简单的三角恒等变换（5大考点+9大题型）-2026年新高考数学一轮复习（讲义+专练）解析版

4.2简单的三角恒等变换

目录

01课标要求........................................................................2

02落实主干知识....................................................................3

一、两角和与差公式................................................................3

二、二倍角公式....................................................................3

三、降幕公式......................................................................3

四、1升属公式......................................................................3

五、辅助角公式....................................................................4

常用二级结论......................................................................4

03探究核心题型....................................................................6

题型一:两角和与差的三角函数公式.................................................6

题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用...........................................8

题型三：辅助角公式的多种应用.....................................................10

题型四：给值求值型问题...........................................................13

题型五：给角求值型问题...........................................................16

题型六：给值求角型问题...........................................................18

题型七：正切恒等式的综合应用.....................................................22

题型八：三角函数式的化简.........................................................24

题型九：三角恒等变换的综合应用..................................................28

04好题赏析（一题多解）..........................................................32

①数形结合.......................................................................36

②转化与化归.....................................................................38

③分类讨论.......................................................................39

06课时精练（真题、模拟题）......................................................41

基础过关篇.......................................................................41

能力拓展篇.......................................................................53

1/55

01课标要求

1、会推导两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.

2、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.

3、能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的

恒等变换.

2/55

02落实主干知识

一、两角和与差公式

@cos(cr-/?)=cosacosp+s\nasinp；(3)sin(a-fl)=sinacosp-cosasinp；

@cos(a+fl)=cosacos/?-sinasinfi；©sin(a+/?)=sinacos^+cosasinp；

⑤tan(a+/?)=3n"3.变形公式：tana+tanp=tan(a+0)(1-tanatan£)：

1-tanatanp

tan

⑥tan(<7-/?)=,an。_^:变形公式：tana-tan4=tan(a-/?)(1+tanatanp).

1+tanatan0

二、二倍角公式

①sin2a=2sinacosa；

@cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-I=1-2sin2a:

③tan2a=

1-tan'a

三、降零公式

.1-cos2a

®sin2a=-------------

1+cos2cr

②cos2a=

F

(3)sinacosa=—sin2a.

四、升鬲公式

①l-cos2a=2sin2a,

@1+cos2«=2cos2a：

(3)1+sin2a=(sina+cosa)2,

(4)1-sin=(sina-cosa)2.

3/55

五、辅助角公式

asinx+bcosx=\Ja2+//sin(x+(p).

①其中辅助角9是由方程tan°=2,sin(p=,,CQS(P=,U.决定

a>Ja2+b2>Ja2+b2

②正弦在前，余弦在后(确保系数4,b不会弄反)

③利用系数算出所填角度的正切，正弦(余弦)，决定所填角度的确切象限.

④保证A>0,<y>0.

常用二级结论

1、积化和公式

①sina•cos£=；[sin(a+£)+sin(a一/3)]

②cosa•cosp=；[cos(a+/?)+cos(a-p)]

③sina•sinp=g[cos(a-/7)-cos(a+4)]

2、和化积公式

①sina+sin/=2sin"；"ccs"J

②sina-sinp=2cos"”sin———

22

@cosa+cos/?=2cos18s

.a+p.a-p

cosa-cosp=-2sin-^-sm-

3、化简小技巧：

①l的代换；1-tanq-sin2a十co6。；

4

兀

.…tan—+tanx

cosx+sinx1+tanxA/兀、

@---------------=-----------=-----------------=tan(-+x).

cosx-sinx1-tanx,.4

1-tan—tanx

4

4、两角互组，两角互补，两角互余

①两角互组：。+6=2兀

4/55

sina=-sin0

cosa=cos/7

tan«=-tanp

②两角互补：a+。=R

sina=sinp

-cosa=-cos/?

tana=-tanp

③两角互余：a+/?=]

sina=cos夕

cosa=sin0

I

tana=-------

tanp

5/55

03探究核心题型

题型一：两角和与差的三角函数公式

【典例1-1】(2025•海南•模拟预测)若cos(a-0=Jcos2&=1，且a为锐角，6为钝缸贝]

13J

cos(a+6)=()

人5+24及n5-24立

3939

c12+I0V212-10x/2

3939

【答案】B

【解析】由题意可知，/＜兀，

所以一兀<。一£<0,cos(a-0)=，,得sin(a-4)=---,

L13

又0<2。<兀，且cos2a='，所以sin2a

33

cos(a+/?)=cos[2(2-(«-/?)]

