期中复习5大类型29个考点（原卷版）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

期中复习5大类型29个考点(前3章)

【人教版】

题型归纳

【基础概念易错篇】.............................................................................2

【考点1判断是否是一元二次方程1...........................................................................................2

【考点2一元二次方程的一般形式】............................................................2

【考点3一元二次方程的解】..................................................................2

【考点4解一元二次方程一直接开平方法】.....................................................2

【考点5解一元二次方程一配方法】............................................................3

【考点6配方法的应用】......................................................................3

【考点7一元二次方程根的判别式】............................................................3

【考点8解一元二次方程一公式法】............................................................4

【考点9解一元二次方程一因式分解法】.......................................................4

【考点10一元二次方程根与系数的关系】........................................................4

【考点11二次函数的定义】....................................................................5

【考点12二次函数丫=ax?的图象与性质】........................................................5

【考点13二次函数y=ax2+k的图象与性质】....................................................6

【考点14二次函数y=a(x—h)2的图象与性质】..................................................7

【考点15二次函数丫=2仪-11)2+1i的图象与性质】..............................................7

【考点16二次函数丫=2乂2+6*+。的图象与的性质】............................................8

【考点17二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系】...........................................9

【考点18二次函数图象与几何变换】..........................................................10

【考点19二次函数与一元二次方程】..........................................................11

【考点20图形的旋转】......................................................................12

【考点21中心对称】.........................................................................13

【计算篇】....................................................................................14

【考点22一元二次方程的解法】..............................................................14

【实际应用篇】................................................................................14

【考点23一元二次方程的应用】..............................................................14

【考点24实际问题与二次函数】...............................................................16

【作图篇】....................................................................................18

【考点25作图-旋转与中心对称】..............................................................18

【压轴篇】....................................................................................20

【考点26换元法解一元二次方程】............................................................20

【考点27一元二次方程根的判别式与根与系数关系的综合】.....................................20

【考点28利用二次函数的性质求最值】........................................................22

【考点29二次函数中的存在性问题】..........................................................23

举一反三

【基础概念易错篇】

【考点1判断是否是一元二次方程】

1.（25-26九年级上•全国•阶段练习）若方程（a—3田可T+6X—2=0是关于x的一元二次方程，则a的值

为（）

A.3B.-3C.3或一3D.0

2.（25-26九年级上•河南商丘•阶段练习）下列是关于x的一元二次方程的是（）

A.3%2—44%+1B.ax2+bx+c=0

-1

C.2（x+2）（x-l）-x2=0D.x2---5=0

3.（24-25九年级上•云南昆明•期末）已知关于x的一元二次方程（瓶-1）/+2x—3=0有实数根，则m的

取值范围是—.

【考点2一元二次方程的一般形式】

1.将一元二次方程2）=5化为二次项系数为"1"的一般形式，其中二次项系数是,一次项

系数是，常数项是.

2.把方程x（2x—1）=1化成a/+6%+c=o的形式，则。、氏c的一组值是（）

A.2、一1、一1B.2、一1、1C.2、1、一1D.2、1、1

【考点3一元二次方程的解】

1.（25-26九年级上•广东广州•阶段练习）已知一元二次方程a久2+入+c=0（aH0）,若9a—3b+c=0,

则该方程一定有一个根为（）

A.-3B.3C.±3D.不能确定

2.下列一元二次方程中，有一个根为久=1的是（）

A.X2—3x—4B.x2=2x—1C.x2—2x=1D.x2+2x—1

3.（25-26九年级上■山东青岛•阶段练习）若m是一元二次方程/+2x—7=0的一个根，则2025-m2-2m=

【考点4解一元二次方程一直接开平方法】

1.方程1007-1=0的解为.

2.（25-26九年级上•四川宜宾•阶段练习）已知关于x的一元二次方程（a—1）久2+久+。2=1的常数项是0,

则a的值为（

A.1B.-1C.1或一1D.0

3.（2025・上海徐汇•二模）若一元二次方程3久2+（7n一1）尤一4=0中的-4四=73,则爪的值为.

