江西省某中学2024-2025学年高一年级下册期末考试数学试卷（含答案解析）

江西省全南中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

I.(1+i)2=()

A.2iB.1+21C.2+2iD.0

2.使得等式2cosx一机=1有意义的实数用的取值范围是()

A.(0,+oo)B.(—0,0]C.[—1,1]D.[—3,1]

3.已知向量「二(1,7)与坂二(4M)共线,则实数上=()

A.4B.T2D.1

C.-4

1?

4.已如aU(O,兀)，sina+COST/=———,则sin。—coscr=()

A>/42RJ42rV21nJ21

5555

5.把函数y=COS.V图象上所有点的横坐标变为原来的千涪(纵坐标不变)，再将图象上所有

的点向右平移?个单位长度，得到函数y=/(x)的图象，贝妙Q)二()

6

7t

A.cos二2x-吟-\B.cos2x--肩C.cos(-1x--lD.cos(-1x-花-、.

6；I3)[26)(212；

6.已知•个圆柱形容器的轴截面是边长为4的正方形，往容器内注水后水面高度为3.若

再往容器中放入一个半径为1的实心铁球，则此时水面的高度为()

10c371182

A.—B.nC.—D.—

97

7.已知函匆(戈)=Asin(心+0)(A>0,W>0,0<0<兀)的部分图象如图所示，若人。)=1,

)

8.在VABC中，若点D满足B万=2/）不，且八万+＞则二的值为（）

A.-B.2C.-D.3

72

二，多选题

9.已知函数Ax）=sin2工一J5cos2x,下列说法正确的是（）

A.f（x）的最小正周期为兀

fix）的一个对称中心为^,0

B.

C./㈤在区间0,工内单调递增

I3)

将函数.丫=2sin2A的图象上所有点向右平移甘个单位长度，可得到函数）,=4刈的图

D.

象

10.已知复数z=（l-i）（6+i），则（）

A.z=7+5i

B.|z-2|=5也

C.zI7为纯虚数

D.z在更平面内对应的点位于第四象限

11.已知"，，〃为两条不同的直线，。，3为两个不同的平面，下列命题正确的是（）

A.若川la,an。，则〃？

B.若a,nra,m\\p,n//p,则aII。

C.若alg,m\\a,/?_LP,则〃?

D.若在1〃，m_La,n_Lp,则all。

三、填空题

12（兀'（兀、

12.已知cosan:,aw-7,。，则cosa-二的值为----.

13I2JI4J

13.已知向量方二（|,1）,石二（・1,3）,则向量方在向量力方向上的投影向量为」用坐

标表示）

试卷第2页，共4页

14.己知〃WR,复数4=a+3i,z2=2-i,若会为纯虚数，则会的虚部为-------

四、解答题

15.己知函数/*)=1+ccs2x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求/(“)的单调递减区间.

2

16.(1)已知sina=一一，且。是第四象限的角.求cosG及tana;

(2)已知Iian2=一；,求sina及cosCt.

17.如图所示，几何体的上部是一个正四棱锥P-A8CQ,下部是一个正方体，其中正四棱

(1)求该几何体的表面积；

(2)求该几何体的体枳.

18.在VA8C中，内角A,8,C的对边分别是a,b,c,2ccosB+bcos(B+O=acosB.

⑴求8：

(2)若b=2屈如3,m乙二尸二心，求a、c.

3

19.如图，正四棱锥S-A8c。的底面是正方形，每条便.棱的长都是底面边长的倍，点P

在侧棱SD上，且SP=3PQ.

试卷第3页，共4页

《江西省全南中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案ADBABAABACDABD

题号11

答案CD

1.A

【分析】根据复数的乘法运算.计算结果一

【详解】由题意得（"ip=l+2i+i?=2i.

故选：A.

2.D

【详解】由2cosx-=1得cosx=匕■%.因为-1WcosxW1,所以一11"W1,解得

9?

-3<m<1.

3.B

【分析】根据向量共线的坐标公式，即可求解.

【详解】因为丁与屋共线，所以"h（-3）x4=0,得k=-12.

故选：B.

4.A

【分析】将题给等式两边同时平方得到2sinacos«=q,结合。范围可判断sincr,cosa的

符号，再利用同角三角函数基本关系可即求得sin。-cos。.

