山东省日照某中学2025-2026学年高二年级上册第一次质量检测数学试卷（含答案）

山东省日照第一中学2025-2026学年高二上学期第一次质量检

测数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.已知复:数z=高，则z的虚部是（）

A.-B.--iC.-iD.--

2222

2.已知空间向量。二（1,3,-2）,b=+若3,则加的值为（）

A.-6B.-4C.4D.6

—2___

3.已知正四面体O4BC的梭长为I,点M在OA上，且0"=§。4,点N为8c中点，则

用基底｛。4080。｝表示为（）

9.1.1

A.-OA--ORv-OCB.-OA+-OB--OC

322322

C.--OA--OB+-OCD.--OA+-OB+-OC

322322

4.过A（小〃计3）,可1,21）两点的直线/的倾斜角为135。，则小的值为（）.

A.-1或2B.2C.-1D.-2

5.若平面。的一个法向量为〃=（2,1,1）且该平面过点46,3,0）,则点尸（5,1,5）到平面a的距

离为（）

A.&B.渔C.立D.

9633

6.已知圆柱的底面半径为G，高为2拉，如图，矩形A8CO是圆柱的轴截面，点E是圆柱

下底面圆上一点，且满足/胡£=：,则异面直线AE与8。所成角的余弦值为，）

A回x/30「V15

A•Rri•-・।L•1

10105

7.如图，正方形ABCD的边长为2,E为边AD的中点.将,ABE沿BE所在直线

进行翻折，使得二面角A-BE-C为丁，则AC=（）

A.2B.75C.述D.还

555

8.在正方体A8CD—A/8C/。/中，异面宜线。和〃分别在上底面A/B/G。/和下底面ABCO

上运动，且：_L1,若4。与/，所成角为60。时，则。与侧面AODA/所成角的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

二、多选题：每小题6分，共18分.

9.已知复数4=5—8i,z2=9i,则（）

A.z?是纯虚数B.五在复平面内对应的点位于第二象限

Z?

C.Z=5+8iD.忆|=81

10.已知丫相。的三个顶点42,-1）,仅-2,7）,。（-2,1）,则下列描述正确的有（）

A.直线BC的倾斜角不存在B.直线A8的斜率为一2

C.边AC所在直线过坐标原点D.边48上的中线所在直线的方程为X-），+3=。

11.已知等边△ABC的边长为1,顶点4在平面。内，顶点B,C在平面。外的同一侧，

点8',C分别为8,C在平面a内的射影，且忸团引C0|,直线C9与平面/TCC所成的

角为。，Z^AV=|,则（）

A.|^|-|CC|=iB.：＜忸叫《日

C.lan。的最小值为当D.lan0的最小值为近

22

三、填空题：每小题5分，共15分

12.直线（小+2口+（〃?2-2〃7-3）），=2〃?在1轴上的截距为3,则实数〃?的值为.

13.如图，已知ABC。，ABEF均为正方形,二面角C-AB-厂的大小为60,则异面直线AC

与8尸所成角的余弦值为.

14.已知正四面体ABC。的棱长为2,动点P满足。汗+^^=例丁+叨叱用所有这样的点

。构成的平面截正四面体：则所得裁面的面积为.

试卷第2页，共4页

四、解答题：本题共5小题，共77分.

15.（13分）设aeR,复数Z[=〃+2i,z2=2«+3+i.

⑴若马々2为纯虚数，求实数。的值；

⑵若复数z,是关于工的方程V+/m-+5=0（weR）的一个根，求加+。的值.

16.（15分）已知直线/：6-丁+3攵+l=O,（&eR）.

⑴证明：对任意实数A,直线/都经过一个定点；

（2）若直线/在X轴、y轴上截距相等，求直线,的方程.

17.（15分）如图，在六棱柱A8C。所-A4CQ£；E中，底面A8CDE尸是正六边形，设八炉a，

A尸=力，/V\=c.

(1)用。分别表示A。，AE{.

⑵若COS/8A4,=COS/E4T\，回=2,=4,求:

(i)ACA。；

(ii)卜用.