【考点5解一元二次方程一配方法】

1.（25-26九年级上•河北唐山•阶段练习）用配方法解关于x的一元二次方程X2—4x-11=0时，配方结果

正确的是（）

A.（x-2）2=7B.（久一2）2=15C.（x-4）2=7D.（x-4）2=15

2.（25-26九年级上•新疆伊犁•阶段练习）如果一元二次方程6x+k=0经配方后，得（*—3）2=4,那

么k=.

【考点6配方法的应用】

1.（25-26九年级上•江苏宿迁•阶段练习）已知多项式4="—“+（3—2k）,若无论x取何实数，”的值都

不是负数，则左的取值范围是.

2.（24-25九年级下•山东烟台・期末）已知居y,z为实数，满足｛:士之丁:：鼠那么/+产+22的最小值

为.

3.（24-25九年级上•江苏宿迁•期末）已知a力满足（a2+4a+7）（62—66+11）=6,贝|2a+b=（）

A.-6B.-1C.2D.3

4.已知：a、b、c是A4BC的三边，且a2-2a+b-2dFT+|c-西|+l=0,ZUBC的形状是.

【考点7一元二次方程根的判别式】

1.（25-26九年级上•山东滨州•阶段练习）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）

A.x2—4x=0B.*2—4=0

C.x2—4x+4=0D.x2—4x+16=0

2.（24-25八年级下•上海金山•期末）若k<0,关于x的一元二次方程%+1=。的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断

3.（25-26九年级上•江苏南京•阶段练习）已知关于光的一元二次方程（k—1）/—2x—3=0有实数根，贝ijk

的取值范围是.

4.已知小、n、3分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且小、n是关于x的一元二次方程久2—4x+

k+2=0的两个根，贝腺的值是.

【考点8解一元二次方程一公式法】

1.（24-25八年级下•浙江丽水,期中）已知关于x的方程好—（爪+2）x+3m+3=0,若方程的根都是整数,

则满足条件的正整数6的值为.

2.（24-25八年级下•山东烟台・期中）已知关于x的一元二次方程/一（k+5户+6+2卜=0恰有一个根小

于一1,则左的取值范围为.

3.（25-26九年级上•安徽宿州•阶段练习）关于x的方程x（久—1）=3（久—1）,下列解法完全正确的是（）

甲乙丙T

整理得好一4%=-3,

移项得

两边同时整理得刀2-4X=-3配方得

・・・

2x(x-l)-3(%-1)=0,

除以a—1,b——4,c——3,bx2—4x+2=—1,

(x—3)(%—1)=0,

（%—1）得-4ac=28,.-.x=i±^28=2+(久—2)2=-1,

2.x—3=0或%—1=0,・,・巧

・％・

x=3V7,5=2+V7,%2=2—V7,•—2=±1,••x1

=1,%2=3

=1,%2=3

A.甲B.乙C.丙D.T

4.（24-25九年级上•天津蓟州•阶段练习）方程2/+3x-2=。的两个根为（）

A.%i=—2,%2=|B.%i=2,^2=|

11

C.%i=—2,x2=--D.=2,x2=--

【考点9解一元二次方程一因式分解法】

1.（25-26九年级上•陕西汉中•阶段练习）若△4BC的二边长都是方程%2-5%+6=0的根，则△ABC的周

长是（）

A.7B.8C.7或8D.13

2.（25-26九年级上•江苏无锡•阶段练习）已知关于x的一元二次方程（k+I）%2+3%+fc2-2fc-3=0的常

数项为0,贝欣的值为（）

A.-1B.3C.—1或3D.1或一3

3.已知关于X的方程7n/+%+7n2-1=o的一个根是1,则爪=.

【考点10一元二次方程根与系数的关系】

1.（25-26九年级上•广东广州•阶段练习）设a,b是方程久2+久—2036=0的两个实数根，贝g2+2a+b的

值为（）

A.2036B.2035C.2034D.2033

2.（25-26九年级上•湖南岳阳•阶段练习）已知见/?是关于％的一元二次方程%2—（2租+3）X+血2=0的两个

11

不相等的实数根，且满足十+彳=1,则小的值是（）

A.3B.-1C.3或1D.-3或1

3.（25-26九年级上•山东枣庄•阶段练习）已知a,£是方程/+2023x+1=0的两个根，则代数式

（1+2024a+a2）（l+2025s+所）的值是.

