将军饮马问题（期中复习讲义）-2024八年级数学上学期（人教版）

专题06将军饮马问题（期中复习讲义）

.明•期中考情.

核心考点复习目标考情规律

两定一动型（四种）能准确识别两定一动型的不同情形，重要考点，常结合具体几何图形，在选择题、

掌握其图形构造与相关问题求解方填空题或几何解答题中考查，需熟练运用几

法何原理分析

一定两动型（三种）能清晰分辨一定两动型的各类情况，高频考点，易因动点运动情况复杂而出错，

学会针对不同情况进行几何分析与多在几何综合题中出|现，考查对动点轨迹和

计算几何关系的把握

两动两定型（两种）理解两动两定型的特征，能运用相应关键考点，常与三角形、四边形等图形的性

几何知识解决此类问题质结合，在几何证明与计算中考查，是提升

几何综合能力的重要部分

平移线段型（两种）掌握平移线段型问题的特点，能利用常考考点，常与平行线、全等三角形等知识

平移的性质解决线段相关的几何问结合，在几何图形的变换与计算中考查，应

题用较为广泛

■记•必备知识.

类型两定一动型（四种）

图形

条件如图，A,B两定点分布在直线m两侧，点D为如图，A,B两定点分布在直线m同侧，点1）为

直线上一动点，求AD+B1）的最小值.直线上一动点，求AD+BI）的最小值.

结论当A,I）,B三点共线时,AD+BD取得最小值,当A,1）,B'三点共线时，AD+BD取得最小值，

最小值为AB的长.最小值为AB'的长.

图形

条件如图，A,B两点分布在直线m同侧.点D为直如图，A,B两点分布在直线m两侧，点D为直

线m上一动点，求ADBDI的最大值.线m上一动点，求|ADBD|的最大值.

当、、三点共线时，取得最大值，

结论当A,B,D三点共线讨，|ADBD|取得最大值，AB'DADBD|

最大值为AB'的长

最大值为AB的长

类型一定两动型（三种）

图形

条件如图，点P为直线ml上一动点，点Q为直线如图，点P为直线ml上一动点，点Q为直线

m2上一动点，点A为定点，求PA+PQ的最小值.m2上一动点，点A为定点，求PA+PQ的最小值.

结论过A点做m2的垂线，垂足为B,交ml于点C,做A点关于ml的对称点A'点，过A'点做m2的

当且仅当点P和点C重合，点Q和点B点重合垂线，垂足为B,交ml于点C,当且仅当点P

时，PA+PQ取得最小值,最小值为AB的长.和点C重合，点Q和点B点重合时，PA+PQ取

得最小值，最小值为AB的长.

图形

条件如图，点M,N分别为ml,m2上的动点，点P

为定点，求PM+PN+MN的最小值.

结论

类型两动两定型（两种）

图形

条件如图，点C,D分别为OM,ON上的动点，点A,如图，点C,D分别为0M,0M上的动点，点A,

B为NM0N内的两个定点，求AC+CD+BD+AB的B分别为0M,0N上的定点，求AD+CD+BC的最

最小值.小值.

结论做A点关于0M的对称点A',做B点关于ON的做A点关于0N的对称点A',做B点关于0M的

对称点B',当A'四点共线时,AC+CD+BD对称点B',当A',C,D,B'四点共线时,AD+CD+BC

取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，

AC+CD+BD+AB的最小值就是A'B'+AB.AD+CD+BC的最小值就是A'B'的长.

类型平移线段型（两种）

图形

条件如图，A,B为定点，M,N分别为m,n上的动如图，A,B为定点，M,N分别为m上的动点，

点，MNJLn,m〃n,且MN为定值，求AM+MN+NB且MN为定值，求AM+MN+NB最小值.

的最小值.

结论如图，将点A向下平移MN的单位长度得到点如图，将点A向右平移MN个单位长度得点A',

A',连接A'B,交n于点N,过点N作MN_Lm,作B关于直线m的对称点B',连接A'B',交

垂足为点M,点M和点N即为所求，当A',N,直线m于点N,将点N向左平移MN个单位长度

B三点共线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为得点M,点M和点N即为所求，当A',N,B'

A'B+MN.三点共线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为

A'B'+MN.

■破•重难题型.

【本节内容常用勾股定理相结合考查，下面为勾股定理基础知识】

勾股定理

文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平力.

符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为Q,b,斜边为C,那么。2+/=。2.

222222

变式：a=c—b,b=c—cif

222222

c=yja4-bfa=Vc—b,b=Vc—b.

