矩形问题（含解析）-2026年中考数学专项复习

矩形问题

一阶方法突破练

1.如图,在10x10的方格中有格点A,B,在网格中确定一组格点C,D,使得四边形ABCD是以AB为较短

边的矩形.

IT

IIIIIIII

1+

IIIIII

।।।।।।

IiRlIIIII

第1题图

2.如图，已知平面直角坐标系中有线段AB,点C为x轴上一点，点D为平面内任意一点，确定C,D,使得

以A,B,C,D为顶点的四边形是矩形，请作出符合要求的矩形.

rf

B

A

0

第2题图

3.如图，在平面直角坐标系中直线L经过,人(-1,0)白1(1,4)两点，点P是y轴上一动点,点Q是平面内任意一点,

若以A,M,P,Q为顶点的四边形是矩形，求点Q的坐标.

4.如图，抛物线y=*-1-2与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点M为坐标轴上一点，平面内存

在点N,使得以B,C,M,N为顶点的四边形为矩形，求点N的坐标.

第4题图

5.如图，抛物线y=-必+2工+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点P是抛物线上一动点，在平面

内是否存在点Q,使得以点A,C,P,Q为顶点的四边形是矩形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理

由.

第5题图

二阶设问进阶练

例如图，抛物线丫=-：/+弓％+4与乂轴交于A,B两点，与y轴交于点C.

(1用面内是否存在一点D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形是矩形?若存在，求出点D的坐标；若不存

在，请说明理由；

例题图①

(2)是否存在以BC为边，且一个顶点P在抛物线的对称轴上的矩形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请

说明理由；

例题图②

(3)若点E为抛物线的顶点，点M为y轴上一点，平面内是否存在点N，使得以C,E,M,N为顶点的四边

形是矩形?若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

例题图③

2.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)与x轴交于点2(-3,0),2(2,0),与y轴交于点C,Z.CAO=

交抛物线于点E,且.4/?=EC.

45。,直线y=kx

⑴求抛物线的解析式；

(2谄点M为直线y=1上一点，点N为直线EC上一点，求(CM+MN的最小值；

(3)(抛物线上的动点+任意一点)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P,Q,使得以E,C,

P,Q为顶点的四边形是矩形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=Q无2+旅+1(aw0)与x轴交于A,B两点(点B在点

A的右侧)，与y轴交于点心且(OA:OB=1:3,抛物线的对称轴是直线x=1.

(1)求抛物线的解析式；

⑵点M是x轴下方抛物线上一点，连接AC,AM,BM,当乙ABM=2乙4C0时，求点M的横坐标；

(3)(对称轴上的动点+任意一点)若点P是抛物线的对称轴上一点，点Q是平面内任意一点，

是否存在点P,Q,使得以B,C,P,Q为顶点的四边形是矩形?若存在,求出点P的坐标；若不

存在，请说明理由.

备用图①

备用图②

考向3矩形问题

一阶方法突破练

1解：格点C,D的位置如解图所示.

第1题解图第2题解图

2.解:如解图，矩形ABD】C「矩形ABC2D2,矩形AC3BD3和矩形AC4BD4为所求作矩形.

3.解：①当AM为矩形的对角线时，如解图①，设N为AM的中点，

•.A(-L0),M(L4),，N(0,2),

MN=V5.ANQ1=NQ2=V5,

.•.QI（0,2+V5）,Q2（S2一遍）；

第3题解图

②当AM为矩形的边时,(i)当APXAM时，如解图②，过点A作直线IJLx轴作P3HL于点H,作MG±I于点

G,

:.ZGAM+ZHAP3=90:ZHAP3+NAP3H=90;

•.ZGAM=ZAP3H,

ZMGA=NAHP3=90;

，MGASAAHP3,贝1」箸=瞿=匕

GAnr2L

》）

-=1,•••AH="；♦P3（0,-Q3（2,1;第3题解困③

Qi)当MP.LAM时，如解图③，过点M作直线I'J_x轴,交x轴于点L,作J于点J,同理得AALM—MJP4,

则券=关=；JP4=1，•-MJ=(0,?，•-Q4(-2,外综上所述，点Q的坐标为(0,2+词或

(0,2-通)或亿今］或(-吗.

4.解:「抛物线y=*--2与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,」.A(-LO),B(4,0),C(0,-2),AB=5,

AC=^,BC=2V5,

分两种情况讨论，如解图，

①当以BC为对角线时,

­.2606=90°,

・•・此时M点与。点重合,即M1O0),..Ni(4,・2);

②当以BC为边时，

(i)M点在x轴上时，

-AB=5,AC=V5,BC=2y/5,

：.AB2=AC2+BC".NACB=90:

一.此时M点与A点重合，即M2(-l,0),

•.＜点向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到

B点坐标，」.M2点向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到M点坐标，

.•.N2(3,2);

(ii)M点在y轴上时，延长(i)中BN2交y轴于M3点，即可组成矩形CBM3N3,此时点

N.3在第二象限,

设直线BN2的解析式为y=kx+b,

代入B点和N2点的坐标，

得l3k+b=2廨得Ib=8'

・•・直线BN2的解析式为y=-2x+8,

当x=0时,y=8,

故M3(0,8),

•••3点向左平移4个单位，再向上平移8个单位得到M3点，「C点向左平移4个单位，再向上平移8个单位

得到冲点,

・••电(-4,6),

综上所述，符合条件的点N的坐标为(4,-2)或(3,2)或(-4,6).