【考点11二次函数的定义】

1.（25-26九年级上•宁夏吴忠•阶段练习）以X为自变量的函数：①y=（x+2）（x—2）；=（%+2）2；

（3）y=1+2x-3x2；@y-x1—x（x-1）,是二次函数的有.

2.已知函数y=（TH—l）xm2+i是二次函数，则?n=.

3.（25-26八年级上•安徽•阶段练习）二次函数y=2/—3的二次项系数、一次项系数、常数项的和为（

A.-1B.1C.5D.-5

4.（24-25九年级上•全国•期末）下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是（）

A.两直角边的和为12的直角三角形，面积y与斜边x的关系

B.周长为12的长方形，长y与宽x的关系

C.面积为12的长方形，周长y与长x的关系

D.面积为12的长方形，长y与宽久的关系

【考点12二次函数y=。好的图象与性质】

1.（24-25九年级上•吉林长春•期末）若点（0,月）,（1,〉2），（2,〉3）都在二次函数y=/图象上，则（）

A.yi<y2<yaB.y2<ys<yic.y3<yi<yi.D.y2<yi<y3

2

2.（24-25九年级上•河南周口•期末）已知二次函数%=<21*2,及=Gt2%2,y3=a3X,丫4=&4%2的图象如

图所小，贝！1。1，a2,（Z3,a4的大小关系是（）

B.。4V。3V<。2

C.。4V。3V。2VD.。3<。4<。2V

3.已知二次函数y=（a—1）/的图象开口向上,则实数。可以为

4.对于二次函数y=a/（aK0）,当支取光二万2（尤1大冷）时，函数值相等，则当支取巧+冷时，函数值

为.

【考点13二次函数y=ax2+k的图象与性质】

1.（24-25八年级下•湖南长沙•期末）二次函数y=#+3的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（）

A.抛物线开口向上B.抛物线经过点（3,6）

C.抛物线的顶点是（1,3）D.当久＞。时，y随x的增大而增大

2.（24-25九年级上•湖南长沙・期中）若正比例函数y=m久，y随比的增大而增大，则它和二次函数y=

+瓶的图象大致是（）

3.二次函数y=—2/+3,当一1WxW2时，＞的取值范围是（）

A.-5<y<3B.-1<y<3C.-5<y<1D.-5<y<0

4.（24-25九年级上•江苏南通•期末）定义：对于函数图象上的两点N（>2，y2）014久2），将心

的值称为该函数图象在MN段的“攀登值"，记作/CMN.已知二次函数y=ax2+l（a>0）的图象上有两点M

（打,月），Ng%），若对于任意的小，乂2均满足当冷>句21时，该函数图象在MN段的“攀登值"始终有

kMN>2,则。的取值范围是.

【考点14二次函数y=a（x-①2的图象与性质】

1.（24-25九年级上•江苏盐城•期中）已知二次函数y=（a—5）（久一1尸的图象如图所示，贝！|a可能是（）

2

2.设函数%=—（x-m）2,y2=-（x-n）,直线x=l与函数yi，及的图象分别交于点4（1，a。，8（1,

。2）,得（）

A.若1<m<71,则的<a2B.若m<1<n,则a1<a2

C.若则a1<a?D.若m<1<n,则a2>的

3.老师给出一个二次函数，甲、乙两名同学各指出这个函数的一个性质.甲：函数图象的顶点在x轴上;

