三角函数的计算 同步练习-2025-2026学年北师大版九年级数学下册

2025・2026学年北师大版九年级数学下册《1.3三角函数的计算》

自主学习同步练习题（附答案）

一、单选题

1.下列计算结果是有理数的是（）

A.1-|1-V3|B.V2cos45°C.sin60°-1D.3tan30°

2.已知cos4>号则锐角乙4的取值范围是（）

A.0°<<30°B.30°<LA<90°

C.0°<Z.A<60°D.60°<LA<90°

3.已知a为锐如月.cos（90。一a）=｝则sina的值为i）

V3421门6

AA.——DB.—rC.-D.——

3222

4.已知a、夕均为锐角，且满足卜ina-'+J（tan3-1]=0,则a+夕=（）

A.45°B.60°C.75°D.105°

5.利用科学计算器计算gcos35。，下列按键顺序正确的是（）

PT1国白固|T|口||二|

r\・

D•nn国nn询nnnn口

cr~nI~Inn回nni§ii=।

国nnnn由nnHHE

6.将三角尺按如图所示的方式放置在一张矩形纸片上/£TG=90。，EG=2FG,乙1=73°,

A.73°B.77°C.83°D.88°

7.如图，点A为反比例函数y=：(kHO)图像上一点，B、C分别在x、y轴上，连接A8与

丁轴相交于点Q，已知sin匕以0=cos408。=争且△ABC的面积为2,则攵的值为()

A.2B.-2C.-4D.4

二、填空题

8.计算：2sin30°+V2cos450=.

9.如果a是锐角，sina=1,那么cos(90。一a)=.

10.在△4BC中，若cos/l=遗，tanB=1,则乙。=_。.

2

11.计算：V2sin450-2cos30°+7(1-tan60°)2=.

12.在等腰三角形ABC中，AB=AC,sinF=点。是BC边上一点,若CD•BC=AC2,则“DB

的度数为.

13.已知sin(a+/?)=sinacos/?+cosasin/?,请利用特殊角三角函数值求sin75。的值

为.

14.如图，在矩形4BCD中，E是DC上一点，4E=AB,AB=2AD,则4EBC的度数是.

15.计算:

(1)sin45°—cos30°4-tan60°

(2)sin60°cos600+cos2450-sin30°cos30°.

16.求满足下列条件的锐角a

(l)sin(a+10°)=

(2)tan2a—2tana+1=0.

17.计算

(l)sin60°-cos30°+V2-sin45°-3tan230°

(2Man2600+4tan600+4-

18.先化简，再求代数式(六一鬻)+三的值，其中Q=2sin45。一tan45.

19.已知，RtlMBC中，0C=9O?.

(1)当团B=60。时，咚；当财=45。时，梦

AB

(2)当回8=2胡时，求母勺值;

(3)若AB=2BC,求助的度数.

20.若a,B为锐角且a+/?H90。时，现有公式：tan(a+/?)=；利用此公式求

解下列问题:

(1)求tan75。的值;

(2)若A,B为锐角且A+E=45。时,求(1+tan4)(l+tanB)的值;

⑶求(1+tanl°)(l+tan2°)(l+tan30)-(l+tan43°)(l+tan44。)的值.

参考答案

1.解:A、1-|1-V3|=1+1-73=2-V3,结果是无理数，故此选项不符合题意；

B、V2cos45°=^x^=l,结果是有理数，故此选项符合题意；

C、sin600-1=^-1=^,结果是无理数，故此选项不符合题意；

D、3tan300=3X=73,结果是无理数，故此选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查二次根式运算，特殊角三角函数，有理数.熟练掌握二次根式运算和特殊

角三角函数值是解题的关SL

2.C

【分析】根据特殊角的三免函数值求出cos6(r=5根据当乙4是锐角时，其余弦随角度的增

大而减小即可求解，

【详解】解团团乙4为锐角，且8560。=%

又团当乙4是锐角时，其余弦随角度的增大而减小，

00°<Z.A<60°,

故选回C.

【点睛】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意：当角是锐角时，

其正弦和正切随角度的增大而增大，余弦和余切随角度的增大而减小.

