山东省青岛市市南区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷（含答案）

山东省青岛市市南区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1.下列图各组数中，是勾股数的是（）

A.6,8,12B.0.6,0.8,1C.8,15,16D.9,12,15

2.下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）

A.ZA=ZB+ZCB.a：b：c=5：12：13

C.a2=(b+c)(b-c)D.ZA：ZB：ZC=3：4：5

3.如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形

面积为25,（x+y）2=49,用x,y表示直角三角形的两直角边（x>y）,下列选项中正确的是（）

A.小正方形面积为4B.x2+y2=5

C.x2-y2=7D.xy=24

4.如图，数轴上点A所表示的实数是（）

C.2-V5D.2

C-J(-21=2

A.4V3-3V3=1B.V2+V3=V5D.3+2A/2=5V2

6.点P(a-2,a+1)在x轴上，则a的值为(

A.2B.0C.1D.-1

7.一条公路旁依次有A,B,C三个村庄,甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、

乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：①A,B两村相距10km；

②甲出发2h后到达C村；③甲每小时比乙多骑行8km；④相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相

距4km.其中正确的是（）

10

C.①②④D.①②③④

8.若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx-k的图象只能是图中的（）

二'填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

9.已知直角三角形的两边长分别为3cm和4cm,则第三边长为

10.有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值是

11.实数a,b在数轴上的位置如图所示，贝！||b-aHa+b|=

12.已知y=（m+3）%/-8+3是一次函数，则m=.

13.如图，在桌面上的长方体ABCD-EFGH中，长AB为8米，宽BC为6米，高BF为4米，点M在棱

HG上，且HM=3MG.一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬到M点，则它爬行的最短路程为

14.如图，在平面直角坐标系中，点Ai,Ai,A3,…都在x轴上，点Bi,B2,B3,...都在直线y=x上，

OA1=1,且△B1A1A2,B2A2A3,B3A3A4,…,△BnAnAn+1,…分别是以Al,A],A3,…，An,…为直角顶

点的等腰直角三角形，则4BwAioAn的面积是

三'解答题(共9小题，满分78分)

15.计算

(1)V5xV2^3V5x^；

(2)V12xV3-^

V2

⑶(V24-J|)V2

(4)2^1—14电―口

16.如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(0,1)、B(2,0)、C(4,3).

(1)在平面直角坐标系中画出△ABC,则△ABC的面积是A；

(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为；

(3)已知P为x轴上一点，若AABP的面积为1,求点P的坐标.

17.如图，点D在△ABC中，NBDC=90。，AB=6,AC=BD=4,CD=2.

(1)求BC的长；

(2)求图中阴影部分的面积.

18.已知6a+34的立方根是4,5a+b-2的算术平方根是5,c是9的算术平方根.

(1)求a,b,c的值；

(2)求3a-b+c的平方根.

19.甲、乙两家体育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定价20元，乒乓球拍每副定价100

元.现两家商店都搞促销活动，甲店每买一副球拍赠两盒乒乓球，乙店按八折优惠.某俱乐部需购球拍4

副，乒乓球＞10)盒.

(1)若在甲店购买付款'尹(元)，在乙店购买付款丫乙(元)，分别写出y尹，y,与x的函数关系式.

(2)若该俱乐部需要购买乒乓球30盒，在哪家商店购买合算？

20.甲、乙两车早上从A城车站出发匀速前往B城车站，在整个行程中，两车离开A城的距离s与时间t的

对应关系如图所小.

(2)求甲、乙两车的速度分别是多少？

(3)乙车出发多长时间追上甲车？

(4)从乙车出发后到甲车到达B城车站这一时间段，在何时间点两车相距40km?

21.小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.

下面是小丽的探究过程，请补充完整:

(1)具体运算，发现规律，

特例L31=再=31=2电

特:％可厚=汨=3位

特:3：=

特例4：.(填写一个符合上述运算特征的例子)；

(2)观察、归纳，得出猜想.

如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：

(3)证明你的猜想；

(4)应用运算规律化简：(2022+X74048=.

(1)如图1,长方体的长为4cm,宽为3cm,高为12cm.求该长方体中能放入木棒的最大长度；

(2)如图2,长方体的长为4cm,宽为3cm,高为12cm.现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点

G处，求它爬行的最短路程；

(3)若将题中的长方体换成透明圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm,在

容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处.求蚂

蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？

23.如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点B(-5,0),与y轴交于点A,直线y=gx+4

过点A,与x轴交于点C,点P是x轴上方一个动点.

