四边形综合练习（提优）-2026年中考数学几何专项复习（解析版）

中考撤号

专题31四边形综合练习（提优）

一.选择题

1.如图，在矩形月8CQ中，£是4。边的中点，BE上AC于点、,连接。凡分析下列五个结论

CAB；②C/=2/E®DF=DC,©tanZJCZ）=v'2:⑤S四边形8M=^SA4B/其中正确的结论有（）

B.4个

【分析】①四边形力ACO是矩族“_1_力。，则48C=N-8=90°,又NB4F=NC4B,于是△4EFs4

CAB；

11AEAF

②由力E=又AD〃BC,所以*=右=2;

乙乙uCrC

③过。作。M〃4后交力。于N,得到四边形4MDE是平行四边形，求出8M=QE=、C,得到CN=

,VF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论；

^402a

④设/£1="，AB=b,则月。=2a,由△氏Ifs△力得出方=。2々，进而得出tanN/CZ）=不有=《~=

cuo

2a_

瓦3

EFAE111

⑤根据△/£7?S^C8b得到而=前=5,求出SOM=S4"=萨矩形48cz>S1四边形（?£）“•=$△

ACD-S—EF=/矩形ABCD~~^矩形ABCD=彳5s矩形ABCD^即可得到S四边形CDEF=5s△池厂

【解答】解：如图，过。作。必〃8上交4C于N,

•・•四边形48CZ）是矩形，

：.AD//BC,ZABC=9()°,AD=BC,

•・・8EJ_RC于点尸，

：・NEAC=NACB,ZABC=ZAFE=90°,

ZAAEFs^CAB,故①正确；

•:AD"BC,

:.AAEFSACBF,

中考撤号

.AEAF

,,就=育

11

'：AE=-AD=-BC,

AF1

•----------

**CF~2'

:・CF=2AF,故②正确；

■:DEHBM、BE//DM,

・•・四边形BMDE是平行四边形，

1

:,BM=DE=RC,

:・CN=NF,

•.•BEL/IC于点、F,DM//BE,

:・DNLCF,

••・QM垂直平分CE

：.DF=DC,故③正确；

设力七=。，AB=b,则力。=2。，

b2a「

由△8/Esa/。。，有一二七，即Z>=«2Q,

ab

AD2a2Q

tanZACD=—=—=~E~=&，故④正确：

CIJuQ

•・•△AEFsACBF,

EFAE1

，，~DF='DC=2t

.-1

S^AEF='^△ABF，S&ABF=m矩形ABCD^

S2AEF=石'S矩形ABCD，

,_115

乂,•*S四边形CDEF—S^ACD~S"EF=5s矩形48C。一记S矩形ABCD=适5矩形4BCD，

•,*S四边形CDEF~5s△/g故⑤正确；

中考撤号

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的

综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键.解题时注意：相似三角形的对应边成比

例.

2.如图，正方形48CQ中，点E,尸分别在8C,CD±.,△/£/是等边三角形，连接4c交£产于点G,

下列结论：®CE=CF,②N4E8=75°,(3)AG=2GC,④BE+DF=EF,®S^CEF=2S^ABE,其中结

【分析】通过条件可以得出△N8E丝△4OF,从而得出N8/E=N。/凡BE=DF,得到C£=CR由正

方形的性质就可以得出N/£8=75°：设£C=x,由勾股定理得到叮，表示出8区利用三角形的面枳

公式分别表示出SZ^CM和2s△4BE，再通过比较大小就可以得出结论.

【解答】解：•・•四边形力品力是正方形，

：.AB=BC=CD=AD,/B=NBCD=/D=NBAD=90°.

•••△力即等边三角形，

；・AE=EF=AF,ZEAF=60°.

・・・/BAE+/DAF=3U°.

在RtAABE和RtAJDF'+,,

[AB=AD

tAE=AFf

^AABE^Rt^ADF(HL),

:.BE=DF,

:,CE=CF,故①正确;

中考撤号

D

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】首先证明N，b=N"/C=67.5°,由此可以判定③正确，②错误，再证明4C〃D凡推出

DFA=SMDC，由此判断⑤正确，根据力£4可以判断①正确，在△£>//中，由NC4E=NCZRZAEC=

90°,作CK_L4尸于K,推出CE=CKVCE由此判断④错误.

【解答】解：如图，连接力。、以。为圆心。4为半径画圆.

