柯西不等式与权方和不等式-2026届一轮复习（含答案）

柯西不等式与权方和不等式-2026届一轮

复习婀曲木等K易权方却不等W

目录

01知识重构•重难梳理固根基.........................................................2

02题型精研・技巧通法提能力.........................................................2

题型一二维柯西不等式直接使用（★★★★）.........................................2

题型二二维柯西不等式变式型（★★★★★）.........................................3

题型三二维柯西不等式三角型（★★★）.............................................3

题型四三维（多维）柯西不等式（★★★★★）........................................4

题型五权方和不等式基本型（★★★★）.............................................5

题型六权方和不等式的推广型（★★★★★）.........................................5

题型七权方和不等式三角型（★★★）...............................................5

03实战检测・分层突破验成效.........................................................6

检测I组重难知识巩固...........................................................6

检测n组创新能力提升............................................................7

01知识重构-重难梳理固根基

一、柯西不等式

1、二维形式的柯西不等式

£(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2。(aQ,ci,dGR。，u当且仅当ad=be时，等号成立.)

2、二维形式的柯西不等式的变式

(1)Va2+b~•Vc2+d2>|ac+bd|(a4力行，c—,d€凡存当且仅当ad=be时，等号成立.)

(2)Va2+62,+]ac|+\l)d\(a^,b,cq,dGR,Q当且仅当ad=be吐等号成立.)

(3)(a+b)(c+〃)A(Jac+y/bd)2(aQ,6-,cQ,d>0,a当且仅当Q或/=be#时—,等号成立.)

3.扩展：(遍+磅+欣+…+*)(/+&+优+…+必)3(afii4-Q2b2+的％+…+/鼠)2,当且仅当QM=O2也=•••=

也时，等号成立.

注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对小+，2,并不是不等式的形状，但变成

4-(l2+l2+l2)-(a2+62+c2)就可以用柯西不等式了.

二、权方和不等式

权方和不等式,若0,则尤+£)此誓■，当且仅当马=白时，等号成立.

xyx±yxy

证明Itafb,x,y>()

要证近+尤>反包

xyx+y

只需证网包包

xyc+“

印证xya2+y2d2+x2b2+xyb2>xyd2+2xyab+xyb2

故只要证y'E+x2b2>2xyab

(ya-x6)2>0,当且仅当?/Q-/=0时，等号成立

即尤+上>如心匚，当且仅当包=之时，等号成立.

xyx+yxy

证明勿对柯西不等式变形，易得(与+8)(％+y)>(a+b)2在a也c,y>0时,就有了5+今■》包誓当?

v/〃沙

=立时，等号成立.

y

推广1：尤空空/，当马=白=右时，等号成立.

xyzc+g+zxyz

推广:2：若Q0也>0,则乎■+乎•+…华磬岁卷匕当Qf=/。时，等号成立.

〃25十〃2十.'十篇

推广3若0>0e>0g>0,则竺二+组1+…+/二》与+的+…+册)：，当他时，等号成立.

那蚓峭(山+与+…+鼠户

02题型精研-技巧通法提能力

题型一二维柯西不等式直接使用

【技巧通法♦提分快招】

1、二维形式的柯西不等式

1（a2+b2）（c2+d2）>（ac+bd）2^（a二,b二,cu,dCHm,q当且仅当ad=bc时，等号成立.）

2、记忆方法:口诀，平和城,城和平

平，平方

城洞“乘”，相乘的意思

1.（24-25高三下•河北•期中）柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数

学分析中有广泛的应用.二维柯西不等式为（Q2+〃）（c2+d2）>（M+bd）2,当且仅当ad=bc时等号成

立.已知Q>0,。b>0,直线夕=2c—3Q与曲线沙=ln（2c+b）相切，则〜石+中之的最大值为

（）

A乎B.4C.D.埠

OMJN

2.已知c>0,y>（）,f+必=1,则誓w+V2y的最大值是.

3.乙43。中角4,8,。所对的边分别为a,b,c,已知a=3,。为的点，且BD=2CD,4D=1,则b+

c的最大值为

题型二二维柯西不等式变式型

4./（x）=V5x—4—y/x—4的最小值为.

