数列求和（1大考点+9大题型）-2026年新高考数学一轮复习（讲义+专练）解析版

6.5数列求和

目录

01课标要求........................................................................2

02落实主干知识....................................................................3

一、数列求和常用方法..............................................................3

常用二级结论......................................................................3

03探究核心题型....................................................................5

题型一：观察法....................................................................5

题型二：公式法....................................................................8

题型三：分组求和法...............................................................10

题型四：错位相减法...............................................................12

题型五：裂项相消法之等差模型.....................................................16

题型六：裂项相消法之等比模型.....................................................20

题型七：裂项相消法之其它模型.....................................................23

题型八：倒序相加法...............................................................30

题型九：并项求和法...............................................................34

04好题赏析（一题多解）..........................................................41

05数学思想方法...................................................................44

①数形结合.......................................................................44

②转化与化归.....................................................................47

③分类讨论.......................................................................48

06课时精练（真题、模拟题）......................................................50

基础过关篇.......................................................................50

能力拓展篇.......................................................................58

1/75

01课标要求

（1）熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.

（2）掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.

2/75

02落实主干知面］|

一、数列求和常用方法

一.公式法

（1）等差数列｛%｝的前〃项和=推导方法：倒序相加法.

na｝,q=\

（2）等比数列｛%｝的前〃项和S“=・囚（1―/”），推导方法：乘公比，错位相减法.

i-q

二.几种数列求和的常用方法

（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和

时可用分组求和法，分别求和后相加减.

（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前〃

项和.

（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那

么求这个数列的前〃项和即可用错位相减法求解.

（4）倒序相加法：如果一个数列｛为｝与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么

求这个数列的前〃项和即可用倒序相加法求解.

常用二级结论

111

(1)----------=------------

n(n+1)nn+1

]

(2)

n(n+k)

(3)______

4n2-l22w-l2n-V

1_11_________]

(4)

〃(〃+1)(〃+2)-5+-(〃+l)(〃+2)

(5)

n(n2-1)n(n-1)(//+1)2(/?-1)/?n(n+1)

—；----=—1+--------------------

4n2-14|_(2/?+1)(2/?-I)

3/75

3〃+l4(+1)-(«+3)11、,11、

---------------------------=------W----------------------=4(------------------)—(-----------------)

(zz+1)(/?+2)(/7+3)(〃+1)(〃+2)(〃+3)n+2〃+3n+1〃+2

(8)〃(〃+1)=4-1)(〃+2)-(〃-1)〃(〃+1)].

(9)n(n+1)(〃+2)=+1)(〃+2)(〃+3)-(〃-1)〃(〃+1)(/:+2)]

]]1

(10)

〃(〃+1)5+2)(〃+3)3++2)(〃+1)(〃+2){〃+3)

2/74-111

(11)

/S+lfn2(n+1)2

〃+1111

(12)

〃2(〃+2>4n2(M+2)2

4/75

03探究核心题型

题型一：观察法

【例题1】（2025高三・全国•专题练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》•书中记载的三角垛、

方垛、刍童垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个,

第三层有6个，第四层有10个，…，设第〃层有。0个球，则,…L的值为（）

%a2%^2025

2024八20252025

A.2B.----C.----D.----

202520261013

【答案】D

【解析】依题意，4=1,%=1+2,%=1+2+3,…,4=1+2+3+…"

,12J\\}

则一二（...........-，

atl+1〃n+i）

11

所以L+-!-+L+…+=2

I22334

/%%a20252025

故选：D.

【例题2］（24-25高二下•广西桂林,期末）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角''拓

展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数1,!，［，L,构成数列{4},其前〃项和

361（）

为S"，则名|=（）

5/75

1

2

2

33

\_\_

121

464

11

5ioio5

L

313939

A.B.D.—

162040

【答案】A

2I22&J=JL

【解析】根据题意可知，％…市-=----,a,=-1-=

32x3-6374'1()4x5

以此类推,凡二.

