平面向量基本定理及坐标表示-2026年高考数学一轮总复习（人教A版）含解析

第五章第2讲平面向量基本定理及坐标表示

2026年高考数学一轮总复习(人教A版)

一、填空题

i.

条件q，S是同一平面内的两个__________

结论对于这一平面内的任一向量〃，有且只有一对实数4,不，使__________

基底若6，e?不共线，把k，s｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底

2.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设〃=(%,y),〃=(9,，2)，则a+8，a-b=，而=，同=

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；

②设A=(x“J,8=(9，%)，则八8=，,耳=-

3.向量平行的坐标表示

设4=(%,)，］)力=(/,%)，则。//力0.

二、判断题

4.平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.()

5.当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量级点的坐标.()

6.平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.()

7.若a=(x1,y)，〃=则:〃力的充要条件可以表示成立=j()

三、多选题

8.已知向量a=(2,1),分=(-3,4),则()

A.|d|2=|/?|B.4〃-3b=(17,8)

C.a，8可以作为平面向量的一组基底D.[a-b]//b

四、单选题

9.设点A(2,0),3(4,2),若点P在直线g上，且网=2,耳，则点P的坐标为()

A.(3,1)B.(1,-1)

C.(3,—1)或(—1,1)D.(3/)或(-1)

10.若向量A5=(2,3),6C=(5,6),则()

A.(-7,-9)B.(7,9)C.(-3,-3)D.(3,3)

五、填空题

II.如图所示，在△OA4中，。是AB中点，设OA=〃，OB=b，则OC=(请

用〃/表示OC)

试卷第2页，共4页

六、单选题

12.在VA8C中，点。是线段8c上任意一点，点P满足4。=3A尸，若存在实数相和〃,

使得8P=〃?A8+〃AC,则〃z+〃=()

C」

A.?B.-

33D・4

13.如图，在VA6C中，点。为6C边的中点，O为线段A£＞的中点，连接CO并延长交A8

于点E,设"=a，AC=b，则CE=()

B.-a-b

4

1a

D.—a——b

34

14.设3,内｝为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是()

A.q+4和q—/B.4q4-入2和2q—

C.26+/和C+a%D.q-2G和4e,+2e2

AE=^AD,CF=^CD,则诩=()

15.在平行四边形人ACO中，

A.-AF--CEB.-AF--CE

5555

69-2-3-

C.-AF+-CED.-AF--CE

5555

七、填空题

16.已知点4一1,4),5(2,6),。(3,0),则满足G4+G8+GC=0的G的坐标为.

17.在正方形ABC。中，仞是BC的中点.若AC=2AM+〃8。，则％+〃的值为.

18.已知M(-2,7),N(6,1),点P是线段MN上的点，且PN=-PM，则点P的坐标为

19.向最在正方形网格中的位置如图所示，若C=/U+〃〃(4〃£R)，则

八、单选题

20.已知向量力=(1,2),6=(T")且卜。)〃(2万㈤,则f的值为()

333

A.—B.-C.-D.—2

224

21.已知向量A8=(4,—4),8C=(-3,，〃),AO=(T,M，若A,C,2三点共线,则旭=(

7LL

A.2B.yC.-2-V6D.-2+V6

22.已知点A(l,3),8(4,-1),则与AB同方向的单位向量为()

A.B.(3,-4)C.-釜D.(-3,4)

X/XJJJ

九、填空题

23.已知点44,0),3(4,4),C(2,6),。为坐标原点，则在C与08的交点尸的坐标为

十、单选题

24.已知=(—3,2),若(而+A)//(d-3/”,则k的值是()

A.1B.-c-1D.-1

33

25.已知点A(l,3),B(/n-5,l),C(3,m+1),若A,B,C三点共线，则AB的坐标为()

A.(-2,2)B.(2,-2)C.(2,2)D.(-2,-2)

试卷第4页，共4页

参考答案

题号891()12131415202122

答案ACDBDCCCDAA

题号2425

答案CD

1.不共线向量

【分析】略

【详解】略

2.（%+与，）1+%）（芭一七乂一乃）（相，孙）&+N

伍-X，%-y）（七一、＞+（%--『

【分析】根据向量的运算及其坐标表示填空

【详解】略.

