江苏省南京市某中学2024-2025学年高一年级下册3月月考数学试卷（含答案解析）

江苏省南京市宁海中学2024-2025学年高一下学期3月月考数

学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知向量。二(2,4),/)=(l,x),且力/力，贝卜二()

A.2B.-2C.8D.-8

(兀、1.…，，、

2.已知cosa十:=7i贝Usin2a的值为()

4

7733

A.-B.——C.—D.—

8844

3.已知tana,tar0是方程£・5x+6=0的两根，那么tan(a+B)=().

A.1B.2C.-1D.-2

4.函数/(x);cos2x+6sinx+1的值域是()

(13--幺13"

A.1-8,万]B.-6,yC.6,-yD.[-6,6]

5.如图所示，在四边形43。中，*，上为3c的中点，且7E=AB+RD,则

3x-2y=

D______C

A±3

B.-

-7?

C.1D.2

6.已知锐角三角形边长分别为1,2,x,则x的取值范围是()

A.(1,3)B.(1,5)C.(AV5)D.不确定

7.箱三—，帆/2-2屈2t+Jl+a)s2r=()

A.J5sinxB.xf5.cosxC.sinxD.cosx

8.已知0<a<三,0<6<色，且sin(2a+。)=4sinp,iota吟=6(1一"与，则a+6的

??

值为()

试卷第I页，共4页

Tt5712n7t

A.-B.—D.-

66cT

二、多选题

9.已知a=b=(cos0,sinG),则下列命题正确的有（)

A.若G_|_力，则6B.力力的最大值为2

rrrr

C.存在c使得|a+b|=|a|+|Z)|D.一A|的最大值为3

10.已知角48,C是斜三角形力8C的三个内角,下列结论一定成立的有（）

A+BC

A.sin(4+8)=sinCB.sin，—=siny

C.若sin力〉sinA,则/>BD.taii4+tanB+tanC=tan/ltan8tanC

…=sin2计V5cos2x+一]

已知函》sin2n:贝

-2xU()

3

A./1冏="')

f（x）的图象关于点f,0对称

B.

IS7

/（x）在（0，丁、上的最大值为3

C.

kb）

D.将/G）的图象向左平移得个单位长度，得到的新图象关于y轴对称

三、填空题

12.已知si4a+30°)=；,则sin(2cr+150o)=

13.已知平行四边形/BQ）中，卜8=,[=48.Ar=2,点E为边5c的中点，贝必;「上

的值为.

14.在中，AC=4,BC=3,±^CB=90°»E为边4c中点，而=；而+；就,

试卷第2页，共4页

则CA.BE的值为一.

四、解答题

15.已知平面向量5,晨忖=2,同=3,且；与1的夹角为

(1)求R+否

(2)若三f与〃+幼(〃£R)垂直,求〃的值.

16.d)illsin(—+—)cos(—+—)=or€(—,—),cos(/?--)=-,%(1,£).

89R4*47457

(1)求cos(a+：：的值：

(2)求cos(a+P)的值.

17.某小区要在-•块扇形区域中修建一个矩形的游泳池.如图，在扇形0P。中，半径

O^iOO(m),圆心角上PO0=3,C是扇形弧上的动点，矩形/8CD内接于扇形.记上POC=a,

4

矩形ABC。的面积为S(m').

Q

(1)将面积s表示为角a的函数：

(2)当角a取何值时，S最大？并求出这个最大值.

18.已知对任意平面向量7一小一二(xj),将7/绕其起点力沿逆时针方向旋转8角后得到向量

A0=(Kcoser，sine,xsine-ycose),则叫做把点，绕点/沿逆时针方向旋转8角得到点P.已

知平面内两点力(,2),可1+6,1).

儿

(1)将点8绕点彳沿顺时针方向旋转5后得到点P,求点P的坐标；

(2)已知向量方=(cos82sin6),且满足万.力万一加40对任意的角夕£0,，成立，试求实数机

的取值范围.

19.定义函数危)=/wsin.v+ncosx的，锡向量”为dM=(〃],〃)，非零向量5M=(,”,〃)妁“伴

试卷第3页，共4页

《江苏省南京市宁海中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案AACDCCAABCDACD

题号11

答案BCD

1.A

【分析】根据平面向量共浅的坐标表示计算可得

【详解】因为；=(2,4),3=(1/),且；//力，

所以2x—4=0,解得x=2.

