辽宁省大连市2024-2025学年高一年级下册期末考试数学试卷（含答案解析）

辽宁省大连市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

学校;姓名:班级:.考号:

一、单选题

i.已知z=」(i为虚数单位)，则口=()

9-1

A.1B.x/2C.2D.4

2.已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，点A(2,0)、点B当

,则向量37一和0B的

夹角为()

71兀5n27r

A.-B.一C.D.

636V

3.已知sin+0)=3sin(a-0),tana=，”⑶爪,则帆=()

1B,I

A，3C.2D.3

4.已知函数/(x)的周期为2兀,且在(0,兀)上单调递增，则/(x)可以是()

A./(x)=sinvB./'(x)=sin、C.f(x)=cos2xD.f(x)=tan2x

5.已知正四棱台上底面边长为I,下底面边长为2,体积为7,则正四棱台的侧棱与底面所

成角的正切值为()

A.史272

B.0rD.30

6.在V4BC中,已知lanA,lanB是关于x的方程F+〃(x+l)+1=0的两个实根，则C=()

7171、3兀

A.-B.-D.—

64cT4

7.已知函数/⑴=Asin"。)力>0.0>0.0唱的部分图象如图所示，则()

A./(x)=2sin2x+-

k6,

B.将/（x）的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移/个单位，得到g（x）的图

象，则g（x）=2sinX+—

k6/

C./（X）的对称中心为E—：,0,keZ

D.若且/（X1）=/（X2），则/（M+X））=S

ri，

I，旦62.汕・.「+15=0,则出+心

8.已知非零平面向量/,6，J是单位向量，〈20〉

()

R凤3

A.4D■--------C.D.1

3

二、多选题

9.下列命题是真命题的是（）

A.直线机不平行于平面Y,且〃，丈Y,则平面y内不存在与〃?平行的直线

B.两条直线平行是它们与同•平面所成角相等的充分不必要条件

C.平面。、6，aJ_6,an。:/，过6内的任意一点作直线〃?_L/,则〃?J_a

D.空间中，一个角两边分别垂直于另一个角两边，则这两个角相等或互补

10.设复数Z在复平面内对应点为Z,则下列说法正确的是（）

A.若z（i-l）=i=l,则点Z在第二象限

B.若z为纯虚数，则点Z在虚轴上

C.若z|w3,则点Z的集合所组成的图形面积为9兀

D.若|z|=1,则z+L为实数

11.已知正方体人8C。-AB=a,且直线AP与直线CG夹角为则下列说法正

确的是（）

A.若点P在棱CG上，且lan°=2g,则PG=a

B.若0=三，且点?在面上，则点P的轨迹长度为也竺

A6

C.。是ABC。-A当GQ面上的动点，。尸_1_AC,则P的轨迹图形面积是受疗

试卷第2页，共4页

D.点P为截面4GB上的动点，DPA-AXC,则点P的轨迹长度是、12a

三、填空题

12.若关于x的方程丁-21+。=0(0£阳的一个虚根的模为3,则c的值为.

13.将函数/幻=2tar(磔+?](0>0：的图象向左平移出个单位，得到函数式v).图象，若

函数式工)为奇函数，则W的最小值是.

14.已知〃足球0的直径45上一点，AH:HB=1:3,AB±a,”为垂足，平面。截球。所

得截面的面积为3兀，M为。内的一点，且M"=1,则球O的表面积为；过点M作球

。的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为.

四、解答题

15.如图，在直三棱柱48C-A归1G中，已知AC_|_3C,侧面3CG以为正方形，设A丛的

中点为。，B.CAfiC,=£.

(1)求证DE//平面A|B,C|；

⑵求证：8G平面4c8一

16.已知VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且。=反osC+csinB.

(1)求角6:

(2)若〃=君,〃=1，求VABC的周长.

17.如图，在四棱锥S-A6C/)中，平面加。_1_平面A8CQSA=SQ=AQ=2,四边形"CO

为正方形，£M分别为人。、8c的中点.

