椭圆（讲义）-2026年高考数学一轮复习解析版

专题8.5椭圆（举一反三讲义）

【全国通用】

题型归纳

【题型1椭圆的定义及其应用】.........................................................................4

【题型2椭圆的标准方程】.............................................................................5

【题型3曲线方程与椭圆】.............................................................................8

【题型4轨迹问题——椭圆】..........................................................................9

【题型5椭圆的焦距与长轴、短轴】...................................................................11

【题型6椭圆中的焦点三角形问题】...................................................................13

【题型7求椭圆的离心率或其取值范围】...............................................................15

【题型8与椭圆有关的最值问题】......................................................................18

【题型9椭圆的实际应用】............................................................................21

1、椭圆

考点要求真题统计考情分析

椭圆的方程及其性质是圆锥曲

2023年新高考I卷：第5题，5分线中的重要内容，是高考命题的重

2023年全国甲卷（理数）：第12点内容.从近几年的高考情况来看，

题，5分主要考查椭圆的定义、标准方程及

⑴埋解椭圆的定义、几何

2023年北京卷：第19题，15分其简单几何性质，主要乂选择、填

图形、标准方程

2024年新高考I卷：第16题，15空题的形式出现，难度不大；对于

⑵掌握椭圆的简单几何性质

分解答题中椭圆的考查，棚圆方程的

（范围、对称性、顶点、离心率）

2024年新高考II卷：第5题，5分求解往往在解答题的第一小问中考

（3）掌握椭圆的简单应用

2025年全国一卷：第18题，17分查，复习时要加强这方面的训练.

2025年全国二卷：第16题，15分与向量等知识结合综合考查也

2025年北京卷：第19题，15分是高考命题的一个趋势，需要学会

灵活求解.

知识梳理

知识点1椭圆的方程及其性质

1.椭圆的定义

（I）定义：平面内与两个定点A的距离的和等于常数（大于I"尸,1）的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭

圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.

（2）椭圆定义的集合表示P={+MF2=2d2a>|F（F2|}.

2.椭圆的标准方程

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椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系:

3.椭圆的顶点与长轴、短轴

以椭圆的标准方程，+g=i力>0)为例.

⑴顶点

令00,得广士〃；令广0,得尸切.

这说明小(-。,0),血30)是椭圆与T轴的两个交点,Bi(o,-b),&(0力)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、.

轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.

(2)长轴、短轴

线段1441，ISal分别叫作椭圆的长轴和短轴.

长轴长1441=2。短轴长I8昆|=26,。和。分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.

4.椭圆的离心率

(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比标称为椭圆的离心率.用。表示，即。一?.

(2)离心率的范围：0<e<l.

(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.

当e越接近于1时，。越接近于〃，从而♦越小，因此椭圆越扁；当。越接近于()时，。越接近于

0,从而人"^越接近于〃，因此椭圆越接近于圆；当且仅当。=人时，c=0,这时两个焦点重合，图形

变为圆，它的方程为/+/=/

知识点2椭圆方程的求解方法

1.椭圆方程的求解

(1)用定义法求椭圆的标准方程

根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.

(2)用待定系数法求椭圆的标准方程

①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系

数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的内方的值，从而确定方程(注意焦点的位置).

②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在X

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轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的•般方程

为4/+砂2=1(力＞0合0"8),再解答.

知识点3椭圆的焦点三角形

1.椭圆的焦点三角形

(1)焦点三角形的概念

设必是椭圆上一点，为椭圆的焦点，当点"内户2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形,

如图所示.

(2)焦点三角形的常用公式

①焦点三角形的周长L=24+2c.

222

②在△MF、&中，III余弦定理可得|F,F2|=|MF||+|MF2\-1\MF,I\MF2\•cosZF\MF..

③设M(.5jo)，乙F\MF?=a,则5G”向=c•|y°l=〃•tan3.

知识点4椭圆离心率或其范围的解题策略

1.求椭圆离心率或其范围的方法

解题的关键是借助图形建立关于。c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：

(1)直接求出。,如利用离心率公式e=?求解.