•・•四边形力8CQ是正方形，

:・DA=DC=AB=BC,N4DC=NB=NDCB=90°,ZACD=ZDAC=45Q

•••△。斯是由△。以翻折得到，

:・DA=DF=DC,EA=EF,/AED=/DEF,

1

；・

ZAFC=-乙ZADC=45°

:・NEFA=/EAF=45°,

/.ZJ£F=90°,

AZDEF=ZDEA=45°,

<EA=ED=EF,

：,NDAE=NADE=NEDF=NEFD=67.5°,

:.NDAF=NDFA=225°,

Z.ZJDF=1800-ND4F-NDFA=135°,

/.ZCD卜'=N.ADF-N=45°,

r.ZDCF=\S0c-4CDF-/DFC=675：

VZCHF，=ZCDF+ZDFA=67.5C,,

・•・/HCF=ZFHC,

・•・△CP〃是等腰三角形，故③正确.②错误，

•・•NACD=NCDF,

中考撤号

：.AC//DF,

:•SADFA=SAFDC，

SAADH=S&CHF，故⑤正确，

•；EA=ED,

/EAD=/EDA,

，/BAM=4CDN,

在△4?A才和△QCN中，

ZBAM=ZCDN

AB=DC,

“=乙DCN

:•△ABM9ADCN,故①正确，

在△E/产中，•:NCAE=/CAF,ZJ£C=90°,作CK_L力/于K,

：.CE=CK<CF,

・・・CEWb故④错误.

・•・①③⑤正确，

选B.

E

【点评】本题考查四边形综合题、圆的有关性质、全等三角%的判定和性质、平行线的性质等知识，解

题的关键是添加辅助线，构造圆利用圆的有关性质解决问题，属于中考常考题型.

4.如图，已知直线/〃48,/与/B之间的距离为2.C、O是直线/上两个动点（点。在。点的左侧），且

AB=CD=5.连接4C、BC、BD,将△H8C沿8C折叠得到BC.下列说法：

①四边形ABCD的面积始终为10；

②当与。重合时，四边形/1AOC是菱形；

中考核等

③当H与。不重合时，连接力,、D,则NC/TD+ZBCA'=180°；

④若以，、C、B、。为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为34或7.

其中正确的是()

A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④

【分析】①根据平行四边形的判定方法可得到四边形力BCD为平行四边形，然后根据平行四边形的面积

公式计算；

②根据折叠的性质得到＜C=C。，然后根据菱形的判定方法可判断四边形力4。。是菱形：

③连接HD,根据折叠性质和平行四边形的性质得到。1'=CA=BD,AB=CD=A'B,Z\=ZCBA

=N2,可证明△，CO且BD,则N3=N4,然后利用三角形内角和定理得到得到N1=N4,则根

据平行线的判定得到，D//BC；

④讨论：当NC8Z)=90°,贝ijN8C/=90°,由于5/\川08=54/席=5,则S矩形，。8/)=根据勾股

定理和完全平方公式进行计算；当/8CO=90°,则NC84=90°,易得8C=2,而。。=5,于是得到

结论.

【解答】解：®*：AB=CD=5,AB//CD,

・•・四边形力8c。为平行四边形，

・•・四边形//8。C的面积=2X5=l()；故①正确；

②•・•四边形ABDC是平行四边形，

与。重合时，

：・AC=CD,

*/四边形ABDC是平行四边形，

・•・四边形/8QC是菱形；故②正确；

③连接，。，如图，

•••△力8。沿8c折叠得到△/'BC,

：.CA'=CA=BD,AB=CD=A'B,

中考撤号

在△/CZ)和△，BD+

CA*=BD

CD=BA',

A'D=A'D

・•・△/'CDW2A'BD(SSS),

AZ3=Z4,

又•；/T=NCBA=/2,

AZ1+Z2=Z3+Z4,

AZ1=Z4,

：,A'D〃BC,

・・・N。'D+NBCA'=180°；故③正确:

④设矩形的边长分别为mb,

当NC5O=90°,

•・•四边形ABDC是平行四边形，

・・・/8。=90°,

CB=S/U8C=5x2X5=5,

•'S矩形/C8O=1°，即ab=10，

而B/l'=BA=5,

：,a2+b2=25,

；・(a+b)2=a2+b2+2ab=45,

，a+b=3,匠

当N8CZ)=90°时，

,r四边形ABDC是平行四边形，

:.NCBA=90°,

:.BC=2,

而CD=5,

：.(q+b)2=(2+5)2=49,

:.a+b=19

...此矩形相邻两边之和为34或7.故④正确.