5.若不等式4十四〈机十y对任意正实数①,y都成立，则实数k,的最小值为.

6.（24—25高三上•辽宁•月考）已知空间向量获,人若万_1.乱不在4了上的正投影数量分别为1和3,且同

=布,则不与4+1所成角余弦的最大值等于.

7.（2024•北京朝阳•模拟预测）函数/Q）=石=？+/1^^的最大值为（）

A.1B.V2C.2D.2V2

8.（23—24高三上.上海奉贤.期中）对于平面曲线S上任意一点尸和曲线T上任意一点Q,称|PQ|的最小

值为曲线S与曲线T的距离.已知曲线S:?/=6和曲线丁："=51一3—3）2,则曲线，与曲线丁的距离

为（）

A.^--1B.C.V2-1D.2

题型三二维柯西不等式三角型

9.（2024・浙江•一模）若sina+cosy+sin（1+g）=2,则sin①的最小值是（）

A.0B.2-V3C.3-eD.J

10/0=-r-T+^4—的最小值为______.

2sinzx+35cos"x+6

11.（2025•浙江杭州•模拟预测）已知△ABC面积为1,边47,A3上的中线为3DCE,且30二等CE,则边

力。的最小值为.

题型四三维（多维）柯西不等式

［技巧通法•提分快招］

（Q¥+O1+QH---卜W）（b：+状+b：T--->嫦>3也+02b2+Q3b：;+…+%鼠）2,当且仅当的以=。2山2=

…=Qm：bn时，等号成立.

12.柯西不等式的三元形式如下：对实数。。1,。2，。3和。如，62,匕3，有（Q：+Q,+Q9（债+丛+%>

（岫+Q力2+。3b3）2,当且仅当兽=兽=兽等号成立，已知。>+婿+'=14,请你用柯西不等式，求

出。i+2g+3z的最大值是（）

A.14B.12C.10D.8

13.已知a,b,cGR,满足（。+2）2+〃+3+1）2=12,则（1+匕+°的最大值为（）

A.2B.3C.4D.6

14.（23—24高三上•陕西咸阳•月考）若Q；+aHF磷=8）（n为偶数），则a}a2+a2a3+a3a44--\-an-}an+

a°i的最小值为（）

A.25B.8C.-8D.-25

15.（2024高二下・北京・竞赛）对于c>0，若非零实数a,b满足4a2-2a6+462-c=0，巨使|2。+“最

大，则上一J+2的最小值为

16.（24-25高三匕上海杨浦•期末）已知平面向量Z比A满足同=1,吼=2,（a-b）-c=0且五2=0.

记平面向量［在工，日方向上的数量投影分别为处y,向量1-日在不方向上的数量投影为z,则对任意满

足条件的向量力代数式行+炉+炉的最小值是.

17.（2024・四川成都•模拟预测）已知a,b,c>0,且Q+b+c=abd.

（1）求abc2的最小值m；

⑵证明：771abe+(a+b)c22m2.

题型五权方和不等式基本型

【技巧通法•提分快招］

1、很多题目是不会直接可以利用权方和不等式解决的，需要进行一定的配凑与变形.

2、权方和不等式的特征是分子的事指数比分母的累指数大1,用于“知和求和型”快速求最值，木质

还是代数式常数化.另外，一定要验证等号成立条件.

18.则函数/Q）+若一（OVNV卷）的最小值为（）

XLtjXJ

A.16B.25C.36D.49

19.（24-25高三下.辽宁葫芦岛.月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很

广泛的应用，其表述如下：设Q,b,/,g>0,则史+尤>9半，当且仅当马=立时等号成立.根据

xyc+"xy

权方和不等式，函数人①）=卓空•+廿氏（Ov，v£）的最小值为（）

A.39B.52C.49D.36

20.已知。>0">0,且/+沙=1,则金？+47的最小值是

21.已知c>0，u>0,且^^+—丁=1,则①+2夕的最小值为

2x-\-y9+1------

题型六权方和不等式的推广型

22.已知c,g,z>0且。+g+z=1,a,b,c为常数，则24--4--的最小值为（）

xyz

A.a2+62+c2B.3（。2+/+°2）C.（a+b-t-c）3D.前三个答案都不对

23.己知正数y,z满足。+y+z=l,则的最小值为

fg：+2zz-\-2x/+2y------

24.已知r十2y十3z十4u+5解=30,求利十2y十3/十4u"十5"的最小值为

题型七权方和不等式三角型

25.函数y=」一+」厂的最小值是

siirxcos'