(2)由。与b的关系求离心率，利用变形公式e=J1—?求解•

(3)构造a.c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a.c的具体值,而是得出。与c的关系，从而求得e.

知识点5椭圆中的最值问题的解题策略

1.椭圆中的最值问题

求解此类问题一般有以F两种思路：

(1)几何法:若题H中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何

法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.

(2)代数法:若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一

个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三

角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.

举一反三

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【题型1椭圆的定义及其应用】

【例1】（2025•广西南宁•二模）已知&，/2分别是椭圆M：1+4=1的左、右焦点，P为M上一点，若|P%|=3,

165

M|PF2|=（）

A.2B.3C.5D.6

【答案】C

【解题思路】根据椭圆的定义可得|PQ|+|PF2I=2Q=8,求解即可.

【解答过程】由椭圆M:1+〈=1,可得02=16,所以。=4,

165

因为尸1，尸2分别是椭圆M:捻+4=1的左、右焦点，P为M上一点,

1O0

所以仍力|十|Pr2l=2a=8,又|PF1|=3,所以|Pa|=5.

故选：C.

【变式1-1］（2025・山西晋城・二模）已知尸1，尸2分别为椭圆。：［+。=1的左、右焦点，点。为C上一点，若|PFJ-

\PF2\=2,则（）

A.|PF2|=2|F1F2|B.|PF1|=2|F1F,|

C.\PF2\=\F.F2\D.\PFl\=\FlF2\

【答案】D

【解题思路】根据椭圆的定义可得|P*|+|P&I=6.结合|P%|一|P尸21=2.求出|P%|=4.|P尸zl=2.

结合|Fi&l=4即可判断各个选项.

【解答过程】由题意可知，Fi（-2,0）,F2（2,0）,所以|F#2l=4,

由椭圆的定义可知,|PFil+|PF2|=6,又IPFJ-IP&I=2,所以|PF1|=4,|PF2|=2,

所以|PFil=l/i&l・

故选：D.

【变式1-2］（2024•江西•模拟预测）已知力,户2是椭圆。今+产=1的左、右焦点，过匕的直线交C于48

两点，^\AF2\+\BF2\=5,WAB\=（）

A.2V3B.3C.2V2D.2

【答案】B

【解题思路】利用椭圆的定义可得|AB|+\AF2\+\BF2\=8,结合已知即可得答案.

【解答过程】由椭圆的定义,知|4R|+M&|=|B/i|+|B4l=4,

4/40

所以|4户〔|+\AF2\+Ml+\BF2\=8,即|AB|+\AF2\+|BF2I=8,

又IAF2I+I8F2I=5,所以=3.

故选：B.

【变式1-3】(2025•江西新余•模拟预测)已知椭圆。：9+5=l(0<m<4)的左、右焦点分别为r,右

顶点为M,点N在椭圆C上,且ZJVF/2=6O°,若|NQI=2|M&|,贝打九二()

A.1B.2C.V3D.3

【答案】D

【解题思路】根据椭圆的定义求解即可.

【解答过程】依题意，|M?2l=a-c,故|N&I=2a-2c,故|NF1|=2c,

在△NF/2中，|FIF2|=2c,且NN尸/2=60°,故△NF#2为等边三角形，

故2a—2c=2c,得a=2c,则m=az-c2=-a2=3.

4

故选：D.

【题型2椭圆的标准方程】

【例2】(2025•陕西安康•模拟预测)已知椭圆《+，=l(a>匕>0)的左、右焦点分别为r1，4，点M在椭圆

上，且满足=90°,MG延长线交椭圆于另一点C，|MF2|=2|F2C|=2,则椭圆的方程为()

A.^+y2=lB.^+y2=lc.5+。=1D.7I+y=1

【答案】c

【解题思路】根据椭圆的定义可得IMF/=2a-2,ICF1I=2。-1,再利用勾股定理，列出方程，求出a的

值，从而得到椭圆方程.