《山东省日照第一中学2025-2026学年高二上学期第一次质量检测数学试卷》参考答案

题号12345678

答案ACDBBADB

题号91011

答案ACBCDABC

1.A

【分析】根据复数的除法运算先计算z,再由复数的概念即可求解.

【详解】由题意有2=方=(；%?)=等=|+|i.

所以Z的虚部是g.

故选：A.

2.C

【分析】根据空间向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【详解】若小〃，则〃•〃=().因为。=(1,3,-2),b=(n\2,m+\),

所以〃z+6-2(〃z+l)=0,解得m=4.

故选：C.

3.D

【分析】根据空间向最基本定理进行求解即可.

【详解】因为汽为8(7的中点，则8N=NC,所以，ON-OB=OC-ON

则ON=』O8+，OC,因此，MN=ON-OM=--OA-^-OB+-OC.

22322

故选：D

4.B

【分析】根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可.

【详解】由题知，直线/的斜率上存在，所以4点和8点的横坐标不一样，，〃2工］即用±±1,

则k=〃-3、—也-=tan135°=-1,所以〃/一，2-2=0,解得，〃=一1或〃7=2,

"1-1

又"?工±1,所以"?=2.

故选：B.

5.B

【分析】求得AP=(-l,-2,5),利用点到面的距离公式可求点尸到平面a的距离.

【详解】因为点463,0),点P(5,l,5),所以AP=(T,-2,5),

又平面a的一个法向量为〃=(2J1),

\n-AP\|—2-2+5_\/6

所以点P(5J5)到平面a的距离为d=Lp#

V4+1+16

故选：B.

6.A

【分析】证明点E为43口点，建立空间直角坐标系，写出点坐标和线的方向向量坐标，由

空间向量求出线线角的余弦值.

【详解】连接BE,・・・AB为底面圆的直径，・・・44仍=；,・・・/ME=?,・・・/A8E=：,

244

，点E为A3中点，即

如图：

在圆柱中可得OO.LOE,

，以。为原点，。石为x轴，OB为V轴，OO'为z轴建立空间直角坐标系，

A£(75,0,0),A(o，-G,o),40,石,0),O(0,-6,2«),

・•・AE=(""o),BD=a、-2区2%,

।.\AE-I3D\6同

设直线4E与4。的夹角为。，则cos。=cosAE,BD=।一।=-7=-忘=---.

।।网陷V6xV2010

故选：A.

答案第2页，共14页

【分析】过点4作4尸_1_瓦：垂足为F,过点C作CG_LZ?E,垂足为G,则翻折后从?与GC

的夹角为g，再由AC=4〃+fG+GC解题即可.

【详解】过点A作A/_LBE垂足为F,过点。作8_16£,垂足为G,则翻折后人尸与GC

的夹角为：，

因为正方形ABCD的边长为2,E为边AD的中点,

所以阿二石，易得,尸卜半

因为AAM与二C8G相似，则笠AP=笠FF=芸AF=1

COoGoC2

所以囱卜生叵，,G卜区5

,所以

55

又AC=4尸+bG+GC,

所以AC?=(AF+FG+GC^=AF2+FG2+GC2+2AFFG+2FGGC+2AFGC

J+33+0+0+2.辈・华由y,所以,C卜勺野.

555石63

故选：D

8.B

【分析】建立适当的空间直角坐标系，根据题意设出直线的方向向量，利用空间向量,

根据异面直线所成的角的公式求得〃的方向向量的坐标关系，进而利用线面所成角的向量公

式求得直线。与平面侧面所成角的大小.

以。为原点，以为xy,z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,如图

所示：

直线分别在上下底面内且互相垂直，设直线。的方向向量为〃=（"中,。）,则直线〃的方

向向量可以为V=（〃，一，九0）,

直线4。的方向向量为0A侧面ADDA/的法向量。c=（0,1,0）,

A。与b所成角为60。,，,4可=|。4Mms60。，

aPH=V2V^7xl,..cos（DGv）=^=-^==±^；

故a与侧面所成角的大小为45。.

故选:B.

【点睛】本题考查利用空间向量研究异面直线所成的角和线面所成的角问题，属创新题，难

度•般.关键是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量进行有关计算.

