矩形存在性问题巩固练习（基础）-2026年中考数学几何专项复习（解析版）

中考撤号

矩形存在性问题巩固练习

1.如图，抛物线j，=-9+轴1与y轴交于点儿对称轴交X轴于点8,连月8,点尸在y和上，点。在

抛物线上，是否存在点尸和。.使四边形力80。为矩形？若存在，求点。的坐标.

【分析】先令x=0,求出y的值得到的长度，根据对•称他解析式求出08的长度，根据矩形的四个

角都是直角可得N/8Q=9（）°,然后求出NB4O=NQ8O,从而得到△力（加和△8OP相似，利用相似三

角形对应边成比例求出OP的长度，再根据矩形的对称性求出矩形的中心C的坐标，然后求出点。的坐

标，再根据二次函数图象上点的坐标特征把点Q的坐标代入勉物线解析式进行验证即可.

【解答】解：存在点尸和点。使四边形48P。为矩形，

理由如下：令工=0,则y=l,

：,AO=\.

•・•抛物线对称轴为直线》=-七17=2，

2x（一彳）

：.OB=2,

•・•四边形/WP。为矩形，

；・NABO+NPBO=N/8P=90°,

VZBAO+^ABO=90°,

：・4BAO=/PBO,

又,：4AOB=/BOP=90°,

・•・△AOBS/\BOP,

9AO_OB

1-OP*

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解得0P=4,

，点尸的坐标为（0，-4）,

・•・力尸的中点，即矩形的中心C的坐标是（0,-1.5）,

设点0（x,y）,则^^=0,巧^二一1.5,

解得x=-2,y=-3,

・••点。的坐标为（-2,-3）,

当x=-2时,y=-1x（-2）24-7x（・2）+1=+1=-4+1=-3,

*5JJ

・,・点。在抛物线），=$2+*4上，

故存在点0（-2,-3）,使四边形/出P。为矩形，

点。的坐标为（-2,-3）.

【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，中心对称的点

的坐标求出以及二次函数图象上点的坐标特征，利用中心对称求出点。的坐标是解题的关键.

2.在平面直角坐标系中，ZACO=90°.把/O绕。点顺时针旋转90°得08,连接力8,作轴于

D,点彳的坐标为（・3,1）.

（1）求直线的解析式；

（2）若中点为连接CM,点。是射线CW上的动点，过点。作x轴的垂线交x轴于点。，设点产

的横坐标为f,△PQO的面积为S（SW0）,求S与/的函数关系式，并直接写出自变量/的取值范围；

（3）在（2）的条件下，动点。在运动过程中，是否存在P点，使以P、0、B、N（N为平面上一点）

为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）先证明△力。得出/C=OO=1,OC=3O=3,B（1,3）,设直线的解析式

为：y=h+爪把点力（-3,1）,B（I,3）代入得出方程组，解方程组求出晨b,即可得出直线48的

中考核等

解析式：

(2)先求出M的坐标，再求出直线CM的解析式，得出产的坐标，即可得出S与/的函数关系式以及/

妁取值范围；

(3)分两种情况①点P为直线。/与CM的交点时，由直线。力和CM的解析式组成方程组，解方程

组即可求出P的坐标；

②作8P_LO8交CM十产，求出直线8P的解析式，再求出直线8P与CM的交点坐标即可.

【解答】解：(1)根据题意得：OA=OB,ZAOB=90°,0c=3,AC=\,C(-3,0),

AZAOC+ZBOD=90°,

••,BO_LE轴于Q,

AZBDO=90°,

；・NOBD+/BOD=90°,

・•・4A0C=/B0D,

(NACO=ZBDO=90°

在△4OC和△08。中，\/.AOC=^BOD,

[OA=OB

:.△AOgAOBD(/IAS),

：,AC=OD=\,OC=BD=3,

：.B(I,3),

设直线48的解析式为：y=kx+b,

把点力(-3,1),B(1,3)代入得：L

解得：k=$Z>=|,

；・直线AB的解析式为：y=务+,；

(2)•・•历是/出的中点，J(-3,1),B(1,3),

：,M(-1,2),

设直线CM的解析式为：y=ox+c,

把点C(-3,()),M(-1,2)代入得：｛二:(2cH印

解得：a=l,c=3,

・•・直线CM的解析式为：尸产3,

设尸的坐标为"什3),

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则△尸QO的面积S=：x/X（什3）=3+|f，

•・•点P是射线CM上的动点，

-3,

1?