【解答过程】因为点M在椭圆上，延长线交椭圆于另一点。，且IMF2I=2尸2。=2,

所以|M"|=2a-2,\CFX\=2a-1,则|CM|=3,由于4AMF2=90°，

所以+|CM『=|C0|2,即(2a-27+9=(2a-1)2,解得Q=3,

5/40

所以=2a-2=4,则|尸10|=1IMF/+|M/2广=x/16+4=2瓜

则c=V5,b2=a2—c2=4,

所以椭圆方程为5+。=1,

94

故选：c.

【变式2-1]（2025•广西南宁•二模）已知4B分别是椭圆民务营=1（。＞匕＞0）的左、右顶点，直线％==

（c为椭圆E的半焦距）上存在点C,使得△48C是顶角为120。的等腰三角形，且△/18C的面积为4b，则椭

圆E的方程为（）

A.N32B.q4+q3=i

c.q4+q2=iD.m54

【答案】B

【解题思路】根据锐角三角函数，结合椭圆的性质即可求解|CB|=|48|得2C=Q,即可利用面积公式求解.

【解答过程】如图:乙48。=120。,故土MBC=60°,

\BM\=^-a,故|CB|=2|BM|=2（今一0）,

故|CB|=\AB\=2-a）=2a,解得2c=a,

由于SMC=\•2aV3（y-a）=473na停-a）=4,

故a=2,c=l,故b=VQ2—c2二场,故椭圆方程为一+-=1,

43

故选：B.

【变式2-2]（2024•山西太原•三模）已知点％,尸2分别是椭圆C的左、右焦点，P（4,3）是C上一点，△PF1F2

的内切圆的圆心为则椭圆C的标准方程是（）

人•白白1B.白白1C,扛，=1D.各小

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【答案】B

【解题思路】根据给定条件，利用三角形面积公式，结合椭圆的定义求解即得.

【解答过程】依题意，设椭圆C的方程为5+3=l(a>b>0),由P(4,3)在C上，得冷+看=1，

显然的内切圆与直线F/2相切，则该圆半径为1，而S“F/2="2a+2c)•1=a+c,

又/2c•3=3c,于是a=2c,b2=a2—c2=^a2,因此,+竽=1,解得次=28,川=21,

所以椭圆C的标准方程是最+<=1.

Zo41

【变式2-3](2025•湖北武汉•模拟预测)已知椭圆C:/+捺=l(a>b>0)的上、下焦点分别为力,尸2,离心

率为“过点尸1作直线，(与y轴不重合)交椭圆C于M,N两点，△MN七的周长为12,则椭圆C的标准方程是

()

A.B.《+X2=Ic.4+q=1D.=+《=1

3J39595

【答案】D

【解题思路】利用椭圆的定义表示出焦点三角形的周长，求出Q的值，结合离心率求出力的值，即得椭圆方程.

如图依题意，△MN4的周长为IM&I+如M+\NF2\=如尸11+如+INF/+\NF2\=4a=12,

解得a=3.

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设椭圆C的半焦距为c,因为椭圆C的离心率为3所以e=£=g解得c=2.

3a3

所以b=Va2—c2=V32—22=x/5.

故椭圆C的标准方程为9+9=i.

故选：D.

【题型3曲线方程与椭圆】

【例3】(2025•甘肃庆阳•二模)已知方程工-R=l表示的曲线是椭圆，则实数上的取值范目是().

k-2k-4

A.(2,3)B.(3,4)C.(2,4)D.(2,3)U(3,4)

【答案】D

【解题思路】根据方程表示椭圆列出不等式组得解.

【解答过程】因为方程工-工=1表示的曲线是椭圆，

k-2k-4

k-2>0

所以k-4Vo,解得2Vk<3或3VkV4.

k-2H4-k

所以实数k的取值范围是(2,3)U(3,4).

故选：D.

【变式3-1](2025・湖北黄冈•二模)设a加工0,“曲线ad+力2=。为椭圆，，是“砒>0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解题思路】根据椭圆的标准方程判断充分性是否成立，再根据ac>0判断必要性是否成立，进而确定“曲

线收+by2=C为椭圆”与“QC>0”之间的条件关系.

