浙江省宁波市2024-2025学年高二年级下册期末考试数学试卷

浙江省宁波市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4={xxG-l)=0},3={1,2,3},则/U8=()

A.⑦B.{l}C.{0,1}D.{0,1,2,3}

2.已知向量一二。,2),岳二&-4),且a•与厂共线,则实数x二()

A.2B.-2C.8D.-8

3.已知a>0且31,财’0<a<L是"石，"的(；

7

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知函数/。)=85("0乂0”*的部分图象如图所示，则将该函数图象向左平移二

5.某街区的交通道路如图1实线所示，从A处出发，沿道路以最短路径到达3处，则选择

如图2实线所示的道路到达8处的概率是()

6.已知3sinx+4cosx二4sin(x+8)对于YxWR恒成立，则sin28=()

试卷第I页，共4页

7.已知四棱锥S-/8CQ的底面是矩形，54，平面力灰弟，若直线SC与平面45C。，平面

S49和平面双。所成的角分别为a,B，丫，则（）

A.cosa+cosS+cosy=应B.cos2a+cos2/?+cos2/=1

C.sinor+sin^+sin/=V2D.sin2a+sin2/3+sin2y=1

8.己知定义在R上的偶函数/'（x）满足记人=[2hl,2A+l],AWZ.当x£/。

时，/G）=9.记MA={J关于x的方程f（x）=log,（x-k）在4上有两个不相等的实数根},

则M=（）

A.(1,2]B.[2,+oo)C.(1,4]D.[4,+00)

二、多选题

9.已知复数Z1=l+i,z2=l-i,且Z1,Z2在复平面内对应的点分别为Z1,z2,则（）

A.|zi|=z2B.4,Z?关于原点对称

Zz

C.z}z2=I-2D.，+口二°

4Z]

rncY

10.已知函数/（司=2+,亩丫，则下列结论正确的是（）

A./（工）是偶函数B.]是奇函数

C./（x）是周期函数D./G）/。,?上是减函数

I2>

11.棱长为1的正方体/14CQ-小与GR中，点尸是线段4/上的动点（包括端点），则（）

A.三棱锥Q-PC。的休积为定值

B.点P到平面力8CQ的距离与点P到点。।的距离之和的最小值为1+立

9

C.当点P与点出重合时，四面体。8G。的外接球的表面积为4兀

D.上力。。的正切值的取值范围是[1,及一

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.已知函数716）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，/（A）=g，则，（5）：/.（-2）=.

13.已知正实数。，b满足则9的最小值为---.

ab

14.设实系数一元二次方程％/+〈口+〃。=0（生/0）有两个不相等的实数根内，M，则原方

程可以变形为色（XF）（.「&）=0，展开得生/-%（修+工2卜+呼屈=0，由此，我们可以

得到内+当=-旦，■.类比上述方法，如果实系数一元三次方程

%/+2++何=0Gw0）有三个不相等的实数根内，心，与，我们也可以得到类似的

结论.已知关于X的方程x3-WX+c=0（ccR）有三个不相等的实数根为，不，与，11

再＜玉＜七，则X]+X-的取值范围为.

四、解答题

15.某中学高一年级1000名学生中，男生有600名，女生有400名.为调杳该校高一年级学

生每天的课后学习时间，校照性别进行分层，并通过比例分配的分层随机抽样从中抽取一个

容量为200的样本进行调查，得到如图1（男生）、图2（女生）所示的频率分布直方图.

图1

（1）求抽取的200名学生中每天的课后学习时间落在区间[2.5,3.5）的男生人数;

（2）估计该中学高一年级全体学生每天的平均课后学习时间（注：同一组数据用区间中点值

作代表）.

16.已知单位向量二，口的夹角为夕

71—0———•

（1）若°=求e-e，在G上的投影向量（结果用的表示）；

试卷第3页，共4页

《浙江省宁波市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案DBACCBDDADBCD

题号11

答案ABD

I.D

【分析】先解方程求出集合A,再根据并集的定义即可得出答案.

【详解】因为x(x-l)=0,解得：x=0或x=l,所以"={o,1}，

因为8={1,2,3},所以44={0/23}.

故选：D

2.B

【分析】由向量共线的坐标表示列出等式求解即可.

【详解】因为方与,共线，

所以2x=-4,

解得x=-2,

故选：B

3.A

【分析】分0<a<1、a>1两种情况讨论，利用指数函数的单调性解不等式〃">：可得

出实数。的取值范围，利用集合的包含关系可得出结论.