乙：抛物线开口向下；已知这两位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达

式,

4.（24-25八年级下•北京•期中）对于二次函数yi=a（x+2尸和>2=a（x-2）2（。>0）,其自变量和函数值

的两组对应值如下表所示：

X-4m

71=a(x+2)2bb+5

y-2,=a(x-2)2db

根据二次函数图象的相关性质可知：m=,d-b=

【考点15二次函数y=a（x—h）2+k的图象与性质】

1.（24-25九年级上•黑龙江大庆•期中）己知点4（久1，月），B（x2，y2）在抛物线y=—0—4）2+小（加是常数）

上.若久1<犯<4,则下列大小比较正确的是（）

A.yi>y>mm

2B.y2>71>

c.m>y1>y2D.m>y2>yi

2.当一时，二次函数y=—（x—zn）2+5有最大值4,则实数zn的值为（）

A.-3B.-1或2C.2或一3D.2或一3或一1

3.若二次函数y=a（x—4尸+4的图像在2<x<3这一段位于x轴的上方，在6<x<7这一段位于x轴的下

方，贝la值为.

4.如图，抛物线y=矶万一h）2+k（a丰0）的顶点为4对称轴与x轴交于点C,当以4C为对角线的正方形48CD

的另外两个顶点B、。恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为"美丽抛物线”，正方形4BCD为它的内接

正方形.

（1）当抛物线y=ax2+1是"美丽抛物线"时，贝1Ja=.

（2）若抛物线丫=a/+k是"美丽抛物线”，则a,k之间的数量关系为.

【考点16二次函数丫=ax2+bx+c的图象与的性质】

1.（2025・四川绵阳•一模）己知二次函数y=/+a久+2的图象关于直线x=3对称，当mW久Wm+2时,

y有最小值一7,则〃z的取值范围是（）

A.2<m<3B.m>2C.1<m<3D.1<m<3

2.（24-25九年级上•湖北荆州•期末）已知二次函数y=—2/—12x+14,下列说法中不正确的是（）

A.该二次函数的图象的开口向下

B.该二次函数图象的顶点坐标是（一3,14）

C.该二次函数的图象与x轴的交点坐标是（一7,0）和（1,0）

D.已知点（一1,%）和（2,%）都在这个二次函数的图象上，则%>丫2

3.（25-26九年级上•安徽合肥•阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=—/+bx+c（b,c为

常数）.

（1）当6=2时，该函数图象的对称轴为直线x=；

（2）当x<0时，y的最大值为7；当x20时，y的最大值为3,贝必—c=.

4.（25-26九年级上•广东广州•阶段练习）如图，点G为抛物线y=—/+2刀+3对称轴上的点，点久叫力）,

F（小段）在对称轴右侧抛物线上，若AGEF为等腰直角三角形，AEGF=90°,则n―巾=

1.（25-26九年级上•山东•阶段练习）若二次函数y=a/+bx+c的部分图象如图所示，则下列说法正确的

①图象与x轴的交点为（一2,0）,（1,0）；（2）2a-b=0；③6<0；④4a+26+c<0；⑤当x<0时，y随

久的增大而减小

2.（25-26九年级上•广东广州■阶段练习）一次函数y=mx+?1的图象如图所示，则二次函数y=—m（x+n）2

的图象大致为（）

3.(25-26九年级上•安徽安庆•阶段练习)如图，二次函数丫=£1/+法+(;的图象经过点4(—1,0)、点、B

(3,0)、点C(4,yi),若点。(右,为)是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y=。必+6久+c的最小值

为一4a；②3b-2c〉0；③若一1式冷工4,贝!|0Wy?W5a；④若>月，则小>4；⑤一元二次方程

c久2+取+a=0的两个根为-1和!.其中正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

4.(24-25九年级上•内蒙古通辽・期末)如图，抛物线丫="2+法+0交无轴于4(一1,0),B(3,0),交y轴的

负半轴于C,顶点为D.下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③2c<36；④当mKl时，a+b<am2

+bm；⑤当△4BD是等腰直角三角形时，则a=(⑥当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个.其中正

确的序号是.

【考点18二次函数图象与几何变换】

1.(25-26九年级上•安徽六安•阶段练习)如果二次函数y=K2-2x+1平移后的顶点恰好落在直线y=尤+1

上，求平移后的图像与y轴交点的纵坐标的最小值为.

2.将抛物线y=—N—2久—3向右平移三个单位，再绕原点。旋转180。，则所得抛物线的解析式—.