【解答过程】若曲线。%2+疗=。为椭圆，则椭圆的标准方程为名+*=1(QHb).

a6

因为椭圆中分母须大于0,所以0且又因为a儿H0,那么QC>0且加>0,所以由“曲线a、2+by2=c

为椭圆”可以推出“ac>0”，充分性成立：

当ac>0时，比如a=b=1,c=1,此时曲线方程为%2+y2=1,它表示的是圆，而不是椭圆，所以[tTac>0”

不能推出“曲线ad+by2=c为椭圆”，必要性不成立：

所以“曲线a/+by2=c为椭圆”是“做>0”的充分不必要条件.

故选:A.

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【变式3-2］（2024•河南•模拟预测）若方程（m+l）x2+（1-m）y2=1-而表示焦点在工轴上的椭圆，则（）

A.-1<m<1B.0<m<1

C.-1<m<0D.-lVmvO或OVmVl

【答案】C

【解题思路】利用已知条件，分析椭圆的标准方程，列出不等式，求解即可.

【解答过程】方程（m+l）x2+（1-m）y2=1-加2可化为；丁_+==1，

1-THm+1

因为方程>+==1表示焦点在工轴上的椭圆，

1-mm+1

所以｛1一2；：：1,解得

VTH+1>0

故选：C.

【变式3-3］（2025•黑龙江大庆•模拟预测）曲线C:=+1-=1,则“1VmV3”是“曲线C表示椭圆”的（）

m-13-m

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解题思路】根据椭圆的标准方程,曲线。表示椭圆求解血的取值范围，再根据充分条件、必要条件进行判断

即可.

771-1>0

［解答过程】若曲线C:二~27十2=1表示椭圆，贝W3—?n>0，解得1<7“<2或2<7〃<3,

m-l3-m

vm—13—m

则“1<m<3”是“曲线C表示椭圆”的必要不充分条件.

故选：B.

【题型4轨迹问题——椭圆】

【例4】（2025•四川成都•三模）已知动圆C与圆（％+1）2+、2=1外切，同时与圆（工一1）2+产=25内切，

则动圆C的圆心凯迹方程为（）

A.5+《=1B.t+y2=ic.卷+t=1D.^+y2=1

989J252425z

【答案】A

【解题思路】分析出IGMI+IC2M|=6>2=|C］C2l，确定圆心”的轨迹为椭圆，求出a=3,M=8,得到

轨迹方程.

【解答过程】设圆Q+1产+y2=1圆心C2且与圆C切于点P,圆（％-+y2=25圆心Q与圆C切于点Q,

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由题意得:|C1C|=5-|CQ|,\C2C\=1+\CP\,其中|CQ|=|CP|,

所以IGC+|C2C|=5-\CQ\+1+|CP|=6>2=IC1C2I，

由椭圆定义可知：动圆圆心C的轨迹为以G，。2为焦点的椭圆，设5+《=1，

则2Q=6,C=l,解得：Q=3,〃=Q2—=9—1=8,

故动圆圆心C的轨迹方程为卷+9=1.

故选：A.

【变式4-1](2025•黑龙江齐齐哈尔一模)已知曲线％2+4=1,从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足为

P：且丽=：PP',则点N的轨迹方程为()

A.与+。=1B.。+。=1c."+V=iD.7+。=1

42424J2

【答案】A

【解题思路】设出点N的坐标，并表示出点P,再代入已知曲线方程即可.

【解答过程】设点N(x,y),由PP'_y轴于点P',且丽=gpp',得PP'=gNP',则尸(、,y),

又点P是曲线%2+4=1上的任意一点，因此(9)2+《=1,

所以点N的轨迹方程为竽+£=1.

42

故选：A.

【变式4-2](2025•江苏南京•三模)已知曲线C:d+y2=8(y>0),从。上任意一点P向％轴作垂线段PP'，P’

为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为()

A.^+^=l(y>0)B.5+9=l(y>°)

c.+f=l(y>0)D.fi(y>0)

【答案】A

【解题思路】设点MQ,y),由题意，根据中点的坐标表示可得PQ,2y),代入圆的方程即可求解.