试卷第3页，共4页

《辽宁省大连市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案ABCBDDDDABBCD

题号11

答案BCD

1.A

【分析】利用复数除法求出z，进而求出其模.

【详解】依题意，z=G；2?；+：)=]=i,所以z|=|.

(2-i)(2+i)5

故选：A

2.B

cOAOB

【分析】由向量夹角的公式8$0二矶的求解即可，注意向量夹角的取值范围.

,、c疔--kn⑶

【详解】因为点A(2,o)、点82*T，所以OA=(2,o),OB=

所以。/=2口8|=1,况・丽=2x：+0x曰=L

—_-_OAOB1

设向量OA和08的夹带为a因为00s网厨=5，

乂因为owes兀，所以。二四，

所以向量O4和oB的夹角考.

故选:B.

3.C

【分析】利用两角和与差公式对已知等式进行展开，然后通过等式变形得到tancr与lar.。的

关系，从而求出机的值.

【详解】已知而(。+6)=3§访(。-8)，根据两角和与差公式，

将等式展开得到：sinacos/3+cosasinp=3(sinacos/3-cosasinp),

展开得：4coscrsin/3=2sinarcos/3,

因为tanx=s,,',由4cosasin。=2sinacosjB,

CCSY

两边同时除以2cosasinB(cosaH0JicosjB#0,若cos。=0或cos£=0,则正切函数无意

答案第1页，共15页

义），

,4cosasinB2sinacos8八

可得：；------7-=；------2tanP=tana,

zcosasinB2cosasinB

已知lana=mlan。,又2tanB=tana,

所以m=2.

故选：C.

4.B

【分析】结合三角函数的周期性定义和三角函数图象逐选项判断即可.

【详解】对于A,/（A）=siiu-,结合正弦函数图象可知.xefo,y时，/（x）单调递增,

xel7T时，/（X）单调递减，故A错误；

\2）

对于B,心）=s吟，〃x+27t）=sinq5=sig+兀]H吟所以周期为2兀，

因为工£（0.兀），所以六（0,5,所以/（x）=si[,=si吟：

结合正弦函数图象，函数在（0,工）上单调递增，故B正确；

对于C,/（x）=cos2x,因为工£（0,兀），所以2丫£（0,2兀），结合余弦函数图象可知，

函数在0,三单调递减，在单调递增，故C错误；

I2,12,

对于D,/（A）=tan2^,当x二：时，函数无意义，所以在（0,冗）上不单调递增，故D错误，

故选：B.

5.D

【分析】画出相应图形，借助正四棱台的性质及体积公式可得其高，结合线面角定义计算即

可得解.

【详解】如图所示，作于点M,

则SM'O+ZlJrx2[xA]M=7,即4M=3,

2拉_拉_6

7

tan_tAAM=~~=

则'lAMV2.

V

由正四棱台的侧棱与底面所成角即为4A与底面ABCD所成角,

答案第2页，共15页

设其为8,则6=±AAM，即tan0=tan±AAM=彳£

故答案为：30.

【分析】利用韦达定理与和差公式即可得解.

【详解】因为tanA,tanB是关于x的方程/+〃K+〃+1=0的两个实根，

所以tanA+tanB--p,lanAlanB=p+1.

所以tanC=tan［—（"B）］=-tan（"B）=-署悬"匚高=-l

因为cw（o,兀），所以c=与.

4

故选：D

7.D

【分析】根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，判断A；利用正弦函数图象平移

变换可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对于D,结合已知利用换元法推出M+々=3

n

代入求值，即可判断.

