辽宁省2024-2025学年高一年级下册7月期末考试数学试题（含答案解析）

辽宁省大连市第八中学2024-2025学年高一下学期7月期末考

试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若点在角。的终边上，则sin（a+2025o）=（）

A.-1B.--C.0D.1

2

2.已知复数（l-血）：="七,其中i为虚数单位，则z|二（）

A.-B.C.1D.2

▲

3.已知向爱=>jG」），则:与0的夹角为（）

A.300B.600C.900D.1200

4.已知a,£是两个不同的平面，〃是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）

A.若〃?〃n,〃//a,则加〃aB.若。_1_仇mrP,则〃?_La

c.若〃?_L/?,n_1_a,则机//aD.若a”0,〃iu则机"a

5.已知点4（2,1）,将向量37一绕原点。逆时针旋转:得到3一1，则点B的坐标为（）

停电）41迈】

6.若函数f（x）=tan（@+0）（®>0,夕>0）的图象与直线），=a的两个相邻交点之间的

距离为"，向右平移:“个单位长度后得到函数履光）的图象，若g（v）的图象关于坐标原点对

称，则夕的最小值为（）

KX2寅”

A.—B.-C.、D.

6Z?6

7.在平行四边形A8CQ中"阿'=1,|国=2,加用,=1，£为CO的中点，则元.布二

3

A.2B-5c.iD.2

8.已知函却(r)=sin⑵+0(0<6><7r)图象的一个对称中心是哈°，函数g（x）的

图象与/（x）的图象关于x=£对称，若对任意X],x2E[o.r],当修＜工2时，都有

/（V（）-/U）＜g（M）-g（r2）,则实数，的最大值为（）

D.

二、多选题

9.已知复数（i为虚数单位），z的共物复数为z,则（）

A.z的实部为1B.z的虚部为1

C.W-z为纯虚数D.z在复平面内对应的点位于第一象限

10.在VA8C中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,且加+3accos8=2c?,则下列选

项中正确的是（）

A.若。=c,则B.若A"；,则”二c

2

C.若。=c,则tanA=2tan8D.若cosA=q,则〃=c

II.在正三棱柱ARC-4用G中，,AA~y[3fE,"分别为4?,居J的中点，

E,C,尸四点均在球0的表面上，则（）

A.所〃平面AACC

B.球。的表面积为28兀

C.球O表面与三棱柱表面的交线长度之和为2兀

D.六面体ARFERC与七面体A,C,FACE公共部分的体积为g

三、填空题

12.已知tana=；,cos"=-；,其中a，££（0,兀），则a-£=.

13,已知复数4,4满足LJ=2,kl=1,^+2^1=2^,则反-zj=

14.已知圆台上、下底面的圆周都在球心为。的球而上，若球。半径为I,4,。分别为圆

试卷第2页，共4页

台上下底面圆周上的动点，且直线OA,03与圆台底面所成的角分别为:，$则△048

面积的取值范围为

四、解答题

15.已知a=(sinx+cosx,2cos.r),，=卜mx-cc、x73smx),函数=a.b-.

(1)求函数/(i)的单调减区间；

(2)若/工.巴］.-毡.且,求/(＞。：的值.

162)3?116)

16.如图，在直三棱柱A8C-ABG中，BB广&BA=BC=2,上A8C=、-,且M,N

(1)证明；M％//平面48£；

(2)证明：A|NJ_A".

17.在VABC中，角A,8,C的对边分别为“，b,c,J1.2coscosC+ccos4)=b.

(1)求角B；

(2)若。二6,c-a=J5,线段AC延长线上的一点。满足*工尢，求线段3。的长.

18.如图，平面四边形P8CD中，点A是线段PO上一点，A8_LPO,且尸。=4,CD,

±ADC=459,沿着AB将三角形PA8折叠得到四棱锥尸・A3C。，折叠后上P4。=120。.

(1)求证：平面PA。J_平面ABC。：

(2)若人P=AD,求平而PC。与平面ABC。夹角的正切值:

试卷第3页，共4页

《辽宁省大连市第八中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案CCDDABBCABCAD

题号11

答案AC

I.C

【分析】根据诱导公式及二角函数定义及两角和的JF弦计算求解.