5解存在.

,・抛物线的解析式为y=r2x+3,

..A(-L0),C(0,3),

二•AC所在直线的解析式为：y=3x+3.

①当AC为矩形的边时，如解图，过点A,(:作AC的垂线,分别交抛物线于点Pi,P2.

设APi所在直线的解析为y=一：％+c,

••・AP】所在直线的解析式为y=一枭一洞理CP?所在直线的解析式为y=+3.

联立｛'y=二二3解得舍去)J=_12•.,Pi得T)"Qi(代)

,331及9

联立｛'y=:算;3解得青二上舍去)｛：=3.：P2(,凯Qz(%-》；

②当AC为矩形的对角线时，如解图，以AC为直径画圆，OI与抛物线无其它交点.

••・不存在以AC为对角线且符合题意的点Q./夕Q\分

综上所述，点Q的坐标为(葭，T)或(r-D-④节：

二阶设问进阶练l\Q^Pt"

例解:⑴存在.第'题解困

抛物线y=-；/+：%+4与x轴交于A,B两点，与V轴交于点C,

令x=0相y=4/C(0,4).

令y=0,解得.x尸-2,X2=8,「.A(-2,O),B(8,O).

.-.AC2=0A2+0C2=20,BC2=0B2+0C2=80,AB2=(0A+0B)2=100.

.-.AC2+BC2=20+80=100=AB2.

「.△ABC为直角三角形，

..AC,BC为矩形的两边，AB为矩形的对角线，

.••点D在AB下方.

•・•点C向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点A，.点B向左平移2个单位，再向下平移4个单位

得到点D,

••・D(6,・4);

⑵存在.

•••B(8,0),C(0,4),

・••BC所在直线的解析式为y=-^x+4.

•・抛物线的对称轴为直线x=3,

•・设点P的坐标为(3,p).

过点B,C分别作BC_LCP1于点PUBP2±BC于点P2,

①当点Pi在BC上方时，如解图①，设CP】所在直线解析式为=2x+blf

将CQ4)代入，解得b1=4/.ycp=2x+4.

当x=3时,y=10,

••.Pi(3J0);

②当点P2在BC下方时，如解图②，设BP?所在直线的解析式为yBP2=2x+b2>

将B(8,0)代入，解得b2=-16,/.yBP=2x-16.

综上所述，点P的坐标为(3,10)或(3,-10);

【一题多解】♦.抛物线的对称轴为直线x=3，，设P(3,p),如解图①，当CP±CB时，过点P】作PJxy轴于点F,

o

.,.zP1FC=90,.,.zFCP1+zBCO=90：NFCP】+NFP1C=90:.ZBCO=zCP^；:zP1FC=zCOB=90°,/-△COB-a

P】FC,.•.皆==6,，％(3,10)洞理，如解图②,当BP±CB时用得^ZBE-ABC。此时Pz(3,-10).综上所

C\JISU

述点P的坐标为(3,10)或(3,-10).

(3)存在.

•,♦y=+“+4=一：(%—3)2+4，

4244

.•点E的坐标为(3,

设点M的坐标为(0,m).①当CE为矩形的边时，如解图③，过点E作EM±CE交y轴于点M,过点M作MN

IIEC,过点C作CNllEM,两直线交于点N,连接NE交MC于点F.

易得EM2=324-(m—彳),CE2=32+(彳—4)=管,CM2=(m—4)号

•••EM1CE,：.CE2+EM2=CM2,

即瓷+32+(m-BY=(m-4尸，

解得m=

•,矩形的对角线交点F的坐标为(Q57/8),

•・•点N的坐标为(-3,8);

②当CE为矩形的对角线时，如解图④，

V四边形EMCN为矩形，

・•.EM_Ly轴,CN_Ly轴,.•.MQ今,N(3,4).综上所述，点N的坐标为(-3,8)或(3,4).

【一题多解】：y=-；M+T%+4=-；(x-3)2+左.••点E的坐标为(3，彳),①当CE为矩形的边时，如解

图③”C(0.4),E(3,9,.■直线CE的解析式为y=江+4,.设ME的解析式为y=-%+瓦将点E坐标代入得，y

=-夫+失当x=0时,y=景M(。，3〃•.矩形的对角线交点F的坐标为(0,57/8)〃•.点N的坐标为(-3,8);②当

I

CE为矩形的对角线时，如解图⑤，以CE为直径作圆，交y轴于点M,连接ME,过点C作CNIIME/.EM±y轴,C

N_Ly轴二M(0,3N(3,4).综上所述，点N的坐标为(-3,8)或(3,4).