9.AC

【分析】根据复数的概念可判定A,利用复数的除法运算及几何意义可判定B,根据共胡复:

数的定义可判定C,利用复数的模长公式可判定D.

【详解】因为z?是纯虚数，所以A正确；

z5-8i-8-5iz

因为」=一『=——’所以,在复平面内对应的点位于第三象限，故B不正确；

z2vi9z2

因为Z=5-8i的共规复数为5+8i,所以C正确；

因为HI=9,所以D不正确.

答案第4页，共14页

故选：AC

10.BCD

【分析】对于A,由倾斜角概念可判断选项正误：对于B,由斜率计算公式可判断选项正误；

对于C,由题可得直线4c方程，据此可判断选项正误；对于D,由题可得48中点，又中

线过点C,据此可判断选预正误.

【详解】对于A,易得直线4C方程为x=-2,则直线3c的倾斜角为90。，斜率不存在，故

A错误；

对于B,直线AB的斜率为38=2:?=-2,故B正确；

-2-2

v-(—1)x—2

对于C,因A(2,-1),C(-2,1),故边4c所在直线的方程为d=二，

Y

即y=-],故过坐标原点，故C正确；

对于D,线段A5的中点结标为(0,3),又中线过点C(TD,

则边AB上中线所在直线的斜率为‘三二1,故所求方程为广1=x+2?.vx+3,

-2-0

即x-)，+3=0,故D正确.

故选：BCD

11.ABC

【分析】建立空间直角坐标系，设出B,C坐标，用向量数量积的公式和坐标表示分灰表示

A!BA!C＞即可求出忸叫|CC|；根据勾股定理得出|CC|的范围,再根据题意忸团引CC|,

结合忸夕卜|。。|的值，即可求出忸闭的范围；根据图形线面、线线的位置关系，可以得出直

线C9与平面ACC所成的角e=/&CT,即可利用直角三角形三角函数值表示tanp,从而

求出其最小值.

【详解】如图所示，以点/V为坐标原点，AC,所在直线分别为文轴，》轴，建立空间

则A'B-A'C=(0,/?,in)•(c,0,n)=inn,且AC=lxlxcosg=5,

◊乙

可得加〃=；，因此忸87|CCl=〃"?=g,选项A正确；

因为怛即0<〃K〃，所以。<〃三孝,

根据勾股定理，c1+n2=A,C=l,

所以〃<1,又〃?〃=；,所以

综上，-<m^也，即，<忸闭£也,选项B正确；

222112

又因为tane=（anZ.B'CA!=^=b=\l\-nr

所以正Wtan夕〈立，即tan*的最小值为正，选项C正确，选项D错误.

222

故选：ABC.

12.-6

【分析】（3,0）代入方程，即可求解.

【详解】将（3,0）代入直线方程得3（"?+2）=2〃?，解得m=-6.

【点睛】本题考查直线的横截距的概念，属于基础题.

10.-

4

【分析】解法一：根据题目条件可知，NE8C即为二面角C-A8-/的平面角，将异面直线

4c与9厂所成角的余弦值转化成直线方向向量夹角余弦值的绝对值，结合空间向量线性运

算及数量积运算即可求解.解法二：通过补形建立空间直角坐标系，用坐标运算求解.

【详解】解法一：根据题意可知，NE8C即为二面角。-加-尸的平面角，所以N£4C=60。，

设正方形ABC。与ABEF边长均为1,异面直线AC与BF所成的先为6.

因为AC=A3+8C，BF=BE+EF，EF=BA=-AB^|/4C|=|^F|=>/2,

所以4c出尸=（44+BC）（3£+EAj=（43+4C）（BE—A4）

=ABBE-\AR^+BCBE-BC-AB=0-l+lxlxcos600-0=-1,

ACBFf

所以cos（AC.BF}='.=L2厂=--即cos"coslAC,BF^=

\/国网上x夜4\/I4

解法二：不妨假设正方形ABC。与ABEF的边长均为2,

如图，补形成直三棱柱，以质中点。为原点，建立空间直角坐标系，

则有4（—1,0,0）,C（O,2,V3）,尸（1,0,0）,区（一1,2,0）,山此可得AC-（1,2,右），F5=（-2,2,0）.