【详解】由图知人=2,7=2（；+升兀，故w=§=2,

又/G）过点（一£,0、，且该点在函数增区间上，故/一四］二凶，一:+0）=0

16，<6J<3J

则一二+0=2£兀kWZ,则°=石+2〃兀,〃eZ,结合0<三，则0=2,

3323

故/G）=2sin〃+g）：A错误；

将/（工）的图象上所有点横坐标变为原来2倍，可得），:2si《x+］）的图象，

再向左平移1个单位，得到乳。的图象，则g（%）=2si«x+与>B错误：

令21+四=ATT,A£Z,则工=1履一色人£Z,

，76

答案第3页，共15页

即/G）的对称中心为佶EJ,0,kGZ,C错误;

126y

因为一々<7"，且f（K）=f（*2）,令％=2玉+彳,2=〃2+'H工3

则八/2£（o,兀）,sinf]=sin",贝必+4=九，

则2（%+々）="/.》+电=[

SO

故/（X1+xJ=/£〕=2sin*=G,D正确，

16，3

故选：D

8.D

【分析】根据给定条件可得|石-4%二I,利用向量夹角及模的几何意义将问题转化为圆上的

点到射线距离最小值求解.

【详解】由屋是单位向量，修e-+15=0,得f・4ey=1,即化4e|=1,

作向量di9c4区贝lj|即=|毛格-"1=1,

点B的轨迹是以。为圆心，1为半径的圆,

过。作射线。4的垂线8，垂足为。，

——"•"•""

所以|b+G*=IOB-。4m尸10)1-1=1OC|sinz-l=l.

n

故选：D

9.AB

【分析】依据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系以及线面角、空间角的相关知识,

结合举例，来对每个命题逐一进行分析判断.

【详解】对于A,已知直线〃]不平行于平面V,小丈V,那么直线，〃与平面V相交.

假设平面Y内存在与，〃平行的直线力，根据直线与平面平行的判定定理可得〃〃/Y,

这与已知条件矛盾，所以平面y内不存在与机平行的直线，故A正确；

对于B,若两直线平行，根据线面角的定义和性质，它们与同一平面所成的角一定相等，

答案第4页，共15页

所以两直线平行能推出它们与同一平面所成的角相等；

但是两直线与同•平面所成的角相等时，两直线可能平行、相交或异面,

因此，两直线平行是它们与同一平面所成的角相等的充分不必要条件，故B正确；

对于c,根据面面垂直的性质定理，此垂线〃？必须在平面£内才垂直于平面而题中的垂

线阳不一定在平面£内，故C错误；

对于D,如图，。介夕=/,过平面a内点。作。4_L/丁点4,点S£a(4£04),

连接。8,

过平面夕内一点C作COL于点D,点夕(E£C。),连接CE,

则。1_1_夕，CD1_a,又CEL00B(-a,故。AJLCEO8_LCQ,

但是上4。8和上。CE大小关系不确定，故D错误.

10.BCD

【分析】对于A,求出复数z进行判断即可，对于B,根据纯虚数的定义分析判断，对于C,

由“03结合复数的几何意义分析判断，对于D,设z=a十齿，则标十力。=1,再化简2十：判

断.

【详解】对于A,由z(i-l)=i3-l,得二二二।+?’T：l)2.

1-1(1-1)(14-1)-2

所以复数z在复平面内对应点为Z(0,1)在)，轴，所以A错误；

对于B,因为z为纯虚数，所以点Z在虚轴上，所以B正确，

对丁C,因为复数a在复平面内对应点为Z,且口三3,所以点Z在以坐标原点为圆心.3

为半径的圆上或圆内，

所以点Z的集合所组成的图形面积为兀X3?=9%，所以C正确，

对于D,设z=a+砥。,2GR),因为|z|=1，所以"+=1，

11a-h

所以z+—=a+bi+----7=a+〃i+-------------

-a+bi(a+biXa-bi)

答案第5页，共15页

=a+b\+---：=〃+加+“T，i=2«£R,所以D正确.

a2+b2

故选：BCD

il.BCD

【分析】对A,由题易得夕;上4PC,运算得解；对B,由题可得点P的轨迹是以4为圆心,

所含圆心角为g的圆弧，运算得解；对C,由题易证ACJ_平面8OG，可得点2的轨流图

形是△BOQ,求解判断；对D,由C,可确定点尸的轨迹得解.

