人教A版高二数学选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 测试·基础卷（解析版）

2025-2026学年高二数学单元检测卷

第一章空间向量与立体几何•基础通关

建议用时：100分钟，满分：150分

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知空间向量b=(2,2,-l),若则()

A.—1B.IC.—D.!

22

【答案】C

【分析】利用空间向量垂宜•的坐标形式可取参数的值.

【详解】因为〃_1_人所以。彷=2上+2.1=0，可得x=

故选：C.

2.已知空间向量〃=(3,2,-1),贝!向量a在坐标平面。口上的投影向量是()

A.(L-2,3)B.(0,2-1)C.(3,2,0)D.(3,0,-1)

【答案】C

【分析】根据投影向量的定义可得结果.

【详解】根根据空间中点的坐标确定方法知，

在空间中，点(3,2,7)在坐标平面出上的投影坐标，竖坐标为0,横坐标与纵坐标不变.

所以空间向量〃二(32-1)在坐标平面。X)，上的投影向量是：(3,2,0).

故选：C.

3.已知直线/的方向向量是。=(-2,2,2),平面a的一个法向量是1),则/与。的位置关系是()

A./_LaB.Uta

C.，与a相交但不垂直D.l〃a或lua

【答案】A

【分析】由4=(-2,2,2)和〃=(一1,一1)的位置关系即可判断.

【详解】«=(-2,2,2),

所以a=-2n，

所以/_La,

故选：A

4.已知向量a1满足a+b=(3,2)M-〃=(l,-2),则一|邸二()

A.-2B.-IC.0D.I

【答案】B

【分析】根据数量枳的坐标运算即可求解.

【详解】因为4+〃=(3,2),4-8=(1,-2),

所以("+〃).(a一4=(3,2).(1,-2)=3xl+2x(—2)=-l,所以J_4=T，

所以一|邸==一1.

故选:B.

5.如图所示，在平行六面体44CO-44GA中，===是AA的中点，点、N是CA、

上的点，且CN:N4=1:4,用〃也。表示向量MN的结果是()

B.

555

C.九+斗―

5105

13,I

D.—a-----b——c

5105

【答案】C

【分析】结合图形,利用空间向晟的加减数乘运算，将MN用空间的基底〃也。表示即可.

4141

【详解】由图可得：MN=\N-\M=-\C--AyD}=-(AC-A\)--AD

44一］-4-3-4

=-(AB+AO—他)一一AD=-a-¥—b——c.

525105

故选:C.

6.已知非零空间向量b，且/18=。+245。=一5〃+64。。=7。-2/7,则一定共线的三点是（)

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C.D

【答案】A

【分析】利用空间向量共线定理逐一判断各选项即得.

【详解】因AB=4+2/，,BC=-5a+6〃,CQ=74-2〃，

对卜A,由BD=BC+CD=2a+4b=2A13，因与48共点8，故人，8,Q三点共线，故A正确；

-....-12

对于B,因A8=a+2〃,8C=-5a+6b,）Wz，故A&C三点不共线，故B错误；

—56

••-56

对于C,因BC=-5a+6,CO=7a-»，一工：，故仇三点不共线，故C错误；

7-2

对「D,因AC=A8+8C=Ta+劲与CO=7a-2b没有确定的倍数关系，故AC。三点不共线，故D错误.

故选:A.

7.如图，在长方体ABCO-AgGA中，A8=8C=3,8片=2,OM=（O氏AN=§AC，则异面直线4加和

8N夹角的余弦值为（）

2x/6

u|丁

t答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解异面直线所成角得余弦值即吐

【详解】以。为坐标原点，力A。。，。%所在直线分别为x,丁，2轴建立空间直角坐标系,

故座同一|（6,有⑼（1，1，T）|

|/w|V1+1+1

dBE45,5

故2于=则4=二，所以PM+MN=P'M+MNN4=-.

/〃七32/

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.给出下列命题，其中正确的有（）

A.空间中任意两个向量一定共面

B.若｛〃,〃"｝是空间的一个基底，则a,b,c中任意两个向量不共线

C.若空间向量。=（2,2,-3）,则〃与的夹角为钝角

D.若九c｝是空间的一个基底，则｛。，〃，。-4也是空间的一个基底

【答案】ABD

【分析】根据向量的性质可判断A；利用空间向量坐标计算cos,/）,即可判断C错误；根据空间基底的

性质及定义，可判定B和D正确.

