人教版七年级数学下册期末复习专练：二元一次方程组

专题四二元一次方程组

01知识结构

①含有两个未知数

二元一次方程②含有未知数的项的次数都是1

③是捏式方乌

二元一次方程的解

相关使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值

定义

①含有两个未知数

二元一次方程组丁-

②一共有两个方程，每个方程都是一次方程

③两个方程都是整式方程

代人消元法

一■①变形；或入;③求解;④回代;⑤写解

加减消元法

①变形；②加减;③求解;④回代;⑤写解

元

次

方步骤

程[①审；②设;③找;④列；⑤斛;⑥答

组

实际应用,^一—设未知数，列方程组

实除-------------------[数学问题

词题解方程组

-------------1数学问题的解

检脸

一）实际问题的答案

①含有三个未知数

定义②含有未知数的项的次数都是1

③方程组中共有三个整式方程

三元一次

方程组代人消元法

解法（

加戒消元法

02重难点突破

重难点1二元一次方程组的解法

【例I】.用指定的方法解下列方程组

x=\-y

(1)（代入法）

2x+4y=5

3x-2y=6

叫2x+3)，=17（加减法）

方法指导

二元一次方程组通常解法两种：代入法，加减法，我们可以根据具体的情

况选择简便的解法，如果方程中有未知数系数是1时，一般可以应用代入消元

法，如果两个方程的相同未知数系数相同或互为相反数时，一般采用加减消元

法，如果方程组中系数没有特殊规律，采用加减消元法。

变式训练1

1.解二元一次方程组：

[3u+2t=l

⑴6”"广

x=>'-1

(2)

2y-3x=r

3（2x+y）-2（x-2y）=26

篙3,若设"―…，则原方程组化为

2.解方程组

3m-2/7=26〃？=82x+y=8解得|x=3

2…甘3,解得i所以2,我们把某个式子看成一个整

体，用•个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法.

cue+Z?v=6,x=-2

⑴关于不，）'的二元一次方程组i:3的解为），=4'则关于小〃的二元一次方程组

ci(m+n)+b(in-n)=6

/+〃3=〃；=3,其中"

m-n=,解得〃?=

（2）知识迁移：请用这种方法解方程组23

2(x+y)+x-y=16

a.x+h,v=c.的解为[kx=-43'求关于D

(3)拓展应用：已知关于工，的二元一次方程组

2dx+3/>y=5q

的方程组，l1的解.

2a2x+3b2y=5c2

_7

nix+y=5

3.甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了“，解得;乙解

4.v-7?y=20

，'二一2

x=4

题时看错了〃，解得一”•请你根据以上两种结果，求4〃?+3〃的平方根.

4.请你根据王老师所给的内容，完成下列各小题.我们定义一个关于非零常数。，〃的新

运算，规定：。ob=ax+by,例如：4o5=4x+5y.

⑴如果J=5,204=78,求y的值;

⑵若1。(-2)=6,403=2,求X,<的值.

2x+y=-\3x-y=6

5.已知关于x,的方程组和，有相同的解.

ax+by=\3bx-ay=9

(1)求这个相同的解;

\2O25

—a+b的值.

2)

重难点2二元一次方程的整数解

【例2].已知二元一次方程5x+3y=22.

(1)把方程写成用含x的代数式表示y的形式，即V=

(2)填表，使x,)，的值是方程5x+3y=22的解；

X12345

y

(3)求方程的非负整数解.

方法指导

二元一次方程一般有无数组解，在特定情况下有有限的解，通常用含一个

未知数的式子表示另一个未知数，再在给定的条件下取特殊值，确定另一个未

知数的值，

2万元，请问该工厂有几种生产方案？

任

务在任务2的条件下写出所有可行的生产方案.

3

5.阅读下面材料，完成任务.

我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解.

y>0

415

例：由3x+4y=15,得x=5-；)，(羽为正整数)，二14八，则有0<y<-r.

35——y>04

3

44

乂x=5-?为正整数，..)，为正整数，

为3的正整数倍数，从而)，=3,

.*.x=5--y=l,.•.3x+4)=15的正整数解为，

3[>,=3.

任务：

⑴请你写出方程2x+3y=7的正整数解：；

(2)若一二为自然数，则满足条件的整数工有_____个；

x-3

(3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本5元的笔记本与单价为每支7

元的钢笔两种奖品，共花费75元，问有哪几种购买方案？

重难点3二元一次方程解的概念的应用

【例3】.若关于x,y的二元一次方程组咪满足x+),=3,求，〃的值.

方法指导

能使方程组成立的未知数的值叫做方程组的解，如果一对对应值能够使方

程成立，则这一对值一定是方程的解，反过来是方程组的解，代入方程一定左

右两边值相等。

变式训练3

1.阅读与思考

对于未知数是x，的二元一次方程组，如果方程组的解乂），满足k-3=1,我们就说方程

组的解X与），具有“邻好关系”.

3m4的解"与,是否具有“邻好关系”呢？说明你的理由.

（|）方程组

（2）若方程组,的解k与y具有“邻好关系”，求机的值.

4x—y=86-1

2.已知方程组的解满足求”的值.

3.计算:

（I）解方程组：

aJ

(2)解方程组：《433

5(x-9)=6(y-2)

2x-y=k+6

⑶如果关于居），的方程组

X-y=5的解适合方程求A的值.

2%+3y=19[3x-2y=9

（4）关于文，y的方程组与"版+―有相同的解‘求〃十它3的值.

1ax+by=-1

C'(其中q,A，q,生，为，是常

4.对于关于孙）'的二元一次方程组

a2x+b2y=c2

数），给出如下定义：若该方程组的解满足|x+N=l,见称这个方程组为“开心”方程组.