।11

【详解】当0<。<1时，由a。>石=/可痴<彳，此时0<。<5，

当时，由可得此时。>1，

所以，满足不等式相>a的实数。的取值范围是•4或a>,,

因为是，a0<a(g或,1)的真子集，

故"0<a<L是"/>&，的充分不必要条件.

故选：A.

4.C

答案第1页，共15页

【分析】先根据图象/(0)=¥得。=，，再根据图象平移求解.

【详解】根据图象，/⑼=cos°=*，0<°<泉

所以8=；,则/(x)=cos(x+B,

nkO>

//\\

则将该函数图象向左平移四个单位后得到的函数为尸cosX+?+2=cos

6kk6J6；

故选：c

5.C

【分析】利用组合数与分步乘法计数原理，计算出图1中从A处出发到达8处的最短路径数，

并计完出图2中从A处到达8处的过程中最短路径数，然后利用古典概型的概率公式，即可

得到结果.

【详解】根据题意，图I中从A处出发到达〃处的最短路径需要经过两横两纵四段短路.

所以最短路径数为C：=6种路径，

图2中从A处出发到达8处的最短路径有两种情况：

第一步走纵，只有纵纵横横一种路径；

第一步走横，到达如图所示的。处，

从C处到达4处的最短路径需要经过一横两纵三段短路，

所以最短路径有C；=3种路径，

以上两种情况相加共4种路径，

所以选择如图2实线所示的道路到达4处的概率是4一=乡2

故选：C

6.B

【分析】利用辅助角公式及二倍角的正弦公式即可求解.

答案第2页，共15页

【详解】•.,3sinx+4cosx=5(jSinx+不。sx=5sin(v+0),其中cos6=q,sin6=g,

4324

sin26=2sin6cosO=2x—x—=—.

ss7S

故选：B.

7.D

【分析】根据已知条件中的垂直关系结合线而角定义，确定直线SC与平面488,平面S45

和平面S/1。所成的角，求出各角正弦、余弦的表达式，逐项验证求解即可.

【详解】

因为S4_L平面/8C。，因为力CL平面/8C。，所以S力J_/C,

△S力C为直角三角形，

所以直线SC与平面所成角为上SC4,即上SO=a,

因为力BCD为矩形，所以V/18C为直角三角形，

所以4C=y)AB2+BC2=xla2+b2.

在Rtzxs/c中，sc=必+6r+?

SAACV77¥

所"by,coscr=——=,=,

222

+C-SCy]a+/>+C

因为"C。为矩形，所以8C-LZ8,

因为S/lJ.平面ABCD,BCL平面ABCD,所以"±BC,

又因为S/iL平面S/8,4平面£48,SAC\AB=A,

所以BC±平面"8,因为SBL平面S/8，所以8CJLSB,

△SBC为直角三角形,

所以直线SC与平面弘8所成角为上8SC,即上3SC=B,

因为弘_L平面片8cO,48u平面力8C。，所以W_L43,

在RtAS/3中，SB=JSA2+AB2=Ja2+c2-

答案第3页，共15页

・z>b[a1+d

所以cos8

\la2+b2+c2

因为/出。为矩形，所以CQ_L4),

因为"_L平面48C。，(工＞(2平面48。。，所以S4j_CZ),

又因为“C平面S4。，HOC平面SZ。，SAC\AD=A,

所以CQ±平面SW,因为SQC平面SW,所以。。±SD

△SCO为直角三角形，

所以直线SC与平面S4。所成角为上DSC,即上QSC=Y,

因为S/1>!,平面48CO,4。C平面力8c。，所以

在RMS/O中，SD=ds#+AD2=>]b2+c2，

.aJb2+c2

所以s»V=/,、、，cos八J」

JQ+b+c\ja~+b2+c2

AA\la2+h2.Ja1,J/Z+c?

对于A,cosa+cos6+cosy=/+/+/

L2+b»2V7777?J/+:+c：

\la2+b2+>Ja2+c2+后+C2rr

-----------------------1------------*v2,A错误:

>Ja2+b2+c2

a2+b2a2+c2b2+c2

对于B,cos%+cos?6+cos7-2f"?2'-27?2।?

a'+b'+ca~+/)•+ca-+/)-+c

=2(，+/+。2)B错误；

222

a+b+c

..0.cba

对干C.sina+sin6+sin;=.=+.=+.=

=消答r3，c错误；

\Ja~+b+c~

2t22

对于D,sin2a+sin26+sin2/=------；——-H—；——；——；H―；——；——：

a'+b-+c-a-+b-+c-a-+b~+c2

=，+*+，」,D正确.

a'+b'+r

故选：D.