\nn+\

所以其前〃项和，=2("!+3一!+；一:+…左12〃

〃+1/?+l

2x316231

所以S3产

31+13216

故选：A.

【解题总结】

先分析数列通项的特点，再选择合适的方法求和是求数列的前项和问题应该强化的意识.

【变式1](2025•浙江绍兴•二模)已知虚数数列%=(l+i)”,则其前4〃项和为()

A.[l-(-4)n](l-i)

B.

D.gl-(-4)[(i-l)

【答案】B

【解析】由题设q=1+i,。2=方,a3=-2(l-i),a4=-4,则为+%+/+%=5(1),

as=-4(1+i),a6——8i,a7=8(1-i),as=16,则可+%+g=_2O(i—1),

ag=16(l+i),tr10=32i,=-32(l-i),al2=-64,则由+片。+%+6?=80(i-l),

a

a=-64(1+i),a14=-128i,aiS=128(1-i),ai6=256,l|lija13+aN+a15+ai6=-320(i-1),

L,

依次类推，a4n_3+aAn_2+/z+%“=5•(-4产(i-1)，

1-f_4V

所以其前4〃项和为戈臼+⑷+臼+川+…+㈠尸]”…":/(1)=-](i-l).

1-(-4)

6/75

故选：B.

【变式2](24-25高二上•黑龙江绥化•阶段练习)对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两

项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列1,5进行构造，第1次得到数列I,6,5,第2次

得到数列I,7,6,II,5,依此类推，第〃次得到数列1,X，七,…,5.记第〃次得到的数列的各项之和为

S”,则｛S“｝的通项公式S〃=()

A.3n+,+3B.3n+,+1C.3"+3D.3fl+,

【答案】A

【解析】依题意，5=1+6+5=12,5,=1+7+6+II+5=12+18=12+6x3,

22

S3=1+8+7+13+6+17+11+16+5=12+18+54=12+6x3+6x3=124-6x(3'+3),

=1+9+8+15+7+20+13+19+6+23+17+28+11+27+16+21+5

=12+18+54+162=12+6x3+6x32+6x33=12+6X(3)+32+33),

S“=12+6X0+32+33+…+3”T),

由等比数列的前〃项和公式，得£=12+6x3d7）=34+3,

1—3

所以｛S,J的通项公式S.=3向+3.

故选：A

【变式3］（24-25高二上•全国•课后作业）观察下列式子:

Ix2=-(lx2x3-()xlx2)；

2x3=-(2x3x4-Ix2x3)；

3x4=y(3x4x5-2x3x4)：

根据规律，则Ix2+2x3+3x4+…+2022x2023等于()

A.-x202lx2022x2023

B.-x2022x2023x2024

3

I(2021x2022x2023-1x2x3)

C.

1(2022x2023x2024-1x2x3)

D.

【答案】B

7/75

【解析】由规律可得〃X(〃+I)=+1)x(〃+2)-(〃-+,

J

所以Ix2+2x3+3x4+…+2022x2023

=^x(1x2x3-0x1x24-2x3x4-1x2x3+3x4x5

一2x3x4+…+2022x2023x2024-2021x2022x2023)

=gx(2022x2023x2024-0xlx2)=1x2022x2023x2024.

故选：B.

题型二：公式法

【例题3】(25-26高三上•四川内江•阶段练习)已知｛4｝是公差为2的等差数列，的｝是公比为2的等比数

列，满足力2T也=。2-1.

⑴求数列｛%｝,｛"｝的通项公式；

(2)记｛%｝，也｝的前〃项和分别为S.U，若s“=",求〃的值.

【解析】(1)由题意得仇=24,的=4+2,

又因为82=4]-1也=%-1，

则的-1=2(4]-1),乂。2=6+2

解得见=3,可得小=2,

因此q=4+2(〃-1)=2〃+1,"="•27=2n-l.

n

(2)由(1)得S.=3+?+l.〃=〃e+2),rn=^-=2-l,

由S'=】，得〃(〃+2)=2*-1,即〃2+2〃=255,解得〃=15.