）817

（详解】（sina+cosa）~=I+2sinacoscr=——*2sinacosa.

，42

故（sincz-cosal=1-2sinacos«=—,

又:sinarcosa<0且aG（0.7t）—*sina>0,故cosa<0,

742

:sina-cosQ>0,故sina-cosa=----

S

故选：A.

5.B

【分析】求出把函数），二co沙图象上所有点的横坐标变为原来的9倍（纵坐标不变）后的函

数，求出再将图象上所有的点向右平移二个单位长度后的函数.

A

答案第1页，共8页

【详解】把函数)，=COSA•图象上所有点的横坐标变为原来的总(纵坐标不变)后的函数为

y=cos2x,

再将图象上所有的点向右平移5个单位长度后的函数为'=cod2(x-F)]=cos(2xY)

663

故选：B.

6.A

【分析】根据已知条件，容器中放入铁球后，总体积为水体积和球体积，由此列方程求解即

可.

【详解】由已知可得圆柱的底面半径为2,往容器内注水后水面高度为3,此时放入一个半

径为1的实心铁球，铁球的直径为2,所以铁球完全没入水中，

A1A

设此时水面的高度为力，则71x2?x3+-7rx「=71x2?幼，解得人=一,

3a

故选:A.

7.A

【分析】根据函数图象求出函数/(x)=Asin(必+卬)的解析式，然后由人。)二1得出

，江、(兀、

sina+吃的值，最后利用二倍角公式求出cos2a+-的值.

【详解】由题图可知火外相邻对称轴间的距离为竺-2=71，可得二二丸，

??9

27t

因此丁=2«,w==1,

T

当、=,时，—(p—2kit+—,kGZ,故8—2EH—,&£Z.

由0<0<7t可得0=5,

O

由函数的最大值为3可得人=3,因此/(X)=3sinx+5,

k6)

由负a)=1,得sin(a+B]=!，

k613

(.乃、i.2r不17

..cos2a+—,=l-zsm*a+—=—,

I3JI6)9

故选：A.

8.B

【分析】根据平面向量的基本定理求解.

【详解】如图，

答案第2页，共8页

———一2一一2一一I—2一

AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

3333

一・—•—••1

又A/=mA1+必B»

m=-in=-,故竺=2.

44〃

故选：B.

9.ACD

【分析】辅助角公式化简函数，根据三角函数的基本性质即可求解.

【详解】因为J（X）=sin2x-\5cos2x=2sin（2x-$

A选项，/（x）的最小止冏期为兀，故A选项止确：

B选项，/—\2sinf2x——V2sin—=V3.故B选项错误；

16JI63）3

C选项，因为，则

\3/3\33/\22J

所以函数/（V）在区间内单调递增，故C选项正确：

771

D选项，将函数y=2sin2x的图象上所有点向右平移7■个单位长度得,

2x=2sin2/-［冗的图象，故D选项正确:

3

10.ABD

【分析】根据复数的乘法求出复数Z,再根据复数的相关知识逐项判断即可.

【详解】7=（l-i）（6+i）=7-5i,

z=7+5i,A正确；

|r-2|=5-5i=V52+52=5>/2,B正确；

z+7=14-5i不是纯虚数，C错误；

z在复平面内对应的点（7,-5）位于第四象限，D正确.

故选：ABD.

答案第3页，共8页

II.CD

【分析】根据线线关系，线面关系分别判断各个选项即可.

［详解】对于A,若〃//a,an6=，则"〃/〃或〃与m异面，所以A错误.

对于B,若〃7LCT,〃LCX,m//p,n//pt没有〃7,〃是相交直线这个条件，不能得到。〃氏

所以B错误.

对于C,由得存在过直线〃，的平面与平面。相交，令交线为c,则〃?//c,而〃_LB,

aHB，则”_La,〃_Lc,因此〃_L〃，C正确.

对于D,若〃?/加，w_La,贝加_La,又〃_1_氏所以cr〃G，D正确.

故选：CD.