【易错点】

1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定

理时，必须明了所考察的对象是直角三角形；

2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解

时必须进行分类讨论，以免漏解.

3）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆M+b2=c2时，斜边只能是c.若b为斜边，则关

系式是。2+,2=炉；若a为斜边，则关系式是62+C2=Q2.

0题型一两定一动型

重难点一同侧/异侧，求线段和的最小值

1.(2425八年级上•山东济宁•阶段练习)如图所示，在等边三角形A8C中，。为AC中点，点P,Q分别为48,AD

上的点，BP=AQ=4,QD=2,在BD上有一动点E,则PE+QE的最小值为()

A.4B.12C.6D.8

【答案】D

【分析】本题考杳等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决

最短问题，属「中考常考题型.作点Q关丁80的对称点Q，，连接PQ，，如图所示，由两点之间线段最短可知，

此时PE+QE的值最小，最小值为PQ',由等边三角形的判定与性质求出边长即可得到答案.

【详解】解：是等边三角形，

物=BC,

国。为4C中点，AQ=4,QD=2,

国AD=DC=AQ+QD=6,则48=AC=2AD=12,

作点Q关于BD的对称点0,连接PQ，，如图所示：

由两点之间线段最短可知，此时PE+QE的值最小，最小值为PQI

(3QD=DQ1=2,则4Q'=AQ+QD+DQ1=8,

(3CQ'=4C-4Q'=12-8=4,

(3BP=4,

.-.AP=AB-BP=12-4=8,即AP=AQ'=8,

在等边△ABC中，乙力=60。，AP=AQf,则△APQ'为等边三角形，

APQ'=/1P=8,

故选:D.

2.(2025八年级上•全国•专题练习)如图，在等边A/IBC中，AB=6,/V是线段4B上一点，ZB4C的平分线

交BC于点、D,且40=36，M是AO上的动点，连接8M,MN,则8M+MN的最小值是.

【答案】3V3

【分析】本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，

熟练掌握等边三角形的性质是解题关键.连接CM,CN,先根据等边三角形的性质可得4。垂直平分8C,根据

线段垂直平分线的性质可得CM=8M,则可得BM+MN=CM+MN,再根据两点之间线段最短可得当点

C,M,N共线时，CM+MN的值最小，最小值为CN,根据垂线段最短可得当CN_L48时，GV的值最小，然后

根据等边三角形的性质即可得.

【详解】解：如图，连接CM,CN,

回在等边△48。中，乙34C的平分线交于点。，

国4D垂直平分8C,AB=BC,

0C/4=BM,

WM+MN=CM+MN,

由两点之间线段最短可知，当点C,M,N共线时，CM+MN的值最小，最小值为CN,

由垂线段最短可知，当CWIAB时，CN的值最小，即8M+MN的值最小，

回此时有SMBC=^AB-CN=^BC-AD,

但CN=AD=3V3,

即BM+MN的最小值是3d5,

故答案为：3V3.

3.(2021八年级上•湖北孝感•期末)如图,在锐角△A8C中，BC=14,448c=30。，80平分乙48C,M.

N分别是BD.8。上的动点，贝l」CM+MN的最小值是.

【答案】7

【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、两点之间线段最短、垂线段最短、含30度角的直角三角形

的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键.在力B上截取一点E,使得BE=8N,连接ME,CE,

先证出aMBE根据全等三角形的性质可得ME=MN,则可得CM+MN=CM+ME,再根据两

点之间线段最短、垂线段最短可得当CE_L/W时，CE的值最小，即CM+MN的值最小，然后根据含30度角

的直角三角形的性质求解即可得.

【详解】解：如图，在上截取一点E,使得8E=8N,连接

①BD平分N48C,

团NMBE=乙MBN,

在和△MBN中，

BE=BN

Z-MBE=Z-MBN,

BM=BM

□△MFE三△MBN(SAS),

(3ME=MN,

0C/44-MN=CM+ME,

由两点之间线段最短可知，当点C,M,E共线时，CM+ME的值最小，最小值为CE,

由垂线段最短可知，如图，当CE14B时，CE的值最小，

团在RtaBCE中，BC=14,/.ABC=30°,

（3此时CE=并。=7,

即CM+MN的最小值是7,

故答案为：7.

4.（2526八年级上•全国•单元测试）某社区计划在一条笔直的公路（记为直线/）旁新建一个公园.公园需

要同时服务位于公路同侧的两个居民小区4和8.为了方便居民出行，公园选址P应满足：从小区八到公

园P的距离与从小区B到公园P的距离之和最小.已知小区4利8的位置如图所示（或描述：A点在公路/

上方，8点也在公路/上方，且48两点位于公路的同一侧）.

