数与式-中考数学必背知识手册

考点01数与式

实数

二次根式

整式

因式分解

分式

»知识归纳

一、实数与二次根式

正数大于0的数叫做正数

意义：表示具有相反意义的量

负数在正数前面加上“一”号的数叫做负数

数轴规定了原点、正方向和单位长度的宜线叫做数轴

只有符号不同的两个数，叫做互为相反数

实

（I）若。力互为相反数，则〃+力=0;

数相反数

（2）0的相反数是0：

的

（3）在数轴上，互为相反数的两个数对应的点到原点的距离相等.

相

绝对值数轴上点a与原点的距离叫做〃的绝对值，记作时

关

乘积为1的两个实数互为倒数

概

（1）力互为倒数;

念倒数

（2）0没芍倒数；

（3）倒数等于它本身的数是1和1.

科学计数法把一个数写成4X10"（其中岸同V10,〃为整数）的形式

无理数无限不循环的小数叫做无理数

平方根②性质：正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0；负数没有平方根.

①如果一个正数的平方等于a,即F="，那么这个数x叫做。的算术平方根，

算术平方根

记作品.

①如果一个数的立方等于出那么这个数就叫做。的立方根，记作后.

立方根

②性质：正数只有一个正的立方根；。的立方根是0；负数只有一个负的立方根.

零指数，负

指数幕

1.常见的三种非负数：\a\>0,企0,也出（的0）.

2.非负数的性质：

非负数①非负数有最小值是零；

②任意几个非负数的和仍为非负数；

©几个非负数的和为0,则每个非负数都等丁0.

有理数整数

实分数

按定义分

教无理数正无理数

的负无理数

分王实数

类按正负分0

负实数

同号两数相加，取原来的符号。并把它们的绝对值相加。

实加法

异号两数相加，取绝对储较大的加数的符号.并用较大数的绝对值减失较小数的绝对值。

教

减法减去一个效等于加上这个数的相反数

的

两数相乘，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相乘

运

乘法几个非零实数相乘。积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当

算

负因数有奇数个时，积为负

〃个数相乘，有一个因数为0,积为0.

两数相除，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相除

除法

0除以任何一个不等于0的数都得0

几个相同因数的积的运算，叫做乘方，记作〃（，子0,〃为正整数）开方与乘方互为逆运

乘方

算

分级：加减是一级运算.除是二级运算，乘方和开方是三级运算，三级运算的题序是三

运算顺序二一、（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进

行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）

二、整式与分式

由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项

整

单项式

式中所有字母指数的和叫做单项式的次数。

式

几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不

的多项式

含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数。

相整式是单项式与多项式的统称。

整式

关所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项。

同类项

概把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得

合并同类项

念的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。

形如也46是整式，且8中含有字母，BK0）的式子叫做分式.

分式概念D

AA

分因为0不能做除数，所以在分式微中，若BW0,则分式会有意义；若3=0,那么

有意义的DD

式A

条件分式彳没有意义.

的

在分式卷中，当人=0且BR0时，分式之勺值为0

相值为0DD

分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表

关分式的基本

示是：M若『其中"是不等于。的整式）

概性质

念将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分

约分

将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分

通分

运分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即//—£/.分式除以分

分式乘

算

除式，把除式的分子、分母.颠倒位置后，与被除式相乘，即„=给=£

分式的

在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到

混合运

有括号的，先算括号里面的.运算结果必须是最简分式或整式.

算

»答题指导

1.比较实数大小的五种方法”

(1)绝对值比较法：两个负数比较大小，绝大值大的反而小

(2)数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大

(3)平方比较法：先将要平方的两个数分别平方，再根据。>0,b>()时，可由。2>从得到来比较大小。

(4)取近以值法：首先对要比较的两个数取近以值通过比较其近似值来比较两个数的大小，

(5)差值比较法

2.无理数常见的四种类型“：

(1)升小尽的数，如JI,Vo

(2)含有兀的绝大部分数，如兀，二

5

(3)具有特定结构的数，如0.(两个I之间依次增加I个0)

3.寻运算性质的逆运算

①②""一"=£③an,,,=(a,ny,③/优=(昉)”

4.乘法公式的常用变形：

①cf-\-tr=.(a+b)2—2ab②a2+/?2=(«—Z>)2+2«ZJ

③(。+力尸=(a—b)2-\-4cib④(a—b)2=(a+b)1—4ab

5.整体代入法求代数式的值：

(1)直接整体代入求值：如果己知的代数式与要求代数式之间含有相同的式子，只要把一知式子的值直接

代人到要求的式子中，即可得出结果。

(2)把已知式子变形后再整体代入求值：在求代数式的值时，如果题目中所求的代数式与已知代数式成倍

数关系，各字母的项的系数对应成比例，就可以把这•部分看作•个整体，再把要求的值的代数式变形后,

整体代计算求值。

6.分式有意义、无意义和值为零的条件

(1)若分式最有意义，则BWO

(2)若分式1无意义，则B=0

A

(3)若分式豆=0,则A=0且BK0

»易错归类

易错点1：有理数、无理数以及实数的有关概念理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念混淆。弄不清

绝对值与数的分类。选择题考得比较多。

1.-|-2021|=()

【答案】B.

【解析】解：-|-2021|=-2021,

故选:B.

易错点2：关于实数的运算，要掌握好与实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号

关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。

2.下列各式中，正确的是()

A.-|-2|=2B.V4=±2

C.(-2)3=8D.(-1)2+(-I)3=0

【答案】D

【解析】解:A.-|-2|=-2,故错误；

B.4=2,故错误；

C.(-2)3=-8,故错误；

D,正确;

故选：

易错点3：平方根、算术平方根、立方根的区别

A.2B.4C.±2D.±4

【答案】A

故选:A.

易错点4：科学记数法，精确度。

4.用四舍五入法对数取近似数精确到万位，结果是()

A.347B.3.46C.3.47x106D.3.46x|07

【答案】C

【解析】解：=3.xl()6中，万位上是6,千位上是5,则精确到万位是3.47x106.

故选：C.

易错点5：五个基本数的计算：0指数，三角函数，绝对值，负指数，二次根式的化简。

5.计算：|-5|-(1-^)°+(-)

3

【答案】解：|-5|-(1-71)°+(i)

3

=5-1+3

=7.

【解析】原式第一项绝对值计算，第二项利用零指数制的法则计算，第三项利用负指数幕的法则计算，

计算即可得到结果.

易错点6：求分式的值时易忽略分母不为零的条件.

A.2B.-2C.±2D.任意实数

【答案】A

【解析】本题错解考虑到了分子卜|—2为零，而忽视了分式有意义的条件——分母x+2不为零.分式的值为

零的条件应是分子为零且分母不为零，，由卜|一2=0,解得尸土2,又由x+2和，得*-2,・・・x=2.还有

分式无意义的条件是分母为零.

易错点7