3.当乂"为

【分析】略.

【详解】略.

4.错误

【分析】根据基底的知识进行判断.

【详解】平面内的任意两个不共线的向量都可以作为一组基底.

两个共线的向量不能作为一组基底，

所以说法错误.

故答案为：错误.

5.正确

【分析】由向量的坐标定义可得.

【详解】设以。（0，。）为起点的向量QA，其终点A坐标为（工刃，

答案第1页，共9页

如图，在平面直角坐标系中，

设与X轴、丁轴方向相同的两个单位向量分别为ij,

由向量坐标的定义，OA=xi+yj=(x,y)，即A的坐标(儿四.

即当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.

所以这句话是正确的.

故答案为：正确.

6.正确

【分析】根据平面向量的性质判断即可.

【详解】根据平面向量的性质知，其起点位置不定，但长度和方向一定，

所以不论向量如何平移，都不影响其坐标.

故答案为：正确

7.错误

【分析】举反例：&=。或%=。时均不成立.

【详解】七=。或K=。时均不成立.

故答案为：错误.

8.AC

【分析】利用向量的坐标求模判断选项A：利用向量线性运算的坐标表示判断选项B；由平

面向量基底的条件判断选项C；由向量共线的坐标表示判断选项D.

【详解】向量〃=(2,1),，=(-3,4),

同=J2?+/=逐,忖=小(-3)~+42=5>闷=|〃|'A正确；

4a-3b=(8,4)-(-9,12)=(17,-8),B错误；

因为2X4-1X(-3)H0,所以〃，方不共线，即〃，人可以作为平面向量的一组基底，C正确；

〃-6=(5,-3),由5x4-(-3)x(一由>0,得°一力与1不共线,D错误.

故选：AC

9.D

【分析】由42,0)和8(4,2),求出向量.的坐标，再由点P在直线上，且网=2网，

求出向量AP的坐标，进而求出点尸的坐标.

答案第2页，共9页

【详解】vA(2,0),8(4,2),・•・AB=(2,2).

•・•点P在直线AB上，且网=2,,，・・・A5=2A尸或力8=-2AP，

故4P=(1,1)或AP=(-1,-1),故点P的坐标为(3,1)或(1-1).

故选：D.

10.B

【分析】由=4c即可求解.

【详解】因为4c=4B+BC，向量A3=(2,3),3C=(5,6),所以4。=(2,3)+(5,6)=(7,9),

故选：B.

11.OC=—a+—b

22

【分析】根据平面向量加、减法的几何意义进行求解即可.

【详解】因为C是AB中点，

所以OC=OA+AC=OA+gAB.

又因为48=08-OA，所以OC=OA+g(OB-OA)=^OA+^OB,

—1-1-

即OC=-a+-b.

22

故答案为：OC=^a+^b

12.D

【分析】由题设AO=/LA8+(1-2)AC,且。<4<1,结合向量数乘、加法的几何意义可得

Q一1_2

BP=—AB+—AC,再由已知条件即可得加+〃的值.

【详解】由题意，AD=AAB+(\-^AC,且0<Uvl,

而4O=34P=3(4B+BP),

所以3A8+3BP=2A8+(l—％)4C,

即族=土上&C,

33

A-3

m=---,

32

由已知，,,则〃-〃=-彳，选项D正确.

1-X3

答案第3页，共9页

故选：D

13.C

【分析】设AE=/IA8,再根据平面向量基本定理分别表示CO,CE,进而根据向量共线设

A=-

CE=〃CO,代入向量可得:，进而得到CE.

【详解】设A£=2A4，^\CE=AE-AC=^i-b，又

一1-1—・1-1/--\1一3-13

CO=-CA+-CD=一一AC+-（AB-AC）=-AB--AC=-d--b,

2224、74444

设CE=〃CO,则义4_〃=〃（5〃一；力），

2=w2=-

故4即）

一1=多

43

4—1-

故CE=-CO=-a-b.