3.如图，将二次函数方-(x-2)2+4(x<4)的图象沿直线x=4翻折，翻折前后的图象组成一个新图象

若直线y=6和图象M有四个交点，结合图象可知，6的取值范围是.

4.（24-25九年级上•内蒙古呼和浩特•期末）若二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象向右平移1个单位长

度后关于y轴对称.其中正确的为（）

=2；

②当■!WaW|时，代数式a?+b2-5b+8的最小值为3；

③对于任意实数m,不等式am?—a+620一定成立；

QO2,>2）为该二次函数图象上任意两点，且久1<%2，当久1+冷+2>0时，一定有力<及.

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【考点19二次函数与一元二次方程】

1.（25-26九年级上•浙江•阶段练习）设一元二次方程（％-1）（久—2）=爪（爪>0）的两实根分别为a,B，且

a<0,贝!]a,/?满足（）

A.1<a<^<2B.l<a<2<P

C.a<l<2<£D.a<l</?<2

2.（25-26九年级上•江苏南通•阶段练习）抛物线y=a/+法+c经过点4（—3,0）、B（4,0）两点，则关于x

的一元二次方程a（久—+bx+c=b的解是.

3.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=+爪2一],直线y=一％+3与x轴交于点4与y轴交

于点B,过点B作垂直于y轴的直线Z与抛物线y=/+机2一1有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点

记为P,当△。力P为锐角三角形时，则小的取值范围是（）

A.m>—1B.m<—2

C.m<—2或m>1D.—2<m<1

4.（24-25九年级上•四川成都,阶段练习）根据下列表格的对应值：判断方程/+3x—5=0一个解的取值

范围是（）

X1.121.141.161.181.201.40

%2+3%—5-0.3856-0.2804-0.1744-0.06760.041.16

A.1.12<x<1.40B.1.16<x<1.20

C.1.18<x<1.20D.1.18<x<1.40

【考点20图形的旋转】

1.（25-26九年级上•辽宁•阶段练习）如图，在Rt"BC中,乙4cB=90°,乙4BC=30°,将△4BC绕点C顺

时针旋转a角（0°<a<180°）至△4夕C,使得点4恰好落在48边上，则a等于（）

A.150°B.90°C.30°D.60°

2.（25-26九年级上•海南•阶段练习）如图，在等边△ABC中，AB=4,点。是BC边上一动点，连接力D,

将2。绕点4逆时针旋转60。得到4E,点尸是AC边的中点，连接CE、EF,贝怩F的最小值是.

3.如图，在矩形4BCD中，已知ZB=4,BC=3,矩形在直线2上绕其右下角的顶点B向右旋转90。至图①

位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90。至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2024次后，顶点/

在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）

?q--1__|--

/8①②③1

A.2024KB.2023KC.3036HD.4048TT

4.（25-26九年级上•江苏苏州•阶段练习）如图，在△ABC中，444c=120。，ZB+AC=4,将绕点C

顺时针旋转120。得到CD,则线段力D的取值范围是

【考点21中心对称】

1.（24-25八年级下•山东济南•期中）春晚主标识通过视觉元素传达出春晚的主题和寓意.下列主标识中,

B.

2.已知点P（a+1,2a—3）关于原点的对称点在第二象限，则。的取值范围是（）

333

A.a<—1B.—1<ci<-C.—5<a<lD.a>—

3.（24-25八年级下•江苏扬州•阶段练习）如图，正方形4BCD和正方形EFGH的对称中心都是点0,其边长

分别是8和6,则图中阴影部分的面积是.

4.如图，过平行四边形4BCD内的点尸作各边的平行线分别交4B,BC,CD,n4于点£,F,G,H.连接

AF,AG,FG.已知aAFG与平行四边形4EP”的面积分别为加，n.

（1）若点P是平行四边形4BCD的对称中心，则5=；

（2）平行四边形2BCD的面积为（用含%、〃的代数式表示）.

【计算篇】

【考点22一元二次方程的解法】

1.(25-26九年级上•山东青岛•阶段练习)用指定方法解下列一元二次方程:

(1)3(久—1)2=12(直接开平方法)；

(2)x2+4%-3=0(配方法)；

(3)y2=y+-(配方法).