(2)若点P在线段AB上，且SAAPC=SAAOB,求点P的坐标；

(3)当SAPBC=SAAOB时，动点M从点B出发，先运动到点P,再从点P运动到点C后停止运动.点M

的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为t(秒)，请直接写出t的最小值.

四、附加题(共2小题，满分0分)

24.我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b?=(a±b)2,知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2

=(V2)2,3=(V3)2,7=(V7)2,0=02,那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下

面的题：

例：求3-2金的算术平方根.

解：3-2/=2—2&+1=(企/一2/+仔=(鱼一1下，；.3-2近的算术平方根是/-1.

你看明白了吗？请根据上面的方法化简：

⑴V3+2V2

（2）J10+873+272

(3)V3-2V2+V5-2V6+77-2712+79-2V20+711-2V30

25.在如图的平面直角坐标系中，直线n过点A(0,-2),且与直线1交于点B(3,2),直线1与y轴交于

点C.

(1)求直线n的函数表达式；

(2)若小ABC的面积为9,求点C的坐标；

(3)若△ABC是等腰三角形，求直线1的函数表达式.

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：A：62+82=100,122=144,62+82#122,故不是勾股数,A错误;

B：0.6、0.8不属于正整数，故A错误；

C：82+152=289,162=256,82+15V162,故不是勾股数，C错误;

D：92+122=225=152,故是勾股数，D正确.

故答案为：D.

【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此判断.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：A、・••NA+ZB+NC=180°,ZA=ZB+ZC;ZA=ZB+NC==90。，；.△ABC

是直角三角形，故A不符合题意；

B、・•・52+122=132,是直角三角形，故B不符合题意；a2=(b+c)(6-c)=b2-c2,变形可得

a2+c2=星，...△ABC是直角三角形，故C不符合题意；

24

C、・・・44ZB：ZC=3：4：5,Z^+Z.B+ZC=180°,・・・=君x180。=45。，zB=x180°=60°,

NC=180。=75。，.・・△/BC不是直角三角形，故D符合题意，

故答案为：D.

【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐一分析判断.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：根据题意可得：%2+y2=25,故B错误，

*.*(x+y)2=49,,..2xy=24,故D错误，

(%-y)2=1,故A错误，

v(x+y)2=49,(x—y)2=1

/.x+y=7,x—y=1

x2—y2=7,故C正确；

故答案为：C.

【分析】根据勾股定理，结合算术平方根与平方差公式求解.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：由勾股定理，得斜边的长为万千=遍，

由圆的性质可知，点A到-1的距离为遥，

故点A表示的数为花-1,

故答案为：B.

【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据圆的性质可得点A到-1的距离为斜边的长，再写出点A表示

的数即可.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：A：4V3-3V3=V3^1,计算错误，不符合题意；

B：V2+V3^V5,计算错误，不符合题意；

C：](—2)2=2,计算正确，符合题意；

D：3+2&。5奁，计算错误，不符合题意；

故答案为：C.

【分析】根据二次根式的加减法则，二次根式的性质，同类二次根式计算求解即可。

6.【答案】D

【解析】【解答】解：,••点P(«-2,0+1)在x轴上，

67+1=0,

解得：0—1,

故答案为：D.

【分析】根据无轴上的点纵坐标为零可得4+1=0,再解即可.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：由图象可知，当t=0时，s=10,

则A,B两村相距10km,结论①正确；

由函数图象可知，甲的速度大于乙的速度，在t=1.25时两人相遇，然后在t=2时，甲到达C村，之

后两人之间的距离开始减小，则结论②正确；

甲每小时比乙多骑行的路程为10-1.25=8(/cm),则结论③正确；

乙的速度为d2=12(km/h),甲的速度为12+8=20(Mn/E),

当两人相遇后，甲未到达C村时，20fl2义6。=30(min),

当两人相遇后，甲已到达C村时，30+[2-(1.25+于工R+譬]X60=55(min),

zu—1ZiZ

综上，相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相距4km,结论④正确；

综上，正确的是①②③④，

故答案为：D.