中考撤号

故选：D.

【点评】本题考查了四边形综合题：熟练掌握平四边形的判定与性质以及特殊平行四边形的判定与性质;

会运用折叠的性质确定相等的线段和角.

5.如图，边长为2的正方形44CO中，4E平分ND4C,4E交CD于点F,CELAE,垂足为点E,EGA.

CD,垂足为点G,点〃在边SC上，BH=DF,连接力〃、FH,FH与AC交于点、M,以下结论：

①FH=2BH；©ACLFHx③1；④CE=%F；®EG2=FG*DG,

乙

其中正确结论的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】①②、证明△力8〃空得力尸=加/,再得力。平分/4〃，则既是中线，又是高线,

得4CLFH,证明BH=HM=MF=FD,则FH=2BH；所以①②都正确：

③可以直接求出/C的长，计算错误；

④根据正方形边长为2,分别计算CE和//的长得结论正确；还可以利用图2证明△力力尸gaCDV得:

11

CN=AF,由CE=5CN=;4F；

⑤利用相似先得出£G2=H7・CG,再根据同角的三角函数列式计算CG的长为1,则。G=CG,所以⑤

也正确.

【解答】解：①②如图1,•・•四边形力88是正方形，

中考撤号

：.AB=AD,/B=/D=90°,N4/Q=90°,

•・7E平分ND4C,

：.ZFAD=ZCAF=22.5a,

，：BH=DF,

:.^ABH^AADF,

:・AH=AF,NBAH=NFAD=225°,

:・NHAC=NFAC,

:・HM=FM,ACLFH,

*：AE^^-ZDAC,

:.DF=FM,

：.FH=2DF=2BH,

故选项①②正确：

③在RtZ\EWC中，ZFCM=45°,

:.△/MC是等腰直角三角形，

•・•正方形的边长为2,

：・AC=2&,MC=DF=2&-2,

：.FC=2-DF=2-(2&-2)=4-2\2

1

S^AFC=5乙c/"月。41»

所以选项③不正确；

④4、,力蜉+DF?=、磔+(2\'2-2胆=2《4-2",

■:"DFsACEF,

.ADAF

：t~CE='FC，

中考撤号

.2_222也

4-272'

:・CE=44-2a

1

：.CE=~AFt

故选项④止确；

⑤延长CE和力。交于N,如图2,

图2

'：AELCE,4E平分NC力。，

:,CE=EN,

,:EG〃DN,

:,CG=DG,

在RtZXMC中，EGVFC,

:・EG'FG.CG,

:.EG?=FG・DG,

故选项⑤正确；

本题正确的结论有4个，

故选：C.

【点评】本题是四边形的综合题，综合考查了正方形、相似三角形、全等三角形的性质和判定；求边时

可以利用三角形相似列比例式，也可以直接利用同角三角函数列式计算；同时运用了勾股定理求线段的

长，勾股定理在正方形中运用得比较多.

6.如图，在矩形48CO中，4。=、②N54。的平分线交BC于点E,DH上4E于点H,连接8万并延

长交CD于点F,连接。E交3尸于点。下列结论：

①AABE怂A/iHD；②HE=CE；③〃是6/的中点；®AB=HF,

其中正确的有（）个.

中考撤号

【分析】①根据角平分线的定义可得/8力七=/。花=45,然后利用求出△4阳是等腰直角三角形，

根据等腰直角三角形的性质可得AE="AB,从而得到AE=AD,然后利用“角角边"证明△相£和△4/Q

全等；从而判断出①正确；

②由①可得48=4E=CQ=〃D,继而证得N£7»/=NEQC,然后由角平分线的性质，证得②正确；

③求出NE84=NO〃O=22.5°,NAEB=NHDF=45°,然后利用“角边角”证明△BE"和△HO”全

等,根据全等三角形对应边相等可得巴判断出③正确；

④判断出不是等边三角形，从而得到/8W8H,即力BW“凡得到④错误.