答案第6页，共14页

\AC-FB\__2+4_1

设异面直线人。与所所成的角为。，则cos。

【分析】设出正四面体的四个顶点，根据两点距离公式，结合。T+尸出=。。2+92得到截

面方程为z=0,即可得截面为正方形求解.

【详解】把止四面体488还原成正方体，以正方体的中心为原点，垂直于共点的三个面的

直线分别为x，）'，z轴建立空间直角坐标系，

设正四面体的四个顶点为

V2V2®J_V2_V2®

A,C一也也㈤/也也.

2'2'2'2'2'22'2'2'2，2'

每条棱长均为2,设动点P*,y,z）,

PA2+y+

故PA2+PB2=2X2+2y2+2z2-2夜z+3,

PC2+PD1=2x2+2y2+2Z2+2岳+3,

因为PA，+PB2=PC2+PD2,

所以z=0,即所有满足条件的点P构成的平面为z=0平面（my平面）,

而ABC。为正方体的顶点（如图所示），且该正方体的中心为原点，故平面X。与正四面

体相交于棱“RADACAC的中点处，

由于正四面体中A8J_CQ,因此截的四边形为正方形，且边长为：A8=1,故面积为1

2

故答案为：1.

15.（1）4=-2或。=（.

（2）1或-1

【分析】（1）根据复数的乘法和虚数的概念进行求解即可.

（2）将复数4代入方程中得到关于4，〃的等式，然后可求得“，〃，进而求出结果.

【详解】（1）由题意知

2

4-z2=（6/+2i）（2r/+3+i）=（2r/+3）«+£7i+（2tz+3）x2i4-2i=2r『+3a-2+（5a+6）i,

乂Z12为纯虚数，所以I"2-。，解得。=_2或“

〉。+6工0,2

（2）因为复数4是关于x的方程f+"抹+5=0WeR）的一个根，

所以（〃+2i）2+〃?（a+2i）+5=0,整理得〃+〃以+]+（4。+2/〃1=0,

所以「c解得a=l,〃2=-2,或。=一1,m=2,

4。+2〃?=0,

所以〃2+4=-2+1=-1,或〃1+。=2+（-1）=1.

16.（1）证明见解析

（2）y=_gx或p=-x-2.

x+3=0

【分析】（I）令।2解方程组即可得解；

->,+1=0

答案笫8页，共14页

(2)由已知条件可知丘0,求得直线/与X轴、》轴的交点分别为A(三二l,0),8(0,3Z+l),

一3攵一1

列方程十一=3k+1即可求解.

K

【详解】(1)将直线/：H-y+3"i=o整理得

刈丹3)-)，+1=0对任意实数女都成立，

r+3=0r=—3

所以，解得,

-y+1=0J=1

所以对任意实数3直线1都经过一个定点(-3,1)：

(2)由已知条件可知ZwO,求得直线/与x轴、V轴的交点分别为

A(^^,0),8(0,34+1),

则有畤口=3%+1,化简得(3A+1)(Z+1)=O,

K

当k=T时，直线/的方程为y=

当A=T时，直线/的方程为y=-才一2

所以直线/的方程为＞=x或y=-x-2.

17.(l)AD=2d+%-c：,AE；=a+2b+c

(2)(i)14；(ii)卜用=2加

【分析】(1)连接AO,取40中点为。，连接尸，结合空间向量的线性运算，以aAc

为基底表示向量即可求解•；

(2)确定空间基底向量4儿。的模长与数量积，结合空间向量的数量积的运算性质分别求解

AC-A。，卜耳「，即可得结论.

【详解】(I)连接A。，取AD中点为0,连接。氏。尸.

因为底面A8CZ)所是正六边形，所以48+AF=4O=gA£>,即AO=2a+2/?，

所以4。=4。一例=%+%-c,又因为正=40,所以

A£(=AF+FE+EE1=AF+AO+AAi=a+2b+c.

(2)由题知，A}C=AC-AA.=AB+BC-AA,=AB+AO-AAy=2a-^b-c,

根据cos/BAA=cosNEAA=—,可知cosa,c=cos/;,c=-,

44

因为底面是正六边形，所以4力=g,所以cosa〃=-g.