【解答过程】设点M(x,y),则P(x,yo),P'a，O),

因为M为P尸'的中点,所以y()=2y,即P(x,2y),

又P在圆d+y2=8(y>0)上，

所以%2+4y=8(y>0),即£+f=l(y>0),

82

10/40

即点M的轨迹方程为。+<=l（y>0）.

故透:A.

【变式4-3]（2025•黑龙江大庆•模拟预测）设力，8两点的坐标分别为（-2,0）,（2,0）,直线4W,8M相交于

点M，且它们的斜率之积是一：,则点用的轨迹方程为（）

A-各弓=1。工±2）B.舛2）

C.5+4=1（为工±2）D.=一（=1（为手±2）

【答案】C

【解题思路】设出交点的坐标，写出两直线的斜率，直接由斜率之积列式化简.

【解答过程】设则由已知得AAM/BM=-;，二士・“7=-：0工±2），

Ai4彳-41

化简得5+[=1（丫±±2）.

故选：C.

【题型5椭圆的焦距与长轴、短轴】

【例5】（2025•福建泉州•二模）若椭圆捺+9=1（"°）的离心率为争则该椭圆的焦距为（）

A.V3B.V6C.2遥或V5D.2火或连

【答案】D

【解题思路】分焦点在%轴或y轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数①再求椭圆的焦距.

【解答过程】若椭圆的焦点在％轴，则离心率6=业匕=与得/=6,此时焦距2c==2g,

a2

若椭圆的焦点在y轴，则离心率。=等=争得。2=也此时焦距2c=2后1=历，

所以该椭圆的焦距为2百或通.

故选：D.

【变式5-1]（2025•云南红河•三模）已知椭圆C:2+。=1的右焦点为F（2,0）,则C的长轴长为（）

m6

A.VioB.2V10C.V2D.2V2

【答案】B

【解题思路】由题意可知椭圆的焦点在黑轴上，且c=2,由椭圆中的平方关系可求得m的值，正而可求得长

轴长.

11/40

【解答过程】因为椭圆C的右焦点为F(2,0),所以c=2,且焦点在工轴上,

所以血2-6=4,解得m=±YTU,所以椭圆C的长轴长为2JTU.

故选:B.

【变式5-2](2025・海南•三模)若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆C:5+y2=i上，则c的焦距为

()

A.2B.乎C.苧D.乎

【答案】B

【解题思路】由题意根据对称性得点C)在C上，代入。的方程得m2=右利用椭圆焦距的定义求解即可.

【解答过程】由对称性可知，正方形的四个顶点必在直线、=±*1二，由于椭圆C在y轴上的两顶点间的距离

为2,

所以正方形的边长只能为1,因此点弓弓)在C上，代入C的方程得上+：=1,解得加2=£

故C：[+y2=i,所以C的焦距为2/三=竽.

故选：B.

【变式5-3](2025・河北•模拟预测)己知椭圆的:％2+A=1(0<b<1)与椭圆+5=l(?n>n>0)

离心率相同，过g左顶点4与上顶点B的直线与椭圆Q交于M,N两点，若恰为线段MN的两个三等分点，

则。2的长轴长为()

A.5B.2V5C.2V6D.273

【答案】B

【解题思路】由离心率得到房=《，求出过Q左顶点力与上顶点B的直线方程，不妨设点N在x轴上方，则

N(l,2b),代入椭圆C2方程，即可求出山，从而得解.

【解答过程】因为椭圆*：/+，=1(0vbV1)与椭圆Q：W+?=1(?九>n>0)离心率相同，

所以1-从=二,所以从=与

椭圆％:'2+'=1(0VbV1)的左顶点人(-1,0)，上顶点B(0,b),

又过G左顶点A与上顶点8的直线方程为y=bx+b,

不妨设点N在%轴上方，过点N作为轴的垂线，则8为AN的中点，则N(l,2b),

12/40

所以马+粤=1，所以吃+^=1，解得771=遍（负值已舍去）

m4n4m4m4

所以C2的长轴长为2m=2通.