【解答】解：:在矩形48C。中，4E平分N84O,

：.ZBAE=ZDAE=45°,

是等腰直角三角形，

：,AE=\2AB,

'：AD=WAB,

：,AE=AD,

在△力8E和△力〃。中，

ZBAE=ZDAE

£ABE=£AHD=90°,

AE=AD

AAABE^AAHD(AAS),故①正确；

:.BE=DH,

：.AB=BE=CD=HD,

1

ZADE=ZAED=-(180°-45°)=67.5°,

乙

.\ZCED=I8O°-45°-67.5°=67.5°,

・•・/AED=NCED,

VZC=90°,DHLAE,

...ZEDH=4EDC,

中考核等

：JIE=CE,故②正确；

•:AB=AU,

1

*：ZAIIB=~(180°-45°)=67.5°,

：・/OHE=NAHB=675°,

AZDHO=9()0-67.5°=22.5°,

•:/EBH=90°-67.5°=22.5°,

・•・ZEBH=/OHD,

在ABEH和AHDF中,

ZEBH=Z0HD=22.5°

BE=DH,

Z-AEB=乙HDF=45°

4BEH§AHDF(ASA),

:.BH=HF,

即，是8尸的中点；故③正确；

■:AB=AH,ZBAE=45°,

・•・△48”不是等边三角形，

・•・即加杼〃E故④错误：

综上所述，结论正确的是①②③共3个.

故选：C.

【点评】此题属于四边形的综合题.考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与

性质以及全等三角形的判定与性质.注意根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或

判断出等腰三角形是解题的关健.

7.如图，正方形48C。中，P为中点,8ELDP交QP延长线于E,连接4E,AhAE交DP于F,连

接8RCF.下列结论①EF=WAF；②AB=FB：③C尸〃BE；®EF=CF.其中正确的结论有()

个.

中考撤号

【分析】根据已知和正方形的性质推出N£44=NQ/1RNEBA=NADP,AB=AD,证△/4£0/\力。尸

却可；取E尸的中点M,连接4W,推出4必="产=区讶=。凡证N4"8=NE"8,BM=BM,AM=

MF,推出△48”且△尸8M即可；求出NFDC=NEBF,推出即可.

【解答】解：在正方形力8C。中，AB=AD,ZBAD=90Q,

：・NDAF+NBAF=90°,

*：AFrAE,

：.NBAE+NBAF=9U0,

:・/BAE=NDAF,

•:BE工DP,

；・N/IBE+NBPE=90°,

又•；N4DF+N4PD=90°,4BPE=/APD,

・•・NABE=NADF,

在△48£和44。尸中，

ZABE=ZADF

AB=AD,

Z.BAE=Z.DAF

:.△4BEg4ADF(ASA),

:.AE=AF,

・•・△/七尸是等腰直角二角形，

：.EF=yflAF-,故①正确；

:・AE=AF,BE=DF,

：.ZAEF=ZAFE=45°,

取E厂的中点M,连接4W,

：.AMLEF,AM=EM=FM,

中考撤号

:.BE//AM，

•:AP=BP,

：,AM=BE=DF,

：・NEMB=NEBM=45°,

・・・N4V/8=90°+45°=135°=NFMB,

在△月8,必和中，

AM=FM

BM=BM

:.△ABMWAFBM(SAS),

：.AB=BF,故②正确；

・••NBAM=/BFM,

■:/BEF=9G°,AM1EF,

・・・N84H+N4PM=90°,NEBF+NEFB=90°,

:./APF=/EBF,

•:AB〃CD,

・•・/APD=NFDC,

/EBF=/FDC,

在和△。回C中，

BE=DF

乙EBF=cFDC,

[BF=DC

:.l\BEFqADFC(SAS),

:・CF=EF,NDFC=NFEB=90°,

故④正确；

:.CF工DE,

■:BE工DP,

:.CF//BE：故③正确.

故选：D.

中考撤号

【点评】此题属于四功形的综合题.考杳了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形

的性质以及直角三角形的性质等知识.注意准确作出辅助线是解此题的关犍.

8.如图，在一张矩形纸片/8CO中，"=4,BC=8,点£、“分别在BC上,将纸片"C。沿直线跖

折叠，点C落在力。上的一点，处，点。落在点G处，有以下四个结论:

①四边形。尸HE是菱形；

②EC平分乙DCH：

③线段BF的取值范围为34“/<4：

④当点〃与点力重合时，EF=7武.

)个.

C.3D.4

【分析】①先判断出四边形CF〃E是平行四边形，再根据翻折的性质可得8=五〃，然后根据邻边相等

的平行四边形是菱形证明，判断出①正确：

②根据菱形的对角线平分一组对角线可得N4CH=NEC〃,然后求出只有NQCE=3()。时EC平分NDCH,

判断出②错误；

③点〃与点力重合时，谈BF=x,表示出力〃=尸C'=8-x,利用勾股定理列出方程求解得到取的最小

值，点G与点4重合时，CF=CD,求出8/=4,然后写出8尸的取值范围，判断出③正确；

④过点产作于M，求出再利用勾股定理列式求解得到ER判断出④正确.