(i)A。，A，，=(2a+〃-C>(24Z+2/〉-C)=4同~+2忖+|c|'+6a-b-4ac-3b-c=

4闷2+2,『+,+6同小卜[31-4同・小；-3忖.卜卜；=16+8+16-12-8-6=14.

(ii)因为A&=ci+2b+c,

所以,同~=(a+2〃+c)=闷，4忖+|c|2+4ab+2ac+4h-c

=|«|2+4|/?|'+|c|2+4|a|-|/?|x-；+2同.|小；+4瓦|小；=4+]6+16-8+4+8=40,所以

\乙)44

卜司二2®

18.(1)证明见解析

［分析］（1）先由圆锥的底面周长和侧面枳公式求出AP,接着由QO//P4得Q。//平面PBD,

再求证OC7/8。得OC//平面PB。即可由面面平行的判定定理得证；

（2）建立适当直角坐标系，依次求出平面24。与平面。。。的法向量，再由平面夹角的向

量法公式计算即可求解.

【详解】（1）由圆锥的底面周长为2兀'1=2兀，可得侧面积为：x2兀XAP=2TT,解得八P=2.

在.R43中，根据中位线性质可得QO//P8,所以Q。/；平面/>80,

由于AC=1,底面圆半径是1,所以440C=1,

又CD"AB,所以N0CQ=］,而OC=OD,

所以“X:。为等边三角形，CD=\.

于是8//3O且CO=O4,所以四边形06。。是平行四边形，可得OC7/4。，

答案第10页，共14页

所以OC7/平面心。，又OCllOQ=O,OC,OQu平面QOC,

所以平面Q。。〃平面心D.

（2）易知OP=G.如图，以。为坐标原点，在平面A8DC中，

过。点作AB的垂线为x轴，AB,OP所在直线分别为九z轴，建立空间直角坐标系，则

4（0,-1,0）,*0,1,0）,D手，；，。），^（0,0,73）,

所以AP=（OJ@,4P=（0「l,@,DP=_《,一；,6.

设平面PAD的法向量m=（.%y,zj,

/?-AP=y}+VJz）=0

则《i厂，令4=1,则〃?=（3,—G,l）；

„.DP=--^--y.+V^z,=0'7

22

设平面PBD的法向量〃=（&,%，z?），

h•BP--y2+>/3Z2=0

则_.Gir,令4=1,则〃=（1,6』）.

n.DP=-^-x.一一y,+V3z,=0'/

2■2•

结合（1）可知，〃=0,6,1）也是平面QOC的法向量,

..工m-n1765

从而COS〃7,〃=T—rT-：=-j=-广=——,

同时V13x>/565

所以平面尸4。与平面QOC的夹角的余弦值为姮

65

19.（1）证明见解析

⑵⑴证明见解析是J黄卜血

【分析】(i)要证明线线垂直，需要通过证明线面垂直从而得到线线垂直，即证明

面4".

(2)(i)根据垂直关系先建立空间直角坐标系，然后求出OC/。的坐标，从而可证明

OCHPQ.

(ii)根据垂直关系先建立空间直角坐标系，然后求出平面4"田、平面/铲右的法向量，进

而求出(ana,ian6的表达式，从而可判断半是否为定值.

tanP

【详解】(1)证明：由题意得丛PABwXRAB、

AC,AQu平面人C”,ACc人勺=人，

.•.A5工平面AC%

又,［。＜=平面4。片，.-.AI31P.C,

(2)(i)证明：当A《"LAC时，分别以48,AC,所在直线为x轴，)，轴，z轴，建

立如图所示空间直角坐标系，故C(0,4,0),^(0,0,2x/2),。(-2,4,0).

设。［的中点为Q,易知△人C［的外接圆的圆心恰为点Q,而RtaABC的外接圆的圆心为

8c的中点，分别过两个圆心作对应平面的垂线，则交点为O,根据已知条件，得点0(1.2,万),

故0。=(一1,2,-夜)，［£)=(一2,4,-2&),力=20C.

又0,C,P、,。四点不共线，.•・。。/