【分析】根据t=0时S的值可判断①；先根据函数图象可知甲的速度大于乙的速度，在t=1.25时两

人相遇，然后在t=2时，甲到达C村，由此可判断②；根据在t=1.25时两人相遇即可判断③；分相

遇后，甲未到达C村、相遇后，甲已到达C村两种情况，根据甲、乙两人的速度求解即可判断④.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：•.•直线y=kx+b经过一、二、四象限，

Ak<0,b>0

.\-k>0,b>0,

.•.直线丫=6*-卜的图象经过第一，二，三象限.

故答案为：B.

【分析】直线y=kx+b(kM),当k>0,图象必过一三象限；k<0,图象必过二四象限，当b>0时，图像必

过第一二象限，当b<0时，图像必过第三四象限，由此可得到k,b的取值范围，即可得到-k,b的取值范

围，从而可推出直线丫=6*-]<的图象经过的象限，即可得到符合题意的选项.

9.【答案】5cm或77cm

【解析】【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，

第三边的长为：742-32=V7：

②长为3、4的边都是直角边时，

第三边的长为："m=5；

.♦.第三边的长为：夕或5,

故答案为：V7或5.

【分析】根据勾股定理求解。分两种情况计算：第三边是斜边或第三边是直角边.

10.【答案】V2

【解析】【解答】解：当输入是16时，取算术平方根是4,4是有理数；

再把4输入，4的算术平方根是2,2是有理数；

再把2输入，2的算术平方根是鱼是无理数，

所以输出是鱼.

故答案为：V2.

【分析】根据算术平方根的定义，结合数值转换器计算。先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数

的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出.据此作答即可.

1L【答案】2b

【解析】【解答】解：根据实数a、b在数轴上的位置可以确定a<0<b,|a|>\b\

/.b-a>0,a+b<0.

••\b—ct|—\CL+b\—b—a+a+b—2b,

故答案为：2b.

【分析】根据实数a、b在数轴上的位置确定a与b之间的大小关系，再去绝对值计算.

12.【答案】3

【解析】【解答】由题意得，血2_8=1,解得巾=±3,

又•；?n+3H0,所以m—3

故答案为3.

【分析】根据一次函数的定义，可得加2一8=1,m+3H0,解出即可.

13.【答案】2闻

【解析】【解答】解：：长方体ZBCD—EFGH中，长AB为8米，HM=3MG,

:-HG=8,HM=6,MG=2,

(1)如图，把长方体沿前面与上面展开，过M作MK14B于K,

则MK=BG=BF+FG=10,AK=HM=6,

(2)如图，把长方体沿左边面与上面展开,

贝3)=BC=6,MD=HM+DH=10,

-'-AM=V62+102=V136=2后，

(3)如图，把长方体沿左边面与后面展开，过M作MK1DC于K,

则MK=4E=4,4K=EM=EG—MG=6+8—2=12,

■'-AM=V122+42=V160=4V10，

而＜V160，

一只蚂蚁从4点出发沿长方体的表面爬到M点，则它爬行的最短路程为2房米，

故答案为：2回.

【分析】根据长方体的表面展开图，结合两点之间线段最短和勾股定理求解。分三种情况讨论：把长方体沿

前面与上面展开，把长方体沿左边面与上面展开，把长方体沿左边面与后面展开，再利用勾股定理求解.

14.【答案】217

【解析】【解答】解：•••OAi=l,

.•.点Ai的坐标为(1,0),

B1A1A2是等腰直角三角形，

/.AiBi=A1A2=OAi=l,

ABi(1,1),B1A2=V2,

B2B1A2为等腰直角三角形，

」.A2A3=2,B2(2,2),

9

同理可得，B3(22,22),B4⑵,23),…Bio(2，2),

•,^IO-^IO=Aio411=2、

9917

•••SABIOAOAII=2^10^10xAwAn=x2x2=2.

故答案为2”.

【分析】根据等腰直角三角形的性质，结合勾股定理和一次函数的性质求解。根据OAi=l,可得点Ai的坐

标为(1,0),然后根据AB1A1A2,AB2BIA2,△B2A2A3,△B3B2A3…都是等腰直角三角形，求出A1A2,

BIA2,A2A3,B2A3…的长度，然后找出规律，求出ABioaoAii的面积即可.