=cos2acos(a-/7)+sin2asin(a-P)

152>/2f1215-24及

=-x—+----x----=---------.

3133I13j39

故选：B.

且焉=33+总,则（

【典例1-2】(2025・高三・云南・期口)己知)

\乙)2,

A.2a+夕=1B.2a-夕=1C.2fi+a=yD.2万-a=]

【答案】C

【解析】因为7"^=lana+—,所以吧,HPcos/ycos<2=sin/7+sin/?sincr,

tanpcos<2sin尸cosa

整理得cos(a+£)=sin户,即cos(以+£)=cos'-夕);

因为ac(0,5,万©(。仁，

由于a+夕«0,兀),,可归)，

6/55

jr7T

所以a+夕=5-〃，即24+0=5,

故选：C.

【解题总结】

（1）使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.

（2）使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.

【变式1・1】（2025•广东深圳•二模）若cos（a+：）=q,ae（。，1），贝Usina=

)

A.正B.述C,在

1()1()5

【答案】A

因此sina=sin卜+：卜兀

4

4V23x/2V2

—X------X---=---

525210

故选：A.

【变式1・2】sin165白cos756cosl5fisin105的值为()

I/?

A.0B.-C.—D.1

22

【答案】D

【解析】

sin165Acos75^cos15白sin105。sinQ80。15靛os75+cos15葡nQ80-75)

=sin15鞍os75+cos15鞫n75=sin45。75&1,

故选：D.

【变式1・3】（2025・山东潍坊・二模）已知角a的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，其终

边与圆O交于点/（3,4）.若角。终边沿逆时针方向旋转角0,交圆。于点8,则角0可能为

()

A.75°B.105°C.375°D.405°

【答案】D

【解析】因为角。的终边与圆。交于点力（44）,

7/55

34

所以由任意角三角函数定义得cosa=g,sina=-,

（方7万

设旋转后的角为/，且旋转后的角交圆。广点8-芋早

则由任意三角函数的定义得85〃=-1|，$汕夕=陪，

4Hzi|.z.、7后3y/2425/"6

得到sin0=sin(B-a)=------x——(-------)x—=--------=—»

105105502

8S”8S(fi-a)=(-包)3+也C

105105502

故9=45。+2h180。,女62,当％=1时，。=405。，故D正确.

故选：D

题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用

【典例2・1】(2025•广西•模拟预测)已知3cos(2Q+£)-2COS£=0,则tanatan(a+£)=()

A.-B.5C.—D.—5

55

【答案】A

[解析】因为3cos(2a+夕)-2cos夕=0,

所以3cos(a+/?+a)-2cos(a+4-a),

所以3cos(a+/?)cosa-3sin(a+£)sina=2cos(a+/?)cosa+2sin(a+/?)sina,

即cos(a+6)cosa=5sin(a+[)sina,

所以5tan(a+0tana=l,即tanatan(a+〃)=<

故选：A.

【典例2・2】（2025•云南•模拟预测）下列选项中，值为G的是'：）

A.4sinl50cosl5°B.2(cos46°cosl60-sin46osin16°)

_1+tan15°

C.-------------D.8cos100cos200cos40°

1-tan15°

【答案】C

【解析】A、利用二倍角公式sin20=2sin0cos。,

可得：4sinl50cosl5°=2-2sinl5cos15。=2sin30=2・Ll,A错误.

2

8/55

B、利用余弦和角公式cos(4+A)=cos/icosA-sin/isinB,

得：cos46cos160-sin46sinl6=cos(46+16”)=cos62因此原式为：2cos62°q20.4965=0.939wG,B

错误.

C、利用正切和角公式tan（4+8）=言公翼，令4=45',8=15°,

则匕11(45。+15。)=121160。=百=匕四”，C正确.

[7l-tan15°

D、利用递推积化和差公式,ino'sin8^=8sin6?coscos2^cos4^,得:

8cosl0cos20cos40;翳=罂-671*C

D错误.

故选：C.

【解题总结】

逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.

【变式2・1】(2025・江西・二模)已知cosa-cos/?=；,sina-sin/?='^,则cos(7?-a)=()

A4I41C.-竺c49

A•一五B.—D.—

727272

【答案】B

【解析】由cosa-cos£=；有，(cosa-cos£/=(3),即cos%-2cosacos£+cos2夕=[①，

由sina-siny”等有，(sina-siM^J等),即sin7-2sinasin〃+sin/=[②,

,,,,]3

①+②得，cos2a+sin2a+cos2/?+sin2/7-2(cosacos/?+sinasin/7)=+，

BP2-2(coscrcos/?+sindfsiny9)=—,则2-2cos(夕-a)=」,解得cos(6-a)=」.