【解答】解：①，：FH与CG,与W都是矩形/出。。的对边力。、4C的一部分，

：.FH//CG,EH//CF,

・•・四边形C"/石是平行四边形,

中考撤号

由翻折的性质得，CF=FH,

・•・四边形CF〃£是菱形，

故①正确；

②：./BCH=4ECH,

・•・只有NQCE=30°时EC平分/DCH,

故②错误；

③点〃与点4重合时，设M=x,则-=FC=8・x,

在RtZ\4E尸中，AB2+BF2=AF2,

即42+x2=(8-x)2,

解得x=3,

点G与点力重合时，CF=CD=4,

A5F=4,

・•・线段BF的取值范围为3WBFW4,

故③正确；

过点F作FM1AD于M,

则(8-3)-3=2,

由勾股定理得，

EF=WP+ME2=2琳,

故④正确；

综上所述，结论正确的有①③④共3个.

故选：C.

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练

掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键.

9.如图，在边长为只也的正方形48C。中，E是48边上一点，G是4。延长线上一点，BE=DG,连接

EG,过点C作EG的垂线C”,垂足为点〃，连接5",BH=8.有下列结论：

①NC8〃=45°；②点〃是EG的中点；③EG=4亚；④。G=2&

其中，正确结论的个数是()

中考撤号

【分析】连接CG,作_L8c于凡HO上/IB于O,证明△CBE经△COG,得到AECG是等腰直角三

角形，证明NGEC=45°,根据四点共圆证明①正确；根据等腰三角形三线合一证明②正确；根据等腰

直角三角形的性质和勾股定理求出EG的长，得到③正确；求出BE的长，根据。G=8E,求出8石证明

④正确.

【解答】解：连接CG,作叱_L8C于RH0上于0,

在和△COG中，

CB=CD

乙CBE=Z.CDG,

BE=DG

:.△CBE0ACDG,

：.EC=GC,/GCD=/ECB,

•・・/8CO=90°,

/.ZECG=90°,

•••△£CG是等腰直角三角形，

VZABC=90°,NEUC=90°,

:・E、B、C、A四点共圆,

:.NCBH=NGEC=45°,①正确；

'：CE=CG,CH1EG,

・••点〃是七G的中点，②正确；

•：ZHBF=45°,5/7=8,

:.FH=FB=4&,又4C=6\伤，

:,FC=2®

：.CH=^HF2+FC2=2回

：,EG=2CH=4^,③正确；

中考撤号

•：CH=2®,NHEC=45°,

:・EC=4显

:.BE=y!EC2—BC2=2、历，

:,DG=2®④正确，

故选：。.

【点评】本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理的运用，根据正方形的性质和

等腰直角三角形的性质证明三角形全等是解题的关键.

10.如图，在菱形49CO中，AB=BD，点、E、〃分别是4心4。上任意的点（不与端点重合），且力笈=

DF,连接4户与。上相交于点G,连接CG与8。相交于点从给出如下几个结论：

①△AEDWADFB；

②S四边形BCDG=*^2：

AF=2DF,则8G=66/；

®CG与BD一定不垂直；

⑤N8GE的大小为定值.

A.4B.3C.2D.1

【分析】①先证明△48。为等边三角形，根据“S4r证明

②证明N8GE=60°=ZBCD,从而得点8、C、D、G四点共圆，因此N8GC=NZ）GC=60°,过点C

作CA/_LG8于"，CNIGD于N.证明△C8M丝△CQM所以S四边形BCOG=S四边形CMGV，易求后者的

面积；

中考撤号

③过点/作〃。〃力后于0点，根据题意有正户：AE=DF：DA=\：3,则五P：BE=\：6=FG：BG,即

BG=6GF；

④因为点E、尸分别是4B、力。上任意的点（不与端点重合），且力七=。产，当点E,产分别是4B,AD

中点时，CGLBD；

⑤NBGE=NBDG+ZDBF=NBDG+NGDF=60。.