15.【答案】(1)解：原式=(1x14-3x1.)"\/5x2+5x2=：XV?=:

(2)解：原式=#12X3―J^=6-7=-l

(3)解：原式=,24+2—fexJ=2V3--/3_11/^

(4)解：原式—277+2=夕一2V7+2=2-V7

【解析】【分析】(1)根据二次根式的乘除运算法计算；

(2)根据二次根式的混合运算法则计算，先算乘法和除法，再算加减法；

(3)利用多项式除以单项式的法则，结合二次根式的除法法则和加减法法则计算;

(4)根据二次根式的混合运算法则计算。先算乘除法，再算加减法。

16.【答案】(1)解：如图所示:

4

(2)(-4,3)

(3)解：为x轴上一点，AABP的面积为1,

；.BP=2,

.••点P的横坐标为：2+2=4或2-2=0,

故P点坐标为：(4,0)或(0,0).

【解析】【解答］解：(1)解：SAABC=3x4-1xlx2-1x2x3-|x2x4=12-l-3-4=4；

故答案为：4；

(2)解：点。与点C(4,3)关于y轴对称，则点。的坐标为(—4,3);

故答案为：(一4,3);

【分析】(1)先在坐标系内描点A,B,C,再顺次连接即可得到三角形，再利用长方形的面积减去周围三个

三角形的面积即可；

(2)根据关于y轴对称的点的坐标规律求解。关于y轴对称点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标不

变可得答案；

(3)由P为x轴正半轴上一点，AABP的面积为1,可得;BP-y4=l,从而可得答案.

17.【答案】(1)解：•；NBDC=90。，BD=4,CD=2,：.BC=血加+加="+"2底

(2)解：VAB=6,AC=4,

.\AC2+BC2=42+(2V5)2=16+20=36=62=AB?,

；.△ACB是直角三角形，ZACB=90°,

••S阴影=SAACB-SABDC=^x4x2'\/r5-^^4x2=4^5-4.

故图中阴影部分的面积为4V5-4.

【解析】【分析】(1)根据勾股定理和ZBDC=90。，BD=4,CD=2,可以求出BC的长；

(2)根据勾股定理的逆定理可以判断△ABC的形状，从而可以求出阴影部分的面积.

18.【答案】(1)解：•.•43=64,

；.6a+34=64,

.*.a=5；

V52=25,

；.5a+b-2=25,

又,.，a=5,

/.b=2；

V32=9,

/.c=3；

(2)解：a=5,b=2,c=3代入3a-b+c得：

3x5-2+3=16,

(±4)2=16,

；.3a-b+c的平方根是：±4.

【解析】【分析】(1)根据立方根的定义得6a+34=64,根据算术平方根的定义得5a+b-2=25,再解方程进

行求解；

(2)先代值计算3a-b+c的值，再根据平方根的定义进行求解。

19.【答案】(1)解：由题意，在甲店购买需付款：y=4X100+20X(%-4X2)=20x+240(元)，

在乙店购买需付款：=0.8(4X100+20久)=16%+320(元)；

(2)解：当久=30时，20久+240=20X30+240=840(元)，

当x=30时，16%+320=16X30+320=800(元)，

840>800,

•••选乙家比较合算.

【解析】【分析】(1)根据题干中的性质分别求出甲、乙商店付款的函数表达式即可；

(2)将x=30分别代入甲、乙的函数表达式，并比较大小即可。

20.【答案】(1)解：由图象可知A、B两城之间距离是300千米；

(2)解：由图象可知，甲的速度=等=60(千米/小时)，

乙的速度=啰=100(千米/小时)，

甲、乙两车的速度分别是60千米/小时和100千米/小时；

(3)解：设乙车出发x小时追上甲车，

由题意:60(x+1)=100x,

解得：x=1.5,

.•.乙车出发1.5小时追上甲车；

(4)解：设乙车出发后到甲车到达B城车站这一段时间内，甲车与乙车相距40千米时甲车行驶了m小

时，

①当甲车在乙车前时，

得：60m-100(m-1)=40,

解得：m=1.5,

此时是上午6：30；

②当甲车在乙车后面时，

100(m-1)-60m=40,

解得：m=3.5,

此时是上午8：30；

③当乙车到达B城后，

300-60m=40,

解得：m=苧,

此时是上午9：20.