【详解】对于A,如图，点P在CG上，则夕二上APC,所以tan0=2窄=2⑸

4,故A错误;

对于B,因为CG//AA-所以直线4P与AA1夹角为0=四,

6

所以射线AP的轨迹是以A%为轴，轴截面等腰三角形顶角为1的圆锥侧面，

当点P在底面A冏GQ内时，AF=ga,

点P的轨迹是以人为圆心，所含圆心角为三的圆弧，轨迹长度为］又尊=您9，故B正

2z5n

确；

对于C,如图，连接AC,BD,BC.,DC1,

由4A_L平面ABC。，BOL平面ABC。，则8。_1_4次，又BO_1_4C,

A.AIAC=A,A/,AC-平面A/C,故8。工平面A|AC,

答案第6页，共15页

A(L平面A|AC,所以AC_L8。,

同理，可得AC_1_8G,而=B,BD、BG「平面B/)G，

所以ACJ_平面BOG，因为AC，。。，所以。Pu平面BOG,又P是正方体

ABCD-ABCA面上的动点,

所以点尸的轨迹图形是ABOC；,易知是正三角形，边长为J%,

所以点P的轨迹图形的面积为半、(及。了=岑，故C正确:

对于D,由C可知，£)尸匚平面3OG,又点P为截面4c归上的动点，平面为。园0平面

BDC、-C,B,

所以点尸的轨迹是线段,长度为,故D正确.

故选：BCD.

12.9

【分析】求出方程的根，再利用复数模的意义列式求出c.

【详解】由方程f-2v+c=0,得(x-l)2二1-c,依题意，c>l,解得x=l±J-c-li,

由|1±>/-Hi=Jl+(c-l)=3；所此=9.

故答案为：9

13.1

【分析】求出平移后的解析式，根据函数的奇偶性得到方程，求出w=-2+3&MWZ,进而

得到最小值.

【详解】/5)二2ta《“x+；)(0>O)的图象向左平移点个单位，

得到函数g(x)=2tan1混+等+yj(ry>0)

答案第7页，共15页

因为g(Q为奇函数，所以处+F=@«WZ,解得W=-2+3%,A£Z,

6?，

又w>0,故当上二1时，W取得最小值，最小值为1.

故答案为：1

14.167t立

【分析】由题意截面的面积为3冗求出截面圆半径，继而可求球的半径，即可求得球。的表

面积；过点M作球。的截面，确定截面圆与OM垂直时，球心到截面圆的距离最大，即可

求得截面面积最小时，截面圆的半径.

【详解】设球。的半径为R,由于4”：，8二1:3,故人”=%,：O〃=，，

球。所得截面的面积为3兀，设截面圆半径为乙则3冗1rJ],

则R2=/+。”2,即足=3+二'，解得R=2,

4

故球O的表面积为4兀*=16兀；

过点M作球。的截面，则当截面面积最小时，只需该截面圆的半径最小；

设球心到截面圆的距离为d,设截面圆半径为〃，贝妙=J，

故只需d最大，此时截面圆与。历垂直，

即%、=OM=J(O〃)々=J+2=JE=Q

故匕“二47==6i

故答案为：16几：72

答案第8页，共15页

15.（1）证明见解析；

（2）证明见解析.

【分析】（1）根据中位线性质证明QE//AC,结合直楂柱性质和线面平行判定定理可证;

（2）先证AC_LCG，然后结合正方形性质和线面垂直判定定理可证.

【详解】（1）：侧面6CC圈为正方形，且从CD8G二七，・•・£为8c的中点，

又。为。A的中点，：DE门AC,

又:直三棱柱ABC—A0G中，A.C./MC,:A\CJIDE.

又DE文平面A产£,L平面A冏G，

:DE//平面ABC].

（2）:直三棱柱ABC—,:CG-L平面ABC,

又4cL平面ABC,：ACJLCC,,

又AC_L8C,BC,CC\L平面3CCC，BCACC,=C,

:AC_L平面BCG.

又BGU平面BCG，:AC_L8G.