8.D

【分析】根据函数的奇偶性及/(2-x)=f(x)确定函数的周期性，再根据已知条件确定xWA

时的函数解析式，将问题转化为函数必=(/-3)?,8=在，@[2,4]有两个交点，结合函

答案第4页，共15页

数的图像性质、值域即可求解.

【详解】因为/•(》)为定义在R上的偶函数，所以/(-x)=/(丫)，

又因为/(2-x)=/(x),将x替换7则有/(-X)=/(2-A),

即/(工)=/(工+2)，所以/(工)为周期为2的周期函数,

根据题意,即时，/(x)=x2,

A=[5,7],也£[5,7]时，.[6£[-1川，B|Jx-6G4，

因为函数/G)为周期为2的周期函数，

所以/(x)=f(x-6)=(x-6)2,xW[5,7],

根据已知条件，(x-6)2=log.,(x-3),在xw[5,7]上有两解，

令/=x-3,则/42,4],方程变为。-3)'=log/,/e[2,4],

令%=(/-3)1y2=logu/,根据题意两函数在，日2,4]有两个交点，

乂=(f-3)1/£04],为对称轴为/=3,值域为[0,l]的抛物线，

y2=log,/，ie[2,4],为对数函数，logj=0,lo&a=1,

当0<a<l时，出数外在，£[2,4]上单调递减，两个困数没有交点，不合题意:

1,,

当a=4,log42=-<(2-3)-=l,log44=l=(4-3)-=l,

此时，两函数在f£[2,4]上恰有两个交点，符合题意：

当1<a<4时，y2=log,,t单调递增，根据lo&4>logda=1,

两图像最多有一个交点，不合题意；

当。>4时，必=log,,，单调递增，根据lo&4<log,,a=\,

两图像有两个交点，符合题意；

答案第5页，共15页

综上所述，a的取值范围为［4,+8),所以此二［4,+8).

故选：D

9.AD

【分析】由已知求复数的模，并写出对应点判断A、B；再应用复数的乘除运算判断C、D.

【详解】由题设|「J=|l+i|=&=|l-i|二|二"，A对，

且乙(1,1),2式1,-1),则两点关于x轴对称，不关于原点对称，B错;

z1z2=(1+i)(l-i)=2,而为-Z2=(1+i)-(1-i)=2i,C错;

二।二2用I(“I(l-i)22i-2i

—I—=+=----------+u-I-—=A0,D对.

二，2,1-i1+i(l-i)(l+i)(1+i)(l-i)22J

故选：AD

10.BCD

【分析】利用函数的奇偶性和周期性的定义计算可判断ABC,利用导函数判断函数的单调

性可判断D.

【详解】函数/(力=一^■的定义域为R,

'94-cinr

COSX

对于A,因为/(T)工/W，所以,/(X)不是偶函数，故A错误:

2+sin(-j)2-sinx

n

cosx+J

对于B,小+升【2』n

就？设函数g(x)=/x+—彳网上：其定义

2+sinfx+-2J2+cosx

I2.

域为R,

则g/l)=向—sin(二―^)TsEinxT区,储、：所以J小+兀5、,是奇函数，故B正确;

cos(x+2n)cosx

对于C,因为/(X+2兀卜=/&)所以/(x)是周期为2兀的周期函

2+sin(x+2n)2+sinx

数，故C正确:

-2sinx-l71'

对于D,求导可得/'(')=xe0—时，sinxG(0,1),贝iJ/(x)<0

(2+siru)"k2；

所以/(x)在危)上是减函数，故D正确.

答案第6页，共15页

故选：BCD.

11.ABD

【分析】对于A,证得4B//平面即可判断；对于B,对立体图形进行展开形成平面

图形即可求最小值；对于C,点尸与点出重合时，四面体P8G。的外接球即为正方体的外

接球，然后直接可求表面积：对于D,由题可得平面,得到AD±AP,所以

3nB叩然后可求范圃

【详解】过P作PQ人4B交工B与。,

对于A,在正方体力8C。-小品GR中，A、B//CD、,

又力/丈平面CQO］，

所以48〃平面C£>£\,即点尸到平面CZ)£\的距离为定值,

故三棱锥a-PCD的体积为定值，故A正确：

对于B,过P作尸0工交48与。，则尸。工平面力8CD,

P0L平面力/由，Q】Pr■平面48cQ,

把平面443沿小5展开,

所以当D|P_L/A时，距离之和取得最小值,

又AR=AB=AAJAB=RBD[=也

答案第7页，共15页

/.NAB—psinZJ,BD,=y-,cosZJ,BD,=g.