/%IV2-1

【详解】点P(-l,1)在角。的终边上，贝Usin"=一=3cos”[、

jj(JiyJ?Ji、

sin(a4-2025°)=sm(cr>225°)=sm(a-I350)a--:+~=0

2I21212/

故选：C.

2.C

【分析】根据复数的除法运算求解出z,然后根据复数模的计算公式求解出同.

i-----

【详解】由题知"匚石：』4i，所以"|二E=匕

故选：C.

3.D

【分析】利用向量夹角公式的坐标表示即可得解.

【详解】因为“।j•b(Al),

所以「$«?■-2,♦同=Ji+；乎距炳一，

2G

-|

所以cos。h

2x

又0。<«,/><180o,所以£/>=120。.

故选：D

4.D

【分析】当帆ua内可对A、c判断：当〃?=an夕时可对B判断，由面面平行可对D判断.

【洋解】A：若小〃〃，n1/a,当〃1「。口、J,〃，与a不平行，故A错误；

答案第1页，共15页

B：若a_L£,mrpy当相=an/?时，不能得到JLa,故B错误:

C：若切_L〃，〃_La,当〃?ua时，，〃与a不平行，故c错误；

D：若07/月，mr-P，可得〃?〃a,故D正确.

故选：D.

5.A

一-2后后

【分析】设向量OA与11L半轴夹角为a,贝hos"-■丁,由题可知

BJ5cos(a.；)Ssin(a.31，利用三角和角公式求值即可.

一一2百万

【详解】设向量OA与x正半轴夹角为a,则85仪=7-21//=r~,

向量方A-绕原点0逆时针旋转”得到万A则3«\<1,；）758^<1咛））

所以5孝'畏.

故选：A.

6.B

【分析】由题可得函数/(x)的最小正周期为7:,再结合g(0=回夫-经+>

【详解】由函数/'6)=tan(@+0)(②>0,夕>0)的图象与直线)，二a的两个相邻交点之

间的距离为:，

则得函数/(x)的最小正周期为7'二:，所以“；-3,

由/(x)向右平移寸个单位长度后得双刀)二

所以当&=-1时，W有最小值;，故B正确.

则一~T»kGZ：又9>0

故选:B.

答案第2页，共15页

7.B

【分析】根据向量的线性关系结合平面向量数量枳的运算律计算求解.

【详解】平行四边形人BCD中，I,仅二2.心⑺

E为co的中点，则1/f/f-1'i/r-inin-'AH«\ntb-*

故选：B.

8.C

【分析】先根据函数的对称中心及角的范围得出“X,再应用对称轴得出

6

g(x);Si,2穴2―：；,最后应用两角和差正弦公式结合单调性计算求参.

【详解】因为函数M、)=sin(2x+®(0<8<兀)图象的一个对称中心是1展,0；

所以"A刀火WZ,且0<8<兀，所以。=四，

66

因为函数g(x)的图象与/(x)的图象关于对称，

所以g(x)=〃XT)=sin|?JT2x•n.

I6)

对任意为，X2G[Oj],当匹时，都何(M)-8(M)</(4)-dA2),

所以)，=f(x)-g(A),AG[0,/]单调递增，

所以y=/(')-g(、)=sin|2x•"-sin2x-"后sin2x,

16)I6；

所以2xe[0,27]且,，=/(i)-g(t)单调递增，故故实数，的最大值为:.

故选：C.

9.ABC

【分析】由复数的除法可用z=l+i可对A、B判断：由可对C、D判断.

【详解】对于A、B：由题意得z=;—=二广1+】，实部为1，虚部为1，故A、B

1-1(I-1I)(14-I)

正确.

对于C：7=1-i,贝归-z=-2i,为纯虚数，故C正确；

对于D：由z=1-i可得其在复平面内对应的点为(1,-1)在第四象限，故D错误.

故选：ABC.

答案第3页，共15页

10.AD

【分析】由余弦定理化简得3屋-C?=从，再结合〃=c•即可对A判断，由正弦定理可得

3si/A=sin2C+sin28,再结合A=*，可得siTC+si/Z?。?.当C=；,时满足

4)24

sin2C+sin2*即可对B判断：由》二c,则加+3/*cos5=2/可得3sinA=tan8,即

可对C判断；若cos4=；,可得/=〃+--$c,再结合3〃-/=〃化简得(/,(.)2=0,

即可对D判断.