【题型6椭圆中的焦点三角形问题】

【例6】（2025•广西柳州•模拟预测）已知椭圆E:最+《=1的左右焦点分别为FI，F2,上顶点为4过&且

ID1L

垂直于力七的直线与E交于从C两点，则△48C的周长为（）

A.12B.16C.20D.24

【答案】B

【解题思路】根据条件可得|A8|=\BF2\,\AC\=|CF2|,然后根据椭圆的定义求解即可.

【解答过程】由椭圆E:）+*=l,得a=4,

161Z

过Fl且垂直于力/2的直线与椭圆。交于8、C两点,

所以8c为线段4"的垂直平分线，

得|4B|=|B&I,14cl=£&1，

则448c的周长为|4阴+\AC\+\BC\=\BF2\+\CF2\+|%|+\CFX\=2a+2a=4a=4x4=16.

【变式6-1］（2025•广东深圳•模拟预测）设尺，&为椭圆C:1+4=l的两个焦点，M为C上一点且在第一

3620

象限，若aMFir2为等腰三角形，则△闻广述2的面积为（）

13/40

A.3V15B.12C.4V15D.16

【答案】C

【解题思路】由椭圆标准方程可得a=6,b=26c=4,根据题意得|M尸il=|尸/2I=2c

或IW&UIF1F2I=2c,结合图形，利用椭圆的定义求出△MFiF2的三边长，即可求得其面积

【解答过程】由椭圆C：㊀+£=1可得Q=6,b=2V5,c=4,

36ZU

因M为C上一点且在第一象限，则MFl\>\MF2\

由aMF/2为等腰三角形,则可得IMF1UIF/2I=2c或IMF2R&F2I=2c,

当|MF/=|尸i&l=2c=8时，|M?2l=2a-\MFr\=12-8=4.

此时△MRI92的面积为：1x4xV82-22=4\<15；

当IMF2UIF/2I=2c=8时,\MFt\=2a-\MF2\=12-8=4<|MF2|»不合题意，舍去.

综上，可得△“打出的面积为4底.

故选：C.

【变式6-2]（2025・湖南永州•三模）已知椭圆E：点/（一1,0）,若直线x+/ly—l=0（Ae/?）

与椭圆E交于4，B两点,则△AB尸的周长为（）

A.2V3B.4C.4V3D.8

【答案】D

【解题思路】求出直线所过的定点，再利用椭圆的定义求出三角形周长.

【解答过程】椭圆E：I+q=l的长半轴长a=2,半焦距c="二I=l,

43

则点尸（一1,0）为椭圆的左焦点，其右焦点为（1,0）,

而直线48：x+Ay-1=0恒过定点（1,0）,

所以△4BF的周长为4a=8.

故选：D.

【变式6-3]（2025・湖南永州•模扪预测）设Fi、尸2分别是椭圆C：\+，=l（a>力>。）的左、右焦点,过点

14/40

尸2作X轴的垂线交。于力、8两点，其中点4在第一象限，且IAF1I=2|”21.若P是。上的动点，则满足△P%/2

是直角三角形的点P的个数为（）

A.0B.2C.4D.6

【答案】C

（az=3t.

【解题思路】先由题设求得/=2t（/为参数），进而求出P取椭圆上顶点时COS49小尸2的值，从而得乙F1P厂2

（「2=「

不会为直角即可求解.

【解答过程】由题/尸21=9,又优片|+历&1=2。，|力%|=2|小5.

%a="

：,—=-9即接=2£（t为参数），

a3c

P取上顶点时2尸产出最大，此时COSN尸产/2=Za-一ci⑵"=看上of竺=13＞0.

・•.不会为直角，，只有当乙叩』2或NPF2匕是直角才符合题意，

所以由对称性可知满足^P//2是直角三角形的点P的个数为4.

故选：C.

【题型7求椭圆的离心率或其取值范围】

【例7】（2025•四川巴中•模拟预测）已知直线y二履（攵工0）与椭圆C:《+，=l（a＞匕＞0）交于48两点,

椭圆的左、右焦点分别为片、七，四边形力//匕为矩形，若|七川=2|七阴，则椭圆C的离心率是（）

A.B.1C.fD.|

2239

【答案】C

【解题思路】根据矩形的边角关系，结合椭圆的定义和性质，可直接求其离心率.