26.已知正实数c、g且满足z+q=L求17+其的最小值.

x-y-

27.（2024・四川•模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的.其具

a?+,Q”,Q；产工工叱

体内容为：设Qn>o,bn>0,71wN*,m,>0,则十十------十・••十--------

嫄增

（“：+"：+?+…+?::当且仅当鲁二詈二詈二…二詈时，等号成立.根据权方和不等式，若

（山+与+8+♦••+&）瓦b2b3bn

（。,噂），当孥+-^―取得最小值时，x的值为（）

\27sm算cosx

c兀57r

AA2LRcD.

-12f-712

03实战检测-分层突破验成效

检测I组重难知识巩固

28.实数m,n,x,9满足加+*=。，炉+炉口乂。/那么r_j_ny的最大值为（）.

A.喏BSC.D,

29.实数c、y满足6x2+4y2=12,则z=2x+的最小值是（）

A.-5B.-6C.3D.4

30.已知。，匕＞0,o+匕=5,则/^1+而总的最大值为（）

A.18B.9C.3V2D.2V3

31.若实数z+2财+3N=1,则/+4+炉的最小值为()

A.14B.-r-C.29D./

14AJ

32.柯西不等式最初是由大数学家柯西（Crnc/w）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位

数学家Bu欣QAXZWS机和Sc山〃彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善

的地步.该不等式的三元形式如下：对实数。Q1Q,Q3。和。瓦,MW，有（山+谖+成）（*+质+阳＞

SQ+Qb+&b3）2等号成立当且仅当兽=等=善已知。〃+才+之2=14。，请你用柯西不等式，求

打。2O.i

出。i+2g+3j的最大值是（）

A.14B.12C.10D.8

33.（23-24高三下.山东烟台.月考）已知空间向量方=（1[,0）,1=（120）,＜5方=（0,弓），丽=

加55+g西+z云，且c+2g+z=2,贝的最小值为（）

A.V2B.V3C.2D.4；

34.（23—24高三上•山西晋中•月考）已知Q,b,c是直角三角形三边，c是斜边且曲+加1一直c=0.且r?+：

m2的最小值为s.如图，在三棱锥。一ABC中，OAOB,0。两两垂直，OB=OA=。。=s,则平面：

.................Q

35.已知正实数由，电，…，—2。满足%+出+…+劭20=1，则一^+Y—+…+碱:的最小值为

火十©。2+。3@020+。1

36.已知Q,b,c为正实数,且满足。+4b+9c=4,则―14T+一的最小值为

a+164-1c+1------

37.已知实数Q,b满足：2〃一〃=4,则值一24的最小值为.

38.（23-24高三上•安徽・月考）为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数

学探究与发现》选修课.在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明

了著名的柯西不等式（二维）；当向量1=（%％）,日=3，多2）时,有限时《同御，即（£@2+仇如2&

（研+媚）（瞄+求），当且仅当立曲二02%时等号成立;学生乙从这个结论出发.作一个代数变换，得到了一

个新不等式：（电6—小统）2>（必一负）（谴一燹），当且仅当，曲=»2%时等号成立，并取名为“类柯西不等

式”.根据前面的结论可知：当cGR时，一一七的最小值是

2e+1x2+l------

39.（2024・河南信阳•模拟预测）己妇正数。力满足a+b=骷=+亲乌，则a+b的最小值为.

2a+12b+1------

40.（24—25高三上・陕西西安・月考）已知。为>0,2+4=1,则a+b+J西凉的最小值为.

ab------

41.已知0为锐角，则士+士的最小值为

smacos6------

42.（23-24高三下•江苏苏州•开学考试）设角a、£均为锐角，则sina+sin.+cos（a+”）的范围是.

检测n组创新能力提升

43.已知R,且加#j,贝I」炉+y+（）的最小值为（）

A.V3B.%C.yD.1

44.已知d+g2+/=],a+36+遍。=16,则(1—。)/+(g-匕丫+(z—c]的最小值为.