sinZD、BQ=sinN4DD^+—I=—x—4---=—4-----,

I4）2133J63

。［0=。］8sin上03。=Vix曰+乎=1+*：故B正确；

对于C,点，与点出重合时，四面体P8G。的外接球即为正方体的外接球,

所以此时外接球直角为体对角线，则表而积为3兀;

对于D,在正方体/8CQ-4与G3中，

力。_£平面446，又/1PC平面44乃，所以力QJL/P,

AH］

所以tan上APO=——=—

APAP

Jy

又当/P_L小8时，力尸取得最小值3，

当尸与点小或点8重合时，/P取得最大值1,

：tan.tAPD=—［hV2］故D正确：

故选：ABD.

12.1

【分析】根据函数是奇函数的定义结合对数运算化简求值.

【详解】因为函数/'（X）是定义在R上的奇函数，所以/（7）=-/（X）,

当X>0时，/（x）=Igx,贝犷（5）二/l（-2）=lg5+/（2）=lg5+lg2=IglO=1.

故答案为：1.

13.3

【分析】由基本不等式即可得.

【详解】1+£=£+^+£=1+^+£>1+2/^£=3,当且仅当即a=6=，时取等号,

ababab\aba®2

所以J_+9的最小值为3.

ab

故答案为：3.

（।3、

14.-I,--

l4,

答案第8页，共15页

3

+

【分析】本题可先根据三次方程根与系数的关系得到M+4+马=0，V2+V3^3=--.

天与七二-C，再结合函数性质求解修+与它的取值范围.

【详解】由题意93+44+%+的=0(的H0)可以变形为的(.V-XI)(X-X2)(A--X3)=0.

展开得：的?-%(X]+X2+占卜2+。3(x]X2+X|X3+X/3)X-。/亡汨=。，

所以X+X,+弓=-三，X|X,+X/3+占七=—

a,a.

3

3

三次方程X--X+C=0的根A|,X2,X3,

4

所以X1+七+》3=0，X]X2+X2X3=-j,xix2xi=-c,X]+七》3=X|+（4毛）.

由X,=-x2-x3,代入得：圣/=_1_$（/+马）=_1+X；.

因此：耳+x2xi=&+X；_9=X；+&

因为方程有三个不等实根，令/。)=父-，+c,/'(x)=3x2—；

1/1>/,、

令/'”)=0,^x=±-.xe-00,--,f(x)>0f单调递增，

2\乙)

工(X)<0,/(X)单调递减，1£仁,+8、/'(x)>0,/(X)单调递增,

所以/W的极大值为/

/(V)的极小值为-^-xUc=-Uc,

’n⑴ii

要有三个不等实根，则/一二＞0且/7＜0：即一二＜。＜二.

、2)44

又为是最小根/(xj=0则占＜一：，且/(-l)=-l+]+c=c-；＜0.

所以再ef-L-y.

令g（x）=/

4I2）

3(n

?(-1)=-7，g-T=T，

/、(3)「3、

因此，g(Q的取值范围为一「了，即不+必.巧的取值范围为：一1,一1

14yl＜4；

答案第9页，共15页

故答案为：-1,一1[

I4，

15.（1）72人

（2）3.28小时

【分析】（1）由分层抽样的比例计算可得；

（2）先由频率分布直方图计算平均数，再由分层抽样中平均值的计算估计即可.

【详解】（1）山咫意得，抽取的200名学生中，男生人数为200x儒=120人，

由图1得，所求男生人数为120x0.6=72人；

（2）设样本中男生每天的平均课后学习时间为彳，样本中女生每天的平均课后学习时间为），，

高一年级全体学生每天的平均课后学习时间为W,

由图1得x的估计值为2x0.1+3x0.6+4x0.3=3.2,

由图2得，的估计值为2乂0.1+3x05+4x0.3+5*0.1=3.4,

因此底的估计值为技+§=3.28,

即该中学高一年级全体学生每天的平均课后学习时间的估计值为3.28小时.

⑹（1）|"不

八兀5兀

⑵O'KT

_oo

【分析】（1）根据投影向量的定义求解即可；

C2：将两边同时平方得上+4COS6/+320,再根据判别式求cos。的取值范

围即可.

【详解】（1：由夕=不得（1+初弓•[=?,

所以「+在二上的投影向量为[（《+S）.。,二.

（2）由|儿/+2e121得（K1+£2），21，

即芯+4cos6.*+3>0对任意实数才恒成立.

所以A=16cos20-12<0,

解得一<cos0<.