363672

故选：B.

【变式2・2】（2025•湖南长沙•三模）已知/€（（）微），且⑶皿血勺表，则（）

2

A.3a-ft=B.2a+/7='C.3a+#=/D.2a-0=3

【答案】D

【解析】因为lana=tan4+」万，所以网q=止乎，

cospcosacosp

所以sinacos/7=cosa+cosasin/7,即cosa=sinacos0-cosasinp=sin(a-Q),

9/55

所以sin（a-£）=cosa=sin］一。J，

因为1e（0，M，所以」<a_"<E,0<--a<-,

I2；\2）2222

因为正弦函数y=sinx在上单调递增，所以a-/=5-a,即2。-夕=；.

1zz

故选：D.

【变式2・3】（2025・四川成都•模拟预测）已知sin（a-Q）cosa-cos（p-a）sina=］,夕是第三象限角，则

sm［夕+彳）的值为（）

A.①B.迪C.一交D..迪

10101010

【答案】B

【解析】sin（a-〃）cos&-cos（1一a）sina=sin［（a-/7）-a］=-sin/=（,

34

.•.S］n/7=-j,又〃是第三象限角，.•.cos〃=—

八一.5吟,_5兀々.5兀（34M42}7j2

A^nusinl^+―l=sin/?cos—+cos^siih-^=1——N--

故选:B

【变式24］（2025•河北•模拟预测）V2sin2025°+tan2025°=（）

A.2B.1C.0D.-2

【答案】C

［解析Jx/2sin202s+tan202s=41sin22s+tan225=-!+1=G

故选：C.

题型三：辅助角公式的多种应用

【典例3・1】已知sin6+sin(e-1=1,则sin20+1)=.

【答案】；

【解析】因为sine+sin(9-力=1,所以An"正cos6=l,

I3J22

10/55

所以瓜己

in,-=1,HPsin0--=—f=,

6/v3

即l-cos12e一(

所以sin[e—^)=",解得cos26-窜=针

63

3

Ttcc兀71cc兀

所以sin(20+2=sin—+20——=cos20—1

2I3J

故答案为：(

【典例3・2】已知关于x的方程《曲—8立=用在［0,可上有两个不同的实数解，则这两个解的和为

【答案】y

［解析】因为sinx-cosx=m，

月亍以m=V2sin

关于x的方程sinx-cosx=用在［0,兀］上有两个不同的实数解,

以在［0,兀］上的图象有两个不同的交点,

即直线y,=m,y2=42sinx-

上的对称轴为“考

故答案为:当

【解题总结】

对asinx+bcosx化简时，要清楚如何求辅助角3的值.

【变式3-1】已知sina-cos(a-今1则cos(2a-等的值为

3

【答案】X7

1.I.n]_

［解析】•・:sina-cosa——=sma-cosa+-sina=-sina-——cosa=sina——

l6J22223J3

2a—当;7

=l-2sin[a--»2x印=—，

3JI3J9

故答案为：三

11/55

【变式3・2】（2025・高三•河北•开学考试）已知实数为，/，必，为满足：m+弁=4,*+贡=9,

中；+凹必7+三T，则（凝-X2）?+（必-M）2的最大值为一,

【答案】13+473/473+13

【解析】依题可设%=2cosa,乂=2sina,x2=3cos/?,y2=3sin^,

由小马+必必=芭+占一]，可得6cos（a-6）+1=2cosa+3cos尸.

而（再一%2>+（必一％）2=13-2（石再+yM）=13-12cos（a-£）,

可先求cos（a-£）的最小值，

设了=a-〃，则6cos/+1=2cos（。+/）+3cos夕，

从而有

|6cos/+11=|（2cos/+3）cos/?-2sin/sin/?|=7（2cos/+3）2+（-2sin/）2|cos（/7+^?）|

<^13+12cos/,

因此（6cosy+1）:<13+12cos/,

解得一巫<cos/<—.

33

2

贝ij（M-々）2+（y]-y2）=13-12cosy<13+4百，

可知（阳-、2-+（必-为尸最大值为13+45/1

故答案为：13+46.