:.S=,2+,-3）；

q3113

（3）存在，点尸坐标为＜-47»：4），或（41—4）;

理由如下：分两种情况讨论：

①点P为直线OA与CM的交点时：

V/1（-3,1）,

・\直线0A的解析式为：v=­X,

解方程组[v=-g；得：f

（y=%+3[y=-

②作BPLOB交CM于P,如药所示:

则NOBP=90°，

•••408=90°,

:・BP〃OA,

设直线4P的解析式为：y=-3+b,

把点6(1,3)代入得：b=y,

・•・直线4P的解析式为：1十+学，

y=x+3(X=-

{y~~3x+T(y=T

③当NO尸8=90°时，易知尸（-1,2）或（0,3）,都符合题意；

综上所述：存在尸点，使以尸、0、B、N（N为平面上一点）为顶点的四边形是矩形，点尸坐标为P（-

QR11?

工+，I4）,或（4了，4-）或（-1,2）或（0,3）.

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【点评】本题是一次函数综合颗目，考杳了全等三角形的判定与性质、用待定系数法求一次函数的解析

式、二元一次方程组的解法等知识，本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过分类讨论，求

出两条直线的交点才能得出结果.

3.已知在平面直角坐标系中，△H8C的顶点4、B、C的坐标分别为（-1,0）（3,0）（0,V3）,将直线力C

受原点。顺时针旋转180°成为直线/.

（1）求直线/的解析式；

（2）设直线/交y轴于点Z）,动点。从点。出发以每秒1个单位速度沿直线/向斜上方运动.点尸运动

的时间为/秒，连接尸。、PB,设△PO4的面枳为S,求S与/的函数关系式，并求出自变量，的取值范

N：

（3）在（2）的条件下，过点5作EB交直线！于点E,在点尸出发时，点。也从点E同时出

发，沿直线/向斜下方匀速运动，点。运动的速度大于点P运动的速度，则在直线/上是否存在这样P、

。两点，使尸、0两点与4、B、C三点中的两点为顶点的四边形为矩形（非正方形）？若存在，请求出

【分析】（1）求得力和C关于原点。的对称点的坐标，利用待定系数法即可求解：

（2）分P在线段。尸上和在。尸的延长线上两种情况进行讨金，求得产的纵坐标，利用三角形的面积公

式求解；

（3）首先证明△48c是直角三角形，则力。_L8。，过/作4V_LQ/于点MBC与D尸相交于点则

P.。只能是。或M或N中的点，然后进行讨论即可.

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【解答】解：（1）/和。关于。的对称点分别是（1,0）和（0，-V3）,

设直线/的解析式是丁=履+力，

则直线/的解析式是：y=\,3x-x,13:

（2）。的坐标是（0,设直线/与x轴的交点是足则尸的坐标是（1,0）,

则//=4（“3）2+12=2,S\n/ODF=\,则N。。产=30°,

当P在线段上时，即0W/V2时，DG=DP*cosZODF=^-t,M（9G=\'3-^,

则S=gomOG=gx3X（木-斗）=-挈/+挈；

当尸在。尸的延长线上时，即，>2时，PF=t-2,

则下到x轴的距离是:尸尸sin60°=¥（f-2）,

则S=；X3X¥（「2）=苧-哈

（3）在中，令x=3，则歹=3的一馅=2心，则E的坐标是（3,2陋）.