问题：

⑴请利用轴对称的知识，在图中［或自己圆图）确定公园P的位置，使AP+8P最小.要求保留作图痕迹，

并简要说明作图步骤.

⑵证明你确定的点P确实使“0+BP最小.

⑶若已知A点到公路/的距离为300米，8点到公路/的距离为400米，且4、8两点在公路上的垂足C、D

之间的距离CQ=500米.求此时”+BP的最小值.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

（3）100>/74X

【分析】此题考查轴对称的性质，最短路径问题，三角形三边关系，两点之间线段最短，勾股定理，熟练

掌握以上知识点是解题的关键.

（1）作点4关于直线/的对称点T,连接交直线/一点，即为点P,此时力尸+BP最小；

（2）取直线/上点C,连接4C,8C,由三角形三边关系得AC+BC>A'B,即可推出HC+BC>A'P+BP=

4E,点P确实使力P+BP最小.

（3）过点A作A'EJL8D交8。延长线于点E,由此得到44||8E,根据平行线间的距离处处相等得到AE=

CD=500米，OE=AC=4C=300米，得到BE=700米，根据勾股定理求出48=西砺7=

V5002+7002=100近5米，即可得到力'P+BP的最小值.

【详解】（1）解：如图，作点A关于直线/的对称点A,连接48交直线/于一点，即为点P,此时/P+BP最

小；

（2）解：取直线/上点C,连接

•••点4关于直线/的对称点A,

-.AC=A'C,

^AC+BC=A'C+BC>A'B

^A'C+BC>A'P+BP二A'B,

.•.A、C、B三点共线时，/C+BC最短，此时C与点P重合，

团点P确实使力P+BP最小.

（3）解：如图，过点4作4E1BD交80延长线于点£,由（2）可知，4P+8P的最小值为4B,

W1CD,BE1CD,

团44IIBE,

^A'E=CD=500米，DE=A'C=AC=300米，

鲂D=400米，

（3BE=BD+DE=700米，

=y]A'E2+BE2=V5002+7002=100旧米，

团4P+8尸的最小值为100g米

5.（2025七年级下•河南•专题练工）【提出问题】

唐朝诗人李顽的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题

——将军饮马°如图1,将军从山脚下的点人出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才

能使每天走的路程之和最短呢？

小亮：作8关于直线/的对称点连接41与直线/交于点C,点C就是饮马的地方，此时所走的路程之

和就是最短的（如图2）.

小慧：你能详细解释为什么吗？

小亮：如图3,在直线/上另取任意一点C',连接AC',BC,8'C',我只要说明<C+CB<4C'+C'8’即可.因

为直线/是点8,夕的对称轴，点C,C'在/上，所以C3二,CB=,所以++

CB'=.

在A4。'夕中，因为4夕</C'+C'8'，所以<AC+C'B\即力C+CB最小.

请完善小亮的说明过程.

本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的48转化在直线的两侧，从而利用“”及“三角形两

边之和大于第三边"加以解决（在连接49两点的线中，线段48'最短）.

【解决问题】

如图4,牧马人从4地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到8处，请画出最短路径.

【答案】解：【分析问题】CB1CEAB'AC+CB两点之间，线段最短

【解决问题】图见解析.

【分析】本题考查了轴对称之将军饮马模型，掌握轴对称变换和两点之间线段最短是解题的关健.

(1)通过作对称点，将将军饮马问题转化为两点之间线段最短的问题，利用轴对称性质得到相等线段，再

结合三角形三边关系证明路径最短；

(2)作点4关于草地的对称点4,作点B关于河的对称点B',连接AB',AC—CD—BD即为最短路径.

【详解】(1)团直线/是点8,B'的对称轴，点C,C'在/上，

国CB=CB',C'B=C'B'

(3AC+BC=AC+BrC=AB',AC+BC=AC+CE,

由两点之间线段最短可知，ABf<AC'+B,Cf.

^AC+CB<AC,+C,B.

本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的48转化在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短〃及

“三角形两边之和大于第三边"加以解决(在连接4B'两点的线中，线段4夕最短)。

故答案为：CBrUB，AB'AC+CB两点之间，线段最短；

(2)如图，4C-CZ)-80即为最短路径.

重难点二同侧/异侧，求线段差的最大值

6.(2324八年级上•甘肃白银•期末)如图，在平面直角坐标系中，4(一2,1),5(3,4),连接。4、OB、AB.P是y

轴上的一个动点，当|P8-P川取最大值时，点P的坐标为()

A.(0,-5)B.(1,0)C.(0,2.2)D.