故选：A.

2.A

【分析】先利用两角和公式对已知等式整理求得cosa—smor的值，使之平方即可求得sin2a

的值.

【详解】Vcos«+—^=—cosa--sina=—:

<4J224

cosor-sintz=——，

4

21

：(cosa—sina)=1—2sinacosa=1—sin2CT=—,

o

・c7

sin2a=—.

8

故选：A.

3.C

【分析】根据tana,匕11£是方程/一54+6=()的两根，利用韦达定理得到

tana+tan/?=5,tana.tan/?=6,再利用两角和的正切公式求解.

【详解】解：因为tana,tan0是方程F—5x+6=0的两根，

所以tana+tan。=5,tana.tan(3=6,

/小tana+tanG5,

月「以tan(a+3)='j~^-------------=7—7=~^.

1-tanatanB1-6

故选：C

4.D

【分析】化简函数为/U)=—2sir?x+6sinx+2,结合正弦函数与二次函数的性质，即可求

答案第1页，共U页

解.

【详解】由函颌X)=cos2r+6sinx+1=—2sin?.r+6sin.v+2=-2(sinA：-y)2+，,

因为sinxG[—1,1],

当sin”1时，可得/'G)a=6；当sinx=—1时，可彻小)“11n=T，

所以函数/(i)的值域为[-6,6].

故选：D.

5.C

【详解】・.E为BC的中点，.♦.丽=1前，而

2

BC=BA+7D+DC=--AB+7DBE=-BC=------AB+AD\==G5+55.则

322(3J32

一一一2一1一

AE=AB+BE=-AB+-AD

32

___r___r=2=\

且〃=〃8+yAD，:,则3x-2y=I,故选C.

6.C

【分析】根据三角形三边关系和余弦定理即可求出第三边的取值范围.

【详解】由题意，设三角形为，!BC,b=l,c=2,

由三角形的几何性质c—<a<c+b,

A1<a<3»

•・•三角形是锐角三角形，6->b,c>b,

・•・只需要4c为锐角，

*/cosJ=b+c-">c»即5—下>0,

2bc

cosC="+'———>0，即力—3>0，

lab

联立解得：(石，

故选：C.

7.A

【分析】利用倍角公式结合区间内三角函数的符号，化简得拉_2$in2v=j2(sinx-cosx).

c〃=Scosx,据比即可求解.

:

【已到V2-2施=x/2-4«JIM=x/2(l-2sinxcosx)-^J(sinx-cosx),

答案第2页，共11页

因为所以sinx-cosx20,

47

所以在/sinx-cosif=/sinx-cosx)

购Jl+毗=Jl+2扇1=416J2cosx»

lM^=x/2(sin^-cosj)+\/2cos.r=s/^inx.

故答案为：A.

8.A

[分析】将sin(2a+。)=4sin。转化为sin[(a+6)+a]=4sin(tz+伪-a,然后由两用和

与差的正弦公式展开化简，由10tanS=G(l-tan2§,利用二倍角公式化简最后求解即可.

【详解】因为sin(2a+P)=4sinB,所以sin(a+8)+ab4sin(a+份-a,

所以sin(a+j8)cosOf+cos(a+6)sina=4sin(a+/?)cosa-4cos0f(+/3s)ina,

化简得：5cos(a+B)sina=3sin(a+°)cosa,

所以ian(a+6)=1una,

.a.a2a.2a

sin—sin*;—cos——sin—

又由lOtanqu6(1-tan%,可得10---1=6(1-----3=瓜-----------4,

77a>a

cos—cos'—cos'—

7y7

所以10$巾囚854=685。，即5sina=Jkosa,所以tana=3,

?95

所以tan(a+6)=qana=5,又Ova<；,0<夕v,,所以0<a+6<几，

所以a+6=3.

n

故选：A

9.BCD

【分析】利用向量垂直、数量枳、模长等公式，对四个选项依次分析即可得出结果.

【详解】对于A,n\h则cos®+J§sin6=0,：tan。=一^^,「.。二一三+A九,AwZ,故A

26

错误.