【详解】对于选项A,因为空间中任意两个向量都可以平移至起点重合，成为同一个平面的两个向量，故

选项A正确，

对于选项B,基底的性质知，空间基底是由非零且不共面的三个向量构成，故选项B正确，

对于选项C,8s伊力片郦|=----而为-----=用＞°，所以《，〃法什松，故选项C不正确，

对于选项D,山（4“｝是空间的一个基底，设ca=必I-yh,显然不存在实数使得c“=入%+独成立,

所以•定不共面，则〃｝也是空间的•个基底，故选项D正确，

故选：ABD.

10.关于空间向量，以下说法正确的是()

A.若对空间中任意一点O,^OP=^OA+^OB+^-OC,则尸、A、B、。四点共面

234

B.己知两个向量4=(1,”2,3),Z>=(5,-l,n),且；〃力，则"训=一3

C.若a_Lb,且a=(N，y,zJ,/?=(^,^2,22),则内9+为以+▼？=。

D.fl=(0,1,1),/?=(0,0,-1),则“在》上的投影向量为(0,-；,一£)

【答案】BC

【分析】利用空间中四点共面的推论可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用空

间向量垂直的坐标表示可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，若尸、A、B、。四点共面，则存在2、A€R,使得AP=zM8+〃AC,

即。2-04=/胸-网+〃(0。-网，

所以，OP=(\-Z-p)OA+XOB-^pOC,月.(1一/1一++〃=

—1—1—1—111

因为对空间中任意一点。，有。尸=504+403+7。。，且5+鼻+工工1，

故尸、八、B、。四点不共面，A错；

对干B选项，已知两个向量4=(1,〃7,3),/?=(5,-1,77)，月.；〃/力，

设〃=幼，即(1,〃7,3)=2(5,-1,〃)，则，加=-2,解得，加=-：，故〃加=-3,B对；

kn=3J

对干C选项，若a工b，且a=(x，y,zj,b=(x2,y2,z2),则白力=弓毛+y)u+马4=0，C对;

对于D选项，若。=(0/,1),〃=(0。叫，则〃在上的投影向量为

岬阿词.朋崩•讦新E=(0,0,l),D错.

故选：BC.

11.如图，已知正万体A8CD—AbC77边长为1,则卜列说法正确的是()

A.直线48与47所成角为三

B.平面A'BO_L平面ABC。

C.三棱锥4.480的体积是正方体的!

D.直线A8与平面A8CQ所成角的正弦值为立

3

【答案】AC

【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量法计算可判断ABD,根据三棱锥体枳公式计算「J判断C.

【详解】以。点为坐标原点，D4为x轴，OC为>轴，为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则才(1,0,1),8(1,1,0),A(l,0,0),(0,0,1),D(0,0,0),

所以A8=(0J-l),AQ'=(-1,0,1),

因为8s(IAA，/DMATQV\)二48质不齐-I访二FI

所以4所人。'=,，即直线A8与所成角为W，故A正确;

08=0,1,0),^=(1,0,1),

设平面ABD的法向最为〃=（茗）工）,

n-DB=x+y=0

则

n•DA'=A+z=0

令％=1,则y=z=-i,即〃=（1,一1,一1）,

在正方体中，平面A8c。的法向量可以为帆=(0,0,1),

因为〃•加=-1H0，

所以平面N8OJL平面48CO不成立，故B错误；

匕-AM=4S\„,A^=:X；X1X1X1=：,故C正确；

332O

设直线48与平面AAC。所成角为e，

/\卜力.司172

则sin0=cosIA'B,m)=-------=—f==——，

、/卜耳制夜2

所以直线W8与平面A5CQ所成角的正弦值为正，故D错误.

2

故选：AC

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量P在基底｛&瓦司下的坐标为(2,3,4)，则p在基底他++c,c｝下的坐标为.

【答案】(2,1,3)

【分析】根据空间向量的线性运算的坐标表示，可得答案.

【洋自牟】由题意可得〃=2a+3〃+4c,设p=A(«+Z?)+y(z?+c)+zc=xa+(x+y)b+(y+z)c,

x=2x=2

则■x+y=3,解得＜y=l所以坐标为(2,1,3).

*Jy+z=4z=3

故答案为:(2,1,3).

13.向量t7=(lJ,O),/2=(-1,0,2)且(。+妨)//(2〃+力)，则实数k=

【答案】1/0.5

【分析】利用向量的坐标运算，再结合向量平行列式计算，即可•求解.

【详解】a+kh=(\-k,\,2k),2«+p=(1,2,2),

因为（a+妨）〃（〃+〃），所以（"+的）=2（2万+1）,

即（1一幺1,24）=2（122）,

\—k=X

有《1=22=^>A:=A=-,

2k=2A

故实数k=1.

故答案为：,J

14.如图所示，在三棱锥P—48C中，AH±BC,|^|=|«q=||P4|,。是AC的中点，且OP_L底面48C,

则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为一.