【答案】A

【分析】此题考查关于y轴对称的点的坐标特点，线段最值问题，一次函数与y轴交点，正确理解最值问题

并作出点P是解题的关键.作点力关于y轴的对称点N,连接BN交y轴于一点，即为点P,此时IP8-P川值最

大，设直线BN的解析式为y=kx+b,将N(2,l),B(3,4)代入，利用待定系数法求出解析式即可得到答案.

【详解】解：如图，作点A关于y轴的对称点N,连接BN交y轴于一点，即为点P,此时|P8-P川值最大，

•••汉-2,1),

7;(2,1),

设直线8N的解析式为y=kx+b,

将"(2,1),8(3,4)代入得：膘:仁儿

解需二5,

•••直线8N的解析式为y=3x-5,

当x=0时，y=-5,

•.P(0,-5),

故选：A.

7.(2425八年级上•河南海河•期中)△A8C是高为3遍cm,面积为9遍cm2的等边三角形，点P是过点A的

对称轴上一动点，当点。为43边中点时.则|PD-P8|的最大值是：P3+P0的最小值

是.

【答案】3cm3V3cm

【分析】本题考查三角形中动点和线段和差最值问题，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质和面积

计算公式求得△48C的边长为6crr,结合等边三角形的性质，由三角形的三边关系可得：|PD-P8|WBD=

3cm,当8、。、P三点共线，即当点P运动到点A时，取等号，由轴对称可知P8+PD=PC+PZ)NC。，当

C、。、P三点共线，取等号，即可求解.

【详解】解：回△48。是等边三角形，

(3AB=BC=CA,过点力作力MJ.BC交8C于M,

则/IM=3V3cm,且AM所在直线为△48。过点4的对称轴，

即点P是直线4M上的一动点，如图，

用，HOC=-RC-AM=-x3y/3RC=975rm2,

22

I3BC=AB=6cm,

回。为48中点，

0/ID=BD=3cm,

在ZiPBD中，由三角形的三边关系可得：\PD-PB\<BD=3cm,当B、D,P三点共线，即当点P运动到

点4时，取等号，

团仍。一?8|取得最大值，最大值为3cm；

13点B关于4M的对称点为点C,

⑦PB=PC,

^PB+PD=PC+PD>CD,当C、D.P三点共线，取等号,

团PB+PD的最小值为CD,

①A/IBC是等边三角形，D为48的中点，

（3CD1AB,

则SMBC=^BCAM=^AB-CD,

BCD=AM=3V3cm»

0PF+P。的最小值为3d5cm,

故答案为：3cm,375cm.

8.-2324八年级上•陕西西安•期末）如图，在44BC中，^ABC=80。,48=BC=瓜在8c上方作射线BD,

且乙。3。=10%若P为BD上的个动点，则IPA-PCI的最大值为.

【答案】V5

【分析】本题考查利用轴对称解决线段差值的最大值，等边三角形的判定和性质，作点力关的对称点

连接AC,P4',84,进而得到|P4-PC|=|Pd-PC|,进而得到当4,C,P三点共线时，|P4-PC|的最大值

为4c的长，证明△4BC为等边三角形，进而得到AC的长，即可.解题的关键是通过轴对称构造特殊三角

形.

【详解】解：作点A关于8。的对称由4,连接4c,P4,84,

^PA'=PA,BA1=BA=BC=底

^\PA-PC\=\PA'-PC\,

团当A,C,P三点共线时，\PA-尸C|的最大值为AC的长，

^LABC=80°,4CBO=10°,

^Z.ABP=70°,

S'BP=/.ABP=70%

^Z-A'BC=70°-10°=60°,

(SAABC为等边三角形，

(34C=BC=5

回P4-PC|的最大值为遥；

故答案为：V5.

9.(2324八年级卜••辽宁爵锦•期中)已知4(1,5),8(4,-2)两点，在3轴上取一点M,使-8M取得最大

值时则M的坐标为.

【答案】(6,0)

【分析】本题考查动点最值问题三角形三边关系模型，涉及图形与坐标、待定系数法确定一次函数关系式、

一次函数图像与性质、点的对称等知识，根据动点最值问题三角形三边关系模型的解法，作出图形，如图

所示，即可得到4M-8M取得最大值时，点M为直线4夕与'轴的交点利用待定系数法确定函数关系式，

求出直线与x轴的交点坐标即可得到答案，熟练掌握待定系数法确定一次函数关系式是解决问题的关键.