二分别在上午6：30,8：30,9：20这三个时间点两车相距40千米.

【解析】【分析】(1)根据图像即可得出结论；

(2)根据图像即可求甲、乙两车速度；

(3)由题意列方程即可解决问题；

(4)分两车相遇前和相遇后，以及乙到达B城三种情况进行讨论即可。

21.【答案】(1)乒|=5

⑵「急=("+1)底

(3)解：等式左边=M2+2n+l_(n+l)2_工=右边,

Nn+2-—dn+2一(九十而2

故猜想成立;

(4)2023/

【解析】【解答】(1)解：由题意得:=5,1,

2

.•・用含"的式子表示为：,++

故答案为：In+=61+1)

(3)解：等式左边_产+2九+，

—N几+2

故猜想成立；

⑷解：2022+XV4048

1

2023X--7-2---X---2024

J2024

=2023V2.

故答案为：2023V2.

【分析】(1)根据所给的特例的形式仿写;

(2)根据所给的等式的形式进行总结规律：等式的左边的数开方数的整数与分数的分母相差2,等式的右边

的被开方数为等式左边被开方数的分数部分，前面的倍数比等式左边被开方数的整数大1,据此求解；

(3)对(2)的等式的左边进行整理，即可求证；

(4)利用(2)中的规律进行求解即可.

22.【答案】(1)解：由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是：

J(732+42)2+122=13(而).

(2)解：分三种情况可得：AG=J(4+12)2+32=V265cm>AG=J(3+12)2+42=V241cm>AG==

J(3+4)2+122=V193cm,

所以最短路程为VI丽cm；

(3)解：♦.•高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒,

此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，

，A'D=5cm,BD=12-3+AE=12cm,

...将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A，,

连接A，B,则A，B即为最短距离，

AB=JAD2+BD2=i3(cm).

【解析】【分析】(1)利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可.

(2)根据平面展开——最短距离问题求解。将长方体展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理解答；

(3)根据平面展开一最短距离问题求解。将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A，，根据两点之间

线段最短可知AB的长度即为所求.

23.【答案】⑴解：•.,点A在y轴上，直线y=—号久+4过点A,

.•.点A坐标为(0,4),

将点A(0,4)和点B(-5,0)代入直线丫=1«+1?,

徨［b=4

侍t—5k+b=0'

4

k-

解得-

5

b-

4

直线AB的函数表达式为y=於+4;

(2)解：设点P坐标为(p,1p+4),

令丫=扛+4=0,得x=3,

.•.点C坐标为(3,0),

;点A(0,4),点B(-5,0),

；.OA=4,OB=5,BC=8,

11

•­SLA0B=•。8=方x4x5=10'

•・•点P在线段AB上，

.114

SAAPC=SAABC-SABPC^^X8X4—]X8X(5p+4)，

VSAAPC—SAAOB,

114

•»2x8x4—]X8x(耳p+4)=1。，

解得p=-券，

.•.点P坐标为(一导|);

(3)解：t的最小值为回

【解析】【解答】(3)解：设点尸纵坐标为Py,

：SAPBC=SMOB，点P是x轴上方的一个动点，

x8Py=10,

解得Py=1，

作点8关于直线y=|的对称点B‘，连接。夕，交直线y=|于点P,连接BP,

则BP+CP的最小值即为CB'的长,

:点B坐标为B(—5,0),

二点方坐标为0(—5,5),

：.CB'=J(3+5>+(0-5)2=屈,

♦.•点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，

AV894-1=V89s,

的最小值为晒.

【分析】(1)根据待定系数法求解。把点A(0,4)和点B(-5,0)代入直线丫=网+6建立方程组求解;

(2)根据坐标与图形的性质，结合三角形的面积公式求解。设点P坐标为P(p,|p+4),根据SMPC=

SA40B即可求解；

(3)作点8关于直线y=|的对称点B'，连接CB，，交直线y=|于点P,连接BP,即可求解.

24.【答案】(1)解：73+2V2=V2+2V2+1=J(V2)2+2V2+I2=J(V2+I)2=V2+1

(2)解：10+8(3+2或)=10+8(/+1)=J18+8/=J16+8/+2=

42+2X4XV2+(V2)2=1(4+V2)2=4+V2

(3)解：原式