8、CO上的点，且/£4歹=70。，下列结论中①=8E,②AADF@"BE,③R1平

分/DFE,④"'平分N/1EC,⑤BE+DF=EF.其中正确的结论是（）

A.④⑤B.①②C.③⑤D.①②③

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20.（24-25八年级上•广东东莞•期中）如图，在V48C中，BD平分/4BC,BA=BE/A=75。,则

ZC£D=.

21.（24-25八年级上•江西新余•期中）在VH8C中，边AB=5,中线4）=3,则力。边的取值范围是.

22.（24-25八年级上•北京•期中）补全证明过程：如图，已知&E,F,C四个点在同一条直线上，AB=CD,

BE=CF,/B=NC,求证：△ABFdDCE.

即=

在△川"■和中，

AB=CD

<

BF=CE

；・4ABF@ADCE().

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23.（23-24八年级上•全国•课堂例题）如图，公园有一条Z形道路48-8C-CQ.其中48〃C。，在邑M尸

处各有一个石凳，且=为8C的中点，连接EM,"".

⑴石髡〃到石髡瓦产的距离ME,“/是否相等？请说明理由;

⑵E,£M三点是否共线？请说明理由.

24.（24-25八年级上•北京•期中）如图，点aF,C,E在一条直线上，BF=CE,AC=DF.

⑴在下列条件①川？〃OE;②ZACB=NDFE；③AB=DE口,只添加一个条件就可以证得

△14。尸，则所有可以添加的条件的序号是.

⑵根据已知及⑴中添加的一个条件，证明4=NZ）.

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25.（24-25八年级•湖南岳阳•期中）如图所示，4_L4C于点A,QC1XC于点C,3是力。上一点，AB=CD,

AE=BC.求证：EBLBD.

题型六全等的性质和ASA（AAS）综合（共4小题）

26.（24-25八年级上•江苏徐州•期中）如图，ZJ=Z£,AC工BE,AB=EF,BE=10,CF=4,则

AC=______________.

27.（22-23八年级上•全国•期中）如图，乙4cs=90。，AC=BC,BE±CE,ADLCE于D,AD=2.5cmf

D£=1.7cm,则3E=.

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28.（24-25八年级上•河北秦皇岛•期中）已知如图，在VX8C和中，AD=BE,BC〃EF,£A=4EDF,

DF交BC于点、M.求证：AABgADEF；

29.（23-24八年级上•四川巴中•期末）如图，BDLAC于点、D,CEJ.4B于点E,BE=CD,BD与CE交

于点O.

⑴求证：△COD9XBOE、

（2）若CO=2,彳石=5,求力C的长.

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题型七全等的性质和HL综合上共旦小题】

30.（24-25八年级上•河北唐山•期中）使两个直角三角形全等的条件是（）

A.一个锐角分别相等B.斜边和一条直角边分别相等

C.一条直角边分别相等D.两锐角分别相等

31.（24-25八年级上•江苏南京•期中）如图，ZC=ZD=90°,AC=ADt可以判定△/员?且△4的依

据是（）

A.SASB.ASAC.AASD.HL

32.（24-25八年级•陕西西安期中）如图，ECLBD,垂足为C,A是召。上一点，B.AC-CD,连接月6、

若力C=3.5,BD=9,则CE的长为（）

B.2.5C.3D.2

33.（22-23八年级上•全国•期中）如图，ZC=90°,AC=10,8C=5,线段尸。=,P、0两点分别在"C

和过点力且垂直于4C的射线4Y上运动，问P点运动到位置时，才能使V/18C与△4P。全等.

34.（24-25八年级上•湖北黄冈•期中）如图，。是/M4N内部一点，DELAM:f'E,DFtAN于F,且DE=DF,

点B是射线AM上一点,AB=6,BE=2,在射线AN上取一点C,使得DC=DB,则AC的长为.

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N

35.（24-25八年级•福建漳州•期中）如图，已知川？=CQ,BFJ.4C于点、F,DEJ.AC于点、E,AE=CF.求

证：公ABFW4CDE.

36.（24-25八年级上•山西长治・期中）如图，点。是线段的中点，在线段48的同侧作力。=40,BD=BO,

过点C作48于点E,过点£）作。尸8于点产，已知。£=。尸.

(1)求证：/CAB=/DBA；

(2)求证：OE=OF.

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37.（24-25八年级•陕西咸阳•期中）将RtA48C和RLO8七按如图①方式摆放，,

N4CB=NDEB=90。,N4BC=NDBE=60。，点E在线段4B上,延长力石交线段力。于点尸.