【详解】解：根据题意，作出B关于％轴的对称点夕，连接力并延长交汇轴于如图所示：

•••设直线4*的表达式为y=kx+b,则将4(1,5),*(4,2)两点代入得

停U士人,解得收=[1,

12=4k+bIb=6

•••直线48：y=-x+6,

当y=0时・，-x+6=0,解得％=6,即使4M-BM取得最大值时则M的坐标为(6,0),

故答案为：(6,0).

10.(2324八年级上•广西河池•期中)如图，在RtzMHC中，ZC=90°,边AB的垂直平分线交BC于点。，垂

足为E,4。平分乙84C.

⑴求匕8的度数：

(2)求证：3co=BC；

(3)若4c=2,点P是直线上的动点，求IPB-PCI的最大值.

【答案】⑴30。

⑵见解析

（3）2

【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到4D=BD,进而得到乙2力。=乙B.由角平分线的概念得到=

ZR4D,进而利用三角形内角和定理求解即可；

（2）根据含30。角直角三角形的性质得到4。=20进而求解即可；

（3）作C点关于直线4D的对称点C',根据角平分线的定义可判断C'在直线4B上，连接8L的直线就是4B,

则当P点和A点重合时，IPB—PCI最大,即可求解.

【详解】（1）解:回DE是力8的垂直平分线，

回AD=BD,

回48力0=Z.B,

回平分

1azic40=/.BAD,

azc=90°,

0ZF+2乙B=90°,

团4B=30°.

（2）证明回团4CAD=4BAD=48=30°,LC=90°,

^AD=2CD,

^AD=BD,

[38D=2c0,

05C=BD+CD=3CD；

（3）解团作C点关于直线AC的对称点C',

团4D平分48AC.

团。'在直线A及上，

回连接的直线就是4氏

团当P点和八点重合时，|PB-PC|最大，

此时|PB-PC|的最大值为BU,

0/IC=AC=BC',

（3|P8-PC|的最大值为2.

【点睛】本题考查垂直平分线的性质，二角形内角和定埋，二角形外角的性质和含30。角直角二角形的性质，

轴对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

0题型二一定两动型

重难点一利用垂线段最短解决线段和问题

11.（2425八年级上•四川宜宾•期末）如图，在RtA4BC中,Z.ACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5.如

果点。，E分别为BC,4B上的动点，那么4D+DE的最小值是（）

A.4.8B.5C.5.4D.6

【答案】A

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，垂线段最短，正确进行转化是解题的关键.延

长AC到点M,使CM=4C,连接BM,过点M作ME'_L4B于点口,连接ME,MD,由4D+OE=MD+OE工

MENME'得到当点重合，.且点8,共线时，AD+DE最小,即为ME'的长，再由SA.BM=1AM•8C=

口即可求解.

【详解】解：如下图所示，延长4。到点M,使CM=4。，连接BM,过点M作MO于点连接ME,

M。,

BC是4M的垂直平分线，AM=2AC=6,

^AD=MD,

^AD+DE=MD+DE>ME>ME',

当点E,。重合，且点8,0,£1共线时，40+0E最小，即为的长，

="M・BC=，B・ME',

-x6x4=-x5xMEr,

22

解得：ME1=4.8.

枚选：A.

12.（2425七年级下•广东揭阳•期天）如图，在等腰三角形/BC中，AB=AC,AD1BC,点。为垂足，点E、

F分别是A。、A5上的动点，若43=6,△力的面积为12,则BE+EF的最小值是（）

【答案】C

【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称一最短路线问题，垂线段最短.解此题的关键是正确作出辅助

线.作点F关于AD的对称点M,连接8M、EM,过点8作BNJ.4C于点N,从而可确定BE+EF之BM,

即BM最小时，BE+EF最小.再艰据垂线段最短可知8N的长即为最小时，最后根据三角形面积公式求

出BN的长即可.

【详解】解：^AB=AC,ADIBC,

团直线力。是图形的对称轴，

如图，作点F关于4。的对称点M,连接BM,EM,过点B作BN14C于点/V,

^EF=EM,

^BE+EF=BE+EM>BM,

团BM最小时，8E+EF最小.

当BMJ.4C时8M最小，即为8N的长，

^ShABC=-BN=12,AB=AC=6,

姐N=2x12+6=4,

用BE+EH的最小值是4.