45.(23-24高三上•河北衡水・期末)若。C：(①一a)?+(y-6)2=1,0D：(x-6)2+(y—8丫=4,M,N分别

为。C,。。上一动点,\MN\最小值为4,则3a+46取值范围为.

46.(2024.河北邯郸.模拟预测)柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯

西不等式就是其中之一,它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为:设Q|，Q2，Q3,

2

…，M，E，几，几，…,bn6R,(a'f+ai；H1■底)(睨+blH1■孀>3也+a2b>HFa„bn)，当且仅当A=0

()=1,2,…，刃或存在一个数k，使得Qj=kA(i=l,2,…,77,)时，等号成立.

(1)请你写出柯西不等式的二元形式；

(2)设，是棱长为四的正四面体ABCD内的任意一点，点P到四个面的距离分别为4、4、d3、&,求出

+龙+威+出的最小值；

⑶已知正数数列｛QJ满足:①#在aWR,使得ai&zn(i=12…);②对任意正整数i、/(i¥»,均有

|⑸一Q/求证:对任意nEN",恒有1.

J

...........»

目录

01知识重构・重难械理固根基................................................2

02题型精研・技巧通法提能力................................................2

题型一二维柯西不等式直接使用（★★★★）................................................................2

题型二二维柯西不等式变式型（★★★★★）..................................................................4

题型三二维柯西不等式三角型（★★★）....................................6

题型四三维（多维）柯西不等式（★★★★★）...............................8

题型五权方和不等式基本型（★★★★）.........................................................................................10

题型六权方和不等式的推广型（★★★★★）................................................................................12

题型七权方和不等式三角型（★★★）..............................................12

03实战检清・分层突破验成效........................................................13

检测I期磔知火巩固..........................................................13

检测II组创新能力提升...........................................................19

01知识重构-重难梳理固根基

一、柯西不等式

1、二维形式的柯西不等式

£(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2。(aQ,ci,dGR。，u当且仅当ad=be时，等号成立.)

2、二维形式的柯西不等式的变式

(1)Va2+b~•Vc2+d2>|ac+bd|(a4力行，c—,d€凡存当且仅当ad=be时，等号成立.)

(2)Va2+62,+]ac|+\l)d\(a^,b,cq,dGR,Q当且仅当ad=be吐等号成立.)

(3)(a+b)(c+〃)A(Jac+y/bd)2(aQ,6-,cQ,d>0,a当且仅当Q或/=be#时—,等号成立.)

3.扩展：(遍+磅+欣+…+*)(/+&+优+…+必)3(afii4-Q2b2+的％+…+/鼠)2,当且仅当QM=O2也=•••=

也时，等号成立.

注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对小+，2,并不是不等式的形状，但变成

4-(l2+l2+l2)-(a2+62+c2)就可以用柯西不等式了.

二、权方和不等式

权方和不等式,若0,则尤+£)此誓■，当且仅当马=白时，等号成立.

xyx±yxy

证明Itafb,x,y>()

要证近+尤>反包

xyx+y

只需证网包包

xyc+“

印证xya2+y2d2+x2b2+xyb2>xyd2+2xyab+xyb2

故只要证y'E+x2b2>2xyab

(ya-x6)2>0,当且仅当?/Q-/=0时，等号成立

即尤+上>如心匚，当且仅当包=之时，等号成立.

xyx+yxy

证明勿对柯西不等式变形，易得(与+8)(％+y)>(a+b)2在a也c,y>0时,就有了5+今■》包誓当?

v/〃沙

=立时，等号成立.

y

推广1：尤空空/，当马=白=右时，等号成立.

xyzc+g+zxyz

推广:2：若Q0也>O则等+孚■+…(匕7：：：)，当。=做时，等号成立

推广3：若Q0也>0加>0,则■■+等+…+等力…,当a产地时，等号成立.

砥嵋(山+与+…+bn)m

02题型精研-技巧通法提能力

题型一二维柯西不等式直接使用1

【技巧通法•提分快招】j

..............B

1、二维形式的柯西不等式

1(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2^(a二,b二,cu,dCHm,q当且仅当ad=bc时，等号成立.)