图①图②图③

⑴线段EF与CF之间的数量关系是；

（2）若将图①中的AOBE绕点8按顺时针方向旋转角。，且0。＜。＜60。，其余条件不变，如图②，求证:

AF+EF=DE；

⑶若将图①中的绕点4按顺时针方向旋转角夕,且60。v120。,AC的延长线交线段DE于点、F,

其余条件不变，如图③，（2）中的垢论还成立吗？若成立，写出证明过程;若不成立，请写出此时线段力/、EF

与QE之间的数量关系，并说明理由.

题型八添加条件使三角形全等（共3小题）

38.（24-25八年级上•河南周口・期中）如图，已知/C44=/D46,则添加下列一个条件不一定能使

△ABCg△力60的是（）

A.BC=BDB.ZC=ZDC.AC=ADD.NABC=NABD

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39.（24-25八年级上•天津红桥•期中）如图，已知力8=力以NBAD=NCAE,要使还需

添加一个条件，这个条件可以是.

40.（24-25八年级上•内蒙古通辽•期中）如图，已知：点从尸、C、£.在一条直线上，FB=CE,=.能

否由上面的已知条件得出48〃即？如果能，请说明理由；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适

的条件，添加到已知条件中，使AB〃ED成立,并说明理由.

供选择的三个条件：®AB=DE.②/ACB=/DFE；③4=.

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题型九灵活选用判定方法证全等（共2小题）

41.（24-25八年级上•江苏徐州・期中）/8。的6个元素，如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和“8C

全等的是（）

A.只有乙B.只有丙C.甲和乙D.乙和丙

42.（24-25八年级•江西萍乡•期口）下列条件，能判定两个直角三角形全等的有（）

①两个锐角对应相等②两条直角边对应相等③斜边和一直角边对应相等

④一锐角和斜边对应相等⑤一锐角和一直角边对应相等

题型十全等三角形综合问题（共3小题）

43.（24-25八年级上•河北邯郸•期中）在V/8c和"®C中，AB=A'B，乙4="=a,点D,。纷别

在边彳。和边HC'上，BD=B'D',下列判断正确的是（）

①若a=50。，则△力和△力'9。'一定全等；

②若a=90。，则△月8。和△力0。'一定全等.

A.①对②错B.①错②对C.①②都对D.①②都错

44.（24-25八年级上•四川宜宾•期中）如图，在四边形/BCQ中，力。=与力。相交于点

O4DB=ZBCA=90°,则图中的全等三角形一共有对.

45.（24-25八年级上•黑龙江哈尔滨•期中）问题背景：如图1,四边形

ABCD,ABAD=90°,ZBCD=90°,BA=BC,44C=120。，ZA^1V=60°,NMBN绕B点旋转,它的两边分别交

AD.DC于E、F.探究图中线段产之间的数量关系.小白同学探究此问题的方法是：延长尸。到

G,使CG=/E,连接8G,先记明△BCGg△84E,再证明厂G乡△加花，可得出结论，他的结论就

是EF=AE+CF；

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图2

探究延伸1：如图2,在四边形力8CQ中，/BAD=90°,/BCD=9/,BA=BC/ABC=2NMBN,/MBN绕B

点旋转.它的两边分别交A。、DC于E、F,上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或

者“不成立〃），不要求说明理由;

探究延伸2：如图3,在四边形A8C。中，AB=BC/BAD+NBCD=180°,NABC=2NMBN,/MBN绕B点、

旋转.它的两边分交力。、DC于E、F.上述结论是否仍然成立？并说明理由;

实际应用：如图4,在中俄联合军演中，辽宁舰在指挥中心（。处）北偏西30。的4处.瓦良格号舰在指挥

中心南偏东70。的4处，并且两舰到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，辽宁舰向正东方向以75海里/

小时的速度前进，同时瓦良格号沿北偏东50。的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观

测到辽，瓦两舰分别到达E、/处.且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70。.试求此时两舰艇之间的

距离.

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题型十一一正规作图（共6小题）

46.（24-25八年级上•河北廊坊•期中）如图，在V力8C中，AB=AC,甲、乙两位同学都以点B,C为圆

心画出了两段弧，作出V/8C的角平分线力。，那么下列结论正确的是（）

甲的做法乙的做法

A.甲、乙都对B.甲对、乙错

C.甲错、乙对D.甲、乙都错

47.（24-25八年级上•广东江门•期中）在V48c中，ZC=90°,NC48=60。，按以下步骤作图：①以点A

为圆心，小于力C长为半径画弧，分别交力8,4c于点、E、F；②分别以点七、/为圆心，大于;EF长

为半径画弧，两弧交于点G；③作射线4G,交8。于点。，则N4OC的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

48.（24-25八年级上•全国•期中）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法.如图，为了得到

=^AOB,在用直尺和圆规作图的过程中，得到△COO丝△。'。）的依据是.