【解答过程】如图：

15/40

设陷臼=£,则尸2川=2£,因为四边形为矩形,所以|尸1尸21=通匕

所以2a=3t,2c=V5t.

所以6=£=个=当

a2a3

故选：c.

【变式7-1]（2025・贵州贵阳・模拟预测）设椭圆区5+《=1（。>6>0）的左、右焦点分别为F],尸2,上顶

点为4直线4Q交M于另一点6,△4。吃的内切圆与力。相切于点。，若|OQ=|Fip2l，则椭圆〃的离心

率为（）

A-ZB-JC-ID-

【答案】D

【解题思路】本题主要是椭圆的定义及三角形的内切圆，作图利用三角形内切圆的性质即得答案.

【解答过程】由题意，如图，P，。是内切圆与8/2,4r2的切点，

因为左、右焦点分别为尸1，尸2,上顶点为儿椭圆参数关系a2=*+c2,

由出片|+|B%I=2a,结合对称性、圆的切线性质，

令mi=\DF2\=\PF2\=n,且131=\BP\=\BC\=2c,

所以IB%]+\BP\+\PF2\=\BC\-ICFJ+|8P|+\PF2\=2a,

所以2c—n+2c+n=2a,可得2c=a,故。=£=3

a2

16/40

【变式7-2］（2025•云南丽江•模拟预测）设椭圆C:5+《=l（a>匕>0）的左、右焦点分别为尸尸2,尸是椭

圆C上一点，若点尸2关于4PF/2的角平分线/的对称点恰好是点产，且用•瓦友=-：/，则C的离心率

为（）

A.；B.|C.；D.1

3327

【答案】A

【解题思路】根据给定条件，利用对称特征及余弦定理、数量积定义列式求出离心率.

【解答过程】由&关于“尸/2的角平分线/的对称点恰好是点P，得IPFJ=|尸冏=2a

22

|PF1|2+|FI/2|2一|P&|2_4c2c)2_c-a+2ac

在^P尸1尸2中,由余弦定理得cosa=

2

2\PFX\\FVF2\—2-2c-2c-2c

由广1户•"F；=—\次,得R川尸i&'lcosa=-枭2,则2c.2c.，二3当迎=-《次,

整理得：c2+2ac~~a2=0，即9。2+i8e—7=0,乂0＜。＜1,所以e=；.

故选：A.

【变式7-3］（2025•山东泰安・模拟预测）已知P为椭圆l（Q>b>0）的左顶点，M、N是椭圆上的

点.若四边形0PMN满足。花=1户+丽，乙PONG则楙圆离心率的取值范围是（）

A.（。片）B.（0,泗

C.（0,苧）D.停,1）

【答案】B

【解题思路】根据题意，结合椭圆的对称性可得N仔。，则£=F反设a为直线ON的倾斜角，可得tana=Kg,

进而求得g的范围，得解.

【解答过程】由题意如P（-a,0）,由丽=而十而如。PMN为平行四边形，则M、N关于y轴对称，

17/40

设M(-1t)，N6,t)(不妨设t〉0),将N点坐标代入椭圆方程可得£=?从

因为“ONW得,奈)，设a为直线ON的倾斜角，则awg)

所以tana=|=^=V3；G(^,V3),所以江G，l),

="J1-。屋(。,鸿)・

所以椭圆因心率的取值范围为(0q企).

【题型8与椭圆有关的最值问题】

【例8】(2025•山东威海一模)已知尸为椭圆。：4+5=1的上焦点，P为C上一点，Q为圆M:%2+y2-8%+

15=0上一点，则|PQ|+|P尸|的最大值为()

A.1+2V5B.3+2V5C.5+2向D.7+2遥

【答案】D

【解题思路】由圆和椭圆方程可确定圆心、半径、a,c的长；利用椭圆定义和圆的对称性可将问题转化为求解

7+|PM|-pF]的最大值问题，利用三角形三边关系可知当M/,F'三点共线时取得最大值，由此可得结果.