2、记忆方法:口诀，平和城,城和平

平，平方

城洞“乘”，相乘的意思

1.(24-25高三下•河北•期中)柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数

学分析中有广泛的应用.二维柯西不等式为(Q2+〃)(c2+d2)>(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成

立.已知Q>0,。b>0,直线夕=2c—3Q与曲线沙=ln(2c+b)相切，则〜石+4|工的最大值为

()

A乎B.4C.D.埠

OMJN

【率案】8

【分析】首先根据函数的导数求出切点横坐标，再结合切点在画数图象和直线上得到。与b的关系，然后对所

求式子进行变形，利用柯西不等式来求解最值即可.

【详解】设直线y=2c—3。与曲线y=ln(2rr+b)相切的切点为；比,%),

由g=ln(2①+b)得式=,则，1=2,即2%+匕=1,

/Ni"uZC(j10

则(现23：()3a得3a=In(2方)+b)=Ini=0,

[%=ln(2n+b)

什以io=当，代入2以)十》=1得3。+6=1,

因为Q>0,。b>0,所以

[(廊)2+(逐)2][(%)+(空丹2(岛x%+Cx号)

22+=3a+6x=

因为[(V3a)+(VS)][(-^-)(^)-]()yy»

所以V?'=+^3^，当且仅当=4x—，即a==J等号成立.

故选：3

2.已知出>0,沙>0,岑■+才=1,则乎/+2©的最大值是

42

【答案】2

【分析】利用柯西不等式即可求解

【详解】由柯西不等式得(苧+才)(12+[2)>(]xl+nxl『=(1+g)2

班以lx2>(5+g)2,当年="即£=口出=乎时等号成立.

仔以耳■+?/&应，即乎％+的最大值是2

3.A4BC中角A,B,。所对的边分别为a,b,c,已知a=3,。为BC的点，且BD=2CD,40=1,则b+

c的最大值为

【客案】挈

【分析】根据在4ABD,AADC中根据NAOB,N4D。互补，余弦和为0,由余弦定理可得262+/=9,再结合

柯西不等式或者利用三角换元方法求得.

【详解】

由cosN力0，+cos/.ADC=0得+上，一？=0,即2〃+〃=9,

2x2x12x11x1

解法一：柯西不等式法

由柯西不等式可得(262+c2)(y+l)>(b+c)2,得(b+c)2〈与，

当且仅当》=誓,C=4时，等号成立.

故b+c的最大值为唾.

解法二：三角换元方法

V26=3cos〃,c=3sin〃，

b+c=-^cos。+3sinJ=■^■+9sin(6+*)=3：)('sin(J+.),

Jz

最大值为呼.

故答案为：呼.

题型二二维柯西不等式变式型

4./U)=A/5X-4—Vx—4的最小值为.

【答案】塔/多百

55

【分析】运用4czE不等式即可解.

【详解】/(x)=V5T—4—Vx—4=V5,Jc-春—1•y/x—4

>7(5-l)[(x-f)-(x-4)]=7^=-^-

当且仅当^一即2=空时取等号，

x-415

故/(x)=V5x—4—Vx—4的最小值为

8Dg.

故答案为：*.

5.若不等式乃+向&^\后何句对任意正实数4，g都成立，则实数k的最小值为

【答案】4口/《沟

55

【分析】运用轲四不等式进行求解即可.

【详解】由柯西不等式的变形可知辰历=/I毕星半］＞Vx+Vy,整理得中M&卒,

VIV5+1辰司

当且仅当手=半，即g=25rr时等号成立，

5

则k的最小值为空■.

故答案为：净

5

0.（24-25高三上•辽宁・月考）已知空间向量^a±b,才在6，广上的正投影数量分别为1和3,且同

二，讴,则K与4+1所成角余弦的最大值等于.

【不案】■

•5

【分析】由向量垂直得到益•/=0,由投影得到3v=同;下=3瓦表达出3与4+分斤成角余弦值，利用柯西

不等式求出最值，得到答案.

【详解】因为■比所以44=0.