【详解】A：由/+3accosB=2c2,化简得//+3ac°”-2c1即3c『-c2二//，

又。=c,则〃=2/=/+/,则△ABC为等腰直角三角形，故A:，故A正确.

q

B：由3〃-c2=b1,可得3si【fA=sin2C+sin2B,因八二，即sin?C+sin2B=,

*2

当C二;，BJ时满足sin?C+sin28=',但此时a=b,故B错误；

C：由〃=c,则＞+3accosB=2c2可化简为3acosB=b,即3sinAcosB=sinC,

即3sinA=tanB,故C错误；

D：若COS4・2,则COS4・"="则//+/-a：=%c,则/=//+1-

32bc31?

2222

代入3a2-/=〃得劭2+3c2.4be-c=b,整理得"+c-2bc=0,即(b-c)=0,

所以/?=c.故D^F确.

故选：AD.

11.AC

【分析】设AC中点为G,易证四边形EGGF为平行四边形，可得EF//GG,根据线面平

面的判定即可证明a3/平面4ACG确定A；由题可得AA/C,AA|EC为直角三角形，4c为

公共斜边，则球心。在AC中点处，AC为球。的直径，利用球的表面积公式即可判断B：

利用球的性质可求与各面的交线长，求和即可判断C；易知六面体A田/E8C与七面体

4£E4CE无公共部分即可判断D.

【详解】设AC中点为G,又£为A8中点，所以EG//8C,且£G=1C,

答案第4页，共15页

即EG//FG,且EG二尸6，则四边形EGC/为平行四边形，

所以EF//GG，又E尸丈平面AACG，GC|L平面4ACG，

所以七///平面AACG,故A正确；

根据题意，易得A/_L8cAF_LCG，

又用Gncq=c;出G，CC;L平面8BCC,所以。尸JL平面c/cc，

又C尸u平面8叫GC，所以A/J_CF，

同理可证A,£±CE,所以^FC^A.EC为直角三角形，

AC为公共斜边，则球心。在4c中点处，AC为球O的直径，

则球。的表面积为S=4nR=MC2=In,故B错误；

设M.N分别为AC，。尸的中点，平面A&G截球O的截面半径为〃，

,--------pry

易得OM_L平面.4修G,则月X

所以球。与上底面A向G的交线如图，MP=MQ=\,MA,=MCt=1,

上P&M=上QGMR；，则”AMJQGM为等边三角形,

所以上PM。:，则而：，由对称性与底面A8C的交线长也为:，

答案第5页，共15页

因为O，N分别为CA，C尸的中点，所以ON//AF,ON』F=在

511

又A/J_平面35GC,所以ON_L平面3BCC，

设平面88GC截球0的截面半径为「2，r«Ja=Jp：=I.

所以球0与面BB£C的交线如图，NF=NH=NC=NC\,CC=拒,

所以上FNH二上CNC

丽一手，根据对称性可知与面的交线长也为?，

易知与面AAG。无交线，

所以球。表面与三楂柱ABC-AliG表面的交线长度之和为-2*,故C正确；

根据图像六面体A8/E3C与七面体AGE4CE无公共部分，故D错误:

故选：AC.

【分析】由cos〃=--求出tan6=-3，再利用正切两角差公式即可求解.

54

【详解】由/?£(0，兀)，cos6=,则得sin6=-8S8=：,所以tan

I,c、Iancr-tan674%.

又tanu=:，所以tan（a-二二=--------=—;一r=vr=l

7l-l-lanalan9132s

1I一二X一

7428

|{JT1

因COS8二-1＜。，则"在|：R,又tan〃=>（1,则aw也二，

I7I2）

则a-/7e(-7T,o),所以々一8二_3x

故答案为：一手.

13.1J1

【分析】根据复数的模长平方计算求解.

答案第6页，共15页

【详解】复数z「N满足kl=2,k|=1,|Z1+2Z;|=2V2,

则h+2zJ[=卜J+4ZJZ2+4|z2f=4+4+4ztz2=8,所以=0,

4ZZ+42

则pz?—Z]f=[S~\2k=4+4-0=8,|2Z2-zj=2>/2.

故答案为：2>J2.

14-[M]

【分析】分圆台的上下底面在外接球球心的同侧和两侧进行讨论.

【详解】如下图，为圆台的轴截面，圆台的上、下底面的圆周在球心。的同侧.