【解答】解：①・・Z8C。为菱形，：.AB=AD,

•：AB=BD,・•・△48。为等边三角形，

/.ZA=ZBDF=60a,

又,：AE=DF,AD=BD,

:AAEDqADFB,故本选项正确；

©V/BGE=4BDG+4DBF=NBDG+NGDF=60°=/BCD,

即N8GO+N8c0=180°,

・••点8、C、D、G四点共圆，

:・/BGC=/BDC=60°,ZDGC=ZDBC=60a,

・・・N8GC=NQGC=60°,

过点C作CMLGB于M,CNLGD于N（如图1）,

则△CAM0△CON(AAS),

•'•S四边形BCDG=S四边形CA4GN，

S四边形CMGN=2S〉CMG，

VZCGA/=60°,

1

：.GM=-CG,CM=

乙

中考撤号

11

•'•S四边形CMGN=2S△CMG=2x]x5CGxG2,故本选项错误;

③过点尸作尸尸〃4£交。£于尸点（如图2）,

图2

•:AF=2FD,

：,FPiAE=DFtDA=\：3,

•:AE=DF,AB=AD,

；・BE=2AE,

:,FP：BE=FP：2AE=1：6,

*：FP//AE,

:.PF〃BE,

：.FG：BG=FP：BE=\：6,

即4G=6GE故本选项正确;

④当点£;尸分别是力从力。中点时（如图3）,

由（1）知，△480,△8OC为等边三角形,

•・•点£,产分别是力8,4。中点，

：・NBDE=NDBG=30",

:.DG=BG,

在△GQC与△8GC中,

中考撤号

DG=BG

CG=CG,

CD=CB

:.△GD84BGC,

，NDCG=NBCG,

:・CH工BD,即CGJ_8D,故本选项错误;

⑤•：NBGE=/BDG+/DBF=/BDG+/GDF=60。,为定值，

故本选项正确；

综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，

故选：B.

【点评】此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助

线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键.

11.如图，在矩形X8CQ中，彳8=24,8c=12,同、N两点分别从点8、。开始沿边8c和CZ）匀速运动,

如果点M、N同时出发，它们运动的速度均为每秒2个单位长度，当点M到达终点。时，点N也停止

运动，设运动的时间为/（$）.下列说法：①当z=3时，A/N〃4。：②当1=6时，的面枳最小:

③当尸4时，S-8,u=S△仙°：④不存在与4N垂直的时刻，正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据题意分别求出CM、CM根据平行线的判定定理判断①：根据题意列出函数关系式，根据

二次函数的性质判断②：根据三角形的面积公式求出两个三角形的面积，比较判断③：根据勾股定理的

逆定理计算，判断④.

【解答】解：当，=3时，8M=6,CN=6,

ACM=6,DN=18,

CMCN

•-----土------

"CBCD'

・・・MN与8。不平行，①错误；

由题意得，4AMN的面积=四边形ABCD的面积・4ADN的面积・4NCM的面积・44BM的面积

中考撤号

111

=288-rx12X(24-2/)-TX2/X(12-27)=X24X21

乙乙乙

=t2-12/+144

=(/-12)2,

当/W12时，y随x的增大而减小，又0WW6,

:.当/=6时，4AMN的面积最小，②正确；

1

当/=4时，5A^JW=TX24X8=96,

1

S^AND=2X12X<24-8)=96，

工当/=4时,S2ABM=S4AND，③正确：

由题意得,AN2=AD2+DN2=144+(24-2r)2=4t2-96/+720,

MN2=CN2+CM2=St2-48/+144,

AM2=AB2+BM2=43+576,

当MN与AN垂直时，43-96/+720+8P-48/+144=43+576,

整理得，18136=0,

解得，“=9-34，攵=9+3々(不合题意),

当f=9-34时，与4N垂直，④不正确；

故选：B.

【点评】本题考查的是矩形的性质、平行线的判定、勾股定理的逆定理的应用，掌握平行线的判定定理、

二次函数解析式的求法和二次函数的性质以及勾股定理的逆定理的应用是解题的关键.

12.如图，正方形48CD的边。与正方形CGFE的边CE重合，。是EG的中点，NEGC的平分线G”过

点、D,交BE于H,连接。“、FH、EG与FH交于M,对于下面四个结论：

II1

①GH1BE；(2)HO=~BG；③点〃不在正方形CGFE的外接圆上；@AGBE^/\GMF.

乙

中考核等

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】(1)由四边形力，C。和四边形CGFE是正方形，得出△4CE出△QCG,推出N4EC+N〃。2=

90°,从而得GHtBE；

(2)由GH是NEGC的平分线，得出ABGHgAEGH,再由。是EG的中点，利用中位线定理，得，。

I1

=；BG；

(3)△EHG是直角三角形，因为。为EG的中点，所以O，=OG=OE,得出点，在正方形CGFE的

外接圆上；

(4)连接。尺由点”在正方形CGFE的外接圆上，得到N〃R7=NCG〃，由N〃R7+/nWG=90°,

NCGH+NGBE=90°,得出/EWG=NG8E,所以AGBEs^GMF.