49.（24-25八年级上•广东江门•期中）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）作V48c的角平分线40.

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50.(24-25八年级上•福建厦门•期中)如图,在Rt△48c中，38=90°

⑴尺规作图：作出△ECQ,使得△力△EC7),其中点E在线段8C上，点。在点。上方;

⑵判断线段力。与OE的关系，并说明理由.

51.(24-25八年级上•北京•期中)作图题.

(1)如图,在平面直角坐标系中,的顶点4(7,4),5(-2,1),C(-4.3),

①8c的面积是,

②已知"BC与△4AG关于y轴对称，请在坐标系中画出△4片G

(2)已知：NAOB

求作：的角平分线OC(要求：用无刻度的直尺和圆规完成作图，保留作图痕迹，不要求写作法)

OB

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题型十二角平分线的性质定理（共5小题）

52.（23-24八年级•重庆南岸•期口）如图，力力是V/18C的角平分线，DF1AB,垂足为/，DE=DG,

△IDG和△力EO的面积分别为48和26,则△£>£）厂的面积为（）

A.11B.22C.26D.37

53.（24-25八年级上•内蒙古赤峰•期中）如图，V48C的三边幺8,BC,C力的长分别为8,10,12,其

三条角平分线将V力8C分为三个三角形，则%）：%。：5皿等于（）

54.（24-25八年级上•江苏扬州•期中）如图，射线OC是408的角平分线，点D为射线OC上一点，DP1OA

于点尸，PD=4,若点。是射线。8上一点，。。=5,则A。。。的面积为.

55.（24-25八年级上•山东临沂・期中）如图，8。平分。交力。于点为4?的中点，已知

4B=4BC=3,=2,则S“火=.

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56.（24-25八年级上•天津•期中）如图，在V/18C中，4。平分/胡。，点。是8C的中点，DE上AB于

点E,DFJLAC于点F.求证：Z5=ZC.

题型十三角平分线的判定定理（共4小题）

57.（24-25八年级上•山东荒泽•期中）如图，点尸是内一点，尸于点£）.PE工BC于点,E,

PF上AC于点、F,PD=PE,贝I」（）

C

B.点P在的平分线上

C.点尸在/C的平分线上D.点?是“力，NB,/C平分线的交点

58.（24-25八年级上•福建原门•期中）如图，在V4BC中，。到48和全。距离相等,N5=40。,ZC=60°,

则“4/1。度数为.

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A

59.（24-25八年级上•福建福州•期中）如图，V/8C中，点。在4c边上，ND4c=40。，/44c的平分线

交4c于点£,过点£作£/148,垂足为尸，且/力"=50。，连接。E.

⑴求证：。七平分N4OC；

⑵若d"-7,AD=4,CD-S,且S“c0=15,求”6£的面积.

60.（24-25八年级上•湖北孝感・期中）如图，在RtA/lAC中，ZJ=90°,点、D,E分别在4C,/也上，且

满足。月=力。，ZDE^+ZC=180°,连接80,求证：8。是的平分线.

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题型十四角平分线性质的实际应用（共4小题）

61.（24-25八年级上•重庆大足・期中）如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息.若

要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（）

/X

八v什

A.三条角平分线的交点处B.三条中线的交点处

C.三条高线的交点处D.以上都不对

62.（23-24八年级上•北京•期中）为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示,

绿化带〃P。，绿化带交绿化带于A,交绿化带于8.若要建一喷灌处到三条绿化带的距离

相等，则可供选择的喷灌处修建点有（）

A.4处B.3处C.2处D.1处

63.（24-25八年级•辽宁沈阳・期口）如图，直线心。表示三条公路.现要建造一个中转站P，使P到

三条公路的距离都相等，则中转站户可选择的点有个.

64.（23-24八年级上•广东广州•期中）如图，要在S区建一个电子商品批发市场，使它到公路加、铁路〃的

距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m,这个电子商品批发市场应建于何处（请在图上标出它的位置,

保留作图痕迹，比例尺为1:20000）.

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题型十五一线三等角模型（共3小题）

⑴将上述解答过程中的空白部分补充完整.

⑵在图1中，除了上面两个角相等、直角相等外，请你再写出一组相等的角.

⑶如图2,是等边三角形，ND=NE=NF=6（T,直角三角形45c的顶点8在边EE上，ZJ=90°,

NZ8c=60。，AB与DE交于点、M,C4与交于点N,请写出图中所有除60“角及对顶角以外相等的角,

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66.(24-25八年级上•河南新乡•期中)综合与实践

在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验.请运用已有经验，对“--线三等角模型”进行研究.