12.这

26

【详解】因为aJ-工。所以sina=-^/^sCa=所以

I2)H

(ityn..itVI6(f61也

14yl44132L139226

(13、

【分析】根据向量投影的计算公式求出向量J在向量〃•方向上的投影，再结合投影向量的定

义求出投影向量.

ab

【详解】根据向量投影的计算公式，向量〃.在向量”方向上的投影为两.

已知/=(1,1),岳二(-1,3),则/出=1x(-l)+lx3=2.

|h|=7(-l)2+32=Vu9=Vio

.ab2M

所以向量a在向量〃方向上的投影为而二7而二飞一

.ab

根据投影向量的定义，向量)在向量〃方向上的投影向量为।百I

将f.=2,历『=(厢hl。岳=(-1,3)代入可得：

2-I13

3)=(--,-).

故答案为：

答案第4页，共8页

3

【分析】先应用复数乘法及除法运算，再结合复数类型计算求参即可.

-a+3i(a+3i)(2+i)2a-3+(6+a)i

【详解】依题意可知'二大一=<八.芸:=----7——为纯虚数，故2〃-3=0

二22-i(2-i)(2+i)5

4A2

解得。二一，所以虚部为。+53.

9----=-

57

故答案为：

2

15.⑴兀

(2)kmkn+3,ke7.

【分析】(1)根据余弦函数周期公式求解；

(2)根据余弦函数的单调避减区间求解.

【详解】(1)/U)的最小正周期为7二型二五.

(2)令2履W2vW兀+2bt,A£Z,解得：kjt<x<--^hi,kRZ,

所以/U)的单调递减区间为+1,A£Z.

16.答案见解析

【分析】(1)先根据象限角判断cosa>0,然后根据同角三角函数的关系求解；

(2)先根据tana<0判断角所在象限，然后根据同角三角函数的关系求解

【详解】(1)。是第四象限的角，则cosa>0,于是cosa=>/rsin%=直则

sina2石

tan3=----=-----;

cosa5

(2)【ana：-，则。是第二或四象限的角，

sin2a+cosJa-\sina=——

5

当a是第二象限角时,cosa<o,sina>o,由，1sina解得，

tana=—=26

2cosacosa=-----

5

,亚

sin2a+cos2a=\sina=----

5

当a是第四象限角时，cosa>o,sina<o,由<1sina，解得，

tana=—=----2后

2cosacosa=---

5

17.(1)36^4-18(

答案第5页，共8页

(2)r=3672+216

【分析】（1）设M是C。的中点，连接尸M,进而可证明尸MJLC。，从而可计算正四极锥

的侧面积与正方体的五个面积：

（2）根据锥体与正方体体积求解即可.

【详解】（1）设M是8的中点，连接PM.

因为△PCO是边长为6的正三角形，

所以PMJ.C。，且=

所以该几何体的表面积5=（3乂6、3百）*4+62、4+62=368+180.

（2）连接AC8。，设交点为O,连接PO,则P0是四棱锥P-A8CO的高,

则P0=3出，所以/一小=+6、3>/1=36也

又正方体的体积为6x6x6=216,

所以该几何体的体积V=36,2+216・

Tt

•8.（I）-

（2）a=3,c=4痴=4,c=3

【分析】（I）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式求出cosB,即可得解：

（2）首先求出〃，由数量积的定义求出加、，再由余弦定理求出〃+c,最后解得即可.

答案第6页，共8页

(详解】(1)因为2ccosB+bcos(B+O=acosB,

BP2ccosB-bcosA=acosB，

即acosB+bcosA=2ccosB,

由正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB，

sin(A+B)=2sinCcosB,：sinC=2sinCcosB,

'-CG(0.兀)，sinCW0,：cos,

BG(0,7t),：8=1.

(2)由(l)可得力=22受sinB二独9x虫=

2?7

_________________一1

==-6./.BCBA=accosB=-ac=5,

.R„a2+c2-b21

.ac=\2,又cosB=---------------=—

nr?;

222

Bna+c-13(a+cf-2ac-l3(a-H?)-13.I

2ac2ac242

a+c=l解得fa="3或fa=4

：a+c=1由，|c=3

ac=\2

19.(1)证明见解析

(3)存在，SE:EC=2:1,理由见解析

【分析】(1)连接ACA8Q=。，连接50,利用正四棱锥的结构特征，结合线面垂直