对于B,a-^=cos9+>/3sin0=2sine[-2,2],故B正确.

rrrr_FTTT

对于C,|a+/>|=|a|+|b|时，则〃与b同向，设〃二儿，则(cos8,sin8)=，1,白)，

答案第3页，共11页

:cos0=%sin9=A2+3A2=1,^=7,.\cos9=—^in0=—»故C正确.

,79

1=22

对于D,(n—b)n~^n.b+b=4+1—2cos»2-J^sin0=5—4sin分—,

<6)

当4《。+2)二一1,最大值为9,：|。一/)|最大值为3,故D正确.

故选：BCD.

10.ACD

【分析】对TAB,由X+B=兀一。结合诱导公式分析判断，对于c,利用正弦定理和三角形

的性质分析判断，对于D,利用诱导公式与两角和的正切公式分析判断.

【详解】对于A,因为4+8=兀一C,所以sin(4+8)=sin(兀—C)=sinC,所以A正确,

A-vB.n-Cn_CC

对于B,因为?1+8=兀一C,所以sin"-----=sin------=sn=多，所以B错误,

22~2~~2

对于C,因为sin力,sinB,所以由正弦定理可得a>8，

因为在三角形中大边对大角，所以/1>8,所以C正确,

对于D,因为在斜三角形幺8C中，A+B=n—C

所以tan(?l+B)-tan(n—C)=—tanC,

tanA+tanB~

所以------------=-tanC,

I-tanJtanR

所以lan/+tanB=tanC(1-lanJianB),

所以taM+tantanC=taivltanBtanC,所以D正确,

故选：ACD

11.BCD

x+过氧判断(21t、

【分析】根据辅助角公式及诱导公式化简/>),再计算/A,计粉--x

2JI3)

可判断B,由自变量范围求出sin2/+三范围，换元后利用对勾函数求最值可判断C,根

I3)

据图象平移计算即可判断D.

it1[

,/fx)=2sin2x++n-=为in2J+—+

【详解】I'In3Jsin(2x+*1

sin兀-2rx+-

3

1

2sin2x+-+n+寸《),所以A错误.

因为I3)sin(2x+Z+兀)

I3)

=2sin2(如--+1

因为々3-x(3)3j

271It

sin2+-

33

答案第4页，共11页

=-2sin2x---+2n----彳------------

'，sin（2/--^+2兀

…巾+野一^田，

I3；

（、（兀、

所以/W的图象关于点彳,0对称，B正确.

13；

（兀、717T2不、,所以sin[2x+e

若“则2"^l3'3）

I3j印1

因为函数y=2/+1在yJ上单调递增，所以、皿=2+；=3,c正确.

.

=/J+—l=2sin2x+-.+——-7^----^=2cos2x+-!—（、

I}\12J<2）而（2%+；）c‘2x・则g（3gG）,且定义

域关于原点对称，

所以g（x）=2cos2x+一丁为偶函数，其图象关于y轴定称，D正确.

cn^/r

故选：BCD

12.2

0

【分析】以。+30。为整为，结合诱导公式和倍角公式运算求解.

【详解】由题意可得；

sin（2a+150。）=sin\2（a+30。）+90。.=cos2（a+30。）=1-2sin2a（+30.）=：

故答案为：

13.9

【分析】根据四边形ABCD是菱形，可得=2c，作JLXC于尸，尸是7

的四等分靠C

端，力产=7AC将力云=4元+FE代入即可求解.

答案第5页，共II页

D

【详解】

因为平行四边形力88中，腐=阿=疝方=2,

所以四边形ABCD为边长为2的菱形，目上助力=60。,

22

Acf=(AB+AD)=AB+而2+2福通=12,园=2道,

如图所示，作石尸」_力。于/，AF=^-AC,AE=AF+FE

4

/1E-JC=(JF+F£)-/lC=JF-JC=|/iF|.pc|=||JC|2=9.

故答案为:9

14.-6

【分析】找到两个基底2%,27,然后用两个基底向量表示和屋£一,再通过向量的运算

即可得

：/lC=3、BC=4,±JCB=90

.­.CB-C4=|CB|-|G4|COS9C0=0

-：CD=AD-AC=^AB+^AC-AC=^4B-^AC=,

4a

BE=BC+CE=BC+-CA,

2

CDBE=|CB(BC+1G4)=-1BC2+1CB-C4=-1|BC|2+1|CB||C4|COS90°=-6,

故答案为：-6.