直接猜想

(1)如图1,在V/8C中，NB4c=9伊，力8=力。，点A在直线〃?上，分别过点8,C作直线〃?的垂线，

垂足分别为DE.直接写出。笈，8。与CE之间的数量关系：.

深入探究

(2)如图2,在V/l4c中，AB=AC,D,A,E三点都在直线的上，豆有NBDA=/AEC=NBAC=a(a

为任意锐角或钝角)，此时(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

问题解决

(3)如图3,/BAD=/CAE=9Q。,AB=AD,AC=AE,连接8C,DE,且8c14/于点"，DE与直

线力〃交于点G,试判断OG与GE的数量关系，并给出证明过程.

图1图2图3

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67.（22-23八年级上•全国•期中）如图1,在Rt"C8中，Z5JC=90°,AB=AC,分别过&C两点作过

点4的直线/的垂线，垂足为。、E；

C

3^0/

DAEntDAEm

至132

⑴如图1,当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想，BD、CE、。上三条线段有怎样的数量关系？并说明理

由.

（2）如图（2）,将（1）中的条件改为：在△力8。中，AB=AC,D、4E三点都在直线机上，并且有

/BDA=ZAEC=/BAC=a,其亡a为任意锐角或钝角.请问结论OE=8Z）+CE是否成立？如成立，请你

给出证明；若不成立，请说明理由.

（3）如图3,ZZ?/iC-90°,4C—20.点F从，点出发沿路径向终点。运动；点。从

C点出发沿Cf4路径向终点8运动.点P和。分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，各自

到达终点时停止运动；在运动过程中，分别过P和。作比_!_/于凡QGU于G.问：点P运动多少秒时,

△PFA与&Q4G全等?（直接写出答案）

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题型十六手拉手模型（共3小题）

68.（24-25八年级上•贵州铜仁•期中）【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰

三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图

形称为“手拉手模型

【材料理解】（1）如图1,V48。与V力OE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且NB4C=NDAE,则

有也；线段4。和CK的数量关系是.

【深入研究】（2）如图2,V/8C与V/OE都是等腰三角形，4B=AC,AD=AEf且/比fC=/。力£=90。，

请判断线段8。和CE的数量关系与位置关系，并说明理由；

【深化模型】（3）如图3,AB=BC,N4BC=NBDC=601BD=\ZCD=7f求力。的长.

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69.【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模

型因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型

A

艮

图1

⑴【初步把握】如图1,v48c与V/OE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且ZBAC=2DAE,则有

线段8。和的数量关系是_；

(2)【深入研究］如图2,V//8C和V/OE是都是等腰三角形，BPAB=AC,4D=4E,且NB/C=NO4E=90。,

B,C,。在同一条直线上.请判断线段3。与CZ?存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由；

⑶【拓展延伸】如图3,直线4_L，2，垂足为点。，/?上有一点M在点0右侧且OM=4,点儿是4上一个

动点，连接MN,在MN下方作等腰直角三角形MWP,ZMWP=90°,连接。P.请直接写出线

段0P的最小值及此时。N的长度.

70.(24-25八年级上•福建南平・期中)【综合与实践】

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星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形

构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形.数学兴趣小组同学称此模型为“手

拉手模型〃.请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题.

(1)如图1,在V45C和叮中,AB=AC,AE=AF,NBAC=/EAF=3G,连接BE,CF,延长8E交

C尸于点O.则N8OC=1

(2)如图2,在V44。和中，AB=AC,AE=AF,=/=a(90。＜。＜180。)，连接8E,CF,

延长BE,尸C交于点。.请猜想“与W的数量关系及NBOC的度数(用含。的代数式表示)，并说明理

由；

(3)如图3,在Y44C和△4£/中，/1B=AC,AE=AF,/BAC=NEAF=90。,连接“，CF交于点、D,

连接CE，连接力。并延长交CE于点G,直接写出NCQG的度数.

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题型十七角含半角模型（共2小题）

71.（22-23八年级上•江西宜春・期中）问题背景：“半角模型〃问题.如图1,在四边形力8c。中，AB=AD,

/胡。=120。，Z5=ZJDC=90°,点、E,尸分别是5C,CO上的点，且/4F=60。，连接E/L探究线段

BE,EF,。尸之间的数量关系.

⑴探究发现：小明同学的方法是廷长尸。到点G.使。G=8E.连结力G,先证明△ABEgZvlOG,再证

明△力四丝△AGF,从而得出结论：：

（2）拓展延伸：如图2,在四边形为4CQ中，AB=AD,Z5+ZD=180°,E、尸分别是边AC,C。上的点，

且=请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由.