其中彳寸=「=3,故之汽=同京•广=3同，

（a+6）2=a2+2a-b-1-b2=同?+时,

-c-（a+6）c-a+c-S同+3同

则3与J+5所成角余弦值为-r-^―4=—°里＞=―g।

的根+闻VI5-7I4+IC小丽+同

由柯西不等式得J同4时，＞同+3网，当且仅当3同=帆时，等号成立,

战K•伍+今二同+3^vm=4

卧|升二上.阿丽――3，

什以3与五十广所成角余弦的最大值为尊.

故答案为：平

*5

【点睛】柯西不等式：JQ2+分•+42（QC+bd）2,当且仅当ad=be时，等号成立.

7.（2024•北京朝阳・模拟预测）函数八①）=^^寸+/5^二^的最大值为（）

A.1B.V2C.2D.2V2

【答案】。

【分析】由柯西不等式求解即可.

【详解】/Q)=Jc(l-c)+Jc(4—c),由｛氏—4三。，解得O&c&l,

当力=0B寸，/(%)=0,当④=1,/(t)=瓜,

当ov①vi,则/3)>o,

此时1一名>0且4一]>0,

由柯西不等式可得[Jc(l—c)+Jc(4—1)[x+(4—x)][(l—x)+x]=4,

当且仅当=4二"，即①=六时取等号，此时产㈤&4,即/⑸&2,

1-XIVO

q..................

户户以函数f(x)=y/x-x2+\/4x-x2的最大值为2.

故选：C.

8.(23-24高三上•上海奉贤•期中)对于平面曲线S上任意一点，和曲线7上任意一点Q,称|PQ|的最小

值为曲线S与曲线T的距离.已知曲线S：g=4和曲线7：y=J1-(%-3尸,则曲线S与曲线T的距离

为()

A.XP--1B.乎C.V2-1D.2

【答案】/

【分析】先根据距离公式算出I尸Qf,然后利用柯西不等式oc+bd=一J(Q2+的92+6/2)代入求解即可.

【详解】解：由题意得：

3殳P(Xi,)，Q(①2,一一(12-3)2)

则|PQ『=(分2—%)2+(J1一(立2-3)2-V^T)2

=烟+犹—2%自2+1—(g—3)2+Xi-2,1—⑸―3)2•

=x\—2①@2+6g+为一8—2J1—3—3)2.

=(6—2^1)(x-2—3)—2,1—(丁-3)2•+犹-5xi+10

根据柯西不等式：(/+〃)(/+d2)>(ac+bd)2

于是\ac+bd\<y/(a2+b2)(c2+dr)

ac+bd>->y/(a-J+b~)(c2+d2)

于是|PQ『=(6-2g)(g—3)—2，1—(g—3)2•+xl-+10

J(6-2i])2+4a：i,J(12-3)2+]—3口—3)2_|_^.2_5为+1。

=-2jW—5，i+9+—5^1+9+1

令，谟-5④i+9=力，则£=小(电-"1")~+号>~^2^~

故|「(2|2=廿_2£+1=(£-1)2川呼一17二|2(2|>乎-1

故d=|FQ|IIlin=日1—1

故选：工

题型三二维柯西不等式三角型

9.(2024・浙江•一模)若sin%+cosg+sin(c+g)=2,则sine的最小值是()

A.0B.2-V3C.3-V7D.J

乙

【答案】。

【分析】先把已知整理成2—sina;=(sina;+l)cosy+8sasing的形式，再把等式的右边利用柯西不等式进行

放缩，得到关于sine的一元二次不等式进行求解.

【详解】由已知sin/+cosg+sini:CQSg+cosa:sing=2整理得।

2—sinx=(sine+l)cosg+cosrrsin?/,:

由柯西不等式得.

(sinx+l)cosy+cosxsinyS，(1+sin%)?+cos?1♦Jeos^y+sin2g=V2+2sinre,；

............G

当(sine+l)sinu=cosgcos①时取等号，

下户以(2—sinrr)242+2sinx,即sin2x-Gsinx+240,

解得3—WsinzW1,所以sino：的最小值为3一/7.

故选：C.

“㈤=武注高+肃不的最小值为

【答案嚼/2专

【分析】/⑻二忘寻石+—寿=海急西+可悬率T进而利用权方和不等式可求最小

隹.