【解答】解：(1)如图，•・•四边形力8C。和四边形CGFE是正方形，

:.BC=CD,CE=CG,NBCE=/DCG,

在△8CE和△QCG中，

BC=CD

Z-BCE=乙DCG

CE=CG

•••△BCE/ADCG(SAS),

:./BEC=/BGH,

■:/BGH+/CDG=9C,ZCDG=ZHDE,

工NBEC+NHDE=90",

:・GH工BE.

故①正确；

(2)VG〃是NEGC的平分线，

・•・4BGH=/EGH,

在ABGH和△EGH中

ZBGH=ZEGH

GH=GH

乙GHB=乙GHE

：・4BGH@4EGH(ASA),

:・BH=EH,

又〈0是EG的中点，

...HO是4EBG的中位线,

中考撤号

I1

故②正确；

（3）rh（1）得△EHG是直角三角形,

•・・。为EG的中点，

：・OH=OG=OE,

・••点，在正方形CGFE的外接圆上，

故③错误；

（4）如图2,连接CF,

由（3）可得点〃在正方形CGFE的外接圆上，

・•・NHFC=NCGH,

•；/HFC+NFMG=90°,NCGH+NGBE=90°,

・•・/FMG=/GBE,

又・・・/£68=//6河=45°,

・•・AGBESAGMF.

故④正确，

故选：C.

【点评】本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是能灵活利用三角形全等的判定和性质来解题.

二.填空题

13.如图，在矩形力BCO中，8c=248,点E是边8c的中点，连接DE,分别交80、4C点尸、Q,

过点P作。尸_1_力£交。8于点F,下列结论：

16

①/EAC=/EDB；②AP=2PF：③若Szx"c=万，则48=8；

（4）CE*EF=EQ*DE.其中正确的结论有①②④.（填序号即可）

中考撤号

【分析】由矩形的性质和等腰三角形的性质可求乙花8=/。£。=45°,由外角的性质可求N4C=N

彳、ADAP彳、

EDB,可判断①；通过证明△4OPsZ\E8p,可得==2,可判断②；通过证明△4)QS/\CE0,

DErC

ADAQ人

可得==7万=2,可得力。=2。0，由三角形的面积公式可求彳8=4,可判断③，由“S4T可证

PE

^△Z)CE,可得AE=DE,由相似三角形的性质可求尸E=£0,通过证明△PE尸54。£厉，可得17=

EC

EF

—,可判断④，即可求解.

Uc

【解答】解：•・•四边形力8c。是矩形，

：.AB=CD,AD=BC,OA=OB=OC=OD,ZABC=ZBCD=90°,AD//BC,

：.ZOBC=ZOCB,

•・•BC=2AB,点上是边8c的中点，

:,BE=EC=AB=CD,

:・/AEB=/DEC=45°,

•・•ZAEB=NACB=ZEAC,NDEC=NDBC+NBDE,

:・NEAC=/EDB,故①正确；

•：PF1AE,

：.ZPFE=ZPEF=45°,

:・PE=PF,

*：AD//BC,

:.AADPsAEBP,

ADAP

*'BE~PE~2"

：,AP=2PE=2PF,故②正确;

,:AD〃BC,

・•・△力。0s△C£0,

中考撤号

ADAQ

•------......-n

^EC~QC~2,

：,AQ=2QC,

・•_16

•6△4£＞。=16，

1

.\-xADXDC=\6,

乙

・・・。。=4,

，/18=4,故③错误，

VAB=BE,DC=CE,ZABE=ZDCE=9(),

:•△ABEqADCE(SAS),

：・4E=DE,

'：MADPsMEBP,△ADQs^cEQ,

BEPE'ECEQ1

••而=而=5，'AD=QD=2

.PEEQ

,而=谓

.EPEQ

'''AE='DE'

:・PE=EQ,

•:/AEB=/DEC=45°,NEPF=NECD=9Q0,

:./XPEFsMCDE,

.PEEF

：，'EC='DE，

••・CE・E/=E0・O£故④正确：

故答案为：①②④•

【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相

似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

14.如图，在矩形/8CQ中，AD=4,4B=6,点、E在上,将△£><£沿直线QE折叠，使点力恰好落在

DC上的点尸处，连接上户，分别与矩形48co的两条对角线交于点例和点G.给出以下四个结论①△

.40E是等腰直角三角形:②SNBEM：SABAD=\：4；③FG=GM=EM：④sin/EDW=其中正确

的结论序号是①⑶

中考撤号

【分析】由折叠的性质和直角三角形的性质可得力。=/巴可判断①；通过证明△AZESA。。/,可得s

△BEM：SABAD=1：9,可判断②：由平行线分线段成比例可求EM，FG,GM的长，可判断③；由勾股

定理和锐角三角函数可求E”的长，可判断④，即可求解.