【例题4】(25-26高二上・甘肃兰州•阶段练习)已知数列｛q｝的前〃项和为S”，且满足q=18,

5旬=5”+%-2.

(1)求证：数列｛q｝是等差数列；

(2)记4=|&|,求数列｛4｝的前22项和.

【解析】(1)因为析M=S.+%―2,

所以S,+「S.=可一2,即。=-2.

又％=18,

所以数列｛4｝是以18为首项，-2为公差的等差数列.

8/75

(2)Ftl(1)知q=18+(〃-l)x(-2)=20-2〃，

可知，当时，an>0,\aa\=\20-2n\=20-2n,

当心11时，4<0,|%|=|20-2”|=2〃-20,

所以数列｛4｝的前22项和为(18+16+…+2+0)+(2+4+…+24)

J0x(0+18)J2x(2+24)=246

22

【解题总结】

针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式

求解.

【变式4](25-26高二上・甘肃•阶段练习)已知等比数列｛/｝的各项均为正数，%=2,邑为其前〃项和，

且4+2s2=S3.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若句=254,求〃的值.

【解析】(1)设等比数列｛%｝的公比为9,q>0,

由4+2s2=S3,得q+2al+2a2=at+a2+%,

整理得。3-2《一生=0,

2

即aiq-2a｝-aiq=0.

又q=2,则g2f_2=0,解得2或9=7.

由题知9>0，所以2,

所以数列｛q｝的通项公式勺=2X2"T=2”.

(2)由题知s=———=2,,+|-2»

”1-2

令2川一2=254，得2"+|=256=2.，

故川=7

【变式5](25-26高三上・北京・开学考试)已知公差为正数的等差数列血｝满足4=1.20%-1，%+1成等

比数列.

(1)求应｝的通项公式;

(2)若外,牝分别是等比数列也｝的第1项和第2项，求使数列｛3｝的前〃项和7；〈翡的最大正整数〃.

【解析】(1)设等差数列｛%｝的公差为d(d>0),由2q,%-l4+l成等比数列，

得他-l)2=2《(q+l),则(2d)?=2(34+2),即2/-3"-2=0，

9/75

则d=2,所以%=q+2(〃-1)=2〃一1.

(2)由(1)知：々=%=3也=%=9,等比数列也｝的公比g=3,b.=3",/="，

11；。一！)11

数列｛二｝是首项、公比都为:的等比数列，则-f-=-0-)，

%3I-A23

3

9911991I

由71而’得5。一干)<而’贝而’即3~100'而数列｛*单调递增’

\9\f乙JX»"zJ1\/\J

又34v100<3,M€N\因此曾“,

所以所求最大正整数〃为4.

题型三：分组求和法

【例题5】(25・26面三上•内蒙古不学考试)已知数列｛4｝,｛4｝分别是等差、等比数列，且

%=-\,a2=4=1也=%.

⑴求｛%｝，也｝的通项公式；

(2)求数列｛(+2bn］的前〃项和S。.

【解析】(1)设｛4｝的公差为心也｝的公比为夕，

则d=%-q=2,所以(=T+2(/?-1)=2/i-3；

所以。3=3,则4=卜=1=3,所以"=々夕小=3"，

(2)由(1)可知〃,+2“=2〃—3+23i,

则S(q+%)〃+2x4°W)=(7+2〃一叫3"-1=3"+〃.

”2\-q2

【例题6】(河北省十六校2025-2026学年高三上学期10月份联考数学试题)设等差数列｛4｝的前〃项和为

S“,且。2=5,Sg=99.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)设“=2%+4,求数列他｝的前〃项和7；.

【解析】(1)设等差数列｛%｝的公差为d.

%+d=5,

由题意可得入9x8

=99,

10/75

解得q=3,d=2,

则”“=q+(n-\)d=3+2(/?-1)=2//+1.