•・"、B、C的坐标分别为（-1,0）（3,0）（0,小）,

••AC=<12+（\'3）2=2,BC=\/（\5）2+3?=2小,4B=4,

。是直角三角形，ZACB=9（）°,ZACO=30<,,NC4O=60。，

又・.・。厂与力。关于原点O对称，

:・NADB=90°,/。力。=60°,ZADO=30°,

①。在。点，尸在。关于尸对称点时，力。8。时矩形，则P运动的时间是4秒，0运动的距离是。e=

J32+（2\与+\8）2=6,则Q运动的速度是:单位长度/秒；

②过A作ANLD卜'于点N,BC与D卜相交于点M.

•・•/与4c关于O对称，

:・BC】DF,

在直角△BA/F中,BF=2,则MF=2Xsin300=1,

在直角中，AF=2,^F=JF-sin300=1,

则当P到N时，。到必时，四边形4P0C是矩形，则QN=2-1=1,则，=1,0运动的距离是ME=2有

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xcos30°=2A/3X^=3,则。运动的速度是3单位长度/秒；

当尸到。到N时，四边形4QNC是矩形，DP=DM=3,则r=3,Q运动的距离是EN=EF+NF=

^+(^73)2+1=5,则速度是9单位长度/秒.

总之，Q的速度是万单位长度/秒或3单位长度/秒或§单位长度/秒.

【点评】本题是待定系数法求函数解析式，中心对称的性质以及三角函数的综合应用，正确确定P、Q

能取得的点的位置是关键.

4.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点力(6,0),B(0,8)点。的坐标为

(0,巾),过点C作"〃x轴，交48于点E,点。为x轴上的一动点，连结CO,DE,以CD,DE为

边作口CQEK点。在整个运动过程中，若存在唯•的位置，使得口CQb为矩形，请求出所有满足条件

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【分析】使得口为矩形，则NCQE=90°,故以C£为直径作圆，与x轴相切即可.

【解答】解：设直线44的解析式为产=米+4

•・•直线48与入•轴、y轴分别交于点力（6,0）,B（0,8）,

■■&=°，解得

•・•直线力8的解析式为y=-%+8,

•・•点C的坐标为（0,〃?），过点C作CE〃x轴，

3

（（・〃，〃：），

:,E7480

使得口CQKF为矩形，则以为直径作圆，与x轴相切.

取CE的中点P,过户作PG_Lx轴于点G.

1O

则（）

PG=3ZCE=Wo8-w,

.*.|j（8-/H）\=m

解得fn=詈或m=

JLJLO

・••所有满足条件的小的值为得或Y.

【点评】本题考查了矩形的判定，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，得

出尸点的坐标是解题的关键.

5.如图，在平面直角坐标系中，点4,A的坐标分别是（-5,0）,（0,5）,动点〃从点。出发，沿x轴

正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点8出发，沿射线80方向以每秒1个单位的速度运

动，以CP,CO为邻边构造平行四边形尸COQ.在线段。尸延长线上一动点E,且满足PE=/O.

（1）当点C在线段04上运动时，求证：四边形/1OEC为平行四边形：

（2）点?在运动过程中，是否存在某个时刻，（秒），使得四边形力。&7是矩形？若存在，求f的值；若

不存在，请说明理由.

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【分析】（1）连接CQ交4E于凡根据平行四边形的性质得到C〃=OP,OF=PF,根据题意得到力/=

EF,又CF=DP,根据平行四边形的判定定理证明即可；

（2）当四边形力。EC是矩形时，/ACE=90：根据相似三角形的性质列方程即可得到结论.