可令4点保持不动，8点在底面圆周上运动.

因为上。AE-j,上OBR二色，所以上4OB=:,±AOB=y

所以在8点的运动过程中，QA与。8的夹角8的取值范围为：

.63

所以sin"w,当"=:时取得最小值，当”=；时，取得最大值.

又04=1,所以SsoAb=92sinf?=^sinffe

如下图：圆台的轴截面，圆台的上、下底面的圆周在球心。的两侧.

答案第7页，共15页

则±A08*£,1A0B'=.

所以在8点的运动过程中，0A与03的夹角6的取值范围为：［：.=

36

所以sin"w1.1,当〃二四时取得最小值，当"-:时，取得最大值.

［2J62

所以S,OAB二2氏2sinf?%in。，:!

综上可得：aoAB面积的取值范围为:.:.

故答案为：］；:

15.(I)H.：.g；|h/

⑵织

【分析】(1)根据数量积的坐标运算，利用降案及辅助隹公式化简，整体法求单调区间即可:

(2)由彳;十二；二二，可得si《/+：；=-¥；.根据同角三角函数求值问题可求

cos'a+X一"，接着求sin|%+，、cos2"+:的值，最后再利用正弦和角公式求值

I“3I37I3J

即可.

（详解］（1）4工）=sin%-costr♦2<3sin.vcosx=4sin2x-cos2x=2sinhi）

由2版■n2,i—Mn♦Tz£Z,解得质」“WE”,At7.

）A）16

答案第8页，共15页

所以函数f(x)的单调减区间为+Hk/

36

(2)由相,"一独，得sinfa」1■包,又;“<¥，

A62)3\6)353

(迈色|』_2和

16.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)取AG的中点P，连接从尸，PN,可证内边形从MN尸是平行四边形，得到

MN〃B\P,利用线面平行的判定即可证明；

(2)取AG的中点0,连接丛。，QA,易证与。_1_面44(《，得到利用余弦

定理可得AC,接着可证四边形AAQN是正方形，得到AQJ_4N,根据线面垂直的判定可

证4声_|_面他2,得到A|NJ_Aq.

【详解】(I)如图，取4G的中点尸，连接当尸，PN,

因为N为AC的中点，所以PN//GC，且PN・：C(.

答案第9页，共15页

又因为5M//GC,B,M=-C,C,

所以PM/&M,PN=BM,

所以四边形&MNP是平行四边形，所以MN//&P.

又8/L平面ABC,MN丈平面A8C,所以MN//平面A8C.

（2）取46的中点Q,连接&Q,QA,

因为8A=BC,所以8A=B£,所以用。JLAC,

因为A41_L面人向G，8Q一面A向G，所以A41_L修。

因为A4|nA|G=A，4/L面A4CC，A|C|U面44clC,所以BQJ_面,

因为ANU面从4CC，所以8QJ_A|N,

因为B4=BC=2,±/lBC=-y,所以4C=?Jj,AN•小,

所以四边形AAQN是正方形，所以AQj_4N,

因为AQn^Q=Q,4QL面人与Q,与Q「面人&Q,所以A|N_L面人凡Q,

因为人与二面人82,所以A|N_LA8「

17.（H*

J2

【分析】（1）由正弦定理并结合正弦两角和公式，即可求解：

（2）由余弦定理可得从=（c-aj+双，再结合正弦定理及三角形面积公式，即可求解.

【详解】（1）由2cos8（〃cosC+CCOSA）二人及正弦定理得

2cosB（sinAcosC+sinCcosA）=sinB,丹『以2cos8sin（A+C）=sin8,

又A+8+C=;r,所以sin（A+C）=sinB,所以cos8=],

因为8£（0加），所以8:；.

（2）由B=;及余弦定理得苏+，■从=讹,即从={c-a）~+ac,

答案第10页，共155；

又b-Jj,c-a=e,解得好=1,

在灰。中，由正弦定理得为

在“WD中，由正弦定理与

.40-sinzUBD*

由不二才得411上。。=近11上48。，所以上C8O+上43。=%

即上C8O+±/ABC+±.CBD=n,所以上C8。--

设川/?。的面积为Sw,贝l|S△八8力=^CBDsin上ABO=^easinB•\BDsin上C8£),

即c8Q=l+〃8。，又c-a=Ji，解得用)=¥，

所以B3的长为、.