(2)由(1)可知。”=2〃+l,则"=2*+2〃+l,

故7；=a+a+4+…+"=(23+3)+(25+5),2,+7)+---4(2^,+2〃+)

=(23+25+274-•+22fl+,)+(3+5+7+-+2w+l)

2'x(l-4")(3+2/7+1),?

=1+

1-42

22"+3+3H2+6«-8

3

【解题总结】

(1)分组转化求和

数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列

或可求前〃项和的数列求和.

(2)分组转化法求和的常见类型

Q『6"土。"，｛人卜^^为等差或等比数列

分

求

组

|乩，〃为奇数，求

的，一［c“,〃为偶数，和

和

｛6j,｛c1为等差或等比数列

【变式6】(25-26高三上•北京•阶段练习)已知等比数列｛6,｝满足《十%=3,q+%=24.

⑴求应｝的通项公式；

(2)设，=4+2〃，求数列｛"｝的前〃项和S。.

【解析】(1)因为等比数列｛%｝满足/+%=34+%=24,

:m=24,两式相除可得八8,解得

则

所以｛%｝的通项公式为/=%/1=2"7

nl

(2)bn=atl+2n=2-+2n.

所以

1x(1—2")〃(〃+]),

S'="+4+4+,••+“=2°)1+2x1+2'+2x2+22+2x3+…+2+»=—-----42x―22n-\+n2+n

123|-22

【变式7](25-26高三上•吉林•阶段练习)在等差数列｛4｝中，％=4,%+4=12,在等比数列也｝中,

4=9,公比g=3.

⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式;

11/75

⑵若％=/+”,求数列｛/｝的前〃项和S..

【解析】(1)在等差数列｛4｝中，％=生署=6,则公差"二与二?=1,(=&+(〃-3)〃=〃+1；

在等比数列出｝中,4=9,公比q=3,则a=64-2=9x3""=3",

所以数列出｝和低｝的通项公式分别为。“=〃+1,b,=y.

(2)由(1)得1=〃+1+3",

所以数列£｝的前〃项和S“=[2+3+4+…+(〃+1)]+(3+32+33+…+3")

〃[2+(〃+1)]3(1—3")〃2+3-3+3””

=------------卜-------=---------------

21-32

题型四：错位相减法

【例题7】(安徽省部分学校2025—2026学年高三上学期10月联考数学试卷)已知在数列｛%｝中,

,/-1

%=5,an=anA+2+2(/?>2,//eN*).

(I)证明：数列｛4-2”｝是等差数列，并求｛%｝的通项公式：

(2)设2喙,求々的前〃项和邑.

【解析】(1)由%=%T+2”T+2,则%一2"=/T+2"T+2-2"=勺T—2'"+2,

故(q一2")-(仆「2"T)=2,Va,-2'=5-2=3.

故数列｛4-2"｝是以3为首项，2为公差的等差数列，

则a,「2"=3+2(〃-1),即勺=2"+2〃+1；

.八/a2"+2〃+1.2〃+1

⑵"逮u=­彳—=1+-^«

1110,3,5,2〃+1352〃+1

则S“=1+-+1+—4--+1+-----=〃+-+r+…+-----，

“22?2〃22^2〃

1cn35In+1

贝」衿=]+尹+m+…+方二，

c1c1c/732222〃+1

以，\=彳+彳…+获一_7羸-

12/75

故S'=〃+5—亭.

【例题8】(25-26高三上•天津滨海新•阶段练习)已知｛0｝是等差数列，其前〃项和为5"，｛"｝是等比数列,

已知q=l,53=6,»=%,《是久和&的等比中项.

⑴求｛4｝和也｝的通项公式；

(2)对任意的正整数〃，设%=?求数列｛c.｝的前〃项和Tn.

⑶若，“(〃+1)"-。”-1]225“-.对于〃6.恒成立，求实数〃，的取值范围.