⑶尝试应用：如图3,在四边形,44。。中，AB=AD,〃+N/C=180。，E、/分别是边〃C,CO延长线上

的点，且NE"=；NBAD,请探究线段8£,EF,。尸具有怎样的数量关系，并证明.

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72.（24-25八年级上•全国・期中）【问题发现】如图1,正方形（四边相等，四个内角均为90。）中,

E、/分别在边8C、CD1.,且/以尸=45。，连接七斤，这种模型属于"半角模型”中的一类，在解决“半角

模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路.大致思路：巧妙地通过辅助线在力〃边向外构造△力C汨，使得

^AGB^AFD,进而证出NG/K度数，最后证明△力GK丝△力反，即可得出结论.请补充辅助线的作法，并写

出完整证明过程.

（1）延长C8到点G,使8G=,连接4G.

(2)求证：EF=BE+DF.

【问题应用】如图2,在四边形力中，AD-AD-4^,-/。-90。，皿D—120。，以月为顶点的

NE4F=6b,HE、4F分别交BC、CD于E、F,且万产=5cm,求五边形49EFD的周长

题型十八利用“倍长中线法”构造全等三角形（共3小题）

73.（24-25八年级上•河北保定•期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线

法.

图⑴图⑵

⑴如图（1）,力。是VABC的中线.且AB>AC.延长AD至点E.使ED=AD.连接BE.求证：VADC^EDB.

（2）如图（2）,/I。是V/4C的中线，点E在4C的延长线上，CE=ABfZBAC=ZBCA,求证：AE=2AD.

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74.（24-25八年级上•广东汕头・期中）【方法呈现】

如图：在V48c中，若4B=6,彳。=4,点。为AC边的中点，求8C边上的中线力。的取值范围.

A

E

解决此问题可以用如下方法：延长4D到点、E使DE=4D,再连接8E,可证△力。。丝4£8。，从而把48、

AC,21。集中在△4中，利用三角形三边的关系即可判断中线力。的取值范围为，

这种方法我们称为倍长中线法：

【问题背景】

在》8W中，AM1BM,垂足为A/,4”=8”,点。是线段力用上一动点.

（1）如图1,点。是5W延长线上一点，MD-MC,连接片。，若BD-17,求3。的长；

图1

【构建联系】

（2）如图2,在（1）的条件下，点£是“8M外•一点，EC=AC,连接ED并延长交8C于点R且点/

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75.（24-25八年级上•山西大同•期中）阅读理解

中线是三角形中的重要线段之一.在利用中线解决几何问题时，当条件中出现〃中点中线"等条件时，可

以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同

一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”

教

学

楼

（1）如图1,在V/8C中,4B=6,JC=10,。是的中点，求BC边上的中线力。的取值范围.小明在组

内经过合作交流,得到了如下的解决方法：延长力。到点E,使。£=连接8E.可以判定△4DC且△瓦）8,

从而得到/C=E3=IO.这样就能把线段力艮力集中在中，利用三角形三边的关系，即可求

出中线力。的取值范围是（请直接写出答案）

（2）为了测量学校旗杆48和教学楼C£•顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先

取地面BC的中点。，用测角仪测得此时NADE=90°,测得旗杆高度/出=9m,教学楼高度CE=18m,求AE

的长.

⑶如图3,△48。和△力CE均为等腰直角三角形，连接QE,BC,点”是8C的中点，连接E4并延长，与

相交于点G.试探究并直接写出：力石和/厂的数量关系和位置关系.

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题型十九利用角平分线构造全等三角形（共3小题）

76.（24-25八年级上•河北保定•期中）【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法.如图

1,0P平分NMO/V,A为OM上一点、,过点4作AC1OP,垂足为C,延长4c交ON于点B,可直接根据

（填字母依据）证明△4OCg△4OC；

【类比解答】（2）如图2,在V48C中，NB+NBAC=13（T,CD平分N/C8,4ELCD于点E,延长4?

交BC于点凡求乙4代的度数；

【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边48与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块

直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取ZABC的平分线BD：②过点力作1BD

于点。.已知8c=15,18=10,V/8c的面枳为30,请直接写出△48。的面积；

【拓展延伸】（4）如图4,在V/18C中，AB=AC,Z5JC=90°,CO平分/4C8,BE工CD,交CD的

延长线上于点£,试探究和之间的数量关系，并证明你的结论.

I）

图3图4

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77.(24-25八年级上•重庆・期中)(1)【问题情境】

利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，