2sih2x+35cos21+6

52,42、(5+4)2_&

5(2sin%+3)2(5cos2x+6)10(sin2x+cos2x)4-2737

当且仅当-...------=----------,即sinx=±^­,cos£=±?时取等号,

5(2sim+3)2(5cos2x+6)33

什以/Q)=~—+——2—的最小值为整.

2sin2rr+35cos2rr+637

故答案为：笑.

11.（2025•浙江杭州•模拟预测）已知△43。面积为1,边力。,43上的中线为62CE,且6。二弓。后,则边

/。的最小值为.

【答案】孚

【分析】设E?CCE=G,CG=3c,/^^二巴由三角形面积公式得到炉=二^^再由余弦定理得到力。

18sint/

=2J13二¥。圾，令z=13-12*,得到I：,=i2cos。+zsinG,结合柯西不等式进而可求解.

V18sin〃sine,

【详解】设BDCICE=G,

易知G为的重心，

又8。二今侬，由重心为中线三等分点可得：BG=4~CG,

<50

同时«5ABGC,=^^MiCD=-yS&1BC=»

设CG=3N,/CGD=O,

则6G=4c,GO=2c,

2

则S^c=y(3x)(4x)sin(7t-0]=6rrsin^=y,

所以/=]

18sinJ

由余弦定理可得：AC=2CD=2V4u2+9x2-12x2cosZ?=2、/13~12c^-

V18sin〃

令2=13T2,Sj求其最小值即可,

sint/

上式化简可得：13=12cos夕+zsinJW>y(122+z2)(cos2<9+sin2/9)=y/122+z2,

也即/>132—122=25当且仅当5sin。+12cos〃=13时取得等号，

所以4<7=2/I，-12cosJ>2/_i2_VTo

Ac2v18sin^2V18

故答案为：邛

o

题型四三维（多维）柯西不等式

【技巧通法•提分快招]

（af+退+a；；H---卜成）（优+屈+6H---卜昭）＞（a,+aj）2+a3b34—+0^,）2,当且仅当。曲尸出也二

-=Q/bn时，等号成立.

12.柯西不等式的三元形式如下：对实数。。1，。2，。3和。bI,62,63,有⑷+Q2+QW）氏+优+））＞

（021+0262+。：力3）2,当且仅当兽=詈=鲁等号成立，已知。—+媛+炉=14,请你用柯西不等式，求

匕1o＞0,\

出。4+2y+3z的最大值是（）

A.14B.12C.10D.8

【客案】力

【分析】根据柯西不等式的三元形式，构造Q2+g2+z2）（12+22+32）＞（l+2g+3z）2求解即可.

【详解】因为。①2+,2+Z2=]4,

根据题目中柯西不等式的三元形式可知（i+垢+1）（12+2?+3?）＞（£+2g+3z）:

所以（N+2g+3z）2wi4xl4,①+2g+3zW14

(x=l

当且仅当牛=磊=母，即卜=2时等号成立,

O

U=3

所以。c+2g+32的最大值是14,

故选：A

13.已知a,b,c€R,满足（。+2）2+〃+（0+1）2=12,则q+6+。的最大值为（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】6

【分析】根据柯西不等式的等号成立条件，即可求出a+8+c的最大值.

【详解】设a+2=ty,b=v,c+1=〃，可得/+十+建2=12,

行以Q+b+c=u＞+o+〃-3.

因为（出+0+“）2W（V+[2+[2）®2+〃+炉）=36,

所以-6Wu＞+o+6,

当且仅当10=0=〃=2,仪+期+”取得最大值6,

此时a+2=b=c+l=2,

什以a+b+c的最大值为6—3=3.

故选：B.;

14.（23—24高三上.陕西咸阳•月考）若Q?+Q3H--Fa;4=8）（n为偶数）,则axa2+a2a3+a3a4H----（~册_网,+；

。必的最小值为（）;

.............G

A.25B.8C.-8D.-25

【答案】C

【分析】利用柯西不等式求解.

【详解】由柯西不等式，得+小H---成T+*)(磅+Q：H---F*+a?)>(QQ+的@34--卜%-14+QQ尸，

(aQ+。刈3H---0n+a”。］)?48X8,

.*.-8<。血2+(12^3+Q3al+…+a”。1<8,

当幺=包=包=•••=41=—=—1且Q；+送-I