（1）下列方程组是“开心”方程组的是（只填写序号）;

x+y=0x+y=\x-y=-\

①；②

2x-y=02x-y=23>x+5y=7

2x+5y=4&+3

⑵若关于x,）'的方程组5x+2），=5d是“开心”方程如求人的值;

:祟丁）…都是“开心”方程如

⑶若对于任意的有理数”，关于“，的方程组

求面的值.

（2x+3y=-4f3x-2y=7

5.已知关于x,丁的方程组//和/।有相同的解.

ax+by=-4⑷+加;=一1

（I）求这个相同的解.

⑵求的值.

重难点4二元一次方程组解决实际问题

【例4】.根据以下素材，探索完成任务.

设计奖项设置和奖品采购的方案

某学校举办七年级数学知识竞赛，需考虑获奖人数以及奖品购买方案

素材已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520

1元.

素材

学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品.

2

问题解决

任务

确定单价求一盒水笔和一包笔记本各多少元？

1

任务

确定购买数量将88（）元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？

2

方法指导

列方程解应用题的步骤是：（1）审题，弄清楚题目中的已知量、未知量。

（2）设，设未知数，（3）根据等量关系列出符合题意的方程组。（4）解方程

组。（5）检验并作答。

变式训练4

I.一列快车长为230m,一列慢车长为220m.若两车同向而行，则快车从追上慢车开始

直到完全超过慢车需要38；若两车相向而行，则快车从与慢车相遇开始到完全离开慢车

只需要6s.快车和慢车的速度分别是多少？

2.某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式.在一次作业中，一架无

人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过

测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍.请问一架无人机和一名工人共

同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由.

3.某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相

等）.加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器.（加工时接缝材料不计）

4横式

图1图2

（I）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片张，正方形铁片

______张；

⑵现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部

用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？

（3）把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒.现准备用33张铁板先做成长方形铁片和正

方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板有两种裁法：

方法1：可以裁出3个长方形铁片；

方法2：可以裁出4个正方形铁片.

若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？

4.推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴.某合作社着力发

展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进柠檬和苹果

两种水果共1500千克进行销售，其中柠檬的购进单价为10元/千克，苹果的购进单价为15

元/千克.求柠檬和苹果两种水果各购进多少千克？

5.七年级某数理兴趣小组在开展活动中，组长小明裁剪了16张一样大小的长方形硬线

片，组员小亮用具中的8张恰好拼成一个大的长方形，小聪用另外的X张拼成一个大的正

方形，但中间留下一个边长为1cm的正方形（见如图中间的阴影方格），请你算出小明裁剪

的每张长方形硬纸片长与宽分别是多少cm?

小亮拼图小聪拼图

重难点5数学思想

1.建模思想

【例5-1】.为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市居民“一户

一表''牛活用水阶梯式计费价格表的部分信息如下：（水价计朝二自来水销化涉用+污水处理

费用）

每户每月用水量每吨自来水销售价格/元每吨污水处理价格/元

17t及以下a0.80

超过171不超过30t的部分b0.80

超过30t的部分6.00.80

已知小王家2024年4月份用水20t,交水费83元；5月份用水251,交水费108元.

⑴求。力的值；

（2）6月份小王家用水32t,应交水费多少元？

方法指导

实际问题建立方程模型，将问题中的关键语句转化为数学问题，建立方程

模型。

变式训练5-1

1.《孙子算经》中有这样一题，原文：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈

绳量之，不足一尺.问长木几何？大意：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，

将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？

2.列二元一次方程组解决实际问题:

为丰富课余生活，加强体育锻炼，七年级（1）班计划购置跳绳和排球作为锻炼器材.已知

购买2个排球和5根跳绳共需350元：购买4个排球和3根跳绳则需490元.该班共有45

名学生，需为每人配备1根跳绳，且每三名学生共用1个排球.若该班统一采购这两种器

材，已筹集经费2700元.请问这笔经费是否能满足本次采购需求？

3.列二元一次方程组解决下列实际问题:

每年的5月8日是国际红十字日，这一日某校组织献爱心捐款，其中初一（1）有36名同

学参加，共捐得1200元，捐款情况如下表:

捐款

100502010

（元）

人数24

表格中捐款50元和20元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你根据表格提供的信息

计算分别有多少同学捐5。元和20元.

2.转化思想

【例5-2].请你根据王老师所给的内容，完成下列各小题.我们定义一个关于非零常数

a,〃的新运算，规定：aob=ax+by,例如|：4。5=4/+5），.

(1)如果x=5,2O4=-18,求的值;

⑵若1。(-2)=6,403=2,求x,的值.

方法指导

把新定义问题转化为二元一次方程组问题，解方程组得出结论。

变式训练5・2

i.对于有理数，规定新运算：入※），=⑪+。y+冷\其中〃是常数，等式右边的是通常

的加法和乘法运算.已知：2X1=6,（-3祥3=3,求4※〃的值.

3x+7y=5/n-3

2.问题：已知关于x,丁的方程组33；，=8的解满足方程"2>=5,求，〃的邑

同学们正在讨论着不同的解题思路:

3x+7y=5〃?一3

甲同学说：可以先解关于x,y的方程组。。，再求〃，的值.

2x+3y=8

3x+7y=5ni—3

乙同学说：可以先将方程组cJc中的两个方程相加，再求小的值;

2.r+3y=8

丙同学说：可以先解方程组）

请选择一种合适的方法解决上面的问题.

x-3y=k+2

3.已知二元一次方程组。,八的解适合方程3%-），=-8,求女的值.

2x-y=k-9

3.整体思想

【例5-3].阅读材料：善于思考的小军在解方程组

换''的解法:

解：将方程②变形为4