【解答】解：①•・•将△加£沿直线OE折叠，

/.ZADE=ZCDE=45°,

VZDAB=90°,

AZADE=ZAED=45°,

：,AD=AEt

・•・△/Of是等腰直角三角形，

故①正确；

@VJD=JE=4,

：,BE=AB-AE=2,

•・•将△加£(沿直线DE折叠，

:・NAED=NDEF=45°,AE=EF=4,AD=DF=4,

:・/AEF=90°,

:.AD〃EF,

:•△BMES/\BDA,

:・S&BEM：S&BAD=(BE)2：{AB)2=4：36=1：9»

故②错误；

③*8〃。，

BEEM1CFFG1

**DF~MF~2"AE~EG~2'

44

：,EM=~,FG=

3,

4

◊

:・FG=GM=EM,

故③正确;

中考撤号

*AD=AE=4,ND4E=90°，

.DE=4\l2f

•力。=4,48=6,ZDAE=90°,

.DB=AD?+AB2=J16+36=2\^13»

EHAD

•sinZ^Z)=­=—,

4EH

*2；13-2

.EH=£

13

.s"EDH埸苇=叵

DE4也26

故④错误,

故答案为：①③.

【点评】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，锐角三角函数等知识,

灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

15.如图，正方形/5CO中，48=4,点石是对角线/C上的一点，连接。过点E作EFLED,交相

于点片以。E、斯为邻边作矩形力EFG,连接/G.①矩形。MG是正方形@/\GAF^Z\CED；®AE+AG

="AD；④若F为4B中点,连接。/交4C于点M,则£W=竽，正确的有①⑶⑷(填序

号).

【分析】①由aASAy,可证AEQDgAENE可得ED=EF,可证矩形QEFG是正方形；

②由“S/S”可证△.4DG92\a)E,可得NO/G=NZ)CE=45°,进而可得NG/斤=135°,由三角形内

中考撤号

角和定理可求NOECV135。，则△G47与△C£Q不相似；

③由全等三角形的性质可得/1G=C£,由正方形的性质可求解：

④由勾股定理可求。尸的长，通过证明△OCMS/XE4历，可求的长，由勾股定理可求的长.

【解答】解：如图，作于。，ENLAB于N,

•・•四边形员4。为正方形，

：・NEAD=/EAB,EQ=EN,

VZEQA=ZEQD=ZDAB=90°,

・••四边形⑷V£。是矩形，

：.ZQEN=9()°,

'：EFLED,

:・NDEF=90°,

/.ZDEQ=4FEN,

在AEQD和AENF中,

=ZFEN

EN,

B=乙ENF=90°

:.△E。。0丛ENF(ASA),

:.ED=EF,

•・•四边形。EFG是矩形，

・•・四边形。上尸G是正方形，

故①正确；

•・•四边形QEFG是正方形，

:.DG=DE,

•：ZGDE=,

・•・NADG=NCDE,

中考极号

又，：AD=DC,

:.△ADGW4CDE(S/1S),

:./DAG=NDCE=45°,

/.ZGAF=ZDAG+ZDAB=\35°,

,/NDEC+NDCE+NCDE=180°,

；・/DEC<l35”,

：・/DAF手/DEC,

•••△6力厂与△。£。不相似，故②错误;

•・•△ADGW4CDE,

：.AG=CEt

：,AE+AG=AE+CE=AC,

•・•四边形48C。是正方形，

:.AC=WAD,

：.AE+AG=\I2AD,故③正确；

如图，过点E作EH工DF于H,

•・•四边形力8。是正方形，

：,AB=AD=4fAB//CD,

•・•点点是去B中点,

：.AF=FB,

DF=+AF23=yji+16=24,

•・•△DEF是等腰直角三角形，

]

・•・DH=HF=EH=-DF=、亏，

":AB〃CD,

；・ADCMs/xFAM,

.MF