30

【详解】为OP_L底面ABC,OAOBu底面A8C,

所以OP_LOAOP_LO8.

乂因为|阴=忸。|,。是AC的中点，所以QAJ_CM,

如图所示，以O为原点，分别以直线。入。8,。。为x轴、y轴、z轴,

建立空间直角坐标系，

设|阳=4,则|八臼=忸［=2,hq=2五，归q=E,

可得A（友,0,0）,B（0,V2,0）,C（-V2,0,0）,P（0,0,V14）,

则尸A=（a,0,—后），PB=（O诋-呵,PC=（-72,0,-^I,

设平面PBC的一个法向量为，?=(.v,)，,z),

n-PB=0|>/2y-Vi4z=0

zu得〃=（-次4,1）,

则由n-PC=0'J[-y/2x-yJi4z=0取z=l

n-PA-x/14-V14|_^/Jio

设直线以与平面PRC所成的角为e.贝l」sine=E~r

同•附715x716-30

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、注明过程或演算步聚。

15.（13分）

如图，正四棱锥S-A8C。，SA=2,AB=Ji，尸为侧棱SO上的点，且SP=3P>

(1)求证：ACA.SD；

(2)求异面直线S4与CP所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵杰

28

【分析】(1)连结8。交AC于点O,连结SO,证明四边形ABC。是正方形，证明AC_L平面S8D,证明;

(2)以0为原点建U空间直角坐标系。一孙z,利用空间向量即可求解.

【详解】(1)连结8。交4C于点。，连结SO,

因为正四棱锥S—A38,所以SO_L平面ABCD,

又ACu平面A8CQ,

所以SOLAC,因为正四棱锥S-人4CD,

所以四边形A8C。是正方形，

所以AC/8D,因为AC_LS。，AC1BD,SOcBD=O,SOu平面S8O,SOu平面SB。,

所以AC_L平面S8O,又SOu平面S8O,

所以AC_LSO；

(2)

因为QS_LO8,OS1OC,OB上OC,

所以以。为原点建立空间直角坐标系O-QN，

4cLi,0),S(O,O,75),C(0,l,0),D(-1,0,0),

所以%二(0,-1,一6),。5=(1,0,6),

x/3W3

CP=CD+DP=CD+-D5=(-l,-l,0)+-,0,-----=——

4444

/X

「一/C4「6SACP不

所以8S〈SAC联网冏

因此异面直线SA与CP所成角的余弦值为立.

28

16.(15分)

如图，四棱锥F-A6CZ)的底面是边长为2的正方形，侧棱尸CJ_底面A6C£>,且PC-3.

(1)证明：平面PCO_L平面布。：

⑵求点4到平面办。的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵巫

13

【分析】（1）由PC_L底面/WCD得至iJPC_LAO,再由CO_L/W,得到4/）_1面P。＞,然后利用面面垂直

的判定定理证明；

（2）建立空间直角坐标系，求得平面办。的一个法向量，由点到平面距离向量公式计算求解.

【详解】（1）•・•尸C_L底面ABC。，ADu平面A8C。，

・・・PC_LA。，

又1・CO_LAQ，且PCnCQ=C,PCCOu平面PCD,

・，"Q_L平面PCD,

IADu平面PAD,

・•・平面尸CO_L平面以O：

（2）如图建立空间直角坐标系，

则B（0,2,0）M（2,2,0）,D（2,0,0）,P（0,0,3）,

所以%=（2.0,0）,A〃=（-2,-2,3）,AO=（Q-2,0）,

设平面PAD的一个法向最为〃=（.%Xz）,

APn=0-2x-2y+3z=0

则即＜

ADn=（）-2y=0

解得y=0,令x=3,得z=2,则〃=（3,Q2）,

6_6>/13

所以点B到平面PAD的距离为:

|n|~713-13

17.（15分）

如图，在四棱锥尸—ABC。中，底面A8C。为直角梯形，ABA.AD.AD//BC,AD=AP=2AB=2BC=2,

"_L平面ABCRE为棱2。上的动点.

⑴当E为棱P。的中点时，证明：EC//平面E44；

⑵若PE=2ED，求平面以。与平面幺4夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵哙

6

【分析】（1）通过线线平行即可证得线面平行：

（2）建系后，写出相关点的坐标，出平面E4C和平面心8的法向量，利用空间向显的夹角公式计算即得.

【详解】（1）

取94的中点产，连接麻，BF,

因为E为尸。的中点,

所以EF//AD,EF=-AD.

2

因为AI）//BC,AD=2BC,

所以EF//BC,EF=BC,

所以四边形所EC为平行四边形，所以EC//BF.