三阶综合强化练

1.解：(1)一次函数的解析式为y=x-5;

(2；如解图①，连接BD,过点P作PQllBD交抛物线于点Q,:B(5,0),D(2,5),

设直线BD的解析式为y=ax+c,

•••将B,D两点的坐标代入解析式得，y=-9％+字设PQ的解析式为y=-+d,

•••BD是定值,SBDP=(点P到BD的距离)，

・•.当PQ与抛物线只有一个交点时，点P到BD的距离最大，，联立得X2-4X-5=-1X+d,即3%2—7X-15-3

d=0,

/.b2-4ac=49-12x(-15-3d)=0,

解得d=一等，

5229

二一炉一右，

5229(Y=-

••联立/二一/一母解得2；9，

(y=x2-4%-5(7=豢

・•.P仔，—烟).

\636)

(3；【思路点拨】得到新抛物线的解析式，分①DE为矩形的边，②DE为矩形的对角线两种情况讨论，结合矩

形顶点的平移规律及相邻两边垂直时系数相乘为-1求点M的坐标.

存在.

将抛物线沿x轴向右平移两个单位得y=(%-2)2-4仅-2)-5,

••新抛物线的解析式为y=%2-8x+7,

.，E(L0),对称轴为直线x=4,

•.以D,E,M,N为顶点的四边形是矩形，

•••分两种情况讨论：

①DE为矩形的边时，如解图②作DMJ_DE油D,E两点得直线DE的解析式为y=5x-5,

••・设直线DM】的解析式为y=-k+e,将D(2,5)代入得y=-'+葛

••・新抛物线的对称轴为直线x=4,

一•Mi的横坐标为4,代入y=-)+多导,Mi(4，争,同理，当EM±DE时,M2(4,一|);

②当DE为矩形的对角线时，如解图③，作以DE为直径的圆与对称轴交于点M,设M(4,t),

•.D(2,5),E(L0),

.•直线DM的解析式为y=詈x+10-t,直线EM的解析式为y="-

•「DM±EM,

・•.等―=-1解得t=2或t=3,

••.M3(4,3)或M4(4,2).

综上所述，满足条件的点M的坐标为(4,第或(4,或(4,2)或(4,3).

第1题解图②

第1题解图③

2.解：(1)抛物线的解析式为y=-1x2-1x+3;

(2；如解图①，作点C关于直线y=l的对称点C,过点C作直线CE的垂线交CE于点N,交直线y=l于点M,连

接CM,EC,

vCM=C'M,

CM+MN=CM+MNNCM,即CM+MN的最小值为C'N的长.

.•直线丫=1<乂交抛物线于点E,AE=EC,

•・・直线y=kx为线段AC的垂直平分线.

,.•/CAO=45°,.••直线E0的解析式为y=-x,

、Jy=~x

联立［y=-^x2-1x+3,

解得朦“2晨2二倍去)，

..E(-2,2)r-.CE=y/5,

vC(0,3),点(7与点C关于直线y=l对称，

.-<,(0,-1),

:.S,=\EC-CN=^

ECC22

CC'-\xE\.

.•.1XV5.C/V=1X4X2,

，"N=W.

」.CM+MN的最小值为增；

J

⑶【思路点拨】当①CE为矩形的边;②CE为矩形的对角线两种情况,由直线CE的解析式设点C,Q所在直

线的解析式,与抛物线联立求解点P的坐标，利用平移规律求得点Q的坐标.

存在.

分以下两种情况：

①当CE为矩形的边时，如解图②，过点C作CE的垂线，与抛物线交于点P］，过点E作CE的垂线,与抛物线

交于点P2,过点P1作CE的平行线，交直线EPz于点Q1,过点Pz作CE的平行线,交直线CP，于点Qz,

•.C(0,3),E(-2,2),

••・直线CE的解析式为y=：%+3.

.CE±CQ2,

•・设直线CQ2的解析式为y=-2x+d,代入C(0,3),解得d=3z

「•直线CQ2的解析式为y=-2x+3,

y=-2x+3

\y=~2x-2x+3

解得二;舍去)或｛；二13，

••点C向左平移2个单位，再向下平移1个单位即可得到点E,.•.由矩形的性质可知，将点P］向左平移2个

单位，再向下平移1个单位即可得到点Q】，/QQM),同理得QG-ll);

②当CE为矩形的对角线时，如解图③，以EC为直径作圆，庄解图③可知与抛物线无交点，故此种情况不存

在符合条件的点P,Q.

综上所述点Q的坐标为(L-4)或亿-11).

3.解：(1)抛物线的解析式为y=-#+x+3

(2；【思路点拨】由/ABM=2/AC0,构造等角，计算tan/ABM的值和点H的坐标，联立抛物线与直线BM的

解析式即可求解点M的坐标.

如解图①，在0B上取一点R,

使OR=OA=1，连接CR,则

zACR=2zAC0=zABM,.

过点A作AK-LCR于点K,设直

线BM交y轴于点H,

•••4（-1，O）,C（O，|）,

；・AR=2A0=2,OC=

"=以=卜+（）=苧

：,SACR=\AR.OC=\CR-AK,^|x2x|=1x

当TK,解得=

CK=yjAC2-AK2=

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