【解答】（1）证明：连接CO交4E于E

•••四边形PCOD是平行四边形，

:・CF=DF,OF=PF,

♦：PE=AO,

:・AF=EF,又CF=DF,

・•・四边形4QEC为平行四边形；

(2)存在，

理由：当四边形//Of。是矩形时，ZJC£=90°,

VOCUE,

△ACOsMEO,

,AO__OC_

，，OC~'OE，

•・,点/,8的坐标分别是(-5,0),(0,5),

：.OA=OB=5,OC=5-t,OE=5+/,

.5_5-t

**5^7-5+t*

解得：/=()或/=15,

・•・当/=()或f=15时，四边形NOEC是矩形.

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【点评】本题考查的是坐标和图形、平行四边形的判定和性质、二次函数解析式的求法、锐角三角函数

知识的综合运用，正确运用分情况讨论思想和数形结合思想是解题的关键.

6.已知二次函数J，=or2・26-3。(。为常数，。＞0)的图象与x轴交于4、B两点(点/在点8的左

侧).与y轴交于点C,点尸是对称轴上的点，在抛物线上是否存在点G,使四边形8CG/为矩形？若存

在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】设对称轴交x轴于。，过G点作G〃_L对称轴于〃，易证得易证得XFHG必

COB,根据三角形相似的性质得出G的纵坐标为根据全等三角形的性质得出G(-2,5a),解[-

3a=5”，求得。的值，从而求得G的坐标为(-2,|).

【解答】解：存在点G,使四边形8CG/为矩形，

设对称轴交x轴于。，过G点作6〃，对称轴于H,

由二次函数y=aN-2ax-3a(a为常数，。＞0)可知C(0,-34)，

・・・OC=3a,

令y=0,贝I」-2ax-3a=0,解得X[=3,x2=~1＞

：.A(-1,0),B(3,0),

：.O吐3,对称轴为直线x==》=1,

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：.OD=\,

:・BD=2,

•・•四边形BCGF为矩形,

:・NCBF=90°,

•/4FBD+/CBO=NOCB+NCBO=90°,

:./FDB=/OCB,

'：4FDB=/BOC=900,

:.△BDFsACOB,

•.•四边形ACG广为矩形，

:.BC=FG,/GFB=/FBC=9Q0,

ZFGH+ZGFH=NGFH+NBFD=NBFD+NFBD=ZFBD+ZCBO=NCBO+NOCB=900,

4FGH=NCBO,/GFH=NOCB,

在△H/G和△CO4中

ZFGH=ZCBO

FG=BC

乙GFII=乙OCB

•••△/77G丝△COB（ASA）,

・・・G〃=O8=3,FH=OC=3a,

2

:.DH=7a,G点的横坐标为-2,

把x=-2代入y=a--2at-3a（4为常数，a>0）得，y=5〃，

/.5a=-a-3a,

解得4=/或4=（舍去），

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【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，三角形相似、三角形全等的性质，数

形结合是解题的关键.

7.如图，已知抛物线G：歹=-/+4,将抛物线C1沿X轴翻折，得到抛物线C2

（1）求出抛物线C2的函数表达式；

（2）现将抛物线G向左平移冽个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到

右依次为4B；将抛物线C2向右也平移机个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M与x轴交

点从左到右依次为。，E.在平移过程中，是否存在以点儿ME,"为顶点的四边形是矩形的情形？

【分析】（1）抛物线翻折前后顶点关于x轴对称，。互为相反数；

（2）连接4V,NE,EM,MA,M,N关于原点。对称OM=OM］，£关于原点。对称。力=。£,判

新四边形4NEM为平行四边形；若力"+〃£2=4£2,解得〃?=3,即可求解；

【解答】解：（1）•・•抛物线Ci的顶点为（0,4）,

・••沿x轴翻折后顶点的坐标为（0.-4）,

・•・抛物线C2的函数表达式为》=9-小

（2）存在

连接AN,NE,EM,MA,

依题意可得："（-m,4）,N（〃?，-4）,

中考撤号

・•・"，N关于原点O对称，

：.()M=ON,

原G、C2抛物线与x轴的两个交点分别(-2,0),(2,0),

：.A(-2-m,0),E(2+w,0),

・",石关于原点O对称，

：.OA=OE

・•・四边形ANEM为平行四边形，

・・・4/=22+42=20,

历0=(2+/〃+/〃)2+42=4〃/+即?+20,

AE2=(2+m+2+m)2=4Z«2+16/H+16»

若AW+MSAE?,

则20+4W2+8W+20=4m2+16w+16>

解得〃?=3,

此时△4WE是直角三角形，且N4WE=90°,

・•・当加=3时，以点4N,E,M为顶点的四边形是矩形.