2.(25-26九年级上•辽宁锦州•阶段练习)解方程:

(1)3/+5%—1=0

(2)3(y—l)2=1-y

3.(25-26九年级上•四川成都•阶段练习)用适当的方法解下列关于x的方程:

(1)x(2%-5)=4x—10

(2)2X2—5%—1=0

(3)(x+8)(x-l)=-12

(4)(x2+2x)2—2(x2+2x)-3=0

4.(25-26九年级上•广东江门•阶段练习)已知关于X的一元二次方程-(2m+l)x+m-l=0.

⑴求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)当爪=2时，求此方程的解.

5.(25-26九年级上,山东枣庄•阶段练习)关于x的一元二次方程/+2x+3-k=0有两个实数根

⑴求人的取值范围；

(2)若方程的两个根为a,B，且k2=a0+3k,求左的值.

【实际应用篇】

【考点23一元二次方程的应用】

1.(25-26九年级上•陕西汉中•阶段练习)乒乓球作为陕西中考体育"体质健康测试类”选考项目，因其对体

能要求相对较低且趣味性较高，成为同学们选考热点，乒乓球拍的销量也在持续增长.某体育用品店销售

一种乒乓球拍，进价为每副42元，按每副66元销售，平均每月能卖出200副，为了推广宣传，商家决定

降价促销，同时，在不亏本的情况下，尽量减少库存，经调研发现，售价每降低2元，平均每月可多卖出

20副.

(1)小明说："如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500副."请你判断小明的说法是否正确？并说

明理由；

(2)该体育用品店期望销售这种乒乓球拍，平均每月的销售利润为4830元，销售员甲说："在原售价的基础

上降低1元，销售利润即可达到预期目标."销售员乙说："在原售价的基础上降低3元更合适"，如果你作

为老板，请用方程的思想说明应采纳谁的意见.

2.城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速G69银百高速公路(银川至百色)的一

段，线路全长129.3公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分

别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米.因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所

需成本不一样.甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元.

(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的|,求甲最多施工多少米？

⑵实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化.甲每合格完成1米隧

道施工成本增加加万元时，则每天可多挖万米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖百米，若最终

每天实际总成本比计划多(9爪一2)万元，求ni的值.

3.为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学

们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从/地出发，匀速跑向距离12000m处的8地，小凤的跑步

速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地.

根据以上信息，解答下列问题：

⑴小凤每分钟跑多少米？

(2)若从/地到达8地后，小凤以跑步形式继续前进到C地(整个过程不休息).据了解，从他跑步开始,

前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量

就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从/地到C地锻炼共用多少分

钟？

4.(24-25九年级上•河北石家庄•阶段练习)某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示.已知每层长

为50米，宽30米.阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056

平方米.

⑴求通道的宽是多少米.

（2）据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个

车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又

能使对外开放的月租金收入为14400元？

【考点24实际问题与二次函数】

1.（25-26九年级上•江苏苏州•阶段练习）道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1）,

图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目

的蓝色，颜色的分界处（点E,点P）以及点4点B落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF）与第

2根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，则求EF的长度.

图1图2

2.（24-25九年级上•内蒙古•期中）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售

中国制造的纪念品，深受大家喜爱.自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天

（1<%<20,且x为整数）与该天销售量V（件）之间满足函数关系如表所示：

第X天1234567

销售量y（件）220240260280300320340

为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价Z（元）与第X天（1WXW20且X为整数）

成一次函数关系且满足z=-4%+100.已知该纪念品成本价为20元/件.

⑴求y关于x的函数表达式；

⑵求这20天中第几天销售利润为18000元；

⑶这20天中，最大利润能否超过18000元？如果能求出最大利润，如果不能说明理由.

3.（25-26九年级上•北京•阶段练习）佩奇和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形.佩奇从球

门正前方8m的4处射门，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点B,此时球离地面3m,球门高。。为

2.44m.

⑴请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式.

(2)通过计算判断佩奇此次射门能否射入球门内.