18.(1)证明见解析

喈

(3)证明见解析

【分析】(1)由图翻折可知,AA_1_A。，再利用面面垂直的判定证明即可;

(2)过点人作人EJL人。交P。于E,通过证明。。_|_平而八£。，得到上ECA为二而角

P-CO-A的平面角，再求正切值即可；

(3)设和AACO的外心分别M和尸，则球心为过点M和N且分别垂直于平面FA。、

平面AC。的两直线的交点G,过点N作N"JLAO于〃，连接M”，可知四边形GM7”为

短形，设AP=/,通过计算可得外接球半径R=1(/-2)：+4,当/=2时，球G的半径最小，

此时点G与点M重合即可证明.

【详解】(1)在四边形PBCO中，因为AB_LP。，所以折叠后有48j_B4,ABA.AD.

又尸ACA。=A,AOL立面尸A。，PAL平面P40,所以A8_L平面尸40.

又A8u平面A8CO,所以平面尸A。_L平面人8C。.

(2)由题意4O=AP=2,又上E4D=12()。，故上PDA=3()。,

过点A作AEj_A。交尸。于£,则AE=^连接AC，EC,

答案第II页，共15页

因为平面PA。J_平面ABC。，面尸人。_Ll"A3CO=AO,AEL平面PAD,

]1AE±AD,所以4E_L平面人"CD.

因为COl平面ABC。，所以AE_LCQ,同理AE_LAC,

因为AO=2,CDJi,±ADC=45.,所以由余弦定理得

C4=s+CZ>-2AD.CDcos±ADC=.2,

所以CD_LC4,

因为CACIAE二A,CAL平面AEC,4£L平面AEC,所以CD_L平面4EC.

因为ECL平面A£C,所以CQ_L£C,所以上EC4为二面角P-CO-A的平面角.

2.L

所以在RdEAC中,⑶]上牝3小，

CAF3

所以平面PC。与平面A3CD夹角的正切值为如.

(3)由(1)知平面PAZ)_L平面A3CQ,

设△/M。和△ACO的外心分别M和F,

因为P、4、。、。均在以G为球心的球面上，

则球心为过点M和N且分别垂直于平面P4O、平面4CD的两直线的交点G,

过点N作NH_LA。于〃，连接MH,

设PG=R，显然四边形GN〃M为矩形，

所以GM?=PG2-PM~=NH~=DN2-DH~.

在△总。中，设4P=z(0</<3),

由上附。=120。及余弦定理得PO=7m.

再由正弦定理得△以£>的外接圆半径『-PM=3―；"6'

在"CQ中，4。=47,CD0,±ADC=45.,

由余弦定理得AC-J/

答案第12页，共15页

再由正弦定理得MCD的外接圆半径二:DN・J,二J

2sm450V2

所以R：＜-＜

r-«Vf16r-6r4-101•Hr416

即及，•，

所以R（/-2）＞4,故当Z=2时，球G的半径最小,

1212°9

此时点G与点M重合，所以点G在平面PAO内.

19.（1）证明见解析

(2)(-oo,l]

（3）答案见解析

【分析】（I）由后（卜卜“dG”卜心，卜而可证;

(2)由题可得sin"x+cos'x<sinx+cosx,从而可得sinx+cosx+2/sinxcosx-/>0充■任意

的x。U.三恒成立,令〃7=sinx+cosx-逝sinxK可得小+f（〃F-i）・/2o恒成立，再

将参数/分离，即可求解.

（3）当〃为奇数时，求得£（工］）-8“（4|）＜，（也）-&（k2）,贝如二八I（X）”2卜1（X）在

上单调递增，从而可求解；当〃为偶数时，对任意正整数2,得

25（*）*为（明（明■从而

加“+金（”.；［，,（1）♦凡向"；"CAO即可求解.

又＜A£N+

答案第13页，共15页

即£(：一

所以曲线)，=fn(x)-gn(x)关于点(：.U卜称.

(2)因为当%w(，.：时，sinxG[0,1],cos.rG[o,1],

所以sin"x+co<x<sin,v+cosx，由题知存在〃£N+,

使得sin"x+cos"x+Itsin.rcos.r-/>0对任意的文•=,恒成立,

所以sinx+cosx+2/sinxcosx-r>0对任意的x*-0恒成立,

:;则〃，[阂,

令〃？