22

又因为6G[o,n],

答案第10页，共15页

所以.

_o6

17.（1）证明见解析

【分析】（1）结合圆周角和面面垂直的判定定理证明可得:

（2）过点A分别作力，_LPC于点〃，AK_LPB于点、K,连结K”,先由线面垂直的判定定

理证明P4_L〃K,得到二面角的平面角，再由几何关系求出即可.

【详解】（1）因为产力_1_平面"C,8cL平面力4C,所以产力JL4C.

因为点。是圆周上不同于A,B的任意一点，月3是。。的直径，所以4CJLAC.

又因为ain/ic=力，p/「平面p/c,4cL平面2ic,所以8。_1_平面尸/c.

乂8cL平面P8C,所以平面P4CJ-平面PBC.

（2）过点A分别作/，」.尸。于点〃，/IK_LPB于点、K,连结K”.

由平面P/1C_L平面P8c,平面p/cn平而PBC=PC,得力〃_L平而PC4,

所以/1，_LPB,

又因为PB_L4K,AKnAH=A,平面4/K.

所以。8_|_平而力〃＜，故P8_L〃K,

所以二面角4-P8-C的平面角为上/4K〃.

不妨设"=2,

因为上。射二45。,上48c=30。,所以尸4=2,AC=\,PC=45,PB=26

2

在力。中，4H=忑，在&PAB中,4K=JL

所以HK=/AK2-AH2=叵所以cos上4K〃=妙二姮.

SAKS

18.⑴8

⑵⑴立：（ii）如

4S

答案第11页，共15页

【分析】⑴选①切化弦化简得出结合角的范围求解：选②由正弦定理结合两角差

的余弦公式计算得tanB=3结合角的范围求解；选③由正弦定理结合两角差的正弦公式计

算得cosB=1结合角的范围求解；

（2）（i）应用两角和的余弦公式计算得出siMsinC='结合正弦定理及面积公式计算；（ii）

4

应用余弦定理得出〃+c="，再应用面积公式计算得出且，最后求出中线即口J求解.

【详解】（1,选①：由a（tan4+tanB=2ctaM,得。一;+--=2c----

ICOSJCOSDJCOSJ

.,sinC-.「sinJ,~,1

所以si---------=2sinC-----因为sin/1>0,sinC>0,解得cosB=一，

ccq/ccsRccq47

又因为8£（0,兀）,所以8=1.

/\（兀、

选②：由6sinJ=acosB--得sinBsin/l:sitvlcosB一一.

所以sin8=cos即sinB=*cosB+*in8解得tan8=J^，

又因为8£（0,兀），所以8=1.

选③：由（a-c）sin8=Z>sin（B-C）,得（sinJ-sinC）sinfi=sinBsin（B-C）,

所以sin力-sinC=sin（B-C）,所以sin（B+C）-sinC=sin8cosc-cosAsinC,

即2cos5sinC=sinC,因为sinC>0,解得cos8=-,

2

又因为8W（0,兀），所以8

[2：由8=工得cosB二一cos（4+C）=sin/sinC-cos/cosC=—

因为cosJcosC=-一，所以siMsinC=—，

44

根据正弦定理「二=2得=4sinJsinC=1.

sin力sinHs二inC

（:\c1«•RV3

⑴=—acs\nB=—.

ABC?d

（ii）由余弦定理得cos8=-1c'-",所以_L=（4+c）-5所以0+c=&.

Dac?7

=

由S/viscS/、ABD+S△灰7）,得^~=—C'BD'-+—u-BD,—।所以8。——————

d99?9n4.r9

答案第12页，共15页

因为(28E)2+〃=2("+，)，所以B£2=2(a+c)解得BE=延,

dd2

所以殷=巫.

RES

19.(l)[-l,+oo)

(2)5

⑶-2-2灰4”-2-20

【分析】(1)由分段函数和二次函数的性质直接判断可得：

(2)变形不等式后分x的取值范围讨论可得；

(3)结合二次函数的性质分-24。<0和“<-2两种情况，转化为区间上存在两个不等实根

问题，列不等式组求解可得.

【详解】(L当"0时，/。)=胃+2,+1|=上一心

x-2x-2yx

其中j，=f+2》+2开口向上，对称轴为x=-l,故在[-1,+8)上单调递增，

y=f-2x-2开口向上，对称轴为x=1,故在(-8,-])上单调递减，

所以/1(X)的单调递增区间为[-1,+8).

(2)山题知，x2+2ax++(«-2).v-21>x+2-,

即辰2+(4_2)x_2|2_/2