故选C

13.（2425八年级上•云南・期中）如图，在△48C中，AB=AC=10,SAABC=40,AD是△ABC的中线，F

是4。上的动点，E是4C边上的动点，则C~+EF的最小值为（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】本题考查等腰三角性质，中垂线的性质，连接三线合•推出4。垂直平分BC,进而得到F8=

FC,得到CF+"=BF+EFZBE,得到当B,F,E三点共线时，CF+EF的值最小为BE的长，再根据垂线

段最短，得到当BE_L4C时，BE最小，进行求解即可.

【详解】解：连接BE8E,

^AB=AC=10,力。是A/IBC的中线，

(3BD=CD,AD1BC

团4。垂直平分8C,

团尸8=FC,

0CF+EF=BF+EF>BE,

回当B,£E三点共线时，CF+EF的值最小为BE的长，

(3E为AC上的动点，

团当BEJ.力CI时，BE最小,

止匕时：BE=40,

SAABC=^AC-

^AC=10

0FE=8,

0CF+EF的最小值为8；

故选：C.

14.(2425八年级上•山东日照•期末)如图，在△4BC中，AB=AC,BC=6,△的面积是24,边AB的

垂直平分线OE分别交力8,4C边于点。，E.若点M,N分别为线段OE,边上的动点，则8M+MN的最

小值为•

【答案】8

【分析】本题考查了等腰三角形，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质，垂线段最短的知识是解题

的关键.

如图所示，过点4作人尸18c于点/，交DE于点G,连接力M,根据三角形面枳的计算得到AF=8,由垂直平

分线的性质得到=4M,BMMN=AM+MN>AFt根据垂线段最短，得到当点4M,N三点共线，且

垂直于RC时，4M+MN的值最小，即最小值为力产的值，由此艮I.可求解.

【详解】解：团48=AC,BC=6,S^ABC=24,如图所示，过点力作力尸1BC于点F,交OE于点G,连接力M,

^BC-AF=24,即1x6AF=24,

解得，AF=8,

团DE是线段4B的垂直平分线，

(3BM=AM,

团BM+MN=AM+MN>AF,

根据垂线段最短，得到当点4M,N三点共线，且垂直于8C时，AM十MN的值最小，即最小值为A尸的值，

国BM+MN的最小值为8,

故答案为：8.

15.(2025八年级上,全国•专题练习)如图,在平面直角坐标系中，点4(0,4)在丫轴正半轴上，点8(-3,0)在

x轴负半轴匕且48=5,点M的坐标为(2,0),N为线段。41二一动点，P为线段48上一动点，则MN+NP

的最小值为.

【答案】4

【分析】本题考查了坐标与几何图形，垂线段最短，解题的关键在于利用等面积法求解.根据N为线段04

上一动点，P为线段A8上一动点，过点M作MP于点P,交。力于点N,此时MN+NP的最小值为MP,

连接AM,根据S-8M=18“,。4=：48・时;5求解，即可解题.

【详解】解：过点/VH乍MPJ.48于点P,交。4于点N,此时MN+NP的最小值为MP,连接4W,

0A=4,BM=5,

•S^ABM=^BMOA=^AB-MPt

“cBMOA5x4.

•••MP=--A-B-=——S=4,

即MN+NP的最小值为4,

故答案为：4.

16.(2324八年级上•江西南昌•阶段练习)如图，在A/IBC中，已知4B=4C,4D是BC边上的中线，点E是

48边上一动点，点P是力。上的一个动点.

(1)若8c=6,AD=4,力8=5,且CE1/B时，求CE的长：

(2)在(1)的条件下，求8P+EP的最小值.

【答案】⑴g

⑵W

【分析】(1)根据等腰二角形二线合一可得AO_L8C,再利用二角形面积公式即可求解:

（2）根据垂直平分线的性质可得BP+EP=CP+EPZC£,结合垂线段最短即可求解.

【详解】（1）解：•・•△4BC中，AB=AC,4D是BC边上的中线，

:.AD1BC,

vCE1AB,

••SAABC=/CAD=/B,CE,

八lBCAD6x424

CE=----=——=—；

AB55

（2）解：如图，连接PC.