【解析】(1)由q=1,S3=3%+号3x24=6,解得d=l,

所以4=1+(〃T)X1=〃；pllj4=&=2,

由％是4和2的等比中项,则82=4x4,解得”=16,

又由％=M3=16,所以<7=2,所以”=2X2"T=2".

1In-1

(2)由(1)可得%

42

2135

贝山“=e+c2+c3+---+c„++++

7；1352/7-1

5=3+^+梦+・'+~?71-.2n，

【々皿4口5,曰112222n-\

将两式相减得：或二万+尹+尹+…+亍7一下-，

化简得7；=3-竽.

(3)若〃((〃+1)/)„-an-\^>2s“一凡+1对于〃wN'恒成立，

即阳［(〃+1)2'-(〃+1)］22乂吗4一(〃+1)对于〃6旷恒成立，

2

化简得〃此亲二对于〃WN.恒成立，令Pn=等,

2—12—1

则用N(P")z，当〃=1时，Pl=14=0：

o+,n

n-\n(n-l)(2-1)-«(2-1)(〃—2)2"+l

所以当月N2时，"才口—产［=(2〃-1)(2向-1)—=(2z,-l)(2rt+I-l)

所以当〃22时，P”单调递减，当〃=2时，P2=g，

所以(P”)max=；,所以〃制.

13/75

故实数的取值范围为（内）.

【解题总结】

错位相减法求数列｛%｝的前“项和的适用条件

若｛。“｝是公差为d（d工0）的等差数列，｛2｝是公比为q（g予1）的等比数列，求数列也｝的前〃项和

%

【变式8］（25-26高二上•甘肃平凉•阶段练习）己知正项数列｛“,｝的前〃项和为，，口

a~t..=2Sn+〃+1,a,=2.

（1）求数列｛4｝的通项公式a.；

（2）若勿=%2,数列也｝的前〃项和为乙，求使2025的最小的正整数〃的值.

【解析】（1）当〃22时，

由=2Sn+n+La2=2,

得a；=2S.T+〃-1+1,

两式相减得晒-a；=2%+1,

即q；+i=。；+2%+1=3+1）2.

•:｛%｝是正项数列，

•4=凡+1・

当"=1时，a；=2q+2=4,

q=1,

二.%-q=1,

••・数列｛q｝是以《二1为首项，1为公差的等差数列，

2=〃•

(2)由(1)知”=。"・2"=〃-2",

.-.7：,=lx21+2x22+3x23+---+n-2\

23

27；1=IX2+2X2+---+(W-1)2"+〃2

两式相减得—T=2.(T-L

.2n+l

"1-2

=(l-/7)2n+1-2,

/.T„=(H-I)2,,*,+2.

.•.一%=〃2>0,

14/75

・•・1单调递增.

当〃=7时，7；=6x2s+2=1538<2025,

当”=8时，7；=7X29+2=3586>2025,

.•.使7；>2025的最小的正整数〃的值为8.

【变式9](25-26高三上•重庆•阶段练习)已知数列｛4｝的前〃项和为S,,当〃N2时，

且卬=；.

⑴求S.；

3”

⑵设“二丁,求数列仇｝的前〃项和小

【解析】(1)当〃22时，S；+a「g=0,即0=。£一%，

则S：=(用-Si)S”-(S”-S“T),即得5.,

即：一甘~=|,而当〃=1时，!=一=2,

故数列"是以2为首项，1为公差的等差数列，

故!=2+(〃-l)xl=〃+l,则£=」■；•；

〃+1

3”

(2)由题意得"=三=(〃+1)・3”，

故7；=2X3+3X32+3+〃.3"T+(〃+1)-3”,

贝IJ37；=2X32+3x3?+…+〃・3+(〃+。

fe-27；,=6+(32+33+---+J)-(^+1).乎।

=6+9X(TI)_(〃+]).3“J3_如±3叫

i-3v722

则7；=^1.3卅一；=([(2〃+1)-3"_1].