3.C

【分析】由。为锐角，cos[90。一Q)=根据cos6(r=；,即可求得90。一a=60。，则可求

得a的度数，继而求得sina的值.

【详解】解：cos(90°—a)=%

90°-a=60°,

•••a=30°,

•••sina=sin30°=

故选：C.

【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值.此题难度不大，解题的关键是熟记几个特殊角的

二角函数值，注怠整体思想的应用.

4.C

【分析】根据绝对值和二次根式的非负性即可求出sina和tan£,再根据特殊角的锐角三角函

数值求出*6,最后代入即可解答.

【详解】解：0|sina-1|+V(tan^-1)=0,sina-1|>0,7(tan/?-1)>0

Osina—^=0,tan£—1=0

Osina=ptan^=1

演，8均为锐角

0a=30°,p=45°

Ha+/?=75°.

故选c.

【点睛】本题主要考杳了非负性的应用、特殊角的锐角三角函数信等知识点，掌握绝对信和

二次根式的非负性以及特殊角的锐角三角函数值是解题的关键.

5.A

【分析】简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，根据按键顺序写出式子，再根据开方

运算即可求出显示的结果.

【详解】

解：利用该型号计算器计算|cos35%按健顺序正确的是：

□SDUBQR1E

故选:A.

【点睛】本题主要考查了计算器-三角函数，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握，

会根据按键顺序列出所要计算的式子.借助计算器这样的工具做题既锻炼了学生动手能力,

又提高了学生学习的兴趣.

6.B

【分析】根据题意可得sinE=2=j可得NE=30。，再根据三角形内角和的性质，即可求

EG2

解.

【详解】解：在△E/G中，Z-EFG=90°,EG=2FG,

团NE=30°,

由题意可得：z2=180o-zl-zF=77°,

故选B

【点睛】此题考查了三角函数的定义，三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握相关基

础知识，进行求解.

7.C

【分析】先根据sinz_C71O=cos4D8。=4，得4cli08,根据同底等高可以得到=

SMBC=2,即可求得A的值•

【详解】解：连结。4

•••lCAD=乙DB0=45°

•••ACWB

S^ACO=S4ABe=2,AC1y轴，

IM

-T=92

•••k=-4

故选C.

【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=:图象中任取

一点，过这一个点向人轴和），轴分别作垂线，与坐标轴同成的矩形的面积是定值|刈.

8.2

【分析】本题考查特殊角的三角函数值，实数的运算，先求出特殊角的三角函数值，再根据

实数的计算即可.

【详解】解：2sin30°+V2cos45°=2x1+V2Xy=1+1=2.

故答案为：2.

i

9.

2

【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，先求出a=30。，再代入即可求出答案.

【详解】解：团。是锐角，sina=

0a=30°,

0cos(9O0-a)=cos(90°-30°)=cos60°=

故答案为：：

10.105

【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，直接利在特殊角的三角函数值得出乙力=30。,

△8=45。，进而结合三角形内角和定理得出答案.

【详解】解：cosA=y>tanB=1,

AA=30°,Z-B=45°,

则4c=180°-30°-45°=105°.

故答案为：105.

11.0

【分析】本题考查了含有特殊角的三角函数解得计算，二次根式的化简，熟练掌握知识点是

解题的关键.分别代入每一个特殊角的三角函数值，去绝对值，再进行加减计算即可.

【详解】解:原式=&x当一2x4+|l—何

=1-V3+V3-1

=0,

故答案为：0.

12.60760g

【分析】本题主耍考查了相似三角形的判定和性质，特殊角锐角三角函数.根据特殊角锐角

三角函数可得=乙。=30。，再由=可得△力从而得到4CAD=

乙B=30°,即可求解.

【详解】解：如图,

A

团48=zC=30°,

^CDBC=AC2,

团CD:AC=AC:BC,

国乙c=乙c,

[2]△ACD^△BCAi

0ZC/1D=LB=30°,

0Z/IDF=ZC+/.CAD=60°.

故答案为：60°

〔_、反+遍

•4

【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，根据sin75。=sin（45。+30。）结合

公式计算即可.