:侧面8CC，为正方形，：BC,J_5]C,

又3|CnAC=C,B[C、ACL平面AC",

：BC,J_平面48,.

c兀

16.（1）^=-

4

⑵1+石+2公

【分析】（1）由正弦定理，结合三角形内角和定理，可求角8.

（2）利用余弦定理可求边C,进而求三角形的周长.

【详解】（1）：a=/x:osC+csinB,

:由正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinCsinB,

又:A+8+C=兀，：sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCsinB,

即sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinZ?,

答案第9页，共15页

：cosBsinC=sinCsinB,

又：△ABC,:sinC>0,：sinB=cosB.：tanB=1,

又：0<B<7t,：8==.

4

(2)由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB,

2

5=1+c-2x1xex—：

9

即J2r_4=0,：1一26)9+")=0:

:c=2g或。=一6(负值舍去)，

Q+b+c=1+\[5+2拉.

:4ABC的周长为1+J5+2J2.

17.(I)平面SCO,平面SA8

(2)证明见解析

(3)存在，事

n

【分析】(1)由已知可得A8//ME,DC//ME,然后由线面平行的判定定理可得结论：

(2)由已知面面垂直可得AB_L平面加。，再由面面垂直的判定定理可证得结论：

(3)当N为SC中点时，满足条件，连接EC,ON,SE,DM,设。加(1£。=0,可得NO//SE,

SE±ADf可结合面面垂直可得NOJ_平面48CO,然后由面面垂直的判定得平面力MM1,平

面ABCD,利用等体积法可求得三楂锥C-QMN体积.

【详解】(1)因为四边形A8CQ为正方形，EM分别为A。、8c的中点.

所以AE=DE=MC=BM,AE//BM,DEHCM,

所以四边形ABME和四边形QCME均为平行四边形，

所以AB//ME,DC//ME,

因为ME文平面SAB,人BL平面"8,"七丈平面SCO,OCL平面SCO,

所以EM//平面S48,EM//平面SC。；

(2)因为四边形A8CQ为正方形，所以AA_LA。，

因为平面SAOJ_平面48CQ,且平面SAOn平面48C。=AO,48匚平面48。。，

所以A3_1_平面54。.

因为ABu平面S4B,所以平面5<。平面SA8.

(3)存在，当N为SC中点时，平面。MN±平面人BCD.

答案第10页，共15页

证明：连接EC,ON,SE,DM,设。MflEC=O,

因为四边形ABCD为正方形，E,M分别为A。、BC的中点,

所以ED//CM,ED-CM,

所以四边形EMC。为平行四边形，所以EO=CO.

因为N为SC中点，所以NO//SE.

因为SA=SD=AD=2,E为AO的中点，

所以SE_LAO.SE=Ji,NO=—.

?

因为平面S4OJ_平面ABC。，平面5月。0平面43。。二4。，SE-平面SAO,

所以S£_L平面ABC。，

所以NOJ_平面A8CQ.

又因为NOL平面。MN,所以平面。MN_L平面A8CQ.

所以存在点N,使得平面。MNJ_平面ABCO.

则Vc-DMN-Vv-CQM--XyX2xlx~~~~~•

18.(1)证明见解析

(2):

【分析】(1)先根据线面垂直的判定定理证明BC_L平面PAC,再根据线面垂直证明线线垂

直.

(2)做出二面角C—〃"—/)的平面角,解二角形,求二面角的平面角的余弦.

【详解】(1):尸A_L平面圆O,又：3。一平面圆O,:PA_L3c.

是圆。的直径，：AC.LBC.

QPAIAC=A,又PALT面PAC,4cL平面PAC.

：8CJL平面P4C.

又：PCL平面PAC,.PC_LBC.

(2)如图：

答案第11页，共15页

过点。作C”_LPB,垂足为“，连接。〃，

2冗

:CD±AB,_tCAO=-,：_t：CAD=

:Aff=4,：AC=AD=2,:BC=BD=28、

在MCO中，由余弦定理得CD2=AC?+AD2—2AC.ADCOST2TU

:.CD=2为

:PA垂直圆。所在的平面，又：ACAD,/WL圆。所在的平面，

：PA_LAC,P4_LAO,PA_LA8.