4Q

【变式10](25-26高三上•河北沧州•阶段练习)在数列｛%｝中，/=2,4=不*-.

2-。川

*'

(1)证明：数列为等比数列；

M2J

(2)求数列｛%｝的通项公式；

(3)设求数列也｝的前〃项和S”.

15/75

【解析】（1）已知勺二普」，两边同时取倒数得：-=^£1L=T!——.，

2-。川4K+14

Z、

两边同时加;可得：,+<=/一+：=!—+7，

2%22*42m+12）

11

1+万11

由此可得：-^\-=2,当〃=1时，一+彳=1,

±+1%2

42

因此得证：!为等比数列，其首项为1，公比q=2.

凡2

(2)由(1)可得：为等比数列，其首项为1,公比q=2.

1/2J

II2

因此可得：一+3=1・2小，得：%=£(“END

an22-1

b,l2r1

(3)由(2)可知：an=—^―(〃wN‘)，可得：n---,-7(«eN,)

fl

2-lan2

®7；=lx20+2x2l4-3x22+---+wx2n-,(1)

27；1=^2'+2x22+3x23+•••+/?x2n(2)

由(1)-(2)得:-7；=lx2<>+lx2l4-lx224-lx23+-+lx2B-,-nx2B

—-------L-nx2"="l+2"-nx2"，

1-2

解得:/;=(«-1)r+i.

S'二”「'(1+2+3+…+〃)=(-1)2+]—g."))=(-1)2/+:4(〃eN，).

题型五：裂项相消法之等差模型

【例题9]（25-26高三卜•四川成都•阶段练习）已知数列｛凡｝的前〃项和为工，日£=2Q“-2（〃WN）

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）若“=log2a21，C-=TT—»求｛%｝前〃项和人

【解析】（1）因为邑=2凡-2,

当〃=1时，可得S[=2q-2=q,解得q=2；

当心2时，可得SI=2%-2,

16/75

la

两式相减得an=2%-2al，即%=n-\；

可知数列｛4｝是首项为2,公比为2的等比数列,

所以4=2X2”T=2”.

（2）由（1）可知的”7=221，

则h“=iog2a2n_.=2/7-1,bn+i=2n+\f

］=\_(_1______J_、

可得c.二：-(2/7-l)(2/74-l)=2(2»-l-2w4-b

故［=G+G+q+L+cn

Ifl11111

------4---------F…+-----------------

213352〃-12n-\)

id二q

2(2H+1J2n+\

【例题10］（25-26高三上・四川泸州•阶段练习）已知数列｛%｝满足卬=：,0-，设"=%+a.

211

若对于任意〃wN•且〃22,都有二=£—+■；—.

（I）求。的值；

（2）求数列｛2｝的通项公式

d%3

-+-++

-•+4-

4生

【解所】⑴由题知数列出,是等差数列，则新品.

1八、1I3

•••4=7'(1—4"川=7，..•%=£，%=［，

L1L3

由可得：4二§+a,b,=-+a,

211

1

T1—+3—,解得:a=——

-+a-+a-+a2

48

（1）知：a=_；,4=_；，&=一;

（2）由

40o

则等差数列1公差为d=1Y=-6-1）=2

也Jb2b

・••数列是以-4为首项，-2为公差的等差数列,

17/75

,,1=-4+(.-1)(-2)=-2(.+1),

/.b=——.

2(〃+1)'

,1n

⑶证明：由⑴、⑵知%=45=许

〃+1

a-2)=(〃+】丫川

1=1+111

%—1—〃(〃+2)2nn+2

2(〃+1)

£1+2+…+=〃+If.111111111

2(32435n-\〃+lnn+2

4%4

1111

=?7+—=〃+-4-------

22〃+1〃+2,42\n+\7/4-2;

31113an.3

N”，/.n+-----+---<//+—,「.&+&+•••+<n+—

42(〃十1〃十24%ai4'

【解题总结】

(1)­=又，)

〃(〃+")knn+k

1111

(2)

〃(〃+1)(〃+2)2〃(〃+1)(〃+1)(〃+2)

(3)n(n+1)=+])(〃+2)-(/?-[)n(n+1)].