【变式3・3】（2025・高三・辽宁•开学考试）已知。也c均为正数，a2+b2=2,则五（2右一。卜28的最大值

为一

【答案】M

【解析】因为五（2八一五）+2/）=—（五一G）+a+2b<a+2bf

当且仅当无=石，即。=。时，等号成立，

又因为+&2=2,4>0/>0,设a=夜850力=x/?sin”0e（0,]）,

则4+26=\[2cos0+141sin0=1咚cosO+^^sin0=Vitsin（0+°）,

其中sin°=咚,cos（p=~~~，

可知a+2b的最大值为Vio，其中e+0=§,BP0=——（p,

12/55

A^sin(p-^^-,b=\§-sin2师

可得Q=&cos»卜=\£cos^=

Vio.2>/10

综上所述：州2&-冈+2〃的最大值为加，其中0c=-----.b=:-------

5'5

故答案为：M.

题型四：给值求值型问题

【典例4・1】（2025•黑龙江吉林•模拟预测）已知tan（a+：n）=2,则sin（2a+：）的值为

4J

【答案】运

10

【解析】囚为tan（a+：J=2,

tancr+1加1

M即rl-------=2,解得tana=-,

1-tana3

所以sin(2a+四=­i

(sin2a+cos2a)

4J2

A2sinacosa+cos2a-sin2a

=—x

2cos2a+sin2a

412tana+1-tan2a

=——x--------------；---------

21+tan'a

一，

国2x-+1——1

_3____9

214

9

7V2

~io-

141

故答案为:

To-

【典例4-2】已知a,夕满足sina="，tan/?=2,则cos2a+sin2/7=

3

__61

【答案】石

45

【解析】由sina=,tan/?=2,

3

13/55

2s:n/7cos/7,c22tan/?5461

有cos2cr+sin2/?=l-2sin2cr+—l-2x-+—^―=-+-=—.

sm?0+cos%9tan-^+19545

故答案为:爱

【解题总结】

⑴当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知凭”的和或差的形式.

⑵当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式

把“所求角''变成"已知角”.

【变式4・1】（2025・高三•广东深圳•期末）已知a€（0,7i）,cos（a+tVio,则cos(2a-^

~io-

3

【答案】1/0.6

兀7兀1.(兀n

【解析】因为ae（。㈤'所以a+/，乂cos|a十二

66J6

所以0+^716,所以sinfa兀

a+—

62)6

所以sin21+前

cosa+—=

6;l5

所以cos2a-[卜cT兀t兀・—1兀.3

cos2a+------=sin2a+—

6)26

7

故答案为：不

7T=坐，则sin(aP_

【变式4・2］已知/€卜去0的值

4

为.

【答案】见心任

99

【解析】「.a

4

5+立述,sin工0=纥

4J3E23

1-sin21a+兀心石

/.COSa+~=一，cos-.--=--

（评卜卜“y卜3

in(a+?)=sin[(

.'.sin

14/55

2x/2N/3x^61x/6

=---------X--------------------X—=--------・

33339

故答案为：

9

【变式4-3］若二和户都为锐角，cos(«+/?)=-^y-,cosasin/?=>则sin(a-0二

【答案】旦

10

【解析】因为a和4都为锐角，则。+尸«0,兀）,

且cos(a+尸)=等^，可得sin(a+/?)=J1-coS(a+?)~~~»

所以sin(a-/?)=sinacos/?-cosasin/?=sir(a+0-2cosasin/7.

故答案为：旦

10

【变式44］已知0<〃<a<巴，cos(a-/7)=-,cosacos尸=',则---------二

252tanatanp

【答案】-2

,、43

【解析】由题意可知cos(a-0=—=cosacos/?+sinasin〃，所以sinasin/?=—,

510

csin<7sin(53

即tanatan［i=--------------=-

cosacos£5

又。<夕<。<巴，所以四>a一夕>0,sin(a-7?)=yj\-cos2(a-fl)=-,

225

/0、3tana-(anZ?

则tan(a-4)=_=---------------

41+tancrtanp

所以tana-tan,

_6

所以」L-Tana二I.

tanatan/?tanatanp3

5

故答案为：-2

15/55

题型五：给角求值型问题

【典例5-1】1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比

定义正割，余割和余切.在某直角三角形中，一个锐角夕的斜边与邻边的比，叫做。的正割，用sec，表示:

其斜边与对边的比，叫做。的余割，用esc。表示；其邻边与对边的比，叫做。的余切，用cot。表示，则

cot20°(V3cot70°-l)