：PA=AB=4,：PC=PD=2x/5，:.PB=4J2,

:△PBg△PBD,：CH=DH,且DH_LPB,

二面角C-PB-D的平面角为上CHO.

由三角形面积公式可得二..8C=—PB.DH,DH————7=——=——.

224x/22

fu21r)u2-CD2

在△CO”中由余弦定理可得cos上C〃O=^..........——

MH•DH

I外…2J

、向而5

2x----x-

・•・二面角C-P8-。的余弦值为

19.⑴/(x)=2sinX+-,对称轴方程为x=?E,kGZ

\376

(2)〃?£(T,T),证明见华析

(3)-2^

【分析】（1）利用三角恒等变换得到J（x）=2si（©x+W）根据最小正周期求出w=1,所

答案第12页，共15天

以心)二2sinx+W)整体法求出函数对称轴方程：

(2)由(I)知，ix+—=2cosx,换元，转化为g(/)=[2・4/・/〃有且只有两个零点4，，2,

k6)

且L+4=4,其中/£(1,4),即y=。-2)2-4与y=〃?有两个交点，求出)，=(r-2)2-4的单调

性及特殊点函数值，从而得到答案；证明M+々>；，方法一：由基本不等式得到

2

COSX|+COfW^<1,故COS4]+COSX2<COSJj+COSX2<I,CDSX[<cos(^"一xjI由余弦函数单调

性证明出结论；方法二：由分析法进行证明即可；

(3)根据40)+6=2/(晟；得到ian<=_6或cosf=1,于是w=,24"与(AwZ)或

w="^(AeZ：,分两种情况，计算出函数解析式，结合函数零点个数得到不等式，求出k=l,

故？^)=2si/宇所以皿=聘^,利用周期性求和即可.

【详解】(1)f(x)=sin3+；).sin(ex-^cosWx

I."1.枢r

二-sin”x+—cos0x+-sinex------cos0戈+xncostyj

999?

:sinex+>/5cosfyx=2sin3,

：/(x)的最小正周期为2兀，：w=1,所以y(x)=2sinx+^j.

k3)

令1+四二四+灼1,AWZ,即可得X=N+〃7t,At=Z,

a)A

\/(v)的对称轴方程为X=g+E,A-ez.

v\

(2)由(I)知，fx+-=Xosx，g(x)=42c22cM6-m

l6

令228M=/,：xe(o£,:2cosx£(0,2),"W(I,4).

:箱)=/T-2小加々〃有且只有两个零点占小，

:g(f)=7・4人”有且只有两个零点AM,且i+<=4.

即关于f方程(/-2)」-4二机有且只有两个根小〃，

)，二。-2)<4与丁二6有两个交点，

其中)，=(/-2)2-4在f£(1,2)上单调递增，在，£(2,4)上单调递减,

且r=l时，产-3,当/=2时，y=4,当r=4时，y=0,

答案第13页，共15页

要想y=(t-2)2-4与y=有两个交点，可知〃？£(-4,-3).

2toM2ci

方法一：lx〕H石，：2।+2z=4>2,：cosx)+cos.r2<1

：%i,A2W(°,1),...cosx],cosx?£(0J).

2

又:cos%1<cos,,cosx,<cosx2,

22

:cosx(+COSX2<coaxi+cosx2<1.

22

:cos41<I-COSX2=sinx,,IcosXj<sinx2,：cosx)<cos^^-x2

‘八九'It71

又)，=cosx,xe0,-为减函数，：x1>--x,,：x}+x2>~.

I71

J"、.丸

€

方法二：：修，两0,—.要证距+X2>-,

12/7.

需证明内>y-X2,需证明COS]<,

22

需证明cos*<sinj2，即证明COSA)<I-cos/,

2

即证明cos*+COS,V2<I.

：X1,.r2€^0,y,.,.COSX|,COSX2E(0,1).