【点评】本题考查二次函数关于x轴对称，平行四边形的判定，矩形的性质.找准二次函数图象变化后

对应的点是解决翻折后函数图象的关键；能够在平面直角坐标系中，通过坐标点的特点判定平行四边形,

利用勾股定理判定矩形是解决本题的关键.

8.如图(a),在中，NC=90°,AC=2,BC=1,现以/出所在直线为对称轴，ZVIAC经轴对称

变换后的图形为aoEr.

(1)求四边形NC3尸的面积;

中考撤号

（2）如图（％）,若△44。和△。灯从初始位置（如图（〃）所示）在射线48上沿48方向同时开始平

移，△/4C的运动速度是每秒2个单位，△Ob的运动速度是每秒1个单位，设运动时间为/秒.

①当0V/V苴时，求线段的长度（用含/的代数式表示）：

②当△/£1尸是等腰三角形时，求才的值；

（3）在第（2）题的图形运动过程中，是否存在一点4、C、B、产组成的四边形为矩形？若存在，请直

接写出此时f的值；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）由题意可知：尸是由翻折所得，所以四边形"的面积就是两个△/!&?的面

积；

（2）①根据4E=DE+/'D-A'4代入可得结果；

②当0</〈此时，分三种情况：任意两边相等时，找一等量关系列方程可得，的值，当/>、写时，如图

（d）,因为"是钝角，所以犷是等腰三角形时只存在一种情况：根据所=4?列方程可得结论;

（3）当四边形4。尸是矩形时，4F=BC=EF=1,由（2）得：此时/=半.

【解答】解：（1）如图（。），由题意得：S四边形心尸=2SAC=2X%CX4C=2X1=2；

（2）①由勾股定理得：==5

设点力的起点为，，则/E=QE+4'D-A'A=V'5+t-2t=

②当0V/〈A/5时，分三种情况：

;）4E=E0时,即心-f=l,

I=、后-1；

ii）AE=AF^ft

:.NAFE=NAEF,

・•・ZADF=NAFD,

：.AD=AF,

中考撤号

1=享

ui）力尸=E产时，如图(c),过/作于G,贝lJ/G=EG,

设尸G=2x,EG=x,

由勾股定理得：（2%）2+/=]2,

x=±",

:.AE=2EG=W，

拜T

・•・/=芈,

中考撤号

当£/=力£时，△/£/是等腰三角形，

即L\,5=1,

t=、后+1；

综上所述，当△4所是等腰三侑形时，/的值是或4或乎或4+1；

4O

(3)存在,

A

AF=BC=\,

：.AF=EF=\

由(2)得：此时f=挈；

・••点力、C、B、产组成的四边形为矩形时，/=半.

【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定、矩形的性质和判定、勾股定理、等腰三角形

定义等知识，解题的关键是正确画出图形，学会分类讨论，属丁中考压釉题.

9.如图，已知二次函数)，=・/+4必・4加2+川+1的顶点为8,点4,。的坐标分别是力(0,-2),C(8,

2),以4C为对角线作口力8。。.

(1)点8在某个函数的图象上运动，求这个函数的表达式；

(2)若点。也在二次函数y=-x2+4mx-4m2+m+\的图象上，求m的值；

(3)是否存在矩形使顶点以。都在二次函数》=-〃(x-2/7?)2+〃?+1的图象上？若存在，请

求出5的值；若不存在，请说明理由.