33

故选：C

14.C

【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质判断即可.

【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，

C选项中，2el+e2=2^el+le^,即2q+e?和4+36为共线向量，

所以它们不能作为基底.

其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底.

故选：C

15.C

【分析】设AQ=b，将BA，A尸，CE都用a，〃表示，设84=〃滔尸+献力，解出

m,n.

【详解】

答案第4页，共9页

设AB=a，AD=bf

—I一,・一・—2-

因为=所以CE=CO+OE=—a--/7,

33

I-—一—.-?-

因为。尸=一。。，所以AF=AQ+O*=〃+—a,

33

--2--2-

设BA=mAF+nCE»则一。=〃?(〃+~«)+n(-a--Z>),

2,

—m-n--I,c

3,解得加=：6,〃=9一，^—BA=-6AF—+-9CE—.

2c5555

m——〃=0

3

故选：c.

(410

16.33"

【分析】根据平面向量坐标表示公式，结合平面向量加法的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】设G的坐标为,1A(T,4),4(2,6),0(3,01,

因为GA+G8+Ge=0，可得(77,4-)，)+(2-X,6-y)+(3-x,-y)=(0,0),

4

x=—

-1+2+3-3A=O_

可得=(-1+2+3-3%4+6-3)，)=(0,0)=、3

4+6—3y=01()'

所以G的坐标为信片.

410

故答案为:3'T

17.鸿

2"2〃=2…

【分析】建系，利用平面向量线性运算的坐标表示可得f>2'求解即可.

【详解】在正方形ABC。中，以点A为原点，直线48,A。分别为x轴、＞轴建立平面直

角坐标系，如图,

设正方形A3CO的边长为2,则8(2,0),C(2,2),ZX0.2),M(2,l),

答案第5页，共9页

AC=(2,2),AM=(2,1),BO=(-2,2),AAM+pBD=(22-2/AA+2//),

因为AC=4A2+，BP(2,2)=(22-2〃,2+2”),

A=-

[22-2/7=2A,3

于是得口2〃=2，解得

1

所以/+〃的值为g.

故答案为：|.

18.(2,4)

【分析】根据平面向量的义标表示公式，结合平面向量共线向量坐标表示公式进行求解即可.

［详解］设点P的坐标为5,y），

因为2,7）,7V（6,1）,所以77「（6-匹1一），）,/^/一（-2-苍7-），）.

又PN=-PM，所以6-x=2+苍l_y=y_7,

故x=2,y=4,即点P的坐标为（2,4）.

故答案为：（2.4）

以I

【分析】将Ac平移至相同起点，利用网格得向量的坐标，由向量的坐标运算求出4〃的

值即可.

【详解】如图，将a,4c平移至相同起点。，且〃b=OR,c=OC，并构建直角坐标系

xOy,

B

若每个单元格长为1,则”=(l,2),〃=(2,—l),c=(3,4).

111

又c=Za+曲»

答案第6页，共9页

所以(3,4)=(424)+(2〃,_〃)=Q+2必22-〃)，

2+2//=3,

即《2,二=4可得

9

所以4_〃=《.

9

故答案为：

20.D

【分析】由平面向量加减运算求出。-8二(2,2一)，2〃+8=(1,4+小由向量平行的坐标关

系得解.

【详解】a-b=(2,2-t)f2d+b=(l,4+f),(d-b)//(2a+b)f

则有2/=2(4I/),：.t—2.

故选：D.

21.A

【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】因为A8=(4,-4),8c=(-3"〃)，

所以AC=A8+BC=(1,〃L4),

因为A,C,。三点共线，

1=­AA=-1

所以AC=/14O=＞〈n

m-4=Amm-2'

故选：A

22.A

【分析】根据平面向量的坐标表示公式，结合平面向量模的运算公式进行求解即可.

(详解］由A(l,3),8(4,-1)=>AB=(3,-4)=卜相+㈠广=5，

因此与48同方向的单位向量为1人8=弓,-3,

JJJ

故选：A

23.(3,3)

【分析】法一