⑶点。为。C上一点，且OD=2.25m,若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当佩奇带球向正后

方移动n(m)再射门，足球恰好经过。。区域(含点。和。)，直接写出n的取值范围.

4.(25-26九年级上•广东广州•阶段练习)根据以下信息，探索完成任务:

探索目的制作简易水流装置

如图，CD是进水通道，力B是出水通道，0E是圆柱形容器

的底面直径，从CD将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，

使水流从B处流出且呈抛物线形.以点。为坐标原点，0E

所在直线为x轴，。4所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

水流最终落到x轴上的点M处.

信息1

圆柱的高为40cm，点/到圆柱顶端的距离为4cm,轴，

信息2AB=5cm,OM=11cm,8为水流所在抛物线的顶点，点

4B,0,E,M均在同一平面内.

问题解决

填空：。4的长度为______cm,该抛物线顶点坐标为

任务一

(______,______).

任务二求水流所在抛物线的函数解析式.

现有一个底面半径为2cm,高为25cm的圆柱形水杯，将该

水杯底面圆的圆心恰好放在点M处，水流是否能流到圆柱

任务三

形水杯内？请通过计算说明理由.(圆柱形水杯的厚度忽

略不计)

【作图篇】

【考点25作图-旋转与中心对称】

1.(25-26九年级上•福建•阶段练习)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直

角坐标系xOy,

(1)画出△力BC关于原点。成中心对称的图形△4中传1

⑵将△ABC绕点B逆时针旋转90。得到△42^2(点4，。2分别为4C的对应点)画出△力28c2，

⑶画出四边形力BCP,且四边形ABCP为中心对称图形.

2.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为4(—1,1),8(—3,1),。(一1,4),P

(2,0).

姝

⑴画出△A8C关于原点中心对称的△&B1G；

(2)画出△ABC绕点P顺时针旋转90。后得到的△A2B2C2；

⑶求出点C旋转到点。2所走过的路径长.

3.(24-25八年级下•江苏南通・阶段练习)如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，RtAXBC

的三个顶点分别为凹-2,2),B(0,5),C(0,2).

⑴在网格中作△&B1C,使它与△ABC关于点C成中心对称；

(2)平移△ABC,使点/的对应点4坐标为(—4,—6),点5的对应点为%,点C的对应点为C2，画出平移

后对应的

⑶若将△A/iC绕某一点旋转180。可得到a&B2c2，则此旋转中心的坐标为.

4.(25-26九年级上•重庆•阶段练习)如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为2(-3,4),

⑴画出△ABC关于原点对称的△力/1C1，并写出点&的坐标；

(2)画出△A8C绕原点逆时针旋转90。后的△儿%。2，并写出点。2的坐标.

⑶点尸为x轴上一点，直接写出当|P4—PB|最大时，点尸的坐标.

【压轴篇】

【考点26换元法解一元二次方程】

1.(25-26九年级上•河南商丘•阶段练习)阅读下面的材料，回答问题：

解方程/-5/+4=0,这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设“2=y,那么

X4=y2,于是原方程可变为y2—5y+4=0①，解这个方程得月=I,%=4.

当y=l时，x2=1,x=+1；

当y=4时，x2-4,x=±2；

二原方程有四个根：=l,x2=—1，%3=2,%4=—2.

请运用上面学到的方法填空：

⑴解方程+2x)2_4(X2+2x)-5=0,则+2x=；

(2)若(az+62)(a2+b2—1)—20,求a?+房=.

2.(24-25九年级上•江西吉安・期中)定义：我们把关于x的一元二次方程a/+6%+。=o与cN

+bx+a=0(acK0,a力c)称为一对"友好方程如2/-jx+3=。的“友好方程”是3必-7%+2=0.

⑴写出一元二次方程/+3x—10=0的"友好方程"；

(2)已知一元二次方程久2+3x-10=0的两根为Xi=2,x2=-5,它的“友好方程"的两根尤3=，

%4=.根据以上结论，猜想a%2+bx+c-。的两根式1，%2>与其"友好方程"C久2+bx+a=0的两

根乂3,血之间存在的一种特殊关系为；

__-1

⑶已知关于X的方