中考撤号

【分析】(1)把二次函数的解析式化成顶点式，得出顶点8的坐标，再根据坐标特点写出函数解析式便

可；

(2)由平移的性质，用小表示。点的坐标，再将。点坐标代入二次函数的解析式，得到机的方程，解

方程便可求得〃?的值：

(3)根据平行四边形/8C。是矩形，得/8力。=90°,由勾股定理列出〃?的方程求得〃?的值，再根据

顶点8,。都在二次函数y=-〃(x-2w)2+w+l的图象上，求得小〃的关系，进而求得〃的值，便可

求得结果.

【解答】解：(1)**y=~x2+4fnx-4ni2+ni+\=-(x-2m)2+w+l,

:.B(2m,ni+\),

m+1=x2m+1,

:.点B(2w,w+1)在函数y=*+l上，

二所求函数的表达式为y=3+1；

(2)•・•四边形488是平行四边形，

：.AB//DC,AB=DC,

・•・将力8沿8。方向平移可得DC,

•・•点力，C的坐标分别是4(0,-2),C(8,2),B(2m,m+1),

:・D(8-2m,-〃l1),

把。(8-2m,--1)代入y=-x2+4mx-4〃户+机+1中，得

-m-\=-(8-2w)2+4/〃(8-2m)-4加2+〃?+1,

化简为:8"-33加+31=0,

(3)•.•平行四边形/月。是矩形,

中考核等

/.Z5JZ)=90°,

.•./142+402=近，

(2m)2+(m+3)2+(8-2m)斗(-m+1)2=(8-4〃？)斗(2/〃+2)2,

化简得，5〃?2-14〃?-3=O,

解得，〃2=3,或期=-1,

•・・。点在二次函数y=-〃G-2M2+w+l的图象上，

/.-m-\=-n(8-4/7/)2+〃计1,

m+1

••n=8(2-m)2»

当〃?=3时，〃=此时3=也

当〃?=T时，〃=安，此时3=一急.

故存在矩形"CO,使顶点8,。都在二次函数y=・〃(x・2加)2+〃?+1的图象上，其3的值为［或-

25

242,

【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，

第(1)题关键是找出8点横纵坐标的关系，第(2)题关键是根据平移性质用m表示。点的坐标，第

(3)题关键是由。点坐标求出机的值和〃，与〃的关系.非常规思想解题，难度大.

10.如图，点O是平行四边形/EC7)的对称中心，将直线。〃绕点。顺时针方向旋转，交。C、于点£;

F.

(1)证明：△OEO丝△8FO；

(2)若04=2,力。=1,AB=6

①当08绕点。顺时针方向旋转45°时，判断四边形力日才的形状，并说明理由；

②在直线。4绕点。顺时针方向旋转的过程中，是否存在矩形OE5F,若存在，请求出相应的旋转角度

(结果精确到1°);若不存在，请说明理由.

D,\五______r

0

A

FB

中考核等

【分析】（1）要证三角形全等，必须找到三个条件证明其全等.

（2）首先要判断四边形是什么形状，然后根据题意首先证明△0/1Q是等腰直角三角形，然后证明。£=

OF.

【解答】（1）证明：在平行四边形力中，CD〃/iB,

・•・/CDO=N4BO,4DEO=4BF0.

乂•・•点0是平行四边形的对称中心，

：・OD=OB.

・•・△DEOW4BFO.

（2）解：①四边形月EC尸是菱形.

理由如下：

在△力8。中，DB=2,AD=\,AB=g

：,DB2+AD2=AB2.

・•・△相。是直角三角形，且/.4Z）8=90°

•：OD=OB=3DB=1,

：.AD=OD=\.

・•・△04。是等腰直角三角形，

当直线。8绕点。顺时针旋转45°时,即/。。£=45°,

；・ZAOE=90Q

,:MDEOm△BFO,

：,OE=OF

又•・•点。是平行四边形的对称中心，

：,OA=OC

・•・四边形4EC/是平行四边形

・••四边形/ECr是菱形.