由（1）可得垂直平分线段BC,

:.BP=CP,

BP+EP=CP+EP>CE,

由垂线段最短可得CE14B时，CE取最小值，最小值为g,

:.BP+EP的最小值为

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，垂线段最短等知识点，解题的关键是掌

握线段的垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

重难点二求周长最小值（角内一点）

17.（2025年河北省邯郸市馆陶县二模数学试题）如图，牧民从生活区边QM上某点4出发，先到草地边PQ上

某点B收马，再到小河边PM上某点C饮马，最后问到点A处.已知，点P到QM的距离为2ekm,4PM=45°,

若八力8。的周长为m,则m的最小值是（）

A.3V2B.4C.4V2D.473

【答案】B

【分析】本题考杳了轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短，在QM上取一点4作点”

关于QP的对称点。，点A关于PM的对称点E,连接DE交PQ于B,交PM于C,连接48、AC.PA.PD、PE,

由轴对称的性质可得A/BC的周长为加=。£即当QE最小时，△48C的周长m最小，证明△DPE为等腰直

角三角形，得出由垂线段最短可得，当P41QM时，P4最小，即DP最小，结合题意可得DP的

最小值为2&km,即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：如图，在QM上取一点4作点力关于QP的对称点。，点4关于尸M的对称点E,连接OE交PQ于3,

交PM于C,连接力8、AC.PA.PD、PE,

由对称轴的性质可得：AB=DB,AP=DP,AP=PE,AC=CE,^APQ=Z.DPQ,Z.APM=ZEPM,

0A4BC的周长为m=AB+AC+BC=BD+CE+BC=DE,

由当DE最小时，△力BC的周长m最小，

国匕QPM=45。，

0ZDPE=Z.APQ+Z.DPQ+LAPM+乙EPM=2(^APQ+Z.APM)=2乙QPM=90°,

⑦PE=PD=PA,

(3aZ)PE为等腰直角三角形，

0Dc=五DP,

由垂线段最短可得，当P41QM时，P4最小，即。P最小，

0点P到QM的距离为2&km,

(3DP的最小值为2&km,

丽的最小值为或DP=4,

故选：B.

18.(2425八年级下•辽宁葫芦岛•阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-%+4与坐标轴交于4、B

两点，已知C(0,2)是y轴上的一点，AE分别为直线y=-％+4和x轴上的动点，当ACDE的周长最小时，

点。的坐标为()

A.(0,4)B.C.(p|)D.(2,2)

【答案】C

【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，坐标与轴对称，作点C关于％轴的对称点G，关于直线y=-%+

4的对称点C2,连接。1。2,与Y轴的交点即为点E，与直线y=-%+4的交点即为点。，求H直线的

解析式，与直线y=-%+4联立，求出点。的坐标即可.

【详解】解：0y=-%+4,

0x=O时，y=4,y=0时，x=4,

站(0,4),8(4,0),

WA=OB=4,

(340A8=乙OBA=45°,

作点C关于％轴的对称点G，关于直线y=-X+4的对称点Q,连接GQ,交47于点F,作FGJ.AC,

贝U：△CDE的周长=CD+CE+DE=C2D+CXE+DE>CrC2,CF1AB,

团当在线段GG上时，△COE的周长最小，

0C(O,2),Z.CAF=45°,4(0,4),

0Ci(O,-2),AC=2,△A/C为等腰直角三角形,

“G="C=1，

WG=0C+CG=3,

团VF=3,

当)，=-%+4=3时，x=l,

0P(1,3),

团对称,

用F为C,C2的中点，

0C2（2,4）,

设直线GC2的解析式为y=kx—2,把。2（2,4）代入，得：4=2/c-2,解得：k=3,

0y=3x—2,

联吟二驾品解“涓

故选C.

19.（2425九年级下•福建厦门•阶段练习）如图，P是△8/1。内部一点，P关于力8,4C的对称点分别是点片,

点P2，连结匕22分别与力氏4c交于点M,点N,连结PM,PN,下列结论：①△P1P2A一定是等边三角形;

②乙P1AP2=2ZB力C；PMN的周长等于线段匕22的长；④24B4C+乙MPN=180°.其中正确的结论

是（）

A.②③B.①④C.②③④D.①②③④

【答案】C

【分析】此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质.由题意得/PiAP=2zl/MB,乙P2Ap=

2Z.PAC,从而得出NPi/lB=2（^PAB4-Z.PAQ=24B4C可判断②，^/-PiAP2=2,84c且乙B4C的大小没

有确定，可得出NPi/IP?的大小没有确定，可判断①，由对称性可得为线段PR的垂直平分线，4C为线段

PPz的垂直平分线，从而得出MP=MP],NP=NP2,从而得出△PMN的周长=PM+PN+MN=PIP2，

可判断③，由题意得乙4EP=44FP=90。，可得NBAC+NEPF=180。，从而得出乙BAC+NMPN+

乙MPPi+乙NPP2=180°,即得出MP=MP】，NP=NP2，所以乙MPPi=4MP1P,乙NPP?=乙NP?P，再求

解即可判断④.