【解答过程】由圆M方程得：圆心”(4,0),半径r=:x164—60=1；

由椭圆C方程得：a=3,c=2,设椭圆C卜.焦点为/，则F'(0,-2),

由椭圆定义知：\PF]+\PF\=2a=6,A\PQ\+\PF\=6+\PQ\-\PF\；

v\PQ\<|PM|+r(当且仅当P,MQ三点共线时取等号)，

•%\PQ\+\PF\=6+\PQ\-|P4<7+|PM|-1PF],

X|PM|-\PF]<(当且仅当M,P,r'三点共线时取等号)，

2

A\PQ\+\PF\<7+MF]=7+1(4-0)+(0+2)2=7+2遥，即|PQ|+|PF|的最大值为7+2遍.

18/40

【变式8-1]（2025・陕西西安・模拟预测）已知椭圆唁+5=l（a＞匕＞0）的右焦点为"（1,0）,且过点

P（-M苧），Q为C上一动点,则|PQ|+|QF|的最大值为（）

A.—B.—C.—D.—

2244

【答案】D

【解题思路】根据题目条件求椭圆C的方程，进而由椭圆的定义及两点间线段最短求两线段长度之和的最大

值

【解答过程】设。半焦距为c,因为尸（1,0）,故c=l.

又C过点「（弓耳），故―券=L

由椭圆得/=〃+=/+1,,弋入解得/-4,b?=3.即a=2,b=y/3.

设c的左焦点为尸(一1,0),故卜=J(-1)2+(v)2=*

根据椭圆的几何性质可知，\QF\+=2a=4

由于两点之间线段最短,所以|PQ|<\PF]+\QF[

因此IPQI+\QF\<|PF]+|QF]+\QF\=|+4=j.

当且仅当P,F',Q在一条直线上时，等号成立.

19/40

故选：D.

【变式8-2](2024•湖南衡阳•模拟预测)已知椭圆C：9+?=l的左、右焦点为Fi，/2,M是椭圆C上一动点，

直线，:y=k(x-l)+2经过的定点为N,贝尸i|—|MN|的最大值为()

A.V2B.2C.2V2D.6

【答案】B

【解题思路】由直线=k(X-11+Z经过定点/V(l,2),结合椭圆的定义由IM"/一|MN|=4-(|A7F2|+

|MN|)求解.

【解答过程】由椭圆C:1+4=1得尸】(一1,0)、尸2(1，0)，

因为点M为椭圆。：9+?=1上的点，则IM尸il+|MF2|=4,

直线2:y=k(x-1)+2经过定点加(1,2),

贝UIMF1I-|MN|=4-(|MF2I+|MN|)<4-\NF2\=4-2=2,

当且仅当M在线段N4上时取等号，

所以|MFi|-|MN|的最大值为2.

故选：B.

【变式8-3](2025•江苏泰州•模拟预测)己知尸为椭圆C:?+必=1的右焦点，P为。上一点，Q为圆+

(y-3)2=1上一点，则|PQ|+|PH的最大值为()

A.5B.5+2V3C.3+2V3D.6

【答案】B

【解题思路】由题意设椭圆的左焦点为Fi(-b,0)，作出图形，结合图形和椭圆的定义可知当M,Fi，P三点

共线时|PQ|+|PF|取到最大值.

【解答过程】由题意知，F(V3,0),设椭圆的左焦点为Q(一百,0),

如图，P为C上一点,。为圆忙工2+(、-3)2=1上一点，M(0,3),半径为I,

20/40

=5+26,

\PQ\+\PF\=\PM\+1+\PF\<\MFX\+|P尸i|+\PF\+1=+2a+1

当且仅当M,星,P三点共线时，等号成立,

所以IPQI+|。尸|的最大值为5+26.

故选：B.

【题型9椭圆的实际应用】

【例9】（2025•广东韶关•模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢破混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、

跨大的特点，它打通了曲江区、演江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通

桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融