②当四边形尸是矩形时，

则有NQF8=N/7）E=9（r,OD=OE

又丁ZADB=90°

中考撤号

/.有ZADF=ZODE=ZDEO

•：S^ABD=^AD-BD=^AB-DF

・F=竺_丝=山=逑

•*-AB~yfs~5

在RtZUO产中，cosNADF=黑=。/=挛

AD5

・•・ZADF^26.6U

・•・ZODE=ZDEO=NADF=26.6°

：,ZDOE=ISO°-NOED-NODE=180°-26.60-26.60=126.80%127°

即当直线。8绕点。约顺时针旋转127。时，四边形CO4E是矩形.

【点评】本题是一道综合型试题，比较难，证明三角形全等必须要找出三个条件相等，按照判定四边形

形状的定义证明该四边形为何形状.

11.已妞如图1,抛物线G：y=1(x-m)2+n(w>0)的顶点为力，与y轴相交于点8,抛物线G：丫=一

*无+巾)2-几的顶点为。，并与y轴相交于点。，其中点力、B、C、。中的任意三点都不在同一条直线

15

中考撤号

(I)判断四边形力8c。的形状，并说明理由：

(2)如图2,若抛物线y=：Q-m)2+7i(w>0)的顶点力落在x轴上时，四边形力8CO恰好是正方形，

请你确定〃?，〃的值；

(3)是否存在〃?，〃的值，使四边形力8co是邻边之比为1：杂的矩形？若存在，请求出，〃，〃的值;

若不存在，请说明理由.

【分析】(1)根据题目条件可以表示出力(加，〃),C(-m,-n)，可以求得4。=。。，当工=时可以求出

点8、。的坐标，从而可以证明80=。。，C0从而得出结论.

(2)•・•抛物线y=g(x-m)2+7i(/«>())的顶点力落在x轴上，可以得出〃=(),由四边形/4CQ恰好

是正方形，由正方形的性质就可以得出OA=OB而建立等量关系求出其m的值.

(3)•・•四边形力BCO是矩形，由矩形的性质可以得出04=。8从而建立一个等量关系，由矩形力8C。

的邻边之比为1：B可以得出，N/〃0=6()°或448。=30°,作AHA.BD,表示出BH,用OB=BH+OH

在建立一个等式，从而构成方程组，从两种情况求出方程组的解就可以了.

【解答】解：(1)四边形力8CD是平行四边形，

**A(m,n)»C(--n)>

/.点A与点C关于原点对称.

・••点0、A.C三点在同一条直线上，

：.OA=OC.

+n),D(0,-^n2-n),

：,OB=OD.

・•・四边形ABCD是平行四边形.

中考撤号

(2)•・•抛物线y=1(x-77i)2+Mm>0)的顶点A落在x轴上,

—0.

•・•四边形力8CQ是正方形,

OA=OB,即-?n2=m,

解得：〃“=0（不符题意，舍去），〃[2=3.

此时四边形力5CQ是正方形

m=3,〃=0.

（3）若四边形48CQ是矩形,

则（JA=（JB,即（Jn?十九）2=十九2,

化简得:1m4+|m2n=m2

Vw>0,

.\m2+6n=9

又•・•矩形的邻边之比为1：A/3,

当力4：AD=1：8时,ZABO=60°,

过点A作AHLBD于H,则BH=争n,

・••苧n+n=gm2+n,

(in2+6n=9

m+n=-m2-+n

3

解得：｛m'=

n=1

当4。：A8=1：时，/片8。=30°,

过点A作AHLBD于H,则BH=、&n,

2

tpn+6n=9

A1\/，37n+n=^7n2+n,

m=3«3

解得:

n=-3

答：存在1n=&,〃=1或m=队⑶〃=-3使四边形48s是邻边之比为1：W