【详解】解：:P关于乂氏4C的时称点分别是点P],点P2，

=2Z.PAB,ZP2Ap=24PAC,

/BAP?=2^PAB+2^PAC=2(4P4B+2P4C)=2ABAC

故②正确，

•••/P/Pz=2/-BAC,484c的大小没有确定，

••./片月22的大小没有确定，

.•.△匕。2＜不一定是等边三角形，故①错误，

•••P关于力氏4c的对称点分别是点Pi，点P2，

・•.4B为线段PR的垂直平分线，4c为线段PP2的垂直平分线，

(3MP=MR,NP=NP2,

•••△PMN的周长=PM+PN+MN=MP1+MP2+MN=PR，

故③正确，

加图，设力8与PPi交干点E,4c与PP2交于点F,

由题意得Z/EP=Z.AFP=90°,

LBAC+AEPF=180°,

乙

Z.BAC+MPN+NMPP]+Z-NPP2=180°,

国

MP=MP1,NP=NP2,

乙乙

团乙MPPI=MP”,NPP2=Z-NP2P,

---4Mppi+4MP】P+乙NPP2+乙NPJ3+乙MPN=180°,

•••NMPP1+Z,NPP2=90°-Z-MPN,

：♦Z.BAC+Z,MPN+90°--Z.MPN=180°,

2

:.2/.BAC+乙MPN=180°,故④正确，

综上，正确的是②③④，

故选:C.

20.(2526八年级上•全国•单元测试)如图，41。8内有一点P,点P1,P2分别是点P关于。4。8的对称点，PXP2

交04于点M,交OB于点N.若APM/V的周长是5cm,则2止2的长为.

【答案】5cm

【分析】本题考查轴对称的性质，熟知如果两个图形关于这条宣线对称，那么这两个图形的对应点的连线

被这条直线垂直平分是解题的关键.先根据轴对称的性质得出MP=MPi，NP=NP2,再由APM/V的周长

是5cm,即可求出PiP2的长.

【详解】解：•.•点",22分别是点P关于。40B的对称点，P$2交0A于点M,交0B于点N,

MP=MPi，NP=NP2t

APMN的周长是5cm,

:.MP+MN+NP=5cm,

:.P$2=MP、+MN+NP2=MP+MN+NP=5cm,

故答案为：5cm.

21.（2425八年级上•广东广州•期末）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河"，隐含了一

个有趣的数学问题一一“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从4（4,0）出发,

先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸〃的任意位置饮马后返回到4点，月.m与"的夹角为30。，则将

军所走的最短总路程为（）

A.4B.6C.8D.12

【答案】A

【分析】此题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质等知识.作点A关于直线m、。的对称点。、

E,连接DE,OD,OE,交m、c于8、C,^iAB=BD,AC=EC,得到△B力C的周长AB+BC+=BD+BC+

CE=DE,此时△BAC的周长最小值为DE的长，再证明△DOE是等边三角形，得到DE=OD=0A=4即可.

【详解】解：作点A关于直线m、n的对称点。、E,连接DE,OD,OE,交m、〃于8、C,则AB=BD,AC=EC,

SA8力C的周长AB+BC+AC=BD+BC+CE=DE,

国此时△氏4c的周长最小值为。K的长，

则：。0=。4=OE,

0ZDOM=乙MOA,乙AON=乙EON,

^DAE=2乙MON=60°,

团△DOE是等边三角形，

团DE=OD=OA=4,

即八BAC的周K最小值为4,

故选：A.

22.（2324八年级上•湖北武汉•期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河〃，这是唐代诗人李顾《古从军行》

里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题.

⑴如图1,若点八和点8分别在直线/的两侧，请作出示意图，在直线/上找到点C,使得&4+C8有最小

值，并说明作图依据：;

（2）如图2,若点4和点8在直线/的同侧，请在直线/上作出点P,使得PA+"8有最小值；

(3)如图3,已知N40B=30。，点Q在上4OB内部，点M,N分别在射线0力，。8上，若OQ=6,请求出△QMN

周长的最小值.

【答案】(1)图见解析，两点之间线段最短

(2)见解析

(3)6

【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮

马”等模型.

(1)依据是两点之间线段最短得出答案；

(2)作点4关于直线，的对称点4,连接交直线/于点P,连接PB,点P即为所求；

(3)分别作Q关于。力、。8的对称点C、D,连接CD,交。力、OB于M、N,则△QMN的周长最小，进而根

据轴对称的性质推出△COO为等边三角形，进一步得出结果.

【详解】(1)连接A8,与直线1相交于一点C,则U4+CB有最小值.作图依据是两点之间线段最捋.

故答案为：两点之间线段最短；

(2)如图，点P即为所求