又Mu平面PAB、EC。平面PAB，

所以£67/平面，W.

(2)

因为A8_LADQ4_L平面A8C。，即AB.A。,AP两两垂直，

故可以A为原点，48,八。,4。所在直线分别为乂，2轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则A（0,0,0）,P（0,0,2）,D（0,2,0）,C（U,0）,

因为依=2%）所以

所以AC=（1,1,0）,A£>=（0,2,0）,4E=（0,*g

设平面EAC的法向量为〃=（X），,z）,

I〃AC=x+y=0

则（一42

n-AE=—y+—z=0

I33

取y=l,得x=-l,z=-2,

所以〃=（一1,1,一2）.

因为A5_LAD4P_LAO,A5cAp=4,A8,APu平面

所以A£）_L平面P45.

所以4。=（020）为平面PAB的一个法向量.

设平面以C与平面的夹角为。，

则cos夕=|COSH,/W|=此耳=3=走.

11同.|回2m6

所以平面E4C与平面小A夹角的余弦值为四.

6

18.（17分）

如图，在直角VABC中，AB=BC=3,点、E、尸分别在线段AB、AC上，且EF〃BC,将△△所沿EF折

起到！PEF的位置,使得二面角尸-所-8的大小为60。.

（1）设平面见方与平面外C的交线为，〃，请直接写出/〃与直线CF的位置关系.

⑵若点E为线段AB的靠近4点的三等分点

（i）求证：PB上平面BCFE；

（ii）求PC与平面尸所成角。的正弦值.

【答案】（1）相交

（2）（i）证明见解析；（「）；

【分析】（1）证明一，延长交班:干点G.连接尸G.直接证明：

证明二（反证法），假设直线〃?和直线C尸不相交，由于两直线都在平面PK•内，所以C/〃机.然后推导

矛盾；

（2）（i）利用定义法求解/在8是二面角「一砂-3的平面角，然后证明砂J.面P8E,进而正明我1平

面BCFE（ii）以8为原点，8c此,8。分别为x，y,z轴正方向，

标出相应坐标，设平面及犷的法向量〃=（x,y,z）,求出法向量,进而求解PC与平面私户所成角9的正弦值.

【详解】（1）相交

（证明一（寻找交线）：如图，在平面3c中，因为及为梯形，所以延长CF,交的于点G.连接PG,

因为Gw£B,GwCF,所以PGu平面夕PGu平面杵匕，所以PG即为交线机，PG与。尸相交于点

G.

证明二（反证法）：假设直线〃?和直线CF不相交，由于两直线都在平面刊（内，所以b//〃7.

又CFa平面尸£3，〃?u平面尸Eg,所以b〃平面尸£3.

乂"u平面反EC,平面£7为C。平面所以CF//EB,矛盾！

故直线机和直线CF相交，

(2)(i)证明：在RtZ\A3C中，AB1BC,又EFUBC,

所以所_L/W.

所以翻折后所_LP£，EFVBE.

因为尸Eu平面在F,BEu平面BEF,平面】平面跳尸二斯.

所以NPEB是二面角P—所一8的平面角，NPEB=60°.

乂P£=2,3£=1,所以由余弦足理得P8=75，

所以BE?+PB'=PE?，因此依_LKB.

因为所J_庄，EF1BE,又PEcBE=E,PE,BEu平面PBE.

所以ML面P8E,

又因为P8u面QBE,所以EFLPB.

因为PBJ.EB,EFLPR,EFcER=E,EF、EBu平面BCEF、

所以平面8CFE.

(ii)因为BC〃E尸,所以8C_LBE,BC1PI3.

又由(i)知，PBLEB,所以PBIC8E两两垂宣.

如图，以B为原点，8C,B£,3P分别为x，N，z轴正方向

BCx

建立空间直角坐标系P（0,0,@,C（3,0,0）,£（0,1,0）,尸（2J,0）,

P£=（0,l,-V3）,PF=（2,1,-73）,

设平面PEF的法向量〃=（x,乂z）

nPE=0[y-Gz=0

由，得「

n-PF=0[2x+y-y/3z=0

令z=l,得x=0,y=y/3»

所以〃=（0,G』）为平面尸瓦'的一个法向量，PC=（3,O,-V3）

n-PC1

所以sin。=cosPC｝二

同•附广1

故PC与平面尸砂所成角J的正弦值为千

19.（17分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PAA.平面ABCD,PA=AB,AD/IBC,ADLAB,E是楂PB的中点,

AB=BC=2AD=2.

（1）证明：AE1平面PBC.

（2）求点E到平面PCD的距离.

（3）若