【详解】解：由题意得，sin75。

=sin（45°+30°）

=sin300cos450+cos300sin45°

1V2V3V2

=—x--+--x--

2222

_您+6

一4'

故答案为：呼.

4

14.150/15度

【分析】首先根据题意得到cos54E=^=%求出54E=60。，然后根据三角形内角和

定理和等边对等角求解即可.

【详解】财E=AB,AB=2AD

04E=2AD

团四边形/BC7）是矩形

0ZD=90°

^ABAD=乙ABC=ZD=90°

而。s血八禁E

团N/Z4E=60°

^BAE=30°

BAE=AB

团4力BE=乙AEB=1(180°-Z.BAE)=75°

^LEBC=/.ABC-乙ABE=15°.

故答案为:15。.

【点睛】此题考查了解直角三角形，矩形的性质，三角形内角和定理和等边对等角性质，解

题的关键是掌握以上知识点.

15•⑴雪

喝

【分析】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)先分别化简每个特底角的三角函数，再运算加减法，即可作答.

(2)先分别化简每个特殊角的三角函数，再运算乘法和乘方，最后运算加减法，即可作答.

【详解】(1)解：sin450-cos30°+tan600

—+百

_V24-V3

⑵解：sin60°cos600+cos2450-sin30°cos30°

V31/V2?1V3

=TX5+(T)-5XT

V31V3

=---1-------

424

_i

"2,

16.(l)a=20°

(2)a=45°

【分析】本题考查了三角函数值，解一元二次方程等知识.

(1)根据sin(a+l(r)=5得到1+10。=30。，即可求出a=20。；

(2)根据tan2a—2tana+1=0,求出tana=1,即可求出a=45。.

【详解】(Q解:演为锐角，

00°<a<90°,

则10°<a+10°<100。，

0sin(a+10°)=

团a+10°=30°,

回a=20°,

(2)解：回tan2a-2tana+1=0,

团(tana—I)2=0,

0tana-1=0,

□tana=1,

13a为锐角，

回a=45°.

17.⑴：

（2）1

【分析】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解决本题的关键.

（1）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方、乘法，再算加减法，即可求解；

（2）先将特殊角三角函数值代入，再利用平方差公式进行分母有理化和完全平方公式进行

求解即可.

【详解】（1）解：sin60°•cos30°+V2-sin45°-3tan230°

7373^V2o

xv-3x

3

=4+1-1

3

4

2次sin45。

(2)解：Vtan2600+4tan60°+4-

tan60°-tan45°

2V2XV2

+4x/3+4-~2

V3-1

*i2

=J(V3+2)--^

/l、2(V3+1)

二(冉+2)-,_V.

i)(V3-1)(V5+1)

l26+2

=V3+2------=——

(V3)-l2

2Q十2

=V3+2-

3-1

2V3+2

=V3+2-

-2-

=V3+2-(V3+l)

=1.

18.工，包

a+12

【分析】本题考查了分式的化简与求值、特殊角三角函数的混合运算、分母有理化，熟练学

握相关运算法则是解题的关键.先根据分式的运算法则化简式子，代入特殊角的三角函数值

求出Q的值，再代入化简后的式子即可求解.

【详解】解：(告-等)+凸

\a-la2-l/a-1

3(a+1)2a+3a

~(a—l)(a+1)(a—l)(a+1)'a—1

3Q+3—(2Q+3)a

(a—l)(a4-1)a-1

_aa-1

(a-l)(a+1)a

i

=9

a+1

0a=2sin450-tan45°=2Xy-l=V2-l,

斓式=酒与空.

19.(1)1(2)-(3)30°

22

【分析】(1)根据三角函数的定义即可求出在Rt"8C中，当团8=60。时警的值和财=459时装

ABAC

的值.

(2)根据(3C=90。，班=2财可求得M的度数，后根据三角函数的定义可求出江的值.

⑶根据心9gA8=2BC,可求出言的值，后根据反三角函数的定义可求出M的度数.

【详解】(1)•.•在RtAABC中,06=902,

•，•当回8=60。时，cosz.5=cos600=77=