15.(1)719

(2)^=|

n

答案第6页，共11页

【分析】(1)利用向量的平方等于模长的平方和数量积公式求解即可;

(2)利用向量垂直数量积为0求解即可.

【详解】(I)由题意可得£+♦(=(a+B)=a+2ab+i^

=p|~+2acos<a,h>+|^|*

=4+2x2x3x—+9=19,

所以卜+B卜厢.

--rr

(2)因为向量Q”与“+A力垂直，

所以@—B)・(£+〃B)=L+(k-l)£5-Ar=4+(A-l)x2x3x：-9%=0,

解得k=L

6

16.⑴-：

⑵-等

71n

【分析】(1)利用已知条件，通过二倍角公式以及a的范国，a+二的值，即可求出cosa+-

4I4)

的值.

求出《通过

(2)si8a+6:+aJ+(8-:itJ,利用两角和的余弦公式展开，代入

4

函数值求解即可.

』sin'—+a.n]兀

【详解】(1)由题知:->sin—+a=cos—va

2(44(4J(4

itnn3兀、

ae:.—+aE故3匕+。

<424[24;2

4

=±

(2)因为cos3c==,所以sinQ--5-

I4J5I4,

又停冗、，故夕一者

U;4；44；

从而sin^-7|=cos|a+^)=cos—+a+—I

(4)5

答案第7页，共11页

17.(1)S=5000^sin(2a+-)-5000,0<a<-；

44

2

(2)a=y,SmiK=5000>/2-5000(m).

X

【分析】(1)根据给定的图形，用a的正余弦函数表示矩形的一组邻边即可列式作答.

(2)利用(1)中函数，结合正弦函数的性质求解作答.

【详解】(1)依题意，在RtZ\O8C中，上O8C==,=BC=OCsinl^OC=lOOsina,

OB=OCcos±POC=lOOcosa,在RtAO/ID中，±OAD=-±POQ=-,则OA=AD,

94

因此AB-OB-OA-100(cosa-sina),S=AB.BC=100sina.100(cosa-sinar)

=10000(sinacosa-sin2a)=5000(sin2a+cos2a-l)=5000及sin(2a+—)-5000.

4

所以面积S表示为角a的函数是S=5000JLin(2a+=)-5000,0<a<3

44

(2)由(1)知，当0<a<四时，-<2a+-<—则当2a十四=四，即a=2时，

4444478

[sin(2a+j)]max=l;

2

所以当a=?时，5max=5000>/2-5000(m).

18.(IXL。)

⑵距+⑹

【分析】(1)根据新定义，利用平面向量的坐标运算即可求解(2)根据新定义以及平面向

量数量积的坐标运算，将不等式恒成立问题分离参数转化成求最值即可求解

【详解】(1)易得，JB=(V3-1),

由于将点8绕点力沿顺时针方向旋转工后得到点尸，

依据题设定义，得0

所以力户=(JJcos如+sin2,5sin如一cos—=(0,-2).

设点P的坐标为(M%),则有力P4-I/。-2),

x()-1=0X。=1

从而c、解得

%―2二-2%=0.

所以点尸的坐标为(1,0).

答案第8页，共11页

(2)由(1)及题设,得)尸二(Gcos夕+sin8,6sin/一cost).

因为万二(cosG,2sin©),

所以万=cosO(6cos0+sin0卜2sin0(GsinO-cos。)

=V3+x/3sin2。-sin6cos6

nn\-CQS201rLin2%£GS29

V3+V3x-------------------sin20zi=

22222

他一即说+四n

23

因为不等式方7?_加<。对任意的角9e0,i

2孚-si《29+］：对任意的角Ow।

即〃?0仁恒成立,

记/⑻=半-sin(M+3，则只须“之/(6)心

由于Ow0,^,所以26+gwp71y4几

33

冬中呜N，

所以

所以生-IV迈二］42百,

?\3J

显然4°)2=2仃，所以,〃>2」.

故所求实数”的取值范围为是［2JI+00).

17

19.(1)--

⑵［2诟-6,6)

【分析】(1)根据题意得/(、)=Gsinx+cosx