(4)n(n4-1)(〃+2)=—[zz(zj+1)(〃+2)(〃+3)--1)〃(〃+1)(/;+2)]

2〃+111

(5)

/(〃+1)2n2(〃+1)

【变式11](25-26高三上•天津武清•阶段练习)己知等差数列｛qj满足公差d〉0,“2+%=22,

44=117.等比数列低｝的首项”=1,她=81,夕＞0.

(1)求数列｛%｝,｛。｝的通项公式;

(2)数列｛%｝的前〃项和为S”，记数列｛9良｝的前〃项和为4,求1；

n

⑶若%=看,求数歹I」｛4〃七。“+J的前〃项和此.

【解析】(1)在等差数列｛%｝中，/+。4=%+/=22,而%q=117,

则的，%是方程炉-22》+117=0的两个实根,由d＞0,得知＞%，

18/75

解得。3=9,%=13,1=%-%=4,%=%+5-3)1=4〃-3,

在等比数列｛a｝中，由4=1,44=81,得/=81,而夕>0,则2=3"",

所以数列｛%｝,｛4｝的通项公式分别为。”=4〃-3,2=3"，

(2)由(1)得S.=也土誓&=2〃2一〃，池=(2〃-1).3"T,

2n

7；=1+3x3+5x32+7x3^+…+(2〃-1)X3"T,

37；=3+3x3"+5x3'+…+(2〃-3)x3"、(2〃-1)x3”,

两式相减得-27；=1+2(3+32+33+3,+…+3i)-(2〃-l)x3"

।2(3-3x3H-')..Y00M

=1+---j----(2«-1n)x3=-2-(2/7-2)x3♦

所以7；=(〃-1)3"+1.

(3)由(2)得q=-7—=---,4zz2c=--------=1H-----------=14-(—■-----

"2n2-n2/7-1(2〃-1)(北+1)(2〃-1)(2〃+1)22/7-12/7+1

所以吃=〃+4(]二)+(，」)+(!」)+.「+(」......-)]=,J+1(1———)

"233557277-12〃+122〃+1

n2n2+2n

=〃+-----=--------.

In+12〃+1

【变式12](25-26高二上•江苏•阶段练习)已知数列｛%｝为等差数列,2=11,牝=5.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛4｝前〃项和S.的最大值;

,2、

(3)求数列｛々二一｝前〃项和T”.

【解析】(1)在等差数列｛%｝中，由生=11,牝=5,得数列｛4｝的公差d=与二黑=-2,

所以数列M的通项公式为q=见+(n-2)f/=-2n+15.

(2)由(1)知。“=-2〃+15,数列｛%｝是递减数列，由。“>0,得〃K7,

因此等差数列｛/｝的前7项均为正数，从第8项起均为负数，

所以当〃=7时，数列｛4｝前〃项和取得最大值S产7("；%)=74=7x7=49.

22(2〃-13)-(2〃T5)11

(?)由(1)知-----=-----------------=---------\=-------

。”q+i(-2〃+15)(-2〃+13)(2//-15)(2//-13)2/7-152/2-13'

所以。=(-------)+(-------)+(-----)+…+(-------------)=-----------=

小人-13-II-11-9-9-72/»-152M-13132//-1313(2«-13),

19/75

题型六：裂项相消法之等比模型

【例题11】（25-26高二上•福建莆田•阶段练习）已知数列｛%｝中，S”为数列｛4｝的前〃项和，|才是首

项为1，公差为1的等差数列.

⑴求数列｛%｝的通项公式.

（2）若，,,=（-1）”"士一，记数歹U｛c“｝的前2〃项