)

sec100

A.1B.C.2D.-2

【答案】B

【解析】依题意可得secl00=——,cot20°=—!—,cot70c=—!—

cos100tan200tan70°

1(Gcos20°fV3cos70°

COt206cot70°-ijtan20Jan70°---------------------1

所以。(。sin20°sin70°

sec10°1~r

cos10°coslO0

cosl()°cos2006cos700-sin70°

sin20°sin70°

cosl00cos20°\^sin200-cos20°

sin200cos200

（道

cosl0°(V3sin20°-cos20°)28s1°°sin200--cos20°

22

sin20°sin20°

2cosl0°sin(20°-30°)-2cos100sin100-sin20°1

=-----------------------=------------------=---------=-1

sin20°sin20°sin200

故选：B

【典例5。⑵25・湖南永州•模拟预测）正喘二1的值为（）

A.2B.4C.-2D.-4

【答案】D

>/3sin10"

^tanlO-12sin(10-30j

cos]o°百sin100-cos10°2sin20^彳

【解析】1-------=今

sin100sin10sin10cos10isin20

-sin200

22

故选：D.

【解题总结】

给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.

16/55

【变式5・1】（2025・重庆•模拟预测）式子2、ml8（3cossin9一1）化简的结果为（）

cos6+V3sin6,

A.yB.1C.2sin9D.2

【答案】B

2sin18(3cos29-sin29-cos29-sin29)

【解析】原式二

2sin(6+30)

2sinl8(2cos”-2sin29)_2sin18cos18二sin36,

2sin36。-sin36。-=sin36。

故选:B.

【变式5・2]tan1()。+——=____.

cos500

【答案】百

,1sin10°1sin10°sin40°+cos10°

【r/解7析】Jtan1I0A°O+-------=-------+-------=------------------------

cos500cos100sin40°cos10°sin40°

sin10°sin400+sin80°_sin10°sin400+2sin40°cos40°_sin100+2cos400

cos10°sin40°cos100sin40°cos10°

sin100+2•—cos10°--sinl00

sinl00+2cos(300+10。)_[22

cos10°cos10°

_\^3coslO0_石

cos100

故答案为：Vs.

【变式5-3】求值：cos—cos-cos—cos-cos-=.

1111111111-----

【答案《

,2n.4n.6兀.8兀.l()n

sm—sin—sin—sin—sin—

F力我L一.盾#-1111111111

_.2TIC.3兀3.47rr.5兀

2sin一2sin—2sin——2sin—2sin—

1111111111

.10兀.8兀.6兀

sin---sin—sin—

1111111

7.7T.3n.57T

sin——sm—sin-

1111II

.7t.3n.5n

sin—sin—sin—

1111111,1

=.7t.3n.5n2s32

ysin—sin—sin—

111111

17/55

方法二：令原式乘以2,sin。得,

T.兀兀2兀3兀4兀5兀.2兀2兀3兀4兀5兀

2sin—cos—cos——cos—cos——cos—sin——cos——cos—cos——cos—

11111111111111111111II

得.4兀37r47r5n.87r3九5兀

=2sin——cos—cos——cos—=2'sin—cos—cos—

1111II11111111

3兀13n5兀.3n3兀5716兀571

=22sin——cos——cos——=工sin-cos-cos2sin-eos

11J11111111iT*11iT

,7T

sin—]

则原式=—口一二不1

・兀2'32

2sin—

II

故答案为：

【变式5Y](l+laiiln)(l+taii2n)••…(1+tan44n)(l+(an45n)=

【答案】2”

【解析】由正切的和角公式得若。+々：，则（l+tana）（l+tan0=2,再根据此结论求解即可得答案

tana+tan尸

«+/?=-,tan(a+Z?)=

41-tana-tan

tana+tan/?+tana«tan夕=1,

:.(I+tana)。+tan尸)=2.

.­.(14-tanl°)(l+tan2°)•…・(l+tan44°)(l+tan45°)

=(1+tan1°)(1+tan44°)(1+tan2°)(1+tan43°)・…・(1+tan22°)(l+1an23°)(l+tan45°)=…R=223

23个

故答案为：2口

题型六；给值求角型问题

14

【典例6・1】已知a,夕€（0,兀），且tana=—,cos〃=一，则。+尸=（）

75

兀3兀_it

A.—B.—C.-D.

446

【答案】A

14

【解析】因为。，夕e（0,冗），且tana=,,cos/?=一，

18/55

所以a,/?4(),]

所以sin”乌cosa二喳si"」,

1()1()5

所以8s("0=3℃3所加〃“二噜4W4,

因为a+/e（0,兀），所以a+/=